湖南省邵陽市武岡市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

湖南省邵陽市武岡市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題考試時量為120分鐘，滿分150分一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.下列幾何體中是四棱錐的是A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由四棱錐的定義推斷.【詳解】因為一個多面體的一個面是四邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，那么這個多面體叫做四棱錐.只有C符合，故選：C【點睛】本題主要考查四棱錐的定義和幾何特征，屬于基礎(chǔ)題.2.隨機(jī)拋擲一枚質(zhì)地勻稱的骰子，則其向上一面的點數(shù)為偶數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用列舉法可得基本領(lǐng)件的總數(shù)和所求事務(wù)包含的基本領(lǐng)件數(shù)，再依據(jù)古典概型的概率公式可得結(jié)果.【詳解】隨機(jī)拋擲一枚骰子，向上點數(shù)有1，2，3，4，5，6共6種，為偶數(shù)的為2，4，6共3種狀況，則概率為.故選：D.【點睛】本題考查了利用列舉法求古典概型的概率，屬于基礎(chǔ)題.3.已知函數(shù)，則（4）的值為（）A.2 B.4 C.8 D.24【答案】C【解析】【分析】將代入分段函數(shù)中干脆求解即可．【詳解】函數(shù)，（4）．故選：．【點評】本題考查了分段函數(shù)求函數(shù)值，考查了基本運算實力，屬于基礎(chǔ)題．4.某商場將彩電的售價先按進(jìn)價提高，然后“八折實惠”，結(jié)果每臺彩電利潤為360元，那么彩電的進(jìn)價是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)折扣的定義，結(jié)合利潤公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)進(jìn)價為元，得，解得，故選：C5.已知向量，，且，那么等于（）A. B. C. D.5【答案】B【解析】【分析】由，得【詳解】解：因為向量，，且，所以，解得，所以，所以，故選：B6.已知A為拋物線C:y2=2px（p>0）上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p=（）A.2 B.3 C.6 D.9【答案】C【解析】【分析】利用拋物線的定義建立方程即可得到答案.【詳解】設(shè)拋物線的焦點為F，由拋物線的定義知，即，解得.故選：C.【點晴】本題主要考查利用拋物線的定義計算焦半徑，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想，是一道簡單題.7.已知雙曲線的一個焦點在直線上，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】首先由條件求得，再求，最終依據(jù)雙曲線的漸近線方程，干脆求解.【詳解】由條件可知雙曲線的焦點在軸，并且直線中，當(dāng)時，，所以，那么，解得：，且，所以雙曲線的漸近線方程是.故選：A8.已知菱形中，，沿對角線AC折疊之后，使得平面平面，則二面角的余弦值為（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】采納建系法，設(shè)中點為，以方向為軸，方向為軸，方向為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的法向量，由向量夾角的余弦公式即可求解.【詳解】因平面平面，設(shè)中點為，，則平面，，故以方向為軸，方向為軸，方向為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)菱形邊長為2，則，，，明顯是平面的一個法向量，設(shè)平面的法向量為，則滿意，即，令，可得，故，則，即二面角的余弦值為.故選：D二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.已知空間三點，，，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】由條件可得的坐標(biāo)，然后逐一推斷即可.【詳解】因為，，，所以所以，，所以不共線.故選：AC10.已知正數(shù)a，b滿意，則下列說法肯定正確的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】由基本不等式推斷AD，取推斷BC.【詳解】由題意可知，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），故A正確；取，則，故BC錯誤；因為，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），則（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），故D正確；故選：AD11.已知曲線，（）A.若，則是焦點在軸上的橢圓.B.若，則是橢圓，且其離心率.C.若，則是雙曲線，其漸近線方程為.D.若，則是雙曲線，其離心率為或.【答案】ACD【解析】【分析】由，可得為焦點在軸上的橢圓，可推斷；由，求得離心率，可推斷；由，求得雙曲線的漸近線方程，可推斷；由，探討，，求得離心率，可推斷．【詳解】解：曲線，若，則是焦點在軸上的橢圓，故正確；若，則是橢圓，且，故錯誤；若，則是雙曲線，其漸近線方程為，故正確；若，則是雙曲線，當(dāng)，可得雙曲線的焦點在軸上，可得，當(dāng)，可得雙曲線的焦點在軸上，可得，故正確．故選：．12.如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，，設(shè)平面與平面的交線為，Q為上的點，下列說法正確的為（）A.B.平面C.四棱錐的體積隨Q點的移動而變更D.直線與平面所成角的正弦值的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)線面平行的性質(zhì)定理、線面垂直、錐體體積、線面角等學(xué)問對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】由于平面平面，所以平面，由于平面與平面的交線為，平面，所以，所以A選項正確.由于底面，平面，所以，由于平面，所以平面，由于，所以平面，B選項正確.由于平面，平面，所以平面，，所以無論在何處，到平面的距離不變，而三角形的面積不變，所以三棱錐的體積不變，C選項錯誤.由上述分析可知兩兩相互垂直，以為原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)直線與平面所成角為，所以.當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.綜上所述，直線與平面所成角的正弦值的最大值為，D選項正確.故選：ABD三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.復(fù)數(shù)的實部為_________．【答案】【解析】【詳解】復(fù)數(shù)，其實部為.考點：復(fù)數(shù)的乘法運算、實部.14.已知雙曲線＝1(a＞0)的左焦點是(2,0)，則a的值為___．【答案】1【解析】【分析】由題設(shè)可得c2＝4，b2＝3，依據(jù)雙曲線參數(shù)的關(guān)系即可得求參數(shù)a．【詳解】由題意知c＝2，即c2＝4．∵b2＝3，∴c2＝b2+a2，則a2＝1，又a＞0，∴a＝1．故答案為：1．15.斜率為的直線過拋物線C：y2=4x的焦點，且與C交于A，B兩點，則=________．【答案】【解析】【分析】先依據(jù)拋物線的方程求得拋物線焦點坐標(biāo)，利用點斜式得直線方程，與拋物線方程聯(lián)立消去y并整理得到關(guān)于x的二次方程，接下來可以利用弦長公式或者利用拋物線定義將焦點弦長轉(zhuǎn)化求得結(jié)果.【詳解】∵拋物線的方程為，∴拋物線的焦點F坐標(biāo)為，又∵直線AB過焦點F且斜率為，∴直線AB的方程為：代入拋物線方程消去y并化簡得，解法一：解得所以解法二：設(shè)，則,過分別作準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足分別為如圖所示.故答案為：【點睛】本題考查拋物線焦點弦長，涉及利用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，弦長公式，屬基礎(chǔ)題.16.已知，則___________．【答案】2【解析】【分析】利用二倍角公式,即可求解.【詳解】．故答案為：2.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知二次方程有一正根和一負(fù)根，求實數(shù)的取值范圍.【答案】【解析】【分析】由二次方程根的分布列不等式求解實數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，如圖，當(dāng)時，，滿意條件，所以，解得：當(dāng)時，如圖，當(dāng)時，，滿意條件，所以，解得：綜上可知【點睛】本題考查二次方程根的分布，重點考查數(shù)形結(jié)合分析問題的實力，屬于基礎(chǔ)題型.18.在中，有.（1）求角的大小；（2）若，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值；（2）利用三角形面積公式可得出的面積.【小問1詳解】解：由題意可得，，故.【小問2詳解】解：由三角形的面積公式可得.因此，的面積為.19.如圖，設(shè)邊長為2的正方形的中心為O，過點O作平面的垂線，，E為的中點，求與夾角的余弦值.【答案】.【解析】【分析】以O(shè)點為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點坐標(biāo)，表示出與，依據(jù)數(shù)量積公式即可求出夾角的余弦值.【詳解】連結(jié)、，明顯有，，.如圖分別以、、的方向為、、軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，則，，則，，，所以，所以與夾角的余弦值為.20.求直線被圓截得的弦長.【答案】2【解析】【分析】依據(jù)垂徑定理即可求圓的弦長.【詳解】設(shè)直線與圓交于A，B兩點，弦AB的中點為M，則（O為坐標(biāo)原點），所以，從而.21.如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，點E在棱AB上移動．（1）證明：D1E⊥A1D；（2）當(dāng)E為AB的中點時，求點E到面ACD1的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）證明、，由線面垂直的判定定理可證明平面，即證；（2）由勾股定理求出△ACD1各個邊長，設(shè)點到平面的距離為，由即可求解.【小問1詳解】因為平面，平面，所以，因為四邊形是矩形，，所以四邊形是正方形，所以，又平面，平面，，所以平面，又因為平面，所以.【小問2詳解】因為，，為的中點，所以，，，，所以，，設(shè)點到平面的距離為，由可得：，即，解得：，所以點E到面ACD1的距離為.22.已知橢圓C：的離心率為，且過點．（1）求的方程：（2）點，在上，且，，為垂足．證明：存在定點，使得為定值．【答案】（1）；（2）詳見解析.【解析】【分析】（1）由題意得到關(guān)于的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程.（2）方法一：設(shè)出點，的坐標(biāo)，在斜率存在時設(shè)方程為,聯(lián)立直線方程與橢圓方程，依據(jù)已知條件，已得到的關(guān)系，進(jìn)而得直線恒過定點，在直線斜率不存在時要單獨驗證，然后結(jié)合直角三角形的性質(zhì)即可確定滿意題意的點的位置.【詳解】（1）由題意可得：，解得：，故橢圓方程為：.(2)［方法一］：通性通法設(shè)點，若直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程消去并整理得：，可得，，因為，所以，即，依據(jù)代入整理可得：，所以，整理化簡得，因為不在直線上，所以，故，于是的方程為，所以直線過定點直線過定點.當(dāng)直線的斜率不存在時，可得，由得：，得，結(jié)合可得：，解得：或（舍）.此時直線過點.令為的中點，即，若與不重合，則由題設(shè)知是的斜邊，故，若與重合，則，故存在點，使得為定值.［方法二］【最優(yōu)解】：平移坐標(biāo)系將原坐標(biāo)系平移，原來的O點平移至點A處，則在新的坐標(biāo)系下橢圓的方程為，設(shè)直線的方程為．將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得，即，化簡得，即．設(shè)，因為則，即．代入直線方程中得．則新坐標(biāo)系下直線過定點，則在原坐標(biāo)系下直線過定點．又，D在以為直徑的圓上．的中點即為圓心Q．經(jīng)檢驗，直線垂直于x軸時也成立．故存在，使得．［方法三］：建立曲線系A(chǔ)點處的切線方程為，即．設(shè)直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為．由題意得．則過A，M，N三點的二次曲線系方程用橢圓及直線可表示為（其中為系數(shù)）．用直線及點A處的切線可表示為（其中為系數(shù)）．即．對比項、x項及y項系數(shù)得將①代入②③，消去并化簡得，即．故直線的方程為，直線過定點．又，D在以為直徑的圓上．中點即為圓心Q．經(jīng)檢驗，直線垂直于x軸時也成立．故存在，使得．［方法四］：設(shè)．若直線的斜率不存在，則．因為，則，即．由，解得或（舍）．所以直線的方程為．若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，則．令，則．又，令，則．因為，所以，即或．當(dāng)時，直線的方程為．所以直線恒過，不合題意；當(dāng)時，直線的方程為，所以直線恒過．綜上，直線恒過，所以．又因為，即，所以點D在以線段為直徑的圓上運動．取線段的中點為，則．所以存在定點Q，使得為定值．【整體點評】（2）方法一：設(shè)出