2024-2025學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)鐵一中學(xué)九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）

第1頁（共1頁）2024-2025學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)鐵一中學(xué)九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分）1．（3分）沒有哪一門學(xué)科能像數(shù)學(xué)這樣，利用如此多的符號圖形展現(xiàn)一系列完備且完美的世界．下面是由4個數(shù)學(xué)式子繪制成的完美曲線，其中是中心對稱圖形的是（）A．笛卡爾心形線 B．三葉玫瑰形曲線 C．蝴蝶形曲線 D．太極曲線2．（3分）下列說法正確的是（）A．“明天下雨的概率為80%”，意味著明天有80%的時間下雨 B．若拋擲圖釘釘尖向上的概率為，則拋擲100次圖釘，釘尖向上的次數(shù)為40次 C．汽車?yán)鄯e行駛100000km沒有出現(xiàn)故障，是必然事件 D．經(jīng)過有信號燈的十字路口時，遇到紅燈是隨機(jī)事件3．（3分）用配方法解方程x2﹣6x+4＝0，原方程應(yīng)變?yōu)椋ǎ〢．（x+3）2＝13 B．（x+3）2＝5 C．（x﹣3）2＝13 D．（x﹣3）2＝54．（3分）對于二次函數(shù)y＝（x+2）2+1的圖象，下列說法正確的是（）A．與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1） B．與x軸有兩個公共點(diǎn) C．當(dāng)x＜2時，y隨x增大而減小 D．對稱軸為直線x＝﹣25．（3分）如圖所示，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∠BCD＝125°（）A．100° B．110° C．120° D．125°6．（3分）如圖，某校團(tuán)委準(zhǔn)備在藝術(shù)節(jié)期間舉辦學(xué)生繪畫展覽，為美化畫面，并使彩紙的面積恰好與原畫面面積相等，若設(shè)彩紙的寬度為xcm（）A．（30+x）（20+x）＝600 B．（30+2x）（20+2x）＝600 C．（30﹣2x）（20﹣2x）＝1200 D．（30+2x）（20+2x）＝12007．（3分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，DE∥BC交AC于E，則下列結(jié)論不正確的是（）A．BC＝3DE B．＝ C．△ADE∽△ABC D．S△ADE＝S△ABC8．（3分）如圖，直線y＝kx+b（k≠0）與拋物線y＝ax2（a≠0）交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是﹣2，則當(dāng)ax2﹣b＜kx時，自變量x的取值范圍是（）A．﹣3＜x＜2 B．﹣2＜x＜3 C．x＜﹣2或x＞3 D．x＜﹣3或x＞29．（3分）如圖所示，在等腰三角形ABC中，AB＝BC，連接CD取CD的中點(diǎn)G，連接BG，則以下選項(xiàng)錯誤的是（）A．CD⊥BG B．∠ACD＝30° C． D．∠DBG＝∠DAC10．（3分）如圖，△ACB中，CA＝CB＝4，點(diǎn)P為CA上的動點(diǎn)，連BP，線段BM的中點(diǎn)N運(yùn)動的路徑長為（）A．π B．π C．π D．2π二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）11．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程x2＝c有實(shí)數(shù)根，寫出c的一個值可以是．（寫出一個即可）12．（3分）有一個半徑為1m的扇形，將扇形圍成一個底面半徑為的圓錐．13．（3分）在一次試驗(yàn)中，每個電子元件“”的狀態(tài)有通電、斷開兩種可能，并且這兩種狀態(tài)的可能性相等，則圖中A.14．（3分）如圖，PA、PB是⊙O的切線，切點(diǎn)分別是A、B，過C的切線分別交PA、PB于點(diǎn)D、E．若PB＝10，則△PDE的周長為．15．（3分）對于任意實(shí)數(shù)，若規(guī)定＝ad﹣bc，n是x2﹣2x﹣2024＝0的兩個根，則＝．16．（3分）如圖，在△ABC中，BM⊥AC于點(diǎn)M，P為BC邊的中點(diǎn)，連接PM、PN、MN；②；③∠ABC＝∠AMN；④若∠ABC＝60°；⑤若∠ABC＝45°，則BN＝．三、解答題（本大題共9小題，滿分72分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17．（4分）解方程：（3x+1）2＝9x+3．18．（4分）如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AB，連接DE，且∠A＝63°，∠B＝70°，求證：△ADE∽△ACB．19．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．（1）將△ABC繞著點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A1B1C，則A1坐標(biāo)為，并在圖中畫出△A1B1C；（2）求△ABC旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積是多少（結(jié)果保留π）．20．（6分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0．（1）求證：無論m為何值，該方程總有兩個實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)Rt△ABC的斜邊，且兩直角邊a和b恰好是該方程的兩個根，求m的值．21．（8分）圓周率π是無限不循環(huán)小數(shù)．歷史上，祖沖之、劉徽、韋達(dá)、歐拉等數(shù)學(xué)家都對π有過深入的研究．目前，超級計算機(jī)已計算出π的小數(shù)部分超過31.4萬億位，隨著π小數(shù)部分位數(shù)的增加，0～9這10個數(shù)字出現(xiàn)的頻率趨于穩(wěn)定（1）從π的小數(shù)部分隨機(jī)取出一個數(shù)字，估計這個數(shù)字（不等于0）是3的倍數(shù)的概率為；（2）我校進(jìn)行校園文化建設(shè)，擬從以上4位科學(xué)家的畫像中隨機(jī)選用2幅，求其中有一幅是祖沖之的概率．（用畫樹狀圖或列表方法求解）22．（10分）大圓O和小圓O為同心圓，正六邊形ABCDEF為大圓O的內(nèi)接正六邊形，連接AC，同時小圓O與CA相切于點(diǎn)K．（1）求證：CE是小圓O的切線．（2）若，求陰影部分的面積．（結(jié)果用π表示）23．（10分）跳臺滑雪是冬季奧運(yùn)會的比賽項(xiàng)目之一．如圖，運(yùn)動員通過助滑道后在點(diǎn)A處起跳，經(jīng)空中飛行后落在著陸坡BC上的點(diǎn)P處，OC表示著陸坡BC的高度，OB表示著陸坡底端B到點(diǎn)O的水平距離．建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，運(yùn)動員到地面OB的豎直距離y（單位：m）與他在水平方向上移動的距離x（單位：m）．已知OA＝70m，OC＝60m，到地面OB的豎直高度是37.5m．（1）求y與x的函數(shù)表達(dá)式；（2）進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，運(yùn)動員在空中飛行過程中，其水平方向移動的距離x（m）（s）具備一次函數(shù)關(guān)系，當(dāng)運(yùn)動員在起跳點(diǎn)騰空時，x＝0；當(dāng)他在點(diǎn)P著陸時①求x與t的函數(shù)表達(dá)式；②當(dāng)運(yùn)動員與著陸坡BC在豎直方向上的距離達(dá)到最大時，求出此時他飛行時間t的值．24．（12分）如圖，在⊙O中，AB為弦，且AB⊥CD，垂足為E上的動點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），連接PD．（1）求證：∠APD＝∠BPD；（2）利用尺規(guī)在PD上找到點(diǎn)I，使得I到AB、AP的距離相等，連接AD（保留作圖痕跡，不寫作法）；（3）在（2）的條件下，連接IC、IE，試問：在P點(diǎn)的移動過程中，是否為定值？若是；若不是，請說明理由．25．（12分）如圖，拋物線y＝ax2+2x+c（a＜0）與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)B在原點(diǎn)的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（1）求該拋物線的函數(shù)解析式；（2）如圖1，連接BC，點(diǎn)D是直線BC上方拋物線上的點(diǎn)，CD，OD交BC于點(diǎn)F△COF：S△CDF＝3：2時，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．（3）如圖2，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，），在拋物線上是否存在點(diǎn)P，請直接寫出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在

2024-2025學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)鐵一中學(xué)九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）參考答案與試題解析題號12345678910答案DDDBBDDBCA一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分）1．（3分）沒有哪一門學(xué)科能像數(shù)學(xué)這樣，利用如此多的符號圖形展現(xiàn)一系列完備且完美的世界．下面是由4個數(shù)學(xué)式子繪制成的完美曲線，其中是中心對稱圖形的是（）A．笛卡爾心形線 B．三葉玫瑰形曲線 C．蝴蝶形曲線 D．太極曲線【解答】解：選項(xiàng)A、B、C都不能找到這樣的一個點(diǎn)，所以不是中心對稱圖形，選項(xiàng)D能找到這樣的一個點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，故選：D．2．（3分）下列說法正確的是（）A．“明天下雨的概率為80%”，意味著明天有80%的時間下雨 B．若拋擲圖釘釘尖向上的概率為，則拋擲100次圖釘，釘尖向上的次數(shù)為40次 C．汽車?yán)鄯e行駛100000km沒有出現(xiàn)故障，是必然事件 D．經(jīng)過有信號燈的十字路口時，遇到紅燈是隨機(jī)事件【解答】解：A、“明天下雨的概率為80%”是說明天大約有80%可能下雨，不符合題意；B、拋擲圖釘釘尖向上的概率為，釘尖向上的次數(shù)可能為40次，不符合題意；C、是隨機(jī)事件，不符合題意；D、經(jīng)過有信號燈的十字路口時，原說法正確；故選：D．3．（3分）用配方法解方程x2﹣6x+4＝0，原方程應(yīng)變?yōu)椋ǎ〢．（x+3）2＝13 B．（x+3）2＝5 C．（x﹣3）2＝13 D．（x﹣3）2＝5【解答】解：x2﹣6x+5＝0x2﹣6x+9＝9﹣8（x﹣3）2＝3故選：D．4．（3分）對于二次函數(shù)y＝（x+2）2+1的圖象，下列說法正確的是（）A．與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1） B．與x軸有兩個公共點(diǎn) C．當(dāng)x＜2時，y隨x增大而減小 D．對稱軸為直線x＝﹣2【解答】解：∵y＝（x+2）2+5，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝﹣2，1），∴拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，故選：B．5．（3分）如圖所示，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∠BCD＝125°（）A．100° B．110° C．120° D．125°【解答】解：∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∵∠BCD＝125°，∴∠BAD＝180°﹣125°＝55°，由圓周角定理得：∠BOD＝2∠BAD＝110°，故選：B．6．（3分）如圖，某校團(tuán)委準(zhǔn)備在藝術(shù)節(jié)期間舉辦學(xué)生繪畫展覽，為美化畫面，并使彩紙的面積恰好與原畫面面積相等，若設(shè)彩紙的寬度為xcm（）A．（30+x）（20+x）＝600 B．（30+2x）（20+2x）＝600 C．（30﹣2x）（20﹣2x）＝1200 D．（30+2x）（20+2x）＝1200【解答】解：∵原畫面是長為30cm，寬為20cm的矩形，∴原畫四周鑲上彩紙后的長為（30+2x）cm，寬為（20+2x）cm．根據(jù)題意得：（30+6x）（20+2x）＝2×30×20，即（30+7x）（20+2x）＝1200．故選：D．7．（3分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，DE∥BC交AC于E，則下列結(jié)論不正確的是（）A．BC＝3DE B．＝ C．△ADE∽△ABC D．S△ADE＝S△ABC【解答】解：∵BD＝2AD，∴AB＝3AD，∵DE∥BC，∴＝＝，∴BC＝3DE，A結(jié)論正確；∵DE∥BC，∴＝，B結(jié)論正確；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，C結(jié)論正確；∵DE∥BC，AB＝8AD，∴S△ADE＝S△ABC，D結(jié)論錯誤，故選：D．8．（3分）如圖，直線y＝kx+b（k≠0）與拋物線y＝ax2（a≠0）交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是﹣2，則當(dāng)ax2﹣b＜kx時，自變量x的取值范圍是（）A．﹣3＜x＜2 B．﹣2＜x＜3 C．x＜﹣2或x＞3 D．x＜﹣3或x＞2【解答】解：由題意可得：當(dāng)一次函數(shù)圖象在拋物線圖象上方時自變量的取值范圍為﹣2＜x＜3，∴不等式ax7＜kx+b的解集為﹣2＜x＜3，∵ax3﹣b＜kx，∴ax2＜kx+b，∴當(dāng)ax2﹣b＜kx時，自變量x的取值范圍是﹣5＜x＜3，故選：B．9．（3分）如圖所示，在等腰三角形ABC中，AB＝BC，連接CD取CD的中點(diǎn)G，連接BG，則以下選項(xiàng)錯誤的是（）A．CD⊥BG B．∠ACD＝30° C． D．∠DBG＝∠DAC【解答】解：∵AB＝BC，將線段AB繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到AD，∴∠BAC＝∠ACB＝α，∠BAD＝60°，∴△ABD為等邊三角形，∴BD＝AB＝BC，∠ABD＝60°，∴∠DBC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB﹣∠ABD＝120°﹣2α，∵G為CD的中點(diǎn)，∴BG⊥CD，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；∴，故選項(xiàng)C錯誤，符合題意；∴∠BCG＝90°﹣∠CBG＝30°+α，∴∠ACD＝∠BCG﹣∠BCA＝30°，故選項(xiàng)B正確，不符合題意；∵∠DAC＝∠BAD﹣∠BAC＝60°﹣α，∴∠DBG＝∠DAC，故選項(xiàng)D正確，不符合題意．故選：C．10．（3分）如圖，△ACB中，CA＝CB＝4，點(diǎn)P為CA上的動點(diǎn)，連BP，線段BM的中點(diǎn)N運(yùn)動的路徑長為（）A．π B．π C．π D．2π【解答】解：設(shè)AB的中點(diǎn)為Q，連接NQ∵N為BM的中點(diǎn)，Q為AB的中點(diǎn)，∴NQ為△BAM的中位線，∵AM⊥BP，∴QN⊥BN，∴∠QNB＝90°，∴點(diǎn)N的路徑是以QB的中點(diǎn)O為圓心，AB長為半徑的圓交CB于D的，∵CA＝CB＝3，∠ACB＝90°，∴AB＝CA＝4，∴∠DOQ＝90°，∴為⊙O的，∴線段BM的中點(diǎn)N運(yùn)動的路徑長為：＝π，故選：A．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）11．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程x2＝c有實(shí)數(shù)根，寫出c的一個值可以是5（答案不唯一，只要c≥0即可）．（寫出一個即可）【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2＝c有實(shí)數(shù)根，∴c≥0．故答案為：2（答案不唯一，只要c≥0即可）．12．（3分）有一個半徑為1m的扇形，將扇形圍成一個底面半徑為的圓錐120°．【解答】解：設(shè)該扇形的圓心角的度數(shù)為x°，根據(jù)扇形的弧長等于圓錐底面周長得：，解得x＝120，故答案為：120°．13．（3分）在一次試驗(yàn)中，每個電子元件“”的狀態(tài)有通電、斷開兩種可能，并且這兩種狀態(tài)的可能性相等，則圖中A.【解答】解：畫樹狀圖如下：由樹狀圖知，共有4種等可能的結(jié)果，A，∴A、B之間電流能夠正常通過的概率為．故答案為：．14．（3分）如圖，PA、PB是⊙O的切線，切點(diǎn)分別是A、B，過C的切線分別交PA、PB于點(diǎn)D、E．若PB＝10，則△PDE的周長為20．【解答】解：∵PA、PB，切點(diǎn)分別是A、B、C，∴AP＝BP，DA＝DC，∴△PED的周長是：PD+DE+PE＝PD+DC+CE+PE＝PD+DA+PE+BE＝PA+PB＝2PB＝20．答：△PED的周長是20．故答案為：20．15．（3分）對于任意實(shí)數(shù)，若規(guī)定＝ad﹣bc，n是x2﹣2x﹣2024＝0的兩個根，則＝2026．【解答】解：∵m，n是x2﹣2x﹣2024＝7的兩個根，∴m+n＝2，m2﹣4m﹣2024＝0，∴m2﹣m＝2024+m，∴＝m（m﹣1）﹣（﹣8）n＝m2﹣m+n＝2024+m+n＝2024+2＝2026，故答案為：2026．16．（3分）如圖，在△ABC中，BM⊥AC于點(diǎn)M，P為BC邊的中點(diǎn)，連接PM、PN、MN；②；③∠ABC＝∠AMN；④若∠ABC＝60°；⑤若∠ABC＝45°，則BN＝①②③⑤．【解答】解：①∵BM⊥AC于點(diǎn)M，CN⊥AB于點(diǎn)N，∴PM＝BCBC，∴PM＝PN，故①正確；②在△ABM與△ACN中，∵∠A＝∠A，∠AMB＝∠ANC＝90°，∴△ABM∽△ACN，∴＝，∴＝，②正確；③∵＝，∠A＝∠A，∴△ABC∽△AMN，∴∠ABC＝∠AMN，③正確；④∵∠ABC＝60°，∴∠BPN＝60°，如果△PMN為等邊三角形，∴∠MPN＝60°，∴∠CPM＝60°，∴△CPM是等邊三角形，∴∠ACB＝60°，則△ABC是等邊三角形，而△ABC不一定是等邊三角形，故④錯誤；⑤當(dāng)∠ABC＝45°時，∵CN⊥AB于點(diǎn)N，∴∠BNC＝90°，∠BCN＝45°，∴BN＝CN，∵P為BC邊的中點(diǎn)，∴PN⊥BC，△BPN為等腰直角三角形∴BN＝PB＝，故⑤正確．故答案為：①②③⑤．三、解答題（本大題共9小題，滿分72分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17．（4分）解方程：（3x+1）2＝9x+3．【解答】解：方程整理得：（3x+1）5﹣3（3x+6）＝0，分解因式得：（3x+6）（3x+1﹣5）＝0，可得3x+6＝0或3x﹣7＝0，解得：x1＝﹣，x2＝．18．（4分）如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AB，連接DE，且∠A＝63°，∠B＝70°，求證：△ADE∽△ACB．【解答】證明：∵∠ADE＝47°，∠A＝63°，∴∠AED＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝180°﹣63°﹣47°＝70°，∵∠B＝70°∴∠B＝∠AED，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB．19．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．（1）將△ABC繞著點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A1B1C，則A1坐標(biāo)為（2，4），并在圖中畫出△A1B1C；（2）求△ABC旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積是多少（結(jié)果保留π）．【解答】解：（1）如圖所示：∴點(diǎn)A1坐標(biāo)為（2，7）1B1C即為所求；（2）∵A（﹣5，1），1），6），∴AB＝2，AC＝3，，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：∠BCB1＝90°，∴△ABC旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積為，故答案為：．20．（6分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0．（1）求證：無論m為何值，該方程總有兩個實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)Rt△ABC的斜邊，且兩直角邊a和b恰好是該方程的兩個根，求m的值．【解答】（1）證明：∵Δ＝[﹣（m﹣2）]2﹣6（2m﹣8）＝m7﹣12m+36＝（m﹣6）2≥7，∴方程總有兩個實(shí)數(shù)根；（2）解：∵兩直角邊a和b恰好是該方程的兩個根，∴a+b＝m﹣2，ab＝2m﹣3，∵Rt△ABC的斜邊，∴a2+b4＝c2＝40，∴（a+b）2﹣2ab＝40，∴（m﹣2）2﹣2×（2m﹣8）＝40，解得m＝10或﹣8．21．（8分）圓周率π是無限不循環(huán)小數(shù)．歷史上，祖沖之、劉徽、韋達(dá)、歐拉等數(shù)學(xué)家都對π有過深入的研究．目前，超級計算機(jī)已計算出π的小數(shù)部分超過31.4萬億位，隨著π小數(shù)部分位數(shù)的增加，0～9這10個數(shù)字出現(xiàn)的頻率趨于穩(wěn)定（1）從π的小數(shù)部分隨機(jī)取出一個數(shù)字，估計這個數(shù)字（不等于0）是3的倍數(shù)的概率為；（2）我校進(jìn)行校園文化建設(shè)，擬從以上4位科學(xué)家的畫像中隨機(jī)選用2幅，求其中有一幅是祖沖之的概率．（用畫樹狀圖或列表方法求解）【解答】解：（1）∵這個事件中有10種等可能性，其中3，6，∴這個數(shù)字（不等于7）是3的倍數(shù)的概率為，故答案為：；（2）樹狀圖如圖所示：由樹狀圖可知：共有12種等可能的結(jié)果，從以上4位科學(xué)家的畫像中隨機(jī)選用2幅，其中有一幅是祖沖之的畫像有6種情況，∴P（其中有一幅是祖沖之）＝．22．（10分）大圓O和小圓O為同心圓，正六邊形ABCDEF為大圓O的內(nèi)接正六邊形，連接AC，同時小圓O與CA相切于點(diǎn)K．（1）求證：CE是小圓O的切線．（2）若，求陰影部分的面積．（結(jié)果用π表示）【解答】（1）證明：如圖所示，連接OE，OD，CE交于H，∵正六邊形ABCDEF為大圓O的內(nèi)接正六邊形，∴DE＝DC＝BC，∴∠DOC＝∠BOC，又∵OE＝OC，∴OD垂直平分CE，∴∠OHC＝90°，∵小圓O與CA相切于點(diǎn)K，∴∠OKC＝90°＝∠OHC，在△OHC和△OKC中，，∴△OHC≌△OKC（AAS），∴OH＝OK，∴點(diǎn)H在小圓O上，又∵OH⊥CE，∴CE是小圓O的切線；（2）解：∵正六邊形ABCDEF為大圓O的內(nèi)接正六邊形，∴，∴△OCB是等邊三角形，∵小圓O與CA相切于點(diǎn)K，∴CK⊥OK，∴，∴，∴，∴，∴．23．（10分）跳臺滑雪是冬季奧運(yùn)會的比賽項(xiàng)目之一．如圖，運(yùn)動員通過助滑道后在點(diǎn)A處起跳，經(jīng)空中飛行后落在著陸坡BC上的點(diǎn)P處，OC表示著陸坡BC的高度，OB表示著陸坡底端B到點(diǎn)O的水平距離．建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，運(yùn)動員到地面OB的豎直距離y（單位：m）與他在水平方向上移動的距離x（單位：m）．已知OA＝70m，OC＝60m，到地面OB的豎直高度是37.5m．（1）求y與x的函數(shù)表達(dá)式；（2）進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，運(yùn)動員在空中飛行過程中，其水平方向移動的距離x（m）（s）具備一次函數(shù)關(guān)系，當(dāng)運(yùn)動員在起跳點(diǎn)騰空時，x＝0；當(dāng)他在點(diǎn)P著陸時①求x與t的函數(shù)表達(dá)式；②當(dāng)運(yùn)動員與著陸坡BC在豎直方向上的距離達(dá)到最大時，求出此時他飛行時間t的值．【解答】解：（1）將A（0，70），37.5）代入解得：∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為．（2）①設(shè)x＝kt+m，將，代入，得：解得：，∴x＝6t．②設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+d，將（5，60），37.5）代入得：，解得：，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+60，設(shè)運(yùn)動員飛行過程中的某一位置為M，過M作MN⊥x軸交BC于點(diǎn)N，設(shè)，則∴，∴當(dāng)n＝13時，MN最大．24．（12分）如圖，在⊙O中，AB為弦，且AB⊥CD，垂足為E上的動點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），連接PD．（1）求證：∠APD＝∠BPD；（2）利用尺規(guī)在PD上找到點(diǎn)I，使得I到AB、AP的距離相等，連接AD（保留作圖痕跡，不寫作法）；（3）在（2）的條件下，連接IC、IE，試問：在P點(diǎn)的移動過程中，是否為定值？若是；若不是，請說明理由．【解答】（1）證明：∵直徑CD⊥弦AB，∴＝，∴∠APD＝∠BPD；（2）解：如圖，作∠BAP的平分線，交PD于I，證：∵AI平分∠BAP，∴∠PAI＝∠BAI，∴∠AID＝∠APD+∠PAI＝∠APD+BAI，∵＝，∴∠DAB＝∠APD，∴∠DAI＝∠DAB+∠BAI＝∠APD+∠BAI，∴∠AID＝∠DAI，∵∠AIP+∠DAI＝180°，∴∠AIP+∠DAI＝180°；（3）如圖2，連接BI