數(shù)學(xué)課堂探究：平面向量的線性運算（第3課時）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一向量數(shù)乘的運算向量的數(shù)乘運算類似于代數(shù)的多項式的運算，其解題方法為“合并同類項"“提取公因式”,“同類項"“公因式"指的是向量,實數(shù)與向量數(shù)乘，實數(shù)可看成是向量的系數(shù)．【典型例題1】計算：(1)4（a＋b）－3（a－b)－8a；(2）(5a－4b＋c）－2（3a－2b＋c)；（3).思路分析：運用向量數(shù)乘的運算律求解．解：（1）原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a＝－7a＋7b。（2）原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c＝－a－c。（3）原式＝＝＝a－b.【典型例題2】設(shè)向量a＝3i＋2j，b＝2i－j,求－＋（2b－a）．解:原式＝a－b－a＋b＋2b－a＝a＋b＝－a＋b＝－(3i＋2j)＋（2i－j）＝i＋j＝－i－5j.探究二共線向量定理及其應(yīng)用共線向量定理是判斷兩個向量是否共線的依據(jù)，即對于非零向量a，b，a∥b是否成立，關(guān)鍵是能否確定唯一的實數(shù)λ，使b＝λa.而對于三點共線問題可轉(zhuǎn)化為兩個向量共線問題,再依據(jù)定理進行解決：要證A，B，C三點共線，只需證＝λ(λ∈R)或＝λ（λ∈R）．【典型例題3】已知向量e1和e2不共線．（1）若＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2），求證:A，B，D三點共線；（2）欲使ke1＋e2和e1＋ke2共線，試確定實數(shù)k的值．思路分析：對于（1),欲證明A，B，D三點共線，只需證明存在實數(shù)λ，使＝λ即可．對于(2)，若ke1＋e2與e1＋ke2共線，則一定存在實數(shù)λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)．解：(1）∵＝e1＋e2,＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5（e1＋e2)＝5,∴，共線,且有公共點B，∴A，B，D三點共線．（2)∵ke1＋e2與e1＋ke2共線,∴存在實數(shù)λ使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2），則（k－λ)e1＝(λk－1)e2.由于e1與e2不共線,只能有則k＝±1.探究三數(shù)乘向量運算的綜合應(yīng)用1．用已知向量表示未知向量是用向量解題的基本功，解題時,應(yīng)注意解題的方向，盡量把未知向量往已知向量的方向進行轉(zhuǎn)化．要善于利用三角形法則、平行四邊形法則,以及向量線性運算的運算律．如果題目中含有平面幾何的相關(guān)問題時,我們可以利用平面幾何的性質(zhì)進行化簡．另外,直接表示較困難時，應(yīng)考慮方程思想的應(yīng)用．2．注意以下結(jié)論的運用:（1）以AB，AD為鄰邊作?ABCD，且＝a，＝b,則對角線所對應(yīng)的向量＝a＋b,＝a－b.（2)在△ABC中,若D為BC的中點，則＝（＋）．(3)在△ABC中,若G為△ABC的重心，則＋＋＝0.【典型例題4】已知P是△ABC所在平面內(nèi)的一點,若＝λ＋，其中λ∈R,則點P一定在（)A．△ABC的內(nèi)部 B．AC邊所在直線上C．AB邊所在直線上 D．BC邊所在直線上思路分析：∵＝λ＋，∴－＝λ，∴＋＝λ，∴＝λ，∴與共線．∴C，P，A三點共線,故選B.答案:B【典型例題5】已知在?ABCD中，M，N分別是DC，BC的中點．若＝e1，＝e2，試用e1，e2表示，。解：∵M，N分別是DC，BC的中點，∴MNBD.∵＝－＝e2－e1，∴＝2＝2e2－2e1。又∵AO是△AMN的中線,∴＝(＋)＝e2＋e1。探究四易錯辨析易錯點：向量的起點、終點弄不清楚，導(dǎo)致向量表示錯誤【典型例題6】已知E，F(xiàn)分別為四邊形ABCD的邊CD,BC的中點，設(shè)＝a，＝b，則＝(）A。（a＋b) B．－(a＋b）C．－（a－b） D.（a－b)錯解：如圖，連接BD，則＝＝（－)＝(a＋b)．故選A。錯因分析：向量eq\o（DB，\s\up6(→)）用向量的差表示時，eq\o（DB，\s\up6(→）)的終點應(yīng)該為被減向量的終點．正解:＝＝(－)