數(shù)學(xué)課堂探究：用平面向量坐標(biāo)表示向量共線條件

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一平面向量共線問(wèn)題利用平面向量坐標(biāo)表示向量共線,可以將幾何證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算．【例1】已知A,B,C三點(diǎn)坐標(biāo)分別為（－1，0），（3，－1)，（1，2），＝，＝，求證∥．證明：設(shè)E，F(xiàn)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1,y1)，(x2,y2)，由題意知：＝(2，2),＝（－2,3）,＝(4,－1），所以＝＝，＝＝，所以(x1，y1)－（－1，0）＝，(x2，y2)－(3，－1)＝，所以（x1，y1）＝，(x2，y2）＝，所以＝（x2,y2）－（x1，y1）＝－＝．因?yàn)?×－(－1）×＝0,所以∥．探究二三點(diǎn)共線問(wèn)題及其應(yīng)用利用向量證明三點(diǎn)共線的思路：先利用三點(diǎn)構(gòu)造出兩個(gè)向量，求出唯一確定的實(shí)數(shù)λ,使得兩個(gè)向量共線．由于兩個(gè)向量還過(guò)同一點(diǎn)，所以兩個(gè)向量所在的直線必重合，即三點(diǎn)共線．若A，B，C三點(diǎn)共線,則由這三個(gè)點(diǎn)組成的任意兩個(gè)向量共線．【例2】如果向量＝i－2j，＝i＋mj，其中i，j分別是x軸、y軸正方向上的單位向量，試確定實(shí)數(shù)m的值,使A，B，C三點(diǎn)共線．分析：解答本題可直接利用向量共線的條件來(lái)求解，也可根據(jù)單位向量i，j，利用向量的直角坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算．解:方法一：因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，即，共線，所以存在實(shí)數(shù)λ,使得＝λ,即i－2j＝λ（i＋mj）．于是所以m＝－2．故當(dāng)m＝－2時(shí)，A，B,C三點(diǎn)共線．方法二:依題意,知i＝（1，0）,j＝（0,1）,則＝（1,0)－2（0,1）＝(1,－2),＝（1,0)＋m(0,1)＝（1，m)．而，共線，所以1×m－1×（－2)＝0．所以m＝－2．故當(dāng)m＝－2時(shí),A，B，C三點(diǎn)共線．【例3】已知三點(diǎn)A（0,8）,B(－4，0),C（5,－3），點(diǎn)D在線段AB上，且滿足＝．點(diǎn)E在BC上，若△BDE的面積是△ABC面積的一半，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．解:如圖,因?yàn)?,所以=．過(guò)點(diǎn)D作⊥BC于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作⊥BC于點(diǎn),則∥，且=．于是S△BDE∶S△ABC===．所以=．從而得=2，即=2．因?yàn)锽(—4，0)，C（5，-3），設(shè)E(x，y），則（x+4，y)=2（5—x，—3—y)，解得所以E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，—2)．【例4】如圖所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，M為CE的中點(diǎn)，用向量的方法證明:(1)DE∥BC；（2）D,M，B三點(diǎn)共線．分析：利用向量法證明幾何問(wèn)題,首先是建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，將圖中點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為向量坐標(biāo)．證明：以E為原點(diǎn),AB所在直線為x軸，EC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，令||＝1，則||＝1，||＝2．因?yàn)镃E⊥AB，而AD＝DC，所以四邊形AECD為正方形．所以可求得各點(diǎn)坐標(biāo)分別為E(0,0)，B(1，0)，C(0，1）,D(－1,1），A(－1,0）．（1)因?yàn)椋?－1，1）－（0,0）＝（－1,1），＝(0，1）－(1,0)＝（－1，1),所以＝,所以∥,即DE∥BC．(2）因?yàn)镸為EC的中點(diǎn),所以M，所以＝（－1,1)－＝,＝（1，0)－＝．所以＝－，所以∥．又MD與MB共點(diǎn)于M，所以D,M，B三點(diǎn)共線．點(diǎn)評(píng)在建立直角坐標(biāo)系時(shí)，要盡可能使更多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上,盡可能使更多的線與x軸、y軸平行．探究五易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)：因未分析共線時(shí)有同向和反向而致誤【例5】設(shè)點(diǎn)A(－1，2)，B（n－1,3），C(－2，n＋1），D(2，2n＋1)，若向量與共線且同向,則n的值為（)A．2B．－2C．±2D．1錯(cuò)解：因?yàn)椋?n,1）,＝(4，n），所以由∥得n2－4＝0，即n＝±2．故選C．錯(cuò)因分析：非零向量共線時(shí)有同向和反向兩種情況，沒(méi)有進(jìn)行檢驗(yàn)．正解：由已知條件得＝（n,1),＝（4，n），顯然n≠0．由與共線得n2－4＝0,解得n＝±2．當(dāng)n＝2時(shí)，