甘肅省武威市涼州區(qū)武威六中2025屆高考沖刺押題（最后一卷）數(shù)學試卷含解析

甘肅省武威市涼州區(qū)武威六中2025屆高考沖刺押題（最后一卷）數(shù)學試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)（e為自然對數(shù)底數(shù)），若關(guān)于x的不等式有且只有一個正整數(shù)解，則實數(shù)m的最大值為（）A． B． C． D．2．已知是等差數(shù)列的前項和，若，，則（）A．5 B．10 C．15 D．203．已知等差數(shù)列中，若，則此數(shù)列中一定為0的是（）A． B． C． D．4．已知為虛數(shù)單位，復數(shù)，則其共軛復數(shù)（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)滿足當時，，且當時，；當時，且).若函數(shù)的圖象上關(guān)于原點對稱的點恰好有3對，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知△ABC中，．點P為BC邊上的動點，則的最小值為（）A．2 B． C． D．7．（）A． B． C． D．8．已知集合，則等于（）A． B． C． D．9．函數(shù)的部分圖像如圖所示，若，點的坐標為，若將函數(shù)向右平移個單位后函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱，則的最小值為（）A． B． C． D．10．已知是函數(shù)的極大值點，則的取值范圍是A． B．C． D．11．已知集合，，，則的子集共有（）A．個 B．個 C．個 D．個12．已知，滿足約束條件，則的最大值為A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的最小正周期為________;若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為________.14．如圖,在梯形中，∥，分別是的中點，若，則的值為___________.15．已知全集，，則________.16．在三棱錐中，，，兩兩垂直且，點為的外接球上任意一點，則的最大值為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知矩陣的逆矩陣.若曲線：在矩陣A對應的變換作用下得到另一曲線，求曲線的方程.18．（12分）如圖，已知在三棱錐中，平面，分別為的中點，且.（1）求證：；（2）設平面與交于點，求證：為的中點.19．（12分）如圖，在中，，的角平分線與交于點，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的面積.20．（12分）已知函數(shù)是減函數(shù).（1）試確定a的值；（2）已知數(shù)列，求證：.21．（12分）追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國特色社會主義生態(tài)文明的價值取向.為了改善空氣質(zhì)量，某城市環(huán)保局隨機抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)（）的檢測數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計如下：空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染天數(shù)61418272510（1）從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于，的天數(shù)中任取3天，求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率；（2）已知某企業(yè)每天的經(jīng)濟損失（單位：元）與空氣質(zhì)量指數(shù)的關(guān)系式為，試估計該企業(yè)一個月（按30天計算）的經(jīng)濟損失的數(shù)學期望.22．（10分）已知橢圓的左右焦點分別是，點在橢圓上，滿足（1）求橢圓的標準方程；（2）直線過點，且與橢圓只有一個公共點，直線與的傾斜角互補，且與橢圓交于異于點的兩點，與直線交于點（介于兩點之間），是否存在直線，使得直線，，的斜率按某種排序能構(gòu)成等比數(shù)列？若能，求出的方程，若不能，請說理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

若不等式有且只有一個正整數(shù)解，則的圖象在圖象的上方只有一個正整數(shù)值，利用導數(shù)求出的最小值，分別畫出與的圖象，結(jié)合圖象可得.【詳解】解：，∴，設，∴，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，∴，當時，，當，，函數(shù)恒過點，分別畫出與的圖象，如圖所示，，若不等式有且只有一個正整數(shù)解，則的圖象在圖象的上方只有一個正整數(shù)值，∴且，即，且∴，故實數(shù)m的最大值為，故選：A【點睛】本題考查考查了不等式恒有一正整數(shù)解問題，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了數(shù)形結(jié)合思想，考查了數(shù)學運算能力.2、C【解析】

利用等差通項，設出和，然后，直接求解即可【詳解】令，則，，∴，，∴.【點睛】本題考查等差數(shù)列的求和問題，屬于基礎題3、A【解析】

將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，由此確定數(shù)列為的項.【詳解】由于等差數(shù)列中，所以，化簡得，所以為.故選：A【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列的基本量計算，屬于基礎題.4、B【解析】

先根據(jù)復數(shù)的乘法計算出，然后再根據(jù)共軛復數(shù)的概念直接寫出即可.【詳解】由，所以其共軛復數(shù).故選：B.【點睛】本題考查復數(shù)的乘法運算以及共軛復數(shù)的概念，難度較易.5、C【解析】

先作出函數(shù)在上的部分圖象，再作出關(guān)于原點對稱的圖象，分類利用圖像列出有3個交點時滿足的條件，解之即可.【詳解】先作出函數(shù)在上的部分圖象，再作出關(guān)于原點對稱的圖象，如圖所示，當時，對稱后的圖象不可能與在的圖象有3個交點；當時，要使函數(shù)關(guān)于原點對稱后的圖象與所作的圖象有3個交點，則，解得.故選：C.【點睛】本題考查利用函數(shù)圖象解決函數(shù)的交點個數(shù)問題，考查學生數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道中檔題.6、D【解析】

以BC的中點為坐標原點，建立直角坐標系，可得，設，運用向量的坐標表示，求得點A的軌跡，進而得到關(guān)于a的二次函數(shù)，可得最小值．【詳解】以BC的中點為坐標原點，建立如圖的直角坐標系，可得，設，由，可得，即，則，當時，的最小值為．故選D．【點睛】本題考查向量數(shù)量積的坐標表示，考查轉(zhuǎn)化思想和二次函數(shù)的值域解法，考查運算能力，屬于中檔題．7、A【解析】

分子分母同乘,即根據(jù)復數(shù)的除法法則求解即可.【詳解】解:,故選:A【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算,屬于基礎題.8、C【解析】

先化簡集合A，再與集合B求交集.【詳解】因為，，所以.故選：C【點睛】本題主要考查集合的基本運算以及分式不等式的解法，屬于基礎題.9、B【解析】

根據(jù)圖象以及題中所給的條件，求出和，即可求得的解析式，再通過平移變換函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，求得的最小值.【詳解】由于，函數(shù)最高點與最低點的高度差為，所以函數(shù)的半個周期，所以，又，，則有，可得，所以，將函數(shù)向右平移個單位后函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱，即平移后為偶函數(shù)，所以的最小值為1，故選：B.【點睛】該題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式是解決該題的關(guān)鍵，要求熟練掌握函數(shù)圖象之間的變換關(guān)系，屬于簡單題目.10、B【解析】

方法一：令，則，，當，時，，單調(diào)遞減，∴時，，，且，∴，即在上單調(diào)遞增，時，，，且，∴，即在上單調(diào)遞減，∴是函數(shù)的極大值點，∴滿足題意；當時，存在使得，即，又在上單調(diào)遞減，∴時，，所以，這與是函數(shù)的極大值點矛盾．綜上，．故選B．方法二：依據(jù)極值的定義，要使是函數(shù)的極大值點，須在的左側(cè)附近，，即；在的右側(cè)附近，，即．易知，時，與相切于原點，所以根據(jù)與的圖象關(guān)系，可得，故選B．11、B【解析】

根據(jù)集合中的元素，可得集合，然后根據(jù)交集的概念，可得，最后根據(jù)子集的概念，利用計算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：，當時，當時，當時，當時，所以集合則所以的子集共有故選：B【點睛】本題考查集合的運算以及集合子集個數(shù)的計算，當集合中有元素時，集合子集的個數(shù)為，真子集個數(shù)為，非空子集為，非空真子集為，屬基礎題.12、D【解析】

作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示，等價于，作直線，向上平移，易知當直線經(jīng)過點時最大，所以，故選D．【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用目標函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想是解決此類問題的基本方法．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

直接計算得到答案，根據(jù)題意得到，，解得答案.【詳解】，故，當時，，故，解得.故答案為：；.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的周期和單調(diào)性，意在考查學生對于三角函數(shù)知識的綜合應用.14、【解析】

建系，設設，由可得，進一步得到的坐標，再利用數(shù)量積的坐標運算即可得到答案.【詳解】以A為坐標原點，AD為x軸建立如圖所示的直角坐標系，設，則，所以，，由，得，即，又，所以，故,,所以.故答案為：2【點睛】本題考查利用坐標法求向量的數(shù)量積，考查學生的運算求解能力，是一道中檔題.15、【解析】

利用集合的補集運算即可求解.【詳解】由全集，，所以.故答案為：【點睛】本題考查了集合的補集運算，需理解補集的概念，屬于基礎題.16、【解析】

先根據(jù)三棱錐的幾何性質(zhì)，求出外接球的半徑，結(jié)合向量的運算，將問題轉(zhuǎn)化為求球體表面一點到外心距離最大的問題，即可求得結(jié)果.【詳解】因為兩兩垂直且，故三棱錐的外接球就是對應棱長為2的正方體的外接球.且外接球的球心為正方體的體對角線的中點，如下圖所示：容易知外接球半徑為.設線段的中點為，故可得，故當取得最大值時，取得最大值.而當在同一個大圓上，且，點與線段在球心的異側(cè)時，取得最大值，如圖所示：此時，故答案為：.【點睛】本題考查球體的幾何性質(zhì)，幾何體的外接球問題，涉及向量的線性運算以及數(shù)量積運算，屬綜合性困難題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】

根據(jù)，可解得，設為曲線任一點，在矩陣對應的變換作用下得到點，則點在曲線上，根據(jù)變換的定義寫出相應的矩陣等式，再用表示出，代入曲線的方程中，即得.【詳解】，，即.，解得，.設為曲線任一點，則，又設在矩陣A變換作用得到點，則，即，所以即代入，得，所以曲線的方程為.【點睛】本題考查逆矩陣，矩陣與變換等，是基礎題.18、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】

（1）要做證明，只需證明平面即可；（2）易得∥平面，平面，利用線面平行的性質(zhì)定理即可得到∥，從而獲得證明【詳解】證明：（1）因為平面，平面，所以.因為，所以.又因為，平面，平面，所以平面.又因為平面，所以.（2）因為平面與交于點，所以平面.因為分別為的中點，所以∥.又因為平面，平面，所以∥平面.又因為平面，平面平面，所以∥，又因為是的中點，所以為的中點.【點睛】本題考查線面垂直的判定定理以及線面平行的性質(zhì)定理，考查學生的邏輯推理能力，是一道容易題.19、（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】試題分析：（Ⅰ）在中，由余弦定理得，由正弦定理得，可得解；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，進而得，在中，由正弦定理得，所以的面積即可得解.試題解析：（Ⅰ）在中，由余弦定理得，所以，由正弦定理得，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知.在中，.在中，由正弦定理得，所以.所以的面積.20、（Ⅰ）（Ⅱ）見證明【解析】

（Ⅰ）求導得，由是減函數(shù)得，對任意的，都有恒成立，構(gòu)造函數(shù)，通過求導判斷它的單調(diào)性，令其最大值小于等于0，即可求出；（Ⅱ）由是減函數(shù)，且可得，當時，，則，即，兩邊同除以得，，即，從而，兩邊取對數(shù)，然后再證明恒成立即可，構(gòu)造函數(shù)，，通過求導證明即可．【詳解】解：（Ⅰ）的定義域為，.由是減函數(shù)得，對任意的，都有恒成立.設.∵，由知，∴當時，；當時，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴在時取得最大值.又∵，∴對任意的，恒成立，即的最大值為.∴，解得.（Ⅱ）由是減函數(shù)，且可得，當時，，∴，即.兩邊同除以得，，即.從而，所以①.下面證；記，.∴，∵在上單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞減，而，∴當時，恒成立，∴在上單調(diào)遞減，即時，，∴當時，.∵，∴當時，，即②.綜上①②可得，.【點睛】本題考查了導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，考查了函數(shù)的最值，考查了構(gòu)造函數(shù)的能力，考查了邏輯推理能力與計算求解能力，屬于難題．，21、（1）（2）9060元【解析】

(1)根據(jù)古典概型概率公式和組合數(shù)的計算可得所求概率；(2)任選一天，設該天的經(jīng)濟損失為元，分別求出，，，進而求得數(shù)學期望，據(jù)此得出該企業(yè)一個月經(jīng)濟損失的數(shù)學期望.【詳解】解：（1）設為選取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)，則.（2）任選一天，設該天的經(jīng)濟損失為元，則的可能取值為0，220，1480，，，，所以（元），故該企業(yè)一個月的經(jīng)濟損失的數(shù)學期望為（元）.【點睛】本題考查古典概型概率公式和組合數(shù)的計算及數(shù)學期望，屬于基礎題.22、（1）；（2）不能，理由見解析【解析】

（1）設，則，由此即可求出橢圓方程；（2）設直線的方程為，聯(lián)立直線與橢