2025年高考數(shù)學二輪復習課時精講精練學案必刷小題13　立體幾何（含詳解）

第第頁必刷小題13立體幾何一、單項選擇題1．如圖，△O′A′B′是△OAB的直觀圖，則△OAB是()A．正三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．以上都有可能答案C解析因為∠x′O′y′＝45°，則線段A′B′與y′軸必相交，令交點為C′，如圖(1)所示，在平面直角坐標系Oxy中，點A在x軸上，可得OA＝O′A′，點C在y軸上，可得OC＝2O′C′，如圖(2)所示，因此點B必在線段AC的延長線上，所以∠BOA>∠COA＝90°，所以△OAB是鈍角三角形．2．下列四個命題中，正確的是()A．各側(cè)面都是全等四邊形的棱柱一定是正棱柱B．對角面是全等矩形的六面體一定是長方體C．有兩側(cè)面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱D．長方體一定是直四棱柱答案D解析對于A，底面是菱形的直平行六面體，滿足條件但不是正棱柱；對于B，底面是等腰梯形的直棱柱，滿足條件但不是長方體；C顯然錯誤；長方體一定是直四棱柱，D正確．3．從平面外一點P引與平面相交的直線，使P點與交點的距離等于1，則滿足條件的直線可能有()A．0條或1條 B．0條或無數(shù)條C．1條或2條 D．0條或1條或無數(shù)條答案D解析當點P到平面的距離大于1時，沒有滿足條件的直線；當點P到平面的距離等于1時，滿足條件的直線只有1條；當點P到平面的距離小于1時，滿足條件的直線有無數(shù)條．4．圓柱形玻璃杯中盛有高度為10cm的水，若放入一個玻璃球(球的半徑與圓柱形玻璃杯內(nèi)壁的底面半徑相同)后，水恰好淹沒了玻璃球，則玻璃球的半徑為()A.eq\f(20,3)cm B．15cmC．10eq\r(3)cm D．20cm答案B解析根據(jù)題意，玻璃球的體積等于放入玻璃球后水的體積減去原來水的體積．設(shè)玻璃球的半徑為r，即圓柱形玻璃杯內(nèi)壁的底面半徑為r，則玻璃球的體積為eq\f(4,3)πr3，圓柱的底面面積為πr2，若放入一個玻璃球后，水恰好淹沒玻璃球，則此時水面的高度為2r，所以eq\f(4,3)πr3＝πr2(2r－10)，解得r＝15(cm)．5．設(shè)m，n為兩條直線，α，β為兩個平面，則α⊥β的充分條件是()A．m∥α，n∥β，m⊥nB．m⊥α，n∥β，m⊥nC．m⊥α，n⊥β，m⊥nD．m?α，n?β，m⊥n答案C解析對于A，如圖(1)，α∩β＝l，m⊥l，n∥l，則滿足m∥α，n∥β，m⊥n，平面α與β不一定垂直，故A錯誤；對于B，如圖(2)，α∩β＝l，n∥l，m⊥α，則滿足n∥β，m⊥n，平面α與β不一定垂直，故B錯誤；對于C，如圖(3)，m⊥α，n⊥β，m⊥n，在直線m，n上取兩個向量eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，則eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))分別為平面α，β的法向量，且eq\o(BA,\s\up6(→))⊥eq\o(DC,\s\up6(→))，則α⊥β，故C正確；對于D，如圖(4)，α∩β＝l，m?α，n?β，m⊥l，n∥l，則m⊥n，平面α與β不一定垂直，故D錯誤．6.某同學畫“切面圓柱體”(用與圓柱底面不平行的平面切圓柱，底面與切面之間的部分叫做切面圓柱體)，發(fā)現(xiàn)切面與圓柱側(cè)面的交線是一個橢圓(如圖所示)．若該同學所畫的橢圓的離心率為eq\f(1,2)，則“切面”所在平面與底面所成的角為()A.eq\f(π,12)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,3)答案B解析設(shè)橢圓與圓柱的軸截面如圖所示，作DE⊥BC交BC于點E，則∠CDE為“切面”所在平面與底面所成的角，設(shè)為θ.設(shè)底面圓的直徑為2r，則CD為橢圓的長軸2a，短軸為2b＝DE＝2r，則橢圓的長軸長2a＝CD＝eq\f(2r,cosθ)，即a＝eq\f(r,cosθ)，所以橢圓的離心率為e＝eq\f(1,2)＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\r(1－\f(r2,\f(r2,cos2θ)))＝sinθ，所以θ＝eq\f(π,6).7．如圖，圓臺內(nèi)有一個球，該球與圓臺的側(cè)面和底面均相切．已知圓臺的下底面圓心為O1，半徑為r1，圓臺的上底面圓心為O2，半徑為r2(r1>r2)，球的球心為O，半徑為R，記圓臺的表面積為S1，球的表面積為S2，則eq\f(S1,S2)的可能取值為()A.eq\f(π,2)B.eq\f(3,2)C.eq\f(π,3)D.eq\f(4,3)答案A解析如圖，作出圓臺的軸截面，作DF⊥BC，垂足為F，由題意知圓O與梯形ABCD相切，則DC＝DE＋CE＝O2D＋O1C＝r2＋r1，又DC＝eq\r(DF2＋FC2)＝eq\r(4R2＋r1－r22)，故eq\r(4R2＋r1－r22)＝r1＋r2，化簡可得R2＝r1r2，則eq\f(S1,S2)＝eq\f(πr\o\al(2,1)＋r\o\al(2,2)＋πr1＋r2r1＋r2,4πR2)＝eq\f(r\o\al(2,1)＋r\o\al(2,2)＋r1r2,2r1r2)＝eq\f(r\o\al(2,1)＋r\o\al(2,2),2r1r2)＋eq\f(1,2)>eq\f(2r1r2,2r1r2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)(r1>r2，故取不到等號)，由于eq\f(3,2)，eq\f(π,3)，eq\f(4,3)都不大于eq\f(3,2)，故eq\f(S1,S2)的可能取值為eq\f(π,2).8．在通用技術(shù)教室里有一個三棱錐木塊如圖所示，VA，VB，VC兩兩垂直，VA＝VB＝VC＝1(單位：dm)，小明同學計劃通過側(cè)面VAC內(nèi)任意一點P將木塊鋸開，使截面平行于直線VB和AC，則該截面面積(單位：dm2)的最大值是()A.eq\f(1,4)dm2 B.eq\f(\r(2),4)dm2C.eq\f(\r(3),4)dm2 D.eq\f(3,4)dm2答案B解析根據(jù)題意，在平面VAC內(nèi)，過點P作EF∥AC分別交VA，VC于點F，E，在平面VBC內(nèi)，過點E作EQ∥VB交BC于點Q，在平面VAB內(nèi)，過點F作FD∥VB交AB于點D，連接DQ，如圖所示，因為EF∥AC，所以△VEF∽△VCA，設(shè)其相似比為k，則eq\f(VF,VA)＝eq\f(VE,VC)＝eq\f(EF,AC)＝k,0<k<1，因為VA＝VB＝VC＝1，且兩兩垂直，所以AC＝eq\r(2)，即EF＝eq\r(2)k，因為FD∥VB，所以△AFD∽△AVB，即eq\f(AF,VA)＝eq\f(AD,BA)＝eq\f(FD,VB)，因為eq\f(AF,VA)＝eq\f(VA－VF,VA)＝1－k，所以eq\f(FD,VB)＝eq\f(AF,VA)＝1－k，即FD＝1－k，同理△CEQ∽△CVB，即eq\f(CE,VC)＝eq\f(CQ,BC)＝eq\f(EQ,VB)＝1－k，即EQ＝1－k，所以FD∥EQ，且FD＝EQ，所以四邊形FEQD為平行四邊形，因為VB⊥VC，VB⊥VA，VA∩VC＝V，VA?平面VAC，VC?平面VAC，所以VB⊥平面VAC，因為FD∥VB，所以FD⊥平面VAC，因為EF?平面VAC，所以FD⊥EF，所以四邊形FEQD是矩形，即S矩形FEQD＝FD·EF＝(1－k)·eq\r(2)k＝－eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k－\f(1,2)))2＋eq\f(\r(2),4)，所以當k＝eq\f(1,2)時，S矩形FEQD有最大值eq\f(\r(2),4).故該截面面積的最大值是eq\f(\r(2),4)dm2.二、多項選擇題9．某球形巧克力設(shè)計了一種圓柱形包裝盒，每盒可裝7個球形巧克力，每盒只裝一層，相鄰的球形巧克力相切，與包裝盒接觸的6個球形巧克力與圓柱形包裝盒側(cè)面及上下底面都相切，如圖是平行于底面且過圓柱母線中點的截面，設(shè)包裝盒的底面半徑為R，球形巧克力的半徑為r，每個球形巧克力的體積為V1，包裝盒的體積為V2，則()A．R＝3r B．R＝6rC．V2＝9V1 D．2V2＝27V1答案AD解析由截面圖可以看出，圓柱的底面直徑是球形巧克力直徑的3倍，即可得R＝3r，圓柱的高等于球形巧克力的直徑，即h＝2r，V1＝eq\f(4πr3,3)，V2＝πR2h＝18πr3，則有2V2＝27V1.10．正六棱臺的上、下底面邊長分別是2cm和6cm，側(cè)棱長是5cm，則下列說法正確的是()A．該正六棱臺的上底面積是6eq\r(3)cm2B．該正六棱臺的側(cè)面積是15cm2C．該正六棱臺的表面積是(60eq\r(3)＋24eq\r(21))cm2D．該正六棱臺的高是3cm答案ACD解析如圖，在正六棱臺ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中，因為A1B1＝2cm，AB＝6cm，AA1＝5cm，所以側(cè)面的梯形ABB1A1的高即正六棱臺斜高為eq\r(52－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6－2,2)))2)＝eq\r(21)(cm)，所以梯形ABB1A1的面積為S＝eq\f(1,2)×(2＋6)×eq\r(21)＝4eq\r(21)(cm2)，故正六棱臺的側(cè)面積為6S＝6×4eq\r(21)＝24eq\r(21)(cm2)，故B錯誤；由圖可知該正六棱臺的上底面積為6個邊長為2的等邊三角形組成，所以該正六棱臺的上底面積為S1＝6×eq\f(1,2)×2×2×sin60°＝6eq\r(3)(cm2)，故A正確；同理下底面積為S2＝6×eq\f(1,2)×6×6×sin60°＝54eq\r(3)(cm2)，所以該正六棱臺的表面積是6S＋S1＋S2＝(60eq\r(3)＋24eq\r(21))cm2，故C正確；正六棱臺的高為OO1＝eq\r(52－6－22)＝3(cm)，故D正確．11.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是平面ADD1A1的中心，M，N，F(xiàn)分別是B1C1，CC1，AB的中點，則下列說法正確的是()A．MN＝eq\f(1,2)EFB．MN≠eq\f(1,2)EFC．MN與EF異面D．MN與EF平行答案BC解析設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2a，則MN＝eq\r(MC\o\al(2,1)＋C1N2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,2)))2)＝eq\r(2)a，作點E在平面ABCD內(nèi)的射影點G，連接EG，GF，所以EF＝eq\r(EG2＋GF2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,2)))2＋\r(2)a2)＝eq\r(3)a，所以MN≠eq\f(1,2)EF，故選項B正確，A錯誤；連接DE，因為E為平面ADD1A1的中心，所以DE＝eq\f(1,2)A1D，又因為M，N分別為B1C1，CC1的中點，所以MN∥B1C，又因為B1C∥A1D，所以MN∥ED，且DE∩EF＝E，所以MN與EF異面，故選項C正確，D錯誤．12．如圖，已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面ABC為正三角形，側(cè)棱AA1垂直于底面ABC，D為AC的中點，則下列判斷正確的是()A．C1D與BB1是異面直線B．BD⊥A1C1C．平面BDC1⊥平面ACC1A1D．A1B1∥平面BDC1答案ABC解析對于A，在三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1∥CC1，CC1?平面ACC1A1，BB1?平面ACC1A1，所以BB1∥平面ACC1A1，又CC1∩C1D＝C1，所以C1D與BB1是異面直線，故A正確；對于B，因為AA1垂直于底面ABC，BD?平面ABC，所以AA1⊥BD，又因為△ABC為正三角形，且D為AC的中點，所以BD⊥AC，又AC∩AA1＝A，AC，AA1?平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1，又A1C1?平面ACC1A1，所以BD⊥A1C1，故B正確；對于C，因為BD⊥平面ACC1A1，BD?平面BDC1，所以平面BDC1⊥平面ACC1A1，故C正確；對于D，因為AB∩平面BDC1＝B，所以AB與平面BDC1不平行，又AB∥A1B1，所以A1B1與平面BDC1不平行，故D錯誤．三、填空題13．在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，且PA＝AB，AD＝eq\r(3)AB，則tan∠APC＝________.答案2解析∵PA⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，∴PA⊥AC，設(shè)AB＝1，則PA＝1，AD＝eq\r(3)，AC＝eq\r(AD2＋CD2)＝2，∴tan∠APC＝eq\f(AC,PA)＝2.14.如圖，已知PA⊥PB，PA⊥PC，∠ABP＝∠ACP＝60°，PB＝PC＝eq\r(2)BC，D是BC的中點，則AD與平面PBC所成角的余弦值為______．答案eq\f(\r(217),31)解析∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，PB，PC?平面PBC，∴PA⊥平面PBC，連接PD，如圖所示，則PD是AD在平面PBC內(nèi)的射影，∴∠PDA就是AD與平面PBC所成的角．又∵∠ABP＝∠ACP＝60°，PB＝PC＝eq\r(2)BC，D是BC的中點，∴PD＝eq\f(\r(7),2)BC，PA＝eq\r(6)BC，∴AD＝eq\f(\r(31),2)BC，∴cos∠PDA＝eq\f(PD,AD)＝eq\f(\r(217),31)，∴AD與平面PBC所成角的余弦值為eq\f(\r(217),31).15.如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝5，點E是棱CC1上的一個動點，若平面BED1交棱AA1于點F，則四棱錐B1－BED1F的體積為________，截面四邊形BED1F的周長的最小值為________.答案202eq\r(74)解析由題意可得D1F∥BE，則SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)BB1·BC·AB＋\f(1,2)BB1·AB·D1A1))＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×5×4×3＋\f(1,2)×5×3×4))＝20.將長方體展開，如圖所示，當點E為BD1與CC1的交點，F(xiàn)為BD1與AA1的交點時，截面四邊形BED1F的周長最小，最小值為2BD1＝2eq\r(52＋3＋42)＝2eq\r(74).16．青銅豆最早見于商代晚期，盛行于春秋戰(zhàn)國時期，它不僅可以作為盛放食物的銅器，還是一件十分重要的禮器，圖①為河南出土的戰(zhàn)國青銅器——方豆，豆盤以上是長方體容器和正四棱臺的斗形蓋．圖②是與主體結(jié)構(gòu)相似的幾何體，其中AB＝4，MN＝NF＝2，K為BC上一點，且eq\f(CK,BC)＝eq\f(1,3)，Z為PQ上一點．若DK⊥MZ，則eq\f(QZ,ZP)＝________；若幾何體EFGH－MNPQ的所有頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為________．答案eq\f(1,2)40π解析由題意可知，平面ABCD∥平面EFGH∥平面MNPQ，設(shè)平面EMZ交平面ABCD于AJ，因為平面EMZ交平面MNPQ＝MZ，所以MZ∥AJ，設(shè)DK∩AJ＝L，因為DK⊥MZ，所以DK⊥AJ，因