安徽省六安市輕工中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題（解析版）-A4

第頁(yè)九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)學(xué)科第二階段定時(shí)訓(xùn)練（B）一、選擇題（本大題共10題，每小題4分，滿分40分）1.2022年11月29日23時(shí)08分，神舟十五號(hào)載人飛船成功發(fā)射．3名航天員順利進(jìn)駐中國(guó)空間站，與神舟十四號(hào)航天員乘組首次實(shí)現(xiàn)“太空會(huì)師”．下列航天圖標(biāo)是中心對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了中心對(duì)稱圖形的概念，掌握中心對(duì)稱圖形的概念是解題的關(guān)鍵．根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念逐項(xiàng)分析即可，中心對(duì)稱圖形：在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形．【詳解】A．不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；B．不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；C．是中心對(duì)稱圖形，符合題意；D．不中心對(duì)稱圖形，不符合題意．故選：C．2.二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)性質(zhì)直接解答即可．【詳解】解：二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，熟記頂點(diǎn)式解析式形式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3.已知，那么下列比例式中成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：A、∵，∴，故A不符合題意；B、∵，∴，故B符合題意；C、∵，∴，故C不符合題意；D、∵，∴，故D不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4.ABC與DEF的相似比為1：4，則ABC與DEF的面積比為（）A.1：2 B.1：3 C.1：4 D.1：16【答案】D【解析】【分析】根據(jù)“相似三角形的面積比等于相似比的平方”即可解決問(wèn)題．【詳解】解：∵與的相似比為，∴與的面積比為，即為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5.如圖，在Rt中，，，，則sinA的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求出AB，再根據(jù)正弦的定義：對(duì)邊比斜邊，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵，，，∴，∴；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查正弦的定義．熟練掌握正弦的定義是解題的關(guān)鍵．6.如圖，在中，，，則（）A.4 B.5 C.6 D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，解答關(guān)鍵是根據(jù)題意選擇恰當(dāng)方法證明三角形相似．由，證明，得到，代入求解即可．【詳解】解：由，∴，∴，，∴，∴，故選：A．7.在正方形網(wǎng)格中，△ABC在網(wǎng)格中的位置如圖，則sinB的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用勾股定理先求出AB的長(zhǎng)度，最后利用正弦值的定義得到，進(jìn)而得到最終答案．【詳解】解：如圖所示在中，由勾股定理可得：．．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要是考查了勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．8.河堤橫斷面如圖所示，堤高米，迎水坡的坡比為，則的長(zhǎng)為（）A.12米 B.米 C.米 D.米【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可以求得的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理即可求得的長(zhǎng)，本題得以解決．【詳解】解：∵米，迎水坡AB的坡比為，

∴，

∴米，

∴米，

故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用坡度和勾股定理解答．9.已知在中，，，，則的長(zhǎng)（）A.7 B.8 C.8或17 D.7或17【答案】D【解析】【分析】①過(guò)作交于，可求，，從而可求，，即可求解；②過(guò)作交的延長(zhǎng)線于，由即可求解．【詳解】解：①如圖，過(guò)作交于，，，，，，，，；②如圖，過(guò)作交的延長(zhǎng)線于，，，；綜上所述：的長(zhǎng)為7或17．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，掌握解法是解題的關(guān)鍵．10.如圖，點(diǎn)E是邊長(zhǎng)為4的正方形內(nèi)部一點(diǎn)，，將按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到，連接，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)得到，則點(diǎn)E在以為直徑的圓上，取中點(diǎn)G，當(dāng)過(guò)點(diǎn)G時(shí)，有最小值，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，則此時(shí)也取最小值，即可解答．【詳解】解：在正方形中，，∵，∴，∴，∴點(diǎn)E在以為直徑圓上，取中點(diǎn)G，連接，當(dāng)過(guò)點(diǎn)G時(shí)，有最小值，又∵按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到，∴，∴此時(shí)也取最小值，∵，為的半徑，即，∴此時(shí)，∴，即的最小值為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了角度的轉(zhuǎn)化與判斷點(diǎn)的軌跡，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)合思想處理題給條件，從而得到點(diǎn)的軌跡．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，計(jì)20分）11.計(jì)算：_______．【答案】##0.5【解析】【分析】根據(jù)直接解答即可．【詳解】解：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查特殊角銳角三角函數(shù)值．熟練掌握特殊角銳角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．12.若P是線段的黃金分割點(diǎn)，且，，則_________．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】【解析】【分析】由P是線段的黃金分割點(diǎn)，且，可得，進(jìn)而可解答，掌握黃金分割點(diǎn)的知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵P是線段的黃金分割點(diǎn)，且，∴，即，∴或（舍去）．故答案為：．13.如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，直線AB交y軸于點(diǎn)C，若，的面積為9，則反比例函數(shù)的表達(dá)式為_(kāi)______．【答案】【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)A作AD⊥y軸于D，則，由線段的比例關(guān)系求得△AOD的面積，再根據(jù)反比例函數(shù)的k的幾何意義得結(jié)果．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于D，則，∴，∵△AOB的面積為9，∴△AOD的面積，根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義得，，∴，∵，∴，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的k的幾何意義的應(yīng)用及平行線分線段成比例定理，解題關(guān)鍵是借助線段的比例關(guān)系求得△AOD的面積．14.已知拋物線上有且只有三個(gè)點(diǎn)到x軸的距離等于p，點(diǎn)在拋物線上，且點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離小于2．（1）______．（2）n的取值范圍是______．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)拋物線上有且只有三點(diǎn)到的距離等于，可知為拋物線頂點(diǎn)到的距離，即可解答；令點(diǎn)到軸的距離等于，即，求出相應(yīng)的值，根據(jù)點(diǎn)到軸的距離小于，即可解答【詳解】（1）拋物線上有且只有三個(gè)點(diǎn)到x軸的距離等于p，為拋物線頂點(diǎn)到的距離，，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，故答案為：．（2）令點(diǎn)到軸的距離等于，有，即，當(dāng)時(shí)，將點(diǎn)代入，解得：，當(dāng)時(shí)，將點(diǎn)代入，解得：，點(diǎn)到軸的距離小于，有，即，又x=1是對(duì)稱軸，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)圖像的性質(zhì)并靈活運(yùn)用．三、解答題（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）15.計(jì)算：．【答案】1【解析】【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，二次根式的混合運(yùn)算，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．代入特殊角三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：原式．16.已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和．（1）求b，c的值；（2）當(dāng)時(shí)，求y的值．【答案】（1），（2）y的值為38【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系，掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．（1）通過(guò)待定系數(shù)法求解；（2）將代入求解即可．【小問(wèn)1詳解】解：將點(diǎn)和代入得，，解得：；【小問(wèn)2詳解】解：當(dāng)時(shí)，．四．解答題（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17.如圖，在中，．（1）求的值．（2）求的面積（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】（1）（2）面積為【解析】【分析】本題考查了解三角形，解題關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形．（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，構(gòu)造出兩個(gè)直角三角形，再根據(jù)所給條件直接求解即可；（2）利用勾股定理及三角形面積求解即可．【小問(wèn)1詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．在中，，，，，在中，，；小問(wèn)2詳解】解：由（1）知：在中，，，，．18.在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示．（1）以點(diǎn)O為位似中心，作出的位似圖形，且與的位似比為；（2）做出繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的圖形．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析．【解析】【分析】本題考查了作圖—位似變換，作圖——旋轉(zhuǎn)變換．（1）連接，并延長(zhǎng)到點(diǎn)，使；連接，并延長(zhǎng)到點(diǎn)，使；連接，并延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，依次連接，，，即可得到；（2）利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作出點(diǎn)A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)、、、依次連接，，，即可得到．【小問(wèn)1詳解】如圖，為所求．【小問(wèn)2詳解】如圖，為所求．五、解答題（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，且，．（1）求點(diǎn)M的坐標(biāo)．（2）求的值．【答案】（1）的坐標(biāo)是（2）的值為【解析】【分析】本題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)的定義．(1)作，垂足為H，在中，根據(jù)已知條件，，結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義，求出，然后求出的長(zhǎng)，據(jù)此即可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)，根據(jù),求出的長(zhǎng)，在中，利用勾股定理求得的長(zhǎng),進(jìn)而根據(jù)角的三角函數(shù)值與三角形邊的關(guān)系，即可求得結(jié)論．【小問(wèn)1詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，由，，，，故點(diǎn)的坐標(biāo)是；【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知，，．20.如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象直接寫(xiě)出一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍．【答案】（1）；（2）當(dāng)或時(shí)，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值【解析】【分析】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合，解題的關(guān)鍵是熟練掌握用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式的方法和步驟．（1）先用待定系數(shù)法求解反比例函數(shù)解析式，從而得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)圖象，即可進(jìn)行解答．【小問(wèn)1詳解】解：∵反比例的圖象過(guò)點(diǎn)，即，∴，∴反比例函數(shù)的解析式為，又∵點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，∴，，∴又∵一次函數(shù)過(guò)、兩點(diǎn)，即，解之得．∴一次函數(shù)的解析式為；【小問(wèn)2詳解】由圖像可知：當(dāng)或時(shí)，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值．六、解答題（本題滿分12分）21.如圖，聰聰想在自己家的窗口A處測(cè)量對(duì)面建筑物CD的高度，他首先量出窗口A到地面的距離（AB）為16m，又測(cè)得從A處看建筑物底部C的俯角α為30°，看建筑物頂部D的仰角β為53°，且AB，CD都與地面垂直，點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)．（1）求AB與CD之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）．（2）求建筑物CD的高度（結(jié)果精確到1m）．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】（1）；（2）51m【解析】【分析】（1）作于M，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，根據(jù)正切的定義求出AM；（2）根據(jù)正切的定義求出DM，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案．【詳解】解：（1）作于M，則四邊形ABCM為矩形，，，在中，，則，答：AB與CD之間的距離；（2）在中，，則，，答：建筑物CD的高度約為51m．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．七、解答題（本題滿分12分）22.某廠家生產(chǎn)一種兒童電動(dòng)玩具，3月份前4天生產(chǎn)的該兒童玩具售價(jià)y（元/個(gè)）和銷量t（個(gè)）的數(shù)據(jù)如下表所示：第x天1234售價(jià)y/（元/個(gè)）30323436銷量t/個(gè)100120140160從第5天開(kāi)始工廠對(duì)外調(diào)整價(jià)格為28元一個(gè)，據(jù)統(tǒng)計(jì)第5天以后兒童電動(dòng)玩具銷量t（個(gè)）和第x天的關(guān)系為（，且x為整數(shù)）．（1）直接寫(xiě)出銷量t（個(gè)）與第x天（前4天）滿足的關(guān)系式，并且求出第5天以后第幾天的銷量最大，最大值為多少？（2）若成本價(jià)為20元，求該工廠這些天（按20天計(jì)）出售兒童電動(dòng)玩具得到的利潤(rùn)W（元）與x的函數(shù)關(guān)系式，直接寫(xiě)出第幾天的利潤(rùn)最大及其最大值．【答案】（1）銷量t（個(gè)）與第x天（前4天）滿足的關(guān)系式為，第5天以后第20天的銷量最大，最大值為500；（2）W（元）與x的函數(shù)關(guān)系式為；第20天時(shí)工廠利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為4000元．【解析】【分析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)，用待定系數(shù)法求出銷量t與第x天滿足的關(guān)系式，并根據(jù)第5天以后兒童電動(dòng)玩具銷量t（套）和第x天的關(guān)系式，由函數(shù)性質(zhì)求出最值；（2）根據(jù)單件利潤(rùn)×銷售量＝總利潤(rùn)分段列出函數(shù)解析式，即可由函數(shù)性質(zhì)得到答案．【小問(wèn)1詳解】解：由表格可知，前4天銷量t與第x天滿足一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)把代入得：，解得，∴銷量t與第x天滿足的關(guān)系式為；∵第5天以后兒童電動(dòng)玩具銷量t（個(gè)）和第x天的關(guān)系為，∵，∴當(dāng)時(shí)，t隨x的增大而增大，∵，∴當(dāng)時(shí)，t有最大值，最大值為，∴銷量t（個(gè)）與第x天（前4天）滿足的關(guān)系式為，第5天以后第20天的銷量最大，最大值為500；【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)y與x的函數(shù)解析式為，把代入得：，解得，∴y與x的函數(shù)解析式為，①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，W有最大值，最大值為；②當(dāng)時(shí)，，∵，∴當(dāng)時(shí)，W有最大值，最大值為，∴第20天時(shí)W的最大值為4000元．∴W（元）與x的函數(shù)關(guān)系式為；第20天時(shí)工廠利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為4000元．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系求分段函數(shù)的解析式．八、解答題（本題滿分14分）23.（1）如圖1，在中，，垂足為D，，垂足為E，與交于點(diǎn)F，①求證：；②若，求的值；（2）如圖2，在中，，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，過(guò)C作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)