江西省贛州市2023屆高三?？佳侯}卷（二）數學試題（含解析）

江西省贛州市2023屆高三?？佳侯}卷（二）數學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知全集U={123,4,5},集合M={1,2},N={3,4},則金(MuN)=()

A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.{1,2,3,4}

2.已知(a+Ai)i=2-3i,a,bwR、則()

A.a=-3,b=—2B.a=3,/?=-2C.a=3,b=2D.a=-3,b=2

3.若角。的終邊經過點(-1,-2),則sin6(l+sin29)=()

sin0+cos。

66-22

A.-B.——C.-D.——

5555

4.圓錐側面展開圖扇形的圓心角為60。，底面圓的半塑為8,則圓錐的側面積為()

A.3847rB.392兀C.398兀D.4047r

x+y<2

5.設x,y滿足約束條件r-)W2t則z=x+2)，的最大值為()

x-2y+4>0

A.1B.2C.4D.8

6.已知正項等比數列何｝滿足巴為2%與4的等比中項，則5詈=（）

a\+。3

A.—B.?C.V?D.2

22

7.某校隨機抽取了100名學生測量體重，經統(tǒng)計，這些學生的體重數據（單位：kg）

全部介于45至70之間，將數據整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列結論錯誤

A.頻率分布直方圖中。的值為007

B.這100名學生中體重低于60kg的人數為70

C.據此可以估計該校學生體重的第78百分位數約為62

D.據此可以估計該校學生體重的平均數約為56.25

8.已知拋物線C：V=2x的焦點為尸，過點（2,0）的直線交。于/>、。兩點，線段PQ的

中點為則直線A//的斜率的最大值為（）

A.如B.JC.巫D.1

622

9.在正方體/^。。-4"?"中，M、N,尸分別為A%AG,A。的中點，則下列結

論中錯誤的是（）

A.MN11AD、B.平面MNP//平面BCQ

C.MNLCDD.平面MNPJ_平面48。

10.已知圓C："-1）2+（），-2）2=5,圓C'是以圓f+y2=l上任意一點為圓心，半徑

為I的圓.圓。與圓C交于4B兩點.則當/AC/?最大時，|CC|=（）

A.1B.V2C.75D.2

11.已知4=￡1083€1=31082?,0=5，則（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>c>aD.c>a>b

12.已知函數y=a-2lnx,（』WxWe）的圖象上存在點時，函數y=f+1的圖象上存在

e

點N,且M,N關于k軸對稱，貝IJ”的取值范圍是（）

二、填空題

13.已知向量）=（1,2）,〃=（—寫出一個與”垂直的非零向量c=.

14.從A,8等5處水樣監(jiān)測點中隨機選3處進行水樣檢測，則A,8不同時入選的概

率為.

15.已知A8C的內角A,B,C所對邊的長分別為44c,已知?工8c的面積S滿足

S+c）2=（4&+8）S+a2,則角A的值為.

16.已知函數“X）及其導函數尸（X）的定義域均為R,記屋力”），若/（|一2,，

試卷第2頁，共4頁

g(2+x)均為偶函數則下面各選項中一定正確的序號是.

①〃0)=0；②g(-￡|=。；③/(—1)=〃4)；④g(—l)=g⑵.

三、解答題

17.在.ABC中，。是邊AC上一點，CD=1,BD=2,AB=3,cosNBDC二.

8

(2)求一AOC的面積.

18.近年來，某市為了促進生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物

和其他垃圾三類，并分別設置了相應的垃圾箱.為調查居民生活垃圾分類投放情況，現

隨機抽取了該市三類垃圾箱中總計1000噸生活垃圾，數據統(tǒng)計如下(單位：噸)：

“廚余垃圾”箱“可回收物''箱“其他垃圾''箱

廚余垃圾400100100

可回收物3024030

其他垃圾202060

(I)試估計廚余垃圾投放正確的概率

(II)試估計生活垃圾投放錯誤的概率

(IH)假設廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱「其他垃圾”箱的投放量分別為a.b.c,

其中a>0,a+b+c=600.當數據@力?的方差/最大時，寫出a,b,c的值(結論不要求證明)，

并求此時$2的值.

222

()±：?=-[(x,-x)+(x-x)+'+(xlt-x)],其中工為數據,、與、匕的平均數)

n

19.如圖I,在直角梯形A8C。中，AD//BC,點七為8。的中點，點廠在

AD,EF〃AB,BC=EF=DF=4,將四邊形C"E沿E/邊折起，如圖2.

參考答案：

1.A

【分析】首先進行并集運算，然后進行補集運算即可.

【詳解】由題意可得：MUN={1,2,3,4},則加(MUN)={5}.

故選:A.

2.A

【分析】利用復數的運算及復數相等的概念求解即可.

【詳解】解因為e+〃i)i=2-3i,所以4+5=2—3i,則。=一3,h=-2.

故選:A.

3.A

【分析】先根據三角函數的定義求出sinacos。，再將型絲上獨啰化簡，代入sin。,cos。

sincos。

的值計算即可.

-22-11

［詳解］若角。的終邊經過點(T—2),貝岫皿=后亍=-而,8$夕二后=-國，

sin/?(l+sin20)sin0(sirrO+ZsinOcosO+cos?0)sin^(sin/7+cosZ?)2

sing+cosOsinO+cos。sinO+cos。

=疝恤皿+8冽=-強卜方^H

故選:A.

4.A

【分析】運用扇形的弧長公式及圓錐的側面積公式計算即可.

【詳解】設圓錐的半徑為二母線長為/,則/-8,

由題意知，2"二］/,解得：/=48,

所以圓錐的側面積為Ttrl=8x487t=3847t.

故選：A.

5.C

【分析】作出可行域,利用其幾何意義轉化為截距最值即可得到答案.

【詳解】作出可行域如圖中陰影部分所示,

答案第1頁，共14頁

當直線經過點A時，縱截距］最大,

聯(lián)立［x-2y;4=0,解得［個,則A（0,2）,

x+y=2［y=2

此時Zg=0+2X2=4.

故選：C.

6.B

【分析】根據等比中項定義和等比數列通項公式得=八解得g、；，化簡

%+為2

【詳解】設等比數列｛q｝的公比為,

由題意得4：=2%.&,即a%4=2%2”，

v?,>0,^>0,?,42=3，

9+%。4(1+力|

q+/4(1+/)21

故選：B.

7.D

【分析】運用頻率分布直方圖中所有頻率和為I,求出“值，再根據頻率分布直方圖中的頻

率、百分位數、平均數的計算公式進行計算.

【詳解】對于選項A:因為5x(0.01+0.02+0.04+0.06+4)=1,解得。=。.()7,所以A正確.

對于選項B:體重低于60kg的頻率為5x(0.01+().06+().07)=().7,所以人數為0.7x100=70,

所以B正確.

答案第2頁，共14頁

對于選項C:因為5x（0.01+0.06+0.07）=0.7,5x（0.01+0.06+0.07+0.04）=0.9,

所以體重的第78百分位數位于［60,65）之間，設體重的第78百分位數為“，

貝IJ（0.01+0.07+0.06）x5+（x-60）x0.04=0.78,解得x=62,所以C正確.

對于選項D:體重的平均數約為

0.01x5x47.5+0.07x5x52.5+0.06x5x57.5+0.04x5x62.5+0.02x5x67.5=57.25,

所以D錯誤.

故選：D.

8.A

【分析】分析可知直線P0與上軸不重合，設直線PQ的方程為x股+2,設點P（&），）、

。（9,為），將直線的方程與拋物線。的方程聯(lián)立，利用韋達定理求出點”的坐標，利用

基本不等式可求得育線MF斜率的最大值.

【詳解】易知拋物線C的焦點為尸（；，。），設點夕（與）?、。區(qū)必），

若直線PQ與無軸重合，則直線。。與拋物線C只有一個公共點，不合乎題意,

,

設直線PQ的方程為匯=，呼+2,聯(lián)立「2）可得9_2沖-4=0,

y=2x

A=4/zr+16>0,由韋達定理可得X+%=2〃?，則土產="?."21+2=加2+2,

故點M（"『+2,m）,MF-+3,

m2

/n_11瓜

若直線的斜率取最大值，則〃>o,所以，W="T"3=-"T-I3=T.

m+不加+丁2jm-

22mY2m

當且僅當，〃二裊…）眈即當…當時,等號成立,

故直線Mr斜率的最大值為逅

6

故選:A.

9.D

【分析】求得MN與AR位置關系判斷選項A；求得平面MNP與平面8CQ位置關系判斷選

項B；求得MN與C。位置關系判斷選項C；求得平面MNP與平面A3。位置關系判斷選項

D.

答案第3頁，共14頁

【詳解】對A.在VA/G中，因為N分別為A'AC的中點,

所以MNI/BC「又BC\〃AD\、所以MN//AR,A正確.

對B,在A4B。中，因為M,P分別為A],%。的中點,

所以用P//4O.因為例產也平面BQ。，8Du平面8G。,

所以MP//平面灰；。.

因為MN//4G,MNN平面8G。，3。1匚平面36。,

所以MN//平面8G。.又因為MQcMN=M,MP,MNu平面MNP,

所以平面MNP//平面8CQ,B正確.

對C,因為MN〃AR,AD.A.CD,所以MNJ_CD,C正確.

對D,取BO的中點￡,連接AMEC、,則/REG是二面角A-BO-G的平面角.

設正方體棱長為4貝IJCO$NA￡G==r°?

又0。＜“氐；＜180。，則幺氐"90。，所以平面4即與平面8G。不垂直.

又平面MNP//平面BQ。，所以平面MNP與平面人出。不垂直，D錯誤.

故選：D.

10.D

【分析】根據給定條件，結合等腰三角形性質確定頂角最大的條件，再借助直角三角形求解

作答.

答案第4頁，共14頁

【詳解】依題意，在J3C中，|AC|=|BC|=逐，如圖,

顯然O＜|AB|W2,NAC8是銳角，sin幺4=▲?=幽，又函數￥=sinx在人外上遞

2\AC\2x/5VZJ

增，

因此當且僅當公共弦A8最大時，NAC3最大，此時弦A8為圓C'的直徑，

在Rtz^ACC中，ZACC=90，MC|=1,所以|CV|=AC『AC『=2.

故選：D

11.A

【分析】變換。=二，b=-^~,c=E,構造/（司=4,確定函數的單調區(qū)間得到

ln9In8Ine-Inx

/（9）＞/（8）＞/（e2）,得到答案.

設=則‘'=當x?e,M）時，冏號＞0,函數單調遞增，

故/⑼＞〃8）＞/（叫，即

故選：A

【點睛】思路點睛：構造函數是基本的解題思路，因此觀察題目所給的數的結構特點，以及

數與數之間的內在聯(lián)系，合理構造函數，利用導數判斷單調性是解題的關鍵.

12.A

【詳解】因為函數y=V+l與函數丁=-犬-1的圖象關于x軸對稱，

根據已知得函數,V=。-21nx，dwxWe）的圖象與函數），=-/_］的圖象有交點，

e

即方程〃-21nx=-12-1石一，e上有解，

e

答案第5頁，共14頁

即。=21nx-d一1在xe[二，e]上有解.

令g(x)=21nx—[T9],

創(chuàng)“、2r2-2x22(1-丁)

貝ijg'(x)=一―2x=----------=----------，

XXX

可知g(Y)在-J上單調潮增，在口向上單調遞減,

e

故當x=l時，且(入)必=晨1)=-2,

由于gg)7—',g(e)=l-e2,E.-3-p->l-e2,

所以1-e24a《-2.

故選：A.

13.(1,-1)(答案不唯一)

【分析】首先計算a-6=03),設c=(x,)，)，利用垂直則數量積為0有3x+3y=0,賦值即

可.

【詳解】由題意可知。一人=(3,3),設c=(%,y)，貝IJ3x+3y=0,

取x=l，則y=-1，則與支一，垂直的非零向量可以為。=(1,-1),

故答案為：(1,-1).

14.—/0.7

10

【分析】對另外3處水樣監(jiān)測點編號，利用列舉法結合古典概率求解作答.

【詳解】設5處水樣監(jiān)測點分別為A,&C,O,E,從中隨機選擇3處的結果有：

ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE.BDE.CDE,共10種情況，

其中A,臺同時入選的有共3種情況，

37

所以A,8不同時入選的概率尸=1-擠喘.

7

故答案為：(

15心

6

【分析】根據余弦定理和三角形面積公式化簡已知條件，得cosA+l=(G+2)sinA

答案第6頁，共14頁

求解8sA可得角A的值.

【詳解】由已知得〃+/-/+幼。=(475+8)5,

根據余弦定理和三角形面積公式，

得2〃ccosA+2hc=(0+2)-2bcsinA,

化簡為cosA+1=(G+2)sin4,

由于Ae(0,兀)，所以cosA+1=(y/3+2)71-cos2A,

化簡得(4+26kos2A+COSA-(3+2G)=0,

即[(4+2@cosA-(3+2@](cos4+1)=0,

解得cosA=@,或CQSA=-1(舍)，

2

由于Aw(O,兀)，所以A=J.

□

故答案為：7

O

16.?@

【分析】將題干轉化為抽象函數的性質，根據原函數與導函數圖象間的關系可得解.

【詳解】因為“-2)，g(2+x)均為偶函數,

\7

所以/仔一2,=/

月(2+x)=g(2-x),

1，/

所以〃3-同=/(力，g(4-x)=g(x),則f(—l)=/(4),故③正確；

函數/(“，g(x)的圖象分別關于直線產；，-2對稱，

又g(x)守'(力，且函數/("可導，由函數“X)圖象關于直線產]對稱，所以其單調性在

V處改變，導數值為零,所以g圖=0,g(37)=—g(x),所以g(x)關于點整0卜寸稱,

又g(x)圖象關于42對稱，所以g(x)的周期為T=4x(2-?=2,所以g(-g)=g]￡|=O,

所以g(4-x)=g(x)=—g(3—x),所以g(—l)=g(l)=—晨2),故②正確,④錯誤;

若函數/(X)滿足題設條件，則函數/(x)+C(。為常數)也滿足題設條件，所以無法確定

/("的函數值，故①錯誤;

答案第7頁，共14頁

故答案為：②③.

17.(1)2

⑵場

8

【分析】⑴△ABO中，根據余弦定理求AO的長；

(2)/XAB。中，根據余弦定理求cosA,即可求sinA,再根據三角形的面積公式求解.

【詳解】(1)因為cosN/3DC=J,

O

貝IJcosZADB=cos(兀一NBDC)=-cos4BDC=--BD=2,4/?=3,

8

△A8O中，AB2=AD2+BD2-2ADBD-cosZADB,

即9=/1O2+4_2X2XAOX(一"),解得：A￡>=2或人。=<(舍),

所以AD=2；

,AB2+AD2-BD29+4-43

⑵cosA=---------------=-------=—

2-AB-AD2x3x24

因為0<A<兀,

所以sin4=Jl—8sAC=AO+DC=2+1=3,

4

所以S=—xABxACxsinA=—x3x3x^-=^^-.

…2248

18.(I)(II)0.3;(III)-=600方=0,c=0,時,方差取得最大值8000.

【詳解】(I)廚余垃圾一共有400+100+100=600噸，其中投放正確的有400噸，所以概

田“400_2

=力-----------=一

400+100+1(X)3

(II)生活垃圾一共有1000噸，其中投放錯誤有30+20+100+20+100+30=300噸，所以

概率為迎=0.3

1000

(III)由題意得：

222222

x=2OO,S=-[(a-200)2—g—200)+(c-200)]=-[a+Z?+c-400(〃+〃+c)+3x200"]

33

=-[(a+b+c)2-2ab-2bc-2ca-3x2002]

=1[600、2ab-2bc-lea-3x2002]<|[6002-3x2002]=8000

當且僅當時a=600,〃=c=。取等號

答案第8頁，共14頁

19.(I)證明見解析

⑵童

3

【分析】(1)取。尸中點G,連接AG,EG,CG,分別證得4G//8C和GE//OC,結合面面

平行的判定定理，證得平面AGE〃平面6c。，即可證得AE〃平面68.

(2)由4)=275,得至1J。尸2=A￡>2+AL,證得AOJ_4/L連接。石，把該幾何體分割為

四棱錐。-M￡尸和三棱錐。-4CE,結合錐體的體積公式，即可求解.

【詳解】⑴證明：取OF中點G,連接4G,EG,CG,

因為CE//GF.CE=GF,所以四邊形CEFG是平行四邊形，

所以CG//EF//AB且CG=EF=AB,

所以四邊形A8CG是平行四邊形，所以AG//BC,

因為AGu平面AGE,且BCz平面8CO,所以AG〃平面8CD

同理可知：四邊形CEGO是平行四邊形，所以GE//OC,證得GE〃平面86,

因為4G,GEu平面AGE,且AGcGE=G,8。,。。(=平面8。。8(7^^=。，

所以平面AGEII平面BCD,

因為A￡u平面AGE,所以AE//平面BCD.

⑵解：若AQ=2后，

因為4/=2,DF=4,則。尸2=八。2+八產2,故AOJ./U7,

所以4/),4及AQ兩兩垂直，

連接。E,該幾何體分割為四棱錐D-ABEF和三棱錐D-BCE、

貝IJ%-A8EF=gS矩形ABEFAQ=；X2X4X2+=16,,

答案第9頁，共14頁

因為平面8CE//平面AZ）心故勿一8"=匕_BCE=；SBCE-A8=gx哼X22X4=￥

所以該幾何體的體積為V=V…+V“BCE=邛.

20.⑴弓+>2=1

⑵弓

【分析】（1）由短軸長，即四邊形4片&生的周長得a,5的值，得橢圓的方程；

（2）設直線/的方程為,，=丘+叫由題攵=0,〃件0,與橢圓聯(lián)立方程，得演+毛=-翳彳

3Ac+1

5nr-5表示出△OPQ的面積，解得女的值.

5K+1

【詳解】⑴由|441=2,得乃=2,即6=1,

由四邊形4心&方的周長為4迷，得4x/7喬=4遍，即/=5,

所以橢圓的方程為]+）3=1.

（2）設直線/的方程為尸丘十〃？（々工0,〃?工0）,N（x2,y2）,

則A-：,。），M'（F，Y）,

k

r2

X_2

聯(lián)立方程組｛丁+'=,消去y得,（53+1）犬+10加一+5川一5=o,

y=履+m

A=（IOk〃）2-4（5公+1）（5^2-5）>0,得5&2>/]

10km

內+七=一5公+1

直線MN的方程為）」必=""。一工2）,

國+工2

答案第10頁，共14頁

令I),得)+%=型3,

%+x2Xj+x2

-\0k

又因為N%+xj|=$(監(jiān)+〃?)+x(Ax+/〃)=2kX\X?+/〃(,+x)=

221253+1

所以Q(哈，WQ的面積*忍=2,得一I經檢驗符合題意,

所以人的值為斗

21.(1)見解析

【分析1⑴設g(%)=/'(x)=lnx-2or+l,對g(“求導，分aW0和。>0討論即可；

(2)分離參數得〃=2一緊，設以x)=N±-S，利用導數研究其值域與圖像即可.

x2x'x2廠

［詳解】(1)設g(%)=/(x)=Inx-2〃x+1,g(x)的定義域為(。,+8),g,(x)=--2a.

X

當時,g'(x)>0,g(x)在(。,+8)上為增函數，在(。,+<?)上單調遞增；

當。>0時,令<(幻=。,得"=-!-.

2a

若X€(0,5)，貝IJg'(x)>°名(幻單調遞增，

若XC,則grM<O,g(x)單調遞減.

綜上，當〃4()時J'(x)在((),+8)上單調遞增;

當"0時J’(x)在區(qū)間(0,5)上單調遞增,在區(qū)間五|T上單調遞感

⑵直線,=9與曲線尸/⑴有兩個交點,即關于，的方程小■爾二1有兩個解,

整理方程，得4=g

X

令回幻=止一工淇中/>0,

x2x~

u,/、1-Inxe2x-xlnx+e2

則m0(x)=-―+-r=-----5-----

X~XX

令$(x)=x-xlnx+e2,貝IJs(x)=-】nx.

當0<xv1時W(x)>0,此時函數s。)單調遞增,

當x>1時,s'(x)<0，此時函數s(x)單調遞減.

答案第11頁，共14頁

由s⑴=l+e2,s((?)=0,

f#O<x<1&t,x-xlnx+e2=x(l-Inx)+e2>。，則°'(x)>0,

當1<x<e?時,s(x)>s[2)=0,則(p\x)>0,

當X>d時,5(X)<5(e2)=0,則(P(x)<0,

則函數以x)在區(qū)間(0?)上單調遞增,在區(qū)間K2,內)上堂調遞減,

則。(初皿=^(e2)=TT-

當%趨近于+O0時,例幻趨近于0,即當A>e2時,e(x)>o；

當上趨近于0時,(p(x)趨近于9,

作出如圖所示圖象：

故要使直線尸:與曲線y=/(x)有兩個交點則需0