專題26 多邊形與平行四邊形【二十個題型】（舉一反三）（原卷版）

專題26多邊形與平行四邊形【二十個題型】TOC\o"1-3"\h\u【題型1計算多邊形對角線條數(shù)】 1【題型2對角線分三角形個數(shù)問題】 4【題型3多邊形內(nèi)角和問題】 5【題型4多邊形的外角問題】 5【題型5多邊形內(nèi)角和、外角和與角平分線、平行線的綜合運(yùn)用】 6【題型6利用平行四邊形的性質(zhì)求解】 7【題型7利用平行四邊形的性質(zhì)證明】 8【題型8構(gòu)成平行四邊形的條件】 10【題型9證明四邊形是平行四邊形】 11【題型10與平行四邊形有關(guān)的新定義問題】 12【題型11利用平行四邊形的性質(zhì)與判定求解】 14【題型12利用平行四邊形的性質(zhì)與判定證明】 15【題型13平行四邊形性質(zhì)與判定的實際應(yīng)用】 16【題型14與三角形中位線有關(guān)的計算】 18【題型15與三角形中位線有關(guān)的證明】 19【題型16與三角形中位線有關(guān)的規(guī)律探究】 21【題型17與三角形中位線有關(guān)的格點(diǎn)作圖】 22【題型18三角形中位線的實際應(yīng)用】 24【題型19連接兩點(diǎn)構(gòu)造三角形中位線】 26【題型20已知中點(diǎn)，取另一條線段的中點(diǎn)構(gòu)造中位線】 27【知識點(diǎn)多邊形與平行四邊形】1.多邊形的相關(guān)概念多邊形的定義：在平面中，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對角線.

多邊形對角線條數(shù)：從n邊形的一個頂點(diǎn)可以引（n－3）條對角線，并且這些對角線把多邊形分成了(n–2)個三角形，n邊形的對角線條數(shù)為n(多邊形內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為(n?2)?180°（n≥3）.【解題技巧】1）n邊形的內(nèi)角和隨邊數(shù)的增加而增加，邊數(shù)每增加1，內(nèi)角和增加180°.2）任意多邊形的內(nèi)角和均為180°的整數(shù)倍.3）利用多邊形內(nèi)角和定理可解決三類問題：①已知多邊形的邊數(shù)求內(nèi)角和；②已知多邊形的內(nèi)角和求邊數(shù)；③已知足夠的角度條件下求某一個內(nèi)角的度數(shù)．多邊形外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°，與多邊形的形狀和邊數(shù)無關(guān).正多邊形的定義：各角相等，各邊相等的多邊形叫做正多邊形.【解題技巧】1）正n邊形的每個內(nèi)角為（n-22）正n邊形有n條對稱軸．3）對于正n邊形，當(dāng)n為奇數(shù)時，是軸對稱圖形；當(dāng)n為偶數(shù)時，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．【易錯混淆】多邊形的有關(guān)計算公式有很多，一定要牢記，代錯公式容易導(dǎo)致錯誤：①n邊形內(nèi)角和＝（n－2）×180°（n≥3）.②從n邊形的一個頂點(diǎn)可以引出（n-3）條對角線，n個頂點(diǎn)可以引出n（n-3）條對角線，但是每條對角線計算了兩次，因此n邊形共有n(n-③n邊形的邊數(shù)＝（內(nèi)角和÷180°）＋2.④n邊形的外角和是360°.⑤n邊形的外角和加內(nèi)角和＝n×180°.⑥在n邊形內(nèi)任取一點(diǎn)O，連接O與各個頂點(diǎn)，把n邊形分成n個三角形；在n邊形的任意一邊上任取一點(diǎn)O，連接O點(diǎn)與其不相鄰的其它各頂點(diǎn)的線段可以把n邊形分成（n－1）個三角形；連接n邊形的任一頂點(diǎn)A與其不相鄰的各個頂點(diǎn)的線段，把n邊形分成（n－2）個三角形．2.平行四邊形的性質(zhì)與判定平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.平行四邊形的表示：用符號“?”表示，平行四邊形ABCD記作“?ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”.平行四邊形的性質(zhì)：1)對邊平行且相等；2)對角相等、鄰角互補(bǔ)；3)對角線互相平分；4)平行四邊形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，平行四邊形的對角線的交點(diǎn)是平行四邊形的對稱中心.【解題技巧】1）平行四邊形相鄰兩邊之和等于周長的一半．2）平行四邊形中有相等的邊、角和平行關(guān)系，所以經(jīng)常需結(jié)合三角形全等來解題．3）過平行四邊形對稱中心的任一直線等分平行四邊形的面積及周長．4）如圖①，AE平分∠BAD，則可利用平行線的性質(zhì)結(jié)合等角對等邊得到△ABE為等腰三角形，即AB=BE．5）如圖②，已知點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，根據(jù)平行線間的距離處處相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE．6）如圖③，根據(jù)平行四邊形的面積的求法，可得AE·BC=AF·CD．平行四邊形的判定定理：①定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．②一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．③兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．④兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．⑤對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．【解題技巧】一般地，要判定一個四邊形是平行四邊形有多種方法，主要有以下三種思路：1）當(dāng)已知條件中有關(guān)于所證四邊形的角時，可用“兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形”來證明；2）當(dāng)已知條件中有關(guān)于所證四邊形的邊時，可選擇“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”或“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”或“有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”來證明；3）當(dāng)已知條件中有關(guān)于所證四邊形的對角線時，可選擇“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”來證明．3.三角形的中位線三角形中位線概念：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形中位線.三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.三角形中位線定理的作用：位置關(guān)系：可以證明兩條直線平行.數(shù)量關(guān)系：可以證明線段的倍分關(guān)系.常用結(jié)論：任意一個三角形都有三條中位線，由此有：結(jié)論1：三條中位線組成一個三角形，其周長為原三角形周長的一半.結(jié)論2：三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形.結(jié)論3：三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形.結(jié)論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分.結(jié)論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等.【題型1計算多邊形對角線條數(shù)】【例1】（2023·河北·模擬預(yù)測）一個多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的3倍，那么這個多邊形從一個頂點(diǎn)引對角線的條數(shù)是（）條．A．3 B．4 C．5 D．6【變式1-1】（2023·吉林長春·統(tǒng)考二模）如圖所示的五邊形木架不具有穩(wěn)定性，若要使該木架穩(wěn)定，則要釘上的細(xì)木條的數(shù)量至少為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式1-2】（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）通過畫出多邊形的對角線，可以把多邊形內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和問題．如果從某個多邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)的對角線共有2條，那么該多邊形的內(nèi)角和是度．【變式1-3】（2023·陜西西安·高新一中校考模擬預(yù)測）一個正多邊形的中心角是72°，則過它的一個頂點(diǎn)有條對角線．【題型2對角線分三角形個數(shù)問題】【例2】（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）一個多邊形的內(nèi)角和為1080°，從該多邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)引對角線，可以把這個多邊形分割成個三角形．【變式2-1】（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考三模）過某多邊形一個頂點(diǎn)的所有對角線，將這個多邊形分成3個三角形，這個多邊形的邊數(shù)是．【變式2-2】（2023·陜西榆林·統(tǒng)考一模）從七邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)的所有對角線，可以把這個七邊形分割成個三角形．【變式2-3】（2023·廣東深圳·校聯(lián)考一模）如圖，從多邊形一個頂點(diǎn)出發(fā)作多邊形的對角線，試根據(jù)下面幾種多邊形的頂點(diǎn)數(shù)、線段數(shù)及三角形個數(shù)統(tǒng)計結(jié)果，推斷f,e,v三個量之間的數(shù)量關(guān)系是:多邊形：

頂點(diǎn)個數(shù)f1:

4

5

6

…線段條數(shù)e:

5

7

9

…三角形個數(shù)v1:

2

3

4

…【題型3多邊形內(nèi)角和問題】【例3】（2023·山東·中考真題）一個多邊形截去一個角后，形成另一個多邊形的內(nèi)角和為720°，那么原多邊形的邊數(shù)為（

）A．5 B．5或6 C．5或7 D．5或6或7【變式3-1】（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）已知一個多邊形的內(nèi)角和為540°，則這個多邊形是邊形．【變式3-2】（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）一個多邊形過頂點(diǎn)剪去一個角后，所得多邊形的內(nèi)角和為720°，則原多邊形的邊數(shù)是．【變式3-3】（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）剪紙片：有一張長方形的紙片，用剪刀沿一條不過任何頂點(diǎn)的直線將其剪成了2張紙片；從這2張中任選一張，再用剪刀沿一條不過任何頂點(diǎn)的直線將其剪成了2張紙片，這樣共有3張紙片：從這3張中任選一張，再用剪刀沿一條不過任何頂點(diǎn)的直線將其剪成了2張紙片，這樣共有4張紙片；……；如此下去，若最后得到10張紙片，其中有1張五邊形紙片，3張三角形紙片，5張四邊形紙片，則還有一張多邊形紙片的邊數(shù)為．【題型4多邊形的外角問題】【例4】（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）第29屆自貢國際恐龍燈會“輝煌新時代”主題燈組上有一幅不完整的正多邊形圖案，小華量得圖中一邊與對角線的夾角∠ACB=15°，算出這個正多邊形的邊數(shù)是（

A．9 B．10 C．11 D．12【變式4-1】（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖1是我國古建筑墻上采用的八角形空窗，其輪廓是一個正八邊形，窗外之境如同鑲嵌于一個畫框之中．如圖2是八角形空窗的示意圖，它的一個外角∠1=（

）

A．45° B．60° C．110° D．135°【變式4-2】（2023·河北·統(tǒng)考二模）如圖，將幾個全等的正八邊形進(jìn)行拼接，相鄰的兩個正八邊形有一條公共邊，圍成一圈后中間形成一個正方形．設(shè)正方形的邊長為1，則該圖形外輪廓的周長為；若n個全等的正多邊形中間圍成的圖形是正三角形，且相鄰的兩個正多邊形有一條公共邊，設(shè)正三角形的邊長為1，則該圖形外輪廓的周長是．【變式4-3】（2023·山東煙臺·統(tǒng)考二模）如圖，CG平分正五邊形ABCDE的外角∠DCF，并與∠EAB的平分線交于點(diǎn)O，則∠AOGA．144° B．126° C．120° D．108°【題型5多邊形內(nèi)角和、外角和與角平分線、平行線的綜合運(yùn)用】【例5】（2023·江蘇宿遷·模擬預(yù)測）如圖，一束太陽光平行照射在正n邊形A1A2A3……A

【變式5-1】（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖D，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分線與∠【變式5-2】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，AB∥CD，AD平分∠BDC，CE∥AD，∠(1)求∠BAD(2)若∠F=40°，求∠【變式5-3】（2023·浙江·三模）如圖，在△ABC中，沿∠BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿∠B1A1C的平分線A1B1折疊，剪掉重復(fù)部分……將余下部分沿（1）若經(jīng)過n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B與∠C（設(shè)（2）若一個三角形的最小角是4°，且該三角形的三個角均是此三角形的好角．請寫出符合要求三角形的另兩個角的度數(shù)．（寫出一種即可）【題型6利用平行四邊形的性質(zhì)求解】【例6】（2023·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）如圖，將?ABCD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)到?A'B'C'D'的位置，使點(diǎn)B'落在BC上，B'C'與CD交于點(diǎn)E

【變式6-1】（2023·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD(AB<AD)中，按如下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AB，AD于點(diǎn)M，N；②分別以點(diǎn)M，N為圓心，以大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠BAD內(nèi)交于點(diǎn)P；③作射線AP交BC于點(diǎn)E

【變式6-2】（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在?ABCD中，AB=3+1,BC=2,AH⊥CD，垂足為H,AH=3．以點(diǎn)A為圓心，AH長為半徑畫弧，與AB,

【變式6-3】（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在?ABCD中，∠B=60°，BC=2AB，將AB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)角α（0°<α<360°）得到AP，連接PC

【題型7利用平行四邊形的性質(zhì)證明】【例7】（2023·遼寧營口·統(tǒng)考中考真題）在?ABCD中，∠ADB=90°，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)G在AB上，點(diǎn)F在BD的延長線上，連接EF，DG

(1)如圖1，當(dāng)k=1時，請用等式表示線段AG與線段DF的數(shù)量關(guān)系______(2)如圖2，當(dāng)k=3時，寫出線段AD，(3)在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)G是AB的中點(diǎn)時，連接BE，求tan∠【變式7-1】（2023·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊BC和AD上的點(diǎn)，連接AE，CF，且AE

(1)∠1=∠2；(2)△ABE【變式7-2】（2023·山東青島·統(tǒng)考中考真題）如圖，在?ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，∠DCB的平分線交AD于點(diǎn)F，點(diǎn)G，H分別是AE

(1)求證：△ABE(2)連接EF．若EF=AF，請判斷四邊形【變式7-3】（2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）?ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，連接DE，將ED繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到EF

(1)當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上，∠ABC=45°時，如圖①(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段BC延長線上，∠ABC=45°時，如圖②：當(dāng)點(diǎn)E在線段CB延長線上，∠ABC=135°時，如圖③，請猜想并直接寫出線段AE(3)在（1）、（2）的條件下，若BE=3，DE=5，則CE【題型8構(gòu)成平行四邊形的條件】【例8】（2023·湖南衡陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，下列條件不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（

）

A．AB∥CD，AB=CD BC．AB∥CD，AD=CB D【變式8-1】（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為點(diǎn)（1）請你只添加一個條件（不另加輔助線），使得四邊形AECF為平行四邊形，你添加的條件是________；（2）添加了條件后，證明四邊形AECF為平行四邊形．【變式8-2】（2023·河北保定·統(tǒng)考模擬預(yù)測）圖中每個四邊形上所做的標(biāo)記中，線段上的劃記數(shù)量相同的表示線段相等，角的標(biāo)記弧線數(shù)量相同的表示角相等，則下列一定為平行四邊形的有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式8-3】（2023·河南洛陽·校聯(lián)考一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O．E、F是對角線AC上的兩個不同點(diǎn)，當(dāng)E、F兩點(diǎn)滿足下列條件時，四邊形DEBF不一定是平行四邊形（

）．A．AE＝CF B．DE＝BFC．∠ADE=∠CBF D．∠AED=∠CFB【題型9證明四邊形是平行四邊形】【例9】（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)H在線段CE上，連接BH，點(diǎn)G、F

(1)求證：四邊形DEFG為平行四邊形(2)DG⊥BH，【變式9-1】（2023·青?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，∠CAE是△ABC的一個外角，AB=

(1)尺規(guī)作圖：作∠CAE的平分線，交CF于點(diǎn)D(2)求證：四邊形ABCD是平行四邊形.【變式9-2】（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E,F在對角線BD上，且BE=

(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形．(2)若△ABE的面積等于2，求△【變式9-3】（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）如圖（1）所示，已知在△ABC中，AB=AC，O在邊AB上，點(diǎn)F為邊OB中點(diǎn)，為以O(shè)為圓心，BO為半徑的圓分別交CB，AC于點(diǎn)D，E，聯(lián)結(jié)EF交OD

(1)如果OG=DG，求證：四邊形(2)如圖（2）所示，聯(lián)結(jié)OE，如果∠BAC=90°,∠OFE(3)聯(lián)結(jié)BG，如果△OBG是以O(shè)B為腰的等腰三角形，且AO=OF【題型10與平行四邊形有關(guān)的新定義問題】【例10】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）百度百科這樣定義凹四邊形：把四邊形的某邊向兩方延長，其他各邊有不在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凹四邊形．關(guān)于凹四邊形ABCD（如圖），以下結(jié)論：①∠BCD②若AB=AD,③若∠BCD=2∠A④存在凹四邊形ABCD，有AB=其中所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④【變式10-1】（2023·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，由25個點(diǎn)構(gòu)成的5×5的正方形點(diǎn)陣中，橫、縱方向相鄰的兩點(diǎn)之間的距離都是1個單位．定義：由點(diǎn)陣中的四個點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形叫做陣點(diǎn)平行四邊形．圖中以A，B為頂點(diǎn)，面積為4的陣點(diǎn)平行四邊形的個數(shù)為（

）A．6個 B．7個 C．9個 D．11個【變式10-2】（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）定義：有兩個相鄰的內(nèi)角是直角，并且有兩條鄰邊相等的四邊形稱為鄰等四邊形，相等兩鄰邊的夾角稱為鄰等角．

(1)如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，對角線BD(2)如圖2，在6×5的方格紙中，A，B，C三點(diǎn)均在格點(diǎn)上，若四邊形ABCD是鄰等四邊形，請畫出所有符合條件的格點(diǎn)D．(3)如圖3，四邊形ABCD是鄰等四邊形，∠DAB=∠ABC=90°，∠BCD為鄰等角，連接AC，過B作BE∥AC交DA【變式10-3】（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）【定義】對角線相等且所夾銳角為60°的四邊形叫“60°等角線四邊形”．如圖1，四邊形ABCD為“60°等角線四邊形”，即AC=BD，【定義探究】(1)判斷下列四邊形是否為“60°等角線四邊形”，如果是在括號內(nèi)打“√”，如果不是打“×”．①對角線所夾銳角為60°的平行四邊形．

（

）②對角線所夾銳角為60°的矩形．

（

）③對角線所夾銳角為60°，且順次連接各邊中點(diǎn)所形成的四邊形是菱形的四邊形．

（

）【性質(zhì)探究】(2)如圖2，以AC為邊，向下構(gòu)造等邊△ACE，連接BE，請直接寫出AB+CD(3)請判斷AD+BC與【應(yīng)用提升】(4)若“60°等角線四邊形”的對角線長為2，則該四邊形周長的最小值為________．【題型11利用平行四邊形的性質(zhì)與判定求解】【例11】（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)B作BE∥AC，交DA的延長線于點(diǎn)B，連接OE，交AB于點(diǎn)F，則四邊形BCOF的面積與△AEF

【變式11-1】（2023·西藏·統(tǒng)考中考真題）如圖，兩張寬為3的長方形紙條疊放在一起，已知∠ABC=60°，則陰影部分的面積是（

A．92 B．33 C．93【變式11-2】（2023·浙江臺州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)C，D在線段AB上（點(diǎn)C在點(diǎn)A，D之間），分別以AD，BC為邊向同側(cè)作等邊三角形ADE與等邊三角形CBF，邊長分別為a，b．CF與DE交于點(diǎn)H，延長

（1）若四邊形EHFG的周長與△CDH的周長相等，則a，b（2）若四邊形EHFG的面積與△CDH的面積相等，則a，b，c之間的等量關(guān)系為【變式11-3】（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線BD是⊙

(1)如圖1，連接OA,CA，若OA⊥BD，求證；(2)如圖2，E為⊙O內(nèi)一點(diǎn)，滿足AE⊥BC,CE⊥AB【題型12利用平行四邊形的性質(zhì)與判定證明】【例12】（2023·遼寧大連·統(tǒng)考二模）如圖1，△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在BC，AC，AB上，AB=AD，DE∥AB，BE，EF分別與AD相交于點(diǎn)G

(1)求證：∠DEG(2)求證：BG=(3)如圖2，若H是AD中點(diǎn)，AB=kDE，求【變式12-1】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)D、E、F分別是三角形ABC的邊BC、CA、AB上的點(diǎn)，DE∥BA

(1)求證：∠FDE(2)若BD:DC=1:4【變式12-2】（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）【閱讀理解】如圖1，在矩形ABCD中，若AB=a,BC=b，由勾股定理，得【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2，四邊形ABCD為平行四邊形，若AB=【拓展提升】如圖3，已知BO為△ABC的一條中線，AB=a【嘗試應(yīng)用】如圖4，在矩形ABCD中，若AB=8,BC=12，點(diǎn)P在邊AD上，則PB2+【變式12-3】（2023·安徽·模擬預(yù)測）如圖1，AD是△ABC的中線，過CD上一點(diǎn)F作EG∥AB，分別與AD的延長線和AC相交于點(diǎn)E，G(1)若DFCF=2(2)如圖2，在AD上取一點(diǎn)P，使得DP=DE，連接FP并延長交AB于點(diǎn)①求證：HF∥②連接GH．求證：GH=【題型13平行四邊形性質(zhì)與判定的實際應(yīng)用】【例13】（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測）問題提出：（1）如圖①，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝3，AC=22，求問題解決：（2）如圖②，某幼兒園有一塊平行四邊形ABCD的空地，其中AB＝6米，BC＝10米，∠B＝60°，為了豐富孩子們的課業(yè)生活，將該平行四邊形空地改造成多功能區(qū)域，已知點(diǎn)E、G在邊BC上，點(diǎn)F在邊AD上，連接AE、EF、DG．現(xiàn)要求將其中的陰影三角形ABE區(qū)域設(shè)置成木工區(qū)，陰影四邊形EFDG區(qū)域設(shè)置成益智區(qū)，其余區(qū)域為角色游戲區(qū)，若AB∥EF，∠1＋∠2＝【變式13-1】（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖所示，從A地到B地要經(jīng)過一條小河（河的兩岸平行），現(xiàn)要在河上建一座橋（橋垂直于河的兩岸），應(yīng)如何選擇橋的位置，才能使從A地到B地的路程最短？

【變式13-2】（2023·陜西·統(tǒng)考中考真題）問題提出（1）如圖1，在?ABCD中，∠A=45°，AB=8，AD=6，E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在DC問題解決（2）某市進(jìn)行河灘治理，優(yōu)化美化人居生態(tài)環(huán)境．如圖2所示，現(xiàn)規(guī)劃在河畔的一處灘地上建一個五邊形河畔公園ABCDE按設(shè)計要求，要在五邊形河畔公園ABCDE內(nèi)挖一個四邊形人工湖OPMN，使點(diǎn)O、P、M、N分別在邊BC、CD、AE、AB上，且滿足BO=2AN=2CP，AM=OC．已知五邊形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=90°，AB=800m，【變式13-3】（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具，如圖，在正方形紙板ABCD中，BD為對角線，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，AP⊥EF分別交BD，EF于O，P兩點(diǎn)，M，N分別為BO，DO的中點(diǎn)，連接MP，NF，沿圖中實線剪開即可得到一副七巧板，則在剪開之前，關(guān)于該圖形的下列說法：①圖中的三角形都是等腰直角三角形；②圖中的四邊形MPEB是菱形；③四邊形EFNB的面積占正方形ABCD面積的58．正確的有（

A．①③ B．①② C．只有① D．②③【題型14與三角形中位線有關(guān)的計算】【例14】（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ABD=60°，AE⊥BD，垂足為點(diǎn)E，F(xiàn)是OC的中點(diǎn)，連接EF，若EF=2A．163 B．83+4 C．4【變式14-1】（2023·山東東營·統(tǒng)考一模）如圖1，在△ABC中，∠ABC=60°，點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)P從△ABC的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→D的路徑以每秒1個單位長度的速度勻速運(yùn)動到點(diǎn)D．線段DP的長度y隨時間x變化的關(guān)系圖象如圖A．4 B．43 C．8 D．【變式14-2】（2023·安徽·模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=4，D是線段AB上靠近點(diǎn)B的一個三等分點(diǎn)，延長CB到點(diǎn)E，使得BE=12BC，連接DE．若P，

A．4 B．352 C．13 D【變式14-3】（2023·浙江寧波·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC，AC=4，D，F(xiàn)分別是ABA．2 B．3 C．22 D．【題型15與三角形中位線有關(guān)的證明】【例15】（2023·福建泉州·南安市實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)AX，BY，CZ是△ABC的三條中線，求證：AX，BY，CZ

【變式15-1】（2023·浙江溫州·校聯(lián)考二模）如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，點(diǎn)D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，延長DE至F，使EF=2

(1)求證：四邊形BCFE是平行四邊形．(2)已知BE=3，EG【變式15-2】（2023·安徽合肥·統(tǒng)考二模）問題背景：如圖1，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，在△AEF中，∠AEF=90°，∠EAF觀察發(fā)現(xiàn)：(1)為了探究線段EM和DM之間的數(shù)量關(guān)系，可先將圖形位置特殊化，將△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使AE與AB重合，如圖2，易知EM和DM操作證明：(2)繼續(xù)將△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使AE與AD重合時，如圖3，（1）中線段EM問題解決：(3)根據(jù)上述探究的經(jīng)驗，我們回到一般情況，如圖1，在其他條件不變的情況下，上述的結(jié)論還成立嗎？請說明你的理由．【變式15-3】（2023·安徽宿州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)P，交CA的延長線于點(diǎn)

(1)求作⊙O的切線PQ，PQ交AC于點(diǎn)Q(2)在（1）的條件下，求證：PQ=【題型16與三角形中位線有關(guān)的規(guī)律探究】【例16】（2023·黑龍江·校聯(lián)考三模）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=4，分別連接AB，AC，BC的中點(diǎn)，得到第1個等腰直角三角形A1B1C1；分別連接A1B，A1C1，【變式16-1】（2023·重慶·統(tǒng)考中考模擬）如圖，在圖1中，A1、B1、C1分別是等邊ΔABC的邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，在圖2中，A2，B2，C2分別是ΔA1B1C1A．n2 B．2n C．3n【變式16-2】（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=2，點(diǎn)D、點(diǎn)E、點(diǎn)F分別是AC，AB，BC邊的中點(diǎn)，連接DE、EF，得到△AED，它的面積記作S；點(diǎn)D1、點(diǎn)E1、點(diǎn)F1分別是EF，EB，F(xiàn)B邊的中點(diǎn)，連接【變式16-3】（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，BC=1，點(diǎn)P1，M1分別是AB，AC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P2，M2分別是AP1，AM1的中點(diǎn)，點(diǎn)P3，M3分別是AP2，AM2的中點(diǎn)，按這樣的規(guī)律下去，PnMn的長為（n為正整數(shù)）．【題型17與三角形中位線有關(guān)的格點(diǎn)作圖】【例17】（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）圖①、圖②、圖③分別是6×6的正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C、D、E、P、Q、M、N均在格點(diǎn)上，僅用無刻度的直尺在下列網(wǎng)格中按要求作圖，保留作圖痕跡．(1)在圖①中，畫線段AB的中點(diǎn)F．(2)在圖②中，畫△CDE的中位線GH，點(diǎn)G、H分別在線段CD、CE上，并直接寫出△CGH與四邊形(3)在圖③中，畫△PQR，點(diǎn)R在格點(diǎn)上，且△PQR被線段MN分成的兩部分圖形的面積比為1：【變式17-1】（2023·吉林長春·統(tǒng)考二模）圖①、圖②、圖③均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長為1，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC

(1)在網(wǎng)格①中的AC邊上找點(diǎn)D，在BC邊上找點(diǎn)E，連接ED，使AB=2(2)在網(wǎng)格②中的AC邊上找點(diǎn)D，連接BD，使∠CAB(3)在網(wǎng)格③中的AC邊上找點(diǎn)E，連接BE，使△ABE的面積是△BCE面積的【變式17-2】（2023·吉林長春·?？寄M預(yù)測）圖①、圖②、圖③均是4×4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，僅用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，分別按要求畫圖，保留作圖痕跡．(1)在圖①中的AC邊上找一點(diǎn)D，連結(jié)BD，使得△ABD的面積等于△ABC面積的12(2)在圖②中的△ABC的內(nèi)部找一點(diǎn)E，連結(jié)AE、BE，使得△ABE的面積等于△ABC面積的12(3)在圖③中的△ABC的內(nèi)部找一點(diǎn)F，連結(jié)AF、BF、CF，使得△ABF、△ACF和△BCF的面積相等．【變式17-3】（2023·湖北武漢·武漢市第一初級中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖是由小正方形組成的9×9網(wǎng)格，每個小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．A、B、C三點(diǎn)是格點(diǎn)，F(xiàn)，T分別是BC，AC與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，僅用無刻度直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖．

(1)在圖1中，取AB的中點(diǎn)D，AC的中點(diǎn)E，連接ED；再作平行四邊形BDEK；(2)在圖2中，在AB上畫出一點(diǎn)G，使S△(3)在圖2中，在△ABT的邊AT上畫一點(diǎn)M，使得M是正方形MNHP的一個頂點(diǎn)，且正方形的頂點(diǎn)N在AB上，頂點(diǎn)H、P在BT上．（只需畫出點(diǎn)M【題型18三角形中位線的實際應(yīng)用】【例18】（2023·河南省直轄縣級單位·校聯(lián)考一模）阿基米德說：“給我一個支點(diǎn)，我就能撬動地球．”（如圖1）這句話形容杠桿的作用之大：只要有合適的工具和一個合適的支點(diǎn)（或像地球一樣重的物體）輕松撬動．小亮看到廣場上有一塊球形的大石頭，他想知道這塊球形石頭的半徑為多少，他找來一塊棱長為20cm的正方體和長度為200cm的木棒，模仿阿基米德撬動地球的方法，如圖2，木棒和石頭相切于點(diǎn)N，正方體橫截面上的點(diǎn)E，點(diǎn)M，A，E，

(1)求證：∠MON(2)若木棒與水平面的夾角∠BAF=45°，切點(diǎn)N恰好為【變式18-1】（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，要測量被池塘隔開的A，B兩點(diǎn)間的距離，可以在池塘外選一點(diǎn)C，連接AC，BC，分別取AC，BC的中點(diǎn)D，E，測得DE=40m，則AB的長是

【變式18-2】（2023·山東青島·?？家荒＃┤鐖D一只羊在山坡BD中點(diǎn)E