數(shù)列通項(xiàng)公式-常見9種求法(一)

PAGEPAGE1數(shù)列通項(xiàng)公式—常見9種求法（一）一、公式法例1 已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。： 兩邊除以 ，得，則，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得，所以數(shù)列 的通項(xiàng)公式為。評本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式 轉(zhuǎn)化為，說明數(shù)是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。二、累加法例2 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由得則所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。評本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式 轉(zhuǎn)化為 ，進(jìn)而求出 ，即得數(shù)列 的通項(xiàng)公式。例3 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公解：由得所以評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出項(xiàng)公式。，即得數(shù)列的通例4 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解： 兩邊除以，得，則，故因此 ，則評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為 ，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列的通項(xiàng)公式。三、累乘法例5 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)?，所以，則 ，故所以數(shù)列 的通項(xiàng)公式為評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出 ，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。例6 已知數(shù)列滿項(xiàng)公式。，求的通解：因?yàn)棰偎寓谟芒谑剑偈降脛t故所以③由，，則，又知 ，則 ，代入③得。所以，的通項(xiàng)公式為評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為 ，進(jìn)而求出，從而可得當(dāng)?shù)谋磉_(dá)式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。四、待定系數(shù)法例7 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè)④將代入④式，得，等式兩邊消去，得，兩邊除以，得代入④式得⑤由及⑤式得，則 ，則數(shù)列是為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則 ，故 。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式 轉(zhuǎn)化為 ，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。例8 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式解：設(shè)⑥將代入⑥式，得整理得。令 ，則 ，代入⑥式得⑦由及⑦式，得，則 ，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列因此，則。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為從而可知數(shù)列是等比數(shù)列進(jìn)而求出數(shù)列 的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列 的通項(xiàng)公式。例9 已知數(shù)列滿足 ，求數(shù)列的通項(xiàng)公式解：設(shè)⑧將代入⑧式，得，則等式兩邊消去，得，解方程組 ，則 ，代入⑧式，得⑨由及⑨式，得則 ，故數(shù)列為以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，因，則。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最再求出數(shù)列 的通項(xiàng)公式。五、對數(shù)變換法例10 已知數(shù)解：因?yàn)槌Ｓ脤?shù)得滿足，所以，⑩，求數(shù)列。在的通項(xiàng)公式。式兩邊取設(shè)11將⑩式代入11式，并整理，得得，則，兩邊消去，故代入11式，得12由及12式，得，則 ，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)以5為公比的等比數(shù)列，則 ，因此則