遼寧省沈陽(yáng)市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期聯(lián)合考試

Page18一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則的子集個(gè)數(shù)為（）A.16 B.8 C.7 D.4【答案】B【解析】【分析】先求得，由此推斷出的子集個(gè)數(shù).【詳解】，所以，共個(gè)元素，所以的子集個(gè)數(shù)為個(gè).故選：B2.已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)意，則“a＝1”是z為純虛數(shù)的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不充要條件【答案】C【解析】【分析】依據(jù)純虛數(shù)的概念列方程，解得即可推斷.【詳解】，解得，所以“”是為純虛數(shù)的充要條件.故選：C.3.函數(shù)的大致圖象為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的奇偶性可解除A,C,依據(jù)特別點(diǎn)處的函數(shù)值可解除B,進(jìn)而可求解.【詳解】的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又因?yàn)?，所以是定義域內(nèi)的偶函數(shù)，故可解除A,C，又，故可解除B，故選：D4.高斯是德國(guó)聞名數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱(chēng)號(hào)，他和阿基米德，牛頓被世界公認(rèn)為數(shù)學(xué)三大天才，用表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，我們稱(chēng)為高斯函數(shù)，例如，．則關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞增 B.函數(shù)的值域?yàn)镃.最小正周期為1 D.的值域?yàn)椤敬鸢浮緽【解析】【分析】依據(jù)的圖像推斷即可【詳解】解：作出的部分圖像如下所示：A．由圖像易知區(qū)間上單調(diào)遞增，故本選項(xiàng)不符合題意；B．的值域?yàn)?，故本選項(xiàng)符合題意；C．的最小正周期為1，故本選項(xiàng)不符合題意；D．依據(jù)高斯函數(shù)的定義及的值域?yàn)?，易知的值域?yàn)椋时具x項(xiàng)不符合題意．故選：B．5.已知，，則（）A. B. C.2 D.－2【答案】B【解析】【分析】依據(jù)同角關(guān)系可得，由正切的二倍角公式以及誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】因?yàn)樗杂傻?，因此，由二倍角公式可得，故選：B6.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，則函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于（）A.直線(xiàn)x＝－1對(duì)稱(chēng) B.直線(xiàn)x＝－2對(duì)稱(chēng) C.直線(xiàn)x＝2對(duì)稱(chēng) D.直線(xiàn)x＝1對(duì)稱(chēng)【答案】C【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)圖象的平移關(guān)系，結(jié)合與的對(duì)稱(chēng)性，即可求解.【詳解】是函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位，由于與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以與的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，是函數(shù)向右平移2個(gè)單位，所以函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝2對(duì)稱(chēng)，故選：C7.已知函數(shù)若關(guān)于的方程有4個(gè)不同的實(shí)根，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】畫(huà)出的圖象，依據(jù)并探討t探討其實(shí)根的分布狀況，將問(wèn)題化為在內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)范圍.【詳解】如圖，畫(huà)出的圖象，設(shè)結(jié)合圖象知：當(dāng)或時(shí)有且僅有1個(gè)實(shí)根；當(dāng)時(shí)有2個(gè)實(shí)根；問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，從而，解得.故選：D8.已知直線(xiàn)與曲線(xiàn)，分別交于點(diǎn)，則的最小值為（）A B. C.1 D.e【答案】B【解析】【分析】設(shè)與直線(xiàn)垂直，且與相切的直線(xiàn)為，切點(diǎn)為，設(shè)與直線(xiàn)垂直，且與相切的直線(xiàn)為，切點(diǎn)為，進(jìn)而依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得坐標(biāo)得，即可得直線(xiàn)與直線(xiàn)重合時(shí)最小，再求距離即可.【詳解】解：設(shè)與直線(xiàn)垂直，且與相切的直線(xiàn)為，設(shè)與直線(xiàn)垂直，且與相切的直線(xiàn)為，所以，，設(shè)直線(xiàn)與的切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，解得，，即，設(shè)直線(xiàn)與的切點(diǎn)為，因?yàn)椋?，解得，，即，此時(shí)，所以，當(dāng)直線(xiàn)與直線(xiàn)重合時(shí)，最小，最小值為.故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的圖象可以由的圖象向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位得到B.，則C.是偶函數(shù)D.在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】AD【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)平移可推斷A,依據(jù)最值點(diǎn)的與周期的關(guān)系可推斷B,依據(jù)偶函數(shù)的特征可推斷C,整體代入驗(yàn)證法可推斷D.【詳解】對(duì)于A,的圖象向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位得到，故A正確，對(duì)于B，因?yàn)?，由可知為最值，又?故B錯(cuò)誤，對(duì)于C,為奇函數(shù)，故錯(cuò)誤，對(duì)于D,，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，正確，故選：AD10.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】對(duì)作商比較，再通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)推斷其單調(diào)性，可比較的大小，從而可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，在上遞減，所以，所以，所以，即，綜上，故選：AC11.已知函數(shù)，關(guān)于函數(shù)說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)為偶函數(shù) B.函數(shù)的定義域?yàn)镃.函數(shù)的值域?yàn)?D.函數(shù)為周期函數(shù)【答案】ACD【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)的定義域、奇偶性、值域、周期性的學(xué)問(wèn)求得正確答案.【詳解】依題意，由于，所以，故的定義域?yàn)椋ǎ?，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.，為偶函數(shù)，A選項(xiàng)正確.當(dāng)時(shí)，，，所以函數(shù)的值域?yàn)椋珻選項(xiàng)正確.由于，是周期函數(shù)，D選項(xiàng)正確.故選：ACD12.已知定義R上的函數(shù)滿(mǎn)意，又的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且，則（）A.函數(shù)的周期為12 B.C.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)【答案】ABD【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、奇偶性、周期性確定正確答案.【詳解】由，令，得，所以，關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)由于的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以是奇函數(shù).所以，所以的周期為，A選項(xiàng)正確.，B選項(xiàng)正確.結(jié)合上述分析可知，關(guān)于點(diǎn)（）對(duì)稱(chēng)，所以關(guān)于點(diǎn)（）對(duì)稱(chēng)，所以關(guān)于點(diǎn)（）對(duì)稱(chēng)，所以關(guān)于點(diǎn)（）對(duì)稱(chēng)，令，得關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，D選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部是______．【答案】1【解析】【分析】首先依據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再得到其共軛復(fù)數(shù)，從而推斷其虛部．【詳解】解：，所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，其虛部為；故答案為：．14.已知兩個(gè)非零平面對(duì)量，滿(mǎn)意：對(duì)隨意恒有：，且，則______；______．【答案】①.2②.##【解析】【分析】對(duì)不等式兩邊平方并進(jìn)行向量的數(shù)量積的運(yùn)算便可以得到，依據(jù)題意知該不等式對(duì)于隨意恒成立，依據(jù)判別式即可得出的值，進(jìn)而由夾角公式即可求解角.【詳解】由得：，且；；整理得，，該不等式對(duì)隨意的恒成立；；；．，由于，所以，故答案為：2，15.設(shè)函數(shù)，已知在上有且僅有2024個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是___________【答案】【解析】【分析】通過(guò)三角恒等變換公式及協(xié)助角公式化簡(jiǎn)，得到，所以令，并求出，畫(huà)出在的圖像，又因?yàn)樵谏嫌星覂H有2024個(gè)極值點(diǎn)，且每個(gè)周期有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以推出，從而求出的取值范圍【詳解】當(dāng)時(shí)，，令，則，作出函數(shù)的圖象如圖所示：由于函數(shù)在上有且僅有2024個(gè)極值點(diǎn)，則，解得.故答案為：16.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，記為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且滿(mǎn)意，則不等式的解集為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】利用奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)必為偶函數(shù)，可求得，再代入不等式構(gòu)造函數(shù)即可求解.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，故，又，所以，即，所以是定義在上的偶函數(shù)；又因?yàn)椋裕?，兩式相減，再整理得：，所以由得，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以在上，由，解得；又?dāng)時(shí)，，即，故，即，綜上：的解集為，故的解集為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知是定義在R的偶函數(shù)，且，．（1）求的解析式；（2）設(shè)，若存在，對(duì)隨意的，都有，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由求得，從而求得.（2）求得在區(qū)間上的最小值，對(duì)進(jìn)行分類(lèi)探討，求得在區(qū)間上的最小值，依據(jù)求得的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】是定義在R的偶函數(shù)，所以，，，此時(shí)，滿(mǎn)意題意，所以，【小問(wèn)2詳解】依題意存在，對(duì)隨意的，都有，，在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上的最小值為.，開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，當(dāng)時(shí)，在上遞增，最小值為，依題意可知，則.當(dāng)時(shí)，的最小值為，依題意可知，則.當(dāng)時(shí)，在上遞減，最小值為，依題意可知，不符合.綜上所述，取值范圍是.【點(diǎn)睛】利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，可以利用特別點(diǎn)代入法進(jìn)行求解.求解二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，當(dāng)函數(shù)含有參數(shù)時(shí)，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)探討.18.如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線(xiàn)段上靠近A的一個(gè)三等分點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E的直線(xiàn)與邊AB，AC分別交于點(diǎn)P，Q．設(shè)，，其中，（1）求證：為定值，并求此定值；（2）設(shè)△APQ的面積為，△ABC的面積為，求的最小值．【答案】（1）4，證明見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）由向量線(xiàn)性運(yùn)算得，由共線(xiàn)得，整理即可；（2）由三角形面積公式可得，結(jié)合參數(shù)范圍及為定值，消元求函數(shù)最小值即可【小問(wèn)1詳解】證明：由題意得，，由共線(xiàn)得，得證，定值為4；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則，，故，∵，故，由二次函數(shù)性質(zhì)得時(shí)，取得最大值9，故的最小值為19.已知函數(shù)的部分圖象如圖，．（1）求函數(shù)的解析式；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由可得，依據(jù)周期以及可得，進(jìn)而得的解析式，（2）利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)關(guān)系求出與之間的關(guān)系式，然后通過(guò)求出，進(jìn)而即可求出．【小問(wèn)1詳解】結(jié)合題意可知，，，，又由圖象可知，，又由，即，即，取從而，故，【小問(wèn)2詳解】令，從而的對(duì)稱(chēng)軸為，，由圖象可知，與關(guān)于對(duì)稱(chēng)，即，且，因?yàn)?，所以?0.已知向量，，函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，∠ACB的角平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)D，若恰好為函數(shù)的最大值，且此時(shí)，求3a＋4b的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，結(jié)合最小正周期計(jì)算公式，可得答案；（2）依據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，求得最值以及自變量的取值，利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)以及等面積法，建立方程，整理等式，結(jié)合基本不等式“1”的妙用，可得答案.【小問(wèn)1詳解】，則函數(shù)的最小正周期.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值為，則，，因?yàn)槠椒郑?，則點(diǎn)分別到的距離，由，則，即，整理可得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故最小值為.21.已知函數(shù)．（1）若，探討函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，證明：有唯一零點(diǎn)，且．【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）先求，然后對(duì)進(jìn)行分類(lèi)探討，由此求得的單調(diào)區(qū)間.（2）對(duì)進(jìn)行分類(lèi)探討，（1）的結(jié)論以及零點(diǎn)存在性定理證得結(jié)論成立.【小問(wèn)1詳解】的定義域?yàn)椋?，其中，?dāng)時(shí)，在區(qū)間遞增；在區(qū)間遞減.當(dāng)時(shí)，，在上遞增.當(dāng)時(shí)，在遞增；在區(qū)間遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間遞增，在區(qū)間遞減.當(dāng)時(shí)，在上遞增；當(dāng)時(shí)，在遞增，在區(qū)間遞減.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，由（1）得在上遞增，，所以存在唯一零點(diǎn)，且，也即.當(dāng)時(shí)，由（1）得在遞增；在區(qū)間遞減.，則，，所以存在唯一零點(diǎn)，且.22.已知函數(shù)．（1）若函數(shù)存在微小值，且微小值為2a，求實(shí)數(shù)a的值（2）若存在直線(xiàn)l：y＝m與函數(shù)的圖像相交于，，且，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】依據(jù)導(dǎo)數(shù)求解極值，即可依據(jù)微小值為求解.求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而依據(jù)的單調(diào)性可得，進(jìn)而結(jié)合基本不等式即可求解.【小問(wèn)1詳解】，由于存在微小值，所以，故存在，使得，即故當(dāng)，，當(dāng)，故在上單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增，故，