遼寧省2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次階段測試

Page24遼寧省2024屆高二其次次階段測試數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若向量，，且，則實數(shù)值是（）A.0 B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知利用數(shù)量積為零列式計算即可.【詳解】解：因為，，所以，因為，所以，解得．故選：C．2.已知點，若直線與線段有交點，則實數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意知A、B兩點在直線的異側(cè)或在直線上，得出不等式（2k﹣2﹣1）×（﹣k﹣3﹣1）≤0，求出解集即可．【詳解】依據(jù)題意，若直線l：kx﹣y﹣1＝0與線段AB相交，則A、B在直線的異側(cè)或在直線上，則有（2k﹣2﹣1）×（﹣k﹣3﹣1）≤0，即（2k﹣3）（k+4）≥0，解得k≤﹣4或k≥，即k的取值范圍是（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）．故選C．【點睛】本題考查直線與線段AB相交的應(yīng)用問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題．3.若點為圓的弦的中點，則弦所在直線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求得圓心坐標(biāo)為，依據(jù)斜率公式求得，再由依據(jù)圓的弦的性質(zhì)，得到，結(jié)合直線點斜式方程，即可求解.【詳解】由題意，圓，可得，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為，又由斜率公式，可得，依據(jù)圓的弦的性質(zhì)，可得，所以，所以弦所在直線方程為，即，所以弦所在直線方程為.故選：D.【點睛】本題主要考查了直線方程的求解，以及圓的弦的性質(zhì)，其中解答中嫻熟應(yīng)用圓的弦的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運算實力.4.已知是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出，結(jié)合余弦定理可得答案.【詳解】因為，由雙曲線的定義可得，所以，；因,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故選：A【點睛】關(guān)鍵點睛：雙曲線的定義是入手點，利用余弦定理建立間的等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.5.空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點，且法向量為的平面方程為，經(jīng)過點且一個方向向量為的直線l的方程為，閱讀上面的材料并解決下面問題：現(xiàn)給出平面的方程為，經(jīng)過的直線l的方程為，則直線l與平面的位置關(guān)系為（）A.相交但不垂直 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題可知，平面的一個法向量和直線的一個方向向量，由和的位置關(guān)系，推斷直線與平面的位置關(guān)系．【詳解】平面的方程為，平面的一個法向量為，經(jīng)過的直線l的方程為，直線的一個方向向量為，，∴，又點在直線l上但不在平面內(nèi)，所以.故選：C．6.四面體ABCD的每條棱長均為2，點E?F?G分別是棱AB?AD?DC中點，則（）A.1 B.-1 C.4 D.-4【答案】A【解析】【分析】求出EG、EF、GF的長，從而求出，再由，能求出結(jié)果．【詳解】∵四面體ABCD的每條棱長都等于2，點E，F(xiàn)，G分別是棱AB，AD，DC的中點，∴，，

∴，又∴，

．

故選：A．7.已知平面的法向量為，點在平面內(nèi)，點到平面的距離為，則（）A.-1 B.-11 C.-1或-11 D.-21【答案】C【解析】【分析】依據(jù)點到平面距離的向量法公式求解即可.【詳解】，而，即，解得或－11.故選：C8.已知過拋物線的焦點F的直線與拋物線交于A、B兩點，且，拋物線的準(zhǔn)線l與x軸交于點C，于點，若四邊形的面積為，則準(zhǔn)線l的方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】方法一：已知，求得，在利用直線方程和拋物線方程聯(lián)立得到，解得，，再依據(jù)梯形面積公式即可求解出p，進(jìn)而得到準(zhǔn)線l的方程；方法二：依據(jù)拋物線焦半徑公式，，已知，解得，求出高為，再依據(jù)梯形面積公式即可求解出p，進(jìn)而得到準(zhǔn)線l的方程.【詳解】解：方法一：由題意知，準(zhǔn)線的方程為，設(shè)，，則，由，得，即①由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，代人拋物線方程，消去，得,所以②聯(lián)立①②，得，解得或（舍去），所以，因為，將的值代人，解得，所以準(zhǔn)線的方程為，故選：D.方法二：設(shè)，，，則，，因為，所以，解得，則因為四邊形是直角梯形，其中，，高為，所以四邊形的面積為，解得，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為，故選：D.二?選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.已知A?B兩點的坐標(biāo)分別是，，直線AP?BP相交于點P，且兩直線的斜率之積為m，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時，點P的所在的曲線是焦點在x軸上的雙曲線B.當(dāng)時，點P的所在的曲線是焦點在y軸上的雙曲線C.當(dāng)時，點P的所在的曲線是焦點在y軸上的橢圓D.當(dāng)時，點P的所在的曲線是圓【答案】AD【解析】【分析】設(shè)出點的坐標(biāo)，利用斜率乘積轉(zhuǎn)化為求解軌跡方程，通過的范圍，推斷選項的正誤即可.【詳解】設(shè)點的坐標(biāo)為，則直線的斜率為，直線的斜率為，由已知可得，，化簡得點的軌跡方程為，當(dāng)時，點P的軌跡為焦點在x軸上的雙曲線(除去與x軸的交點)，所以A正確；當(dāng)時，點P的軌跡是焦點在x軸上的雙曲線(除去與x軸的交點)，所以B錯誤；當(dāng)時，點P的軌跡為焦點在x軸上的橢圓(除去與x軸的交點)，所以C錯誤；當(dāng)時，點P的軌跡為圓(除去與x軸的交點)，所以D正確.故選：AD.10.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，，，底面ABCD，則（）A.B.PB與平面ABCD所成角為C.異面直線AB與PC所成角的余弦值D.平面PAB與平面ABCD所成二面角為45°【答案】AC【解析】【分析】設(shè)，先證，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的應(yīng)用逐一推斷即可得解.【詳解】設(shè)，因為，，由余弦定理可得，即，從而，即，由底面ABCD，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，故，，，，，所以，所以，即，故A正確；易知面的一個法向量為，所以PB與平面ABCD所成角滿意，即PB與平面ABCD所成角為，故B錯誤；異面直線AB與PC所成角滿意，故C正確；設(shè)面的一個法向量為，所以，令，則，即，由于，故D錯誤；故選：AC.11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)曲線C的方程是，下列結(jié)論正確的是（）A.曲線C上的點與定點距離的最小值是B.曲線C上的點和定點的距離與到定直線l：的距離的比是C.曲線C繞原點順時針旋轉(zhuǎn)45°，所得曲線方程是D.曲線C的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2【答案】ABD【解析】【分析】A選項，設(shè)出曲線隨意一點的坐標(biāo)，依據(jù)兩點間的距離公式以及基本不等式求得“最小值”；B選項，結(jié)合點到直線的距離公式求得正確答案，C選項，通過求實半軸來進(jìn)行推斷；D選項，通過求切線方程來進(jìn)行推斷.【詳解】曲線C的方程是，則，所以曲線是反比例函數(shù)對應(yīng)的圖象，即曲線是雙曲線.A選項，設(shè)是曲線上的隨意一點，，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以.所以，，所以當(dāng)時，取得最小值為，A選項正確.B選項，到直線的距離為，所以曲線C上的點和定點的距離與到定直線l：的距離的比是，B選項正確.C選項，由上述分析可知曲線是雙曲線，由于曲線的圖象關(guān)于對稱，所以是雙曲線實軸所在直線，由解得或，點與點的距離是，所以雙曲線的實軸長，而雙曲線的實半軸，所以C選項錯誤.D選項，，所以在曲線上隨意一點處的切線方程為，令得；令得，所以曲線C的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是，D選項正確.故選：ABD12.已知正方體的棱長為2，M為的中點，N為正方形ABCD所在平面內(nèi)一動點，則下列命題正確的有（）A.若，則MN的中點的軌跡所圍成圖形的面積為B.若MN與平面ABCD所成的角為，則N的軌跡為圓C.若N到直線與直線DC的距離相等，則N的軌跡為拋物線D.若與AB所成的角為，則N的軌跡為雙曲線【答案】BCD【解析】【分析】設(shè)MN中點為H，DM中點為Q，連接PQ，計算出PQ可知P的軌跡為圓可推斷A；依據(jù)已知算出DN，可推斷B；依據(jù)拋物線定義可推斷C；以DA、DC、所在直線分別為x軸、y軸、z軸，利用向量的夾角公式計算可推斷D.【詳解】對于A，設(shè)MN中點為H，DM中點為Q，連接HQ，則，且，如圖，若，則所以，，則，所以點H的軌跡是以Q為圓心，半徑為的圓，面積，故A錯誤；對于B，，，則，所以N的軌跡是以D為圓心，半徑為的圓，故B正確；對于C，點N到直線的距離為BN，所以點N到定點B和直線DC的距離相等，且B點不在直線DC上，由拋物線定義可知，N的軌跡是拋物線，故C正確；對于D，如圖，以DA、DC、所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，所以，，，化簡得，即，所以的軌跡為雙曲線，故D正確；故選：BCD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若三個點，，中恰有兩個點在雙曲線C：上，則雙曲線C的漸近線方程為___________.【答案】【解析】【分析】利用雙曲線的圖象關(guān)于原點對稱,得到點，在雙曲線上，即可求出，進(jìn)而求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】因為三個點，，中恰有兩個點在雙曲線上，又雙曲線的圖象關(guān)于原點對稱,所以點，雙曲線上，所以，解得，所以其漸近線方程為：.故答案為：.14.歷史上第一個探討圓錐曲線的是梅納庫莫斯（公元前375年-325年），大約100年后，阿波羅尼奧更詳盡?系統(tǒng)地探討了圓錐曲線，并且他還進(jìn)一步探討了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，比如：從拋物線的焦點發(fā)出的光線或聲波在經(jīng)過拋物線反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的光線，經(jīng)拋物線反射后，反射光線經(jīng)過拋物線的交點.設(shè)拋物線C：，一束平行于拋物線對稱軸的光線經(jīng)過，被拋物線反射后，又射到拋物線上的Q點，則Q點的橫坐標(biāo)為___________.【答案】##0.0625【解析】【分析】依據(jù)題意，求得拋物線焦點的坐標(biāo)及反射點的坐標(biāo)，即可求得到反射光線所在直線方程，聯(lián)立其與拋物線方程，求得點的坐標(biāo).【詳解】因為經(jīng)過點一束平行于C對稱軸的光線交拋物線于點，故對，令，則可得，也即的坐標(biāo)為，又拋物線的焦點的坐標(biāo)為，故可得直線方程為，聯(lián)立拋物線方程可得：，解得或，將代入，可得，即的坐標(biāo)為，故答案為:.15.正方體的校長為1，點P是內(nèi)不包括邊界的動點，若，則線段AP長度的最小值為___________.【答案】##【解析】【分析】依據(jù)平面確定平面，進(jìn)而在上，故當(dāng)時，最小，計算線段長度利用等面積法計算得到答案.【詳解】與相交于，連接，，，，，，故平面，，故平面，P是內(nèi)不包括邊界的動點，故在上，當(dāng)時，最小中，，，依據(jù)等面積法：.故答案為：16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓O：，，若圓O上存在兩點A?B滿意下列條件：M為弦AB的中點，，則實數(shù)m的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】由幾何關(guān)系得，再由三角比列不等式求解，【詳解】由M為弦AB的中點，，得，，點在圓外，設(shè)過點與圓相切的兩條直線切點分別為，由題意得，，則，解得故答案為：四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.過橢圓內(nèi)一點引一條直線與橢圓相交于A?B兩點.（1）若M是線段AB的中點，求直線AB的方程；（2）若直線AB的斜率為2，求線段AB的長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)出兩交點坐標(biāo)及直線的表達(dá)式，通過與中點的關(guān)系，作差，求出斜率，進(jìn)而得出直線AB的方程.（2）寫出直線的表達(dá)式，與橢圓方程聯(lián)立，得出交點坐標(biāo)，求出兩點之間的距離.【小問1詳解】由題意，在橢圓中，過的直線與橢圓相交于A?B兩點，M是線段AB的中點∴設(shè)，，直線解得：∴∴，即【小問2詳解】由題意及（1）得在橢圓中，過的直線與橢圓相交于A?B兩點，直線AB的斜率為2，∴，即解得：或∴A?B兩點坐標(biāo)分別為，，∴18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：及其上一點.（1）設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點，且，求直線l的方程；（2）設(shè)點滿意：存在圓M上的兩點P和Q，使得，求實數(shù)t的取值范圍.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）確定圓心和半徑，依據(jù)平行得到直線方程為，依據(jù)弦長公式結(jié)合圓心到直線的距離得到答案.（2），，即在圓的內(nèi)部，代入計算得到答案.【小問1詳解】，即，故圓心，，，設(shè)直線方程，，故圓心到直線的距離為，即，解得或，故直線方程為或.【小問2詳解】，即，，故在圓的內(nèi)部，即，解得，即實數(shù)的取值范圍是19.如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l.（1）證明：平面PDC；（2）已知，Q為l上的點，且，求PB與平面QCD所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由，可推得，又易證平面，從而得平面；（2）建系，利用向量的坐標(biāo)運算，求解與平面所成角的正弦值即可．【小問1詳解】證明：，平面，平面，平面，又平面，且平面平面，，又底面，底面，，又正方形，，，平面平面，又，平面；【小問2詳解】解：因為底面，面，所以，又正方形中，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，依據(jù)題意可得：，，，，，由于Q為l上的點，且，則，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，，，與平面所成角的正弦值為．20.已知圓M：與拋物線E：相交于四點A?B?C?D，且在四邊形ABCD中，.（1）求實數(shù)m的取值范圍；（2）設(shè)AC與BD相交于點G，面積為，求點G的坐標(biāo)及m的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）設(shè)，，，，聯(lián)立圓與拋物線方程，可得關(guān)于的一元二次方程，由判別式大于0及方程根的狀況求得的范圍；（2）由對稱性，點在軸上，可設(shè)，由，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求得值，即可得到的坐標(biāo)．再由，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．【小問1詳解】依據(jù)圓與拋物線的對稱性，四邊形是以軸為對稱軸的等腰梯形，不妨設(shè)，，在第一象限，，，，，則，，聯(lián)立，得．上述方程有互異兩正根，則，解得．【小問2詳解】由對稱性，點在軸上，可設(shè)，由，得，化簡得，由，，，在拋物線上，且均為正數(shù)，所以，將其代入得：，由于，所以，由（1）知則，即．，化簡得，解得或，由（1）知，故或均符合，故或，【點睛】結(jié)論點睛：一般對于解析幾何的大題，常涉及到面積，弦長，定值，定點類問題.一般從兩個基本環(huán)節(jié)進(jìn)行求解：翻譯轉(zhuǎn)化；將題目中的幾何關(guān)系恰當(dāng)轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)代數(shù)式（等式或者不等式），消元求值；對所列出的不等式或者方程，進(jìn)行變形，化簡消元.21.如圖，四棱錐P－ABCD的底面為直角梯形，AD∥BC，AD＝2BC＝2，BC⊥DC，∠BAD＝60°，平面PAD⊥底面ABCD，E為AD的中點，△PAD為正三角形，M是棱PC上的一點(異于端點)．（1）若M為PC的中點，求證：PA∥平面BME；（2）是否存在點M，使二面角M-BE-D的大小為30°.若存在，求出點M的位置；若不存在，說明理由．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）連接AC交BE于點F，依據(jù)平面幾何學(xué)問可得ABCE為平行四邊形，即得MF∥PA.再依據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論；（2）先依據(jù)空間直角坐標(biāo)系，再設(shè)立各點坐標(biāo)，依據(jù)方程組解得平面法向量，依據(jù)向量數(shù)量積求向量夾角，最終依據(jù)二面角與向量夾角相等或互補關(guān)系列方程解得M坐標(biāo)，即得點M的位置．【小問1詳解】證明：如圖，連接AC交BE于點F，連接CE.由題意知BC∥AE，且，故四邊形ABCE為平行四邊形，∴F為AC的中點，在△PAC中，又由M為PC的中點，得MF∥PA.又MF?平面BME，PA?平面BME，∴PA∥平面BME.【小問2詳解】連接PE，則由題意知PE⊥平面ABCD.故以E為坐標(biāo)原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系E－xyz，則E(0,0,0)，，，．設(shè)，，則，解得，，，取平面DBE的法向量，設(shè)平面BME的法向量，則，即，令，則，故平面BME的一個法向量，又由，則，解得，即，故存在點滿意要求，且M為棱PC上靠近端點C的四等分點．22.已知拋物線C：，點.（1）設(shè)斜率為1的直線l與拋物線C交于A，B兩點，若的面積為，求直線l的方程；（2）是否存在定圓M：，使得過曲線C上隨意一點Q作圓M的兩條切線，與曲線C交