福建省福州市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期12月月考試題

Page18福建省福州市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期12月月考試題一、選擇題；本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．“方程表示橢圓”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分條件又不必要條件2．雙曲線的左焦點(diǎn)在拋物線（）的準(zhǔn)線上，則雙曲線的漸近線方程為A． B． C． D．3．如圖，三棱錐中，，，，且，，則（

）A． B． C． D．4．等差數(shù)列中，若，則該數(shù)列的前項(xiàng)的和為（）A．2015 B．4030 C．6045 D．120905．已知圓與圓相交于，兩點(diǎn)，且，給出以下結(jié)論：①是定值；②四邊形的面積是定值；③的最小值為；④的最大值為，則其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．6．已知實(shí)數(shù)，滿意約束條件，則的最小值為（

）．A． B． C．2 D．37．已知拋物線C：（）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，設(shè)P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與拋物線C的一個(gè)交點(diǎn)，若，且，則p的值為（

）A．2 B．4 C．6 D．88．在矩形ABCD中，，，平面ABCD，，則PC與平面ABCD所成的角為（

）A．30° B．45° C．60° D．120°二、選擇題；本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9．已知點(diǎn)到點(diǎn)的距離是點(diǎn)到點(diǎn)距離的2倍，記點(diǎn)的軌跡為，若直線：與曲線交于M，N兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．曲線為圓 B．曲線為橢圓C．曲線與直線有交點(diǎn) D．10．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.若，則以下結(jié)論肯定正確的是（

）A． B．的最大值為 C． D．11．如圖，在直三棱柱中，，分別是棱的中點(diǎn)，在線段上，則下列說法中正確的有（

）A．平面B．平面C．存在點(diǎn)，滿意D．的最小值為12．如圖，若正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)是正方體的側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(含邊界)，是棱的中點(diǎn)，全科免費(fèi)下載公眾號(hào)《中學(xué)僧課堂》則下列結(jié)論正確的是（

）A．沿正方體的表面從點(diǎn)A到點(diǎn)的最短路程為 B．若保持，則點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度為C．三棱錐的體積最大值為 D．若點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，則到直線的距離的最小值為三、填空題；本題共4小題，每小題5分，共20分13．直線的傾斜角為______．14．若向量，，，且向量，，共面，則______．15．已知數(shù)列中，，，則___________.16．過雙曲線：的左焦點(diǎn)作圓的切線，設(shè)切點(diǎn)為，延長(zhǎng)交拋物線：于點(diǎn)，其中有一個(gè)共同的焦點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為_______.四、解答題；本題共6個(gè)小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．?dāng)?shù)列中，為其前項(xiàng)和，且．（1）求，；（2）若，求數(shù)列的其前項(xiàng)和．18．已知圓：，圓：，一動(dòng)圓與圓和圓同時(shí)內(nèi)切.(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，兩相互垂直的直線，相交于點(diǎn)，交曲線于，兩點(diǎn)，交圓于，兩點(diǎn)，求與的面積之和的取值范圍.19．如圖，在直三棱柱中，，分別為，，的中點(diǎn)，分別記，，為，，.(1)用，，表示，；(2)若，，求.20．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)是拋物線C上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是PF的中點(diǎn)，且Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為．(1)求拋物線C的方程；(2)已知圓，圓M的一條切線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：OA，OB的斜率之差的肯定值為定值．21．如圖，已知在矩形中，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起，點(diǎn)的位置記為，此時(shí)，是的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求證：面；(3)求二面角的余弦值.22．已知橢圓M：的左、右焦點(diǎn)分別為、，，點(diǎn)在橢圓M上．（1）求橢圓M的方程；（2）過的直線l與橢圓M交于P、Q兩點(diǎn)，且，求直線l的方程；（3）如圖，四邊形ABCD是矩形，AB與橢圓M相切于點(diǎn)F，AD與橢圓M相切于點(diǎn)E，BC與橢圓M相切于點(diǎn)G，CD與橢圓M相切于點(diǎn)H，求矩形ABCD面積的取值范圍．參考答案：1．A本題結(jié)合橢圓的定義與充分必要條件，依據(jù)橢圓的定義列不等式組解出，特殊要留意的就是橢圓的，這道題即可解決.由方程表示橢圓，則滿意條件為：，解得且所以由且，可以推出，但反過來不成立.故選：A2．C雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則雙曲線的左焦點(diǎn)拋物線的準(zhǔn)線為∵雙曲線的左焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，，即則即解得即，則雙曲線的漸近線方程為.故選C.3．C依據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，可求得答案.由題意，，得，故選：C．4．D利用等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式即可得出結(jié)果．由等差數(shù)列，，則，解得，則該數(shù)列的前2015項(xiàng)的和，故選．本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式及其性質(zhì)，考查了推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．5．D首先依據(jù)示意圖得到為等邊三角形，從而就可以推斷①，又可以計(jì)算四邊形的面積，進(jìn)而推斷②，再依據(jù)得到，最終利用基本不等式求得，的最值.依據(jù)題意畫出示意圖：設(shè)直線AB與OM交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C為AB中點(diǎn)且,因?yàn)?所以為等邊三角形，故,,故①正確；，而,所以為定值，故②正確；因?yàn)椋?，所以，利用基本不等式得：，所以，故③不正確；又，所以，故④正確；綜上：正確的有：①②④.故選：D.推斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法，由兩圓相交得到圓心連線與公共弦是垂直平分的，在處理線段長(zhǎng)度，面積問題，數(shù)量積問題中常常會(huì)用到，須要嫻熟駕馭.6．B作出可行域，表示的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)到的斜率，找到取最小值的點(diǎn)代入即可.如下圖所示，陰影部分為可行域，結(jié)合圖像，當(dāng)取可行域內(nèi)點(diǎn)時(shí)，取最小值，，，，此時(shí)為點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率為.故選：B7．C依據(jù)題意，求得，結(jié)合拋物線定義，求得即可.依據(jù)題意，過作，記與軸交點(diǎn)為，如下所示：由拋物線定義可知，又因?yàn)?，且，故可得，則，由，解得.故選：C.本題考查拋物線方程的求解，涉及拋物線的定義，屬中檔題.8．A建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出線面角；解：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB，AP所在的直線分別為x軸,y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，平面ABCD的一個(gè)法向量為，所以．又因?yàn)?，所以，所以斜線PC與平面ABCD的法向量所在的直線所成的角為60°，所以斜線PC與平面ABCD所成的角為30°．故選：A9．AD對(duì)于AB，依據(jù)題意得，再利用兩點(diǎn)距離公式整理得，從而可知曲線為圓；對(duì)于C，利用圓心到直線的距離與半徑的比較，即可推斷兩者是否有交點(diǎn)；對(duì)于D，利用弦長(zhǎng)公式即可得解.對(duì)于AB，設(shè)，而，故，則，即，即，所以曲線為圓，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，圓心到直線的距離為，故曲線與直線相離，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，圓心到直線：的距離為，則，故D正確.故選：AD.10．AC依據(jù)等差數(shù)列的定義及前項(xiàng)和公式可求得公差與的關(guān)系，再對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行逐一推斷即可.設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，可得，解得，又由，所以，所以A正確；因?yàn)楣畹恼?fù)不能確定，所以可能為最大值最小值，故B不正確；由，所以，所以C正確；因?yàn)椋?，即，所以D錯(cuò)誤.故選:AC.11．AD對(duì)于A，在平面找一條直線，使其與平行即可；對(duì)于B，先由證明四點(diǎn)共面，再證四點(diǎn)共面，進(jìn)而能推斷直線與平面的位置關(guān)系；對(duì)于C，以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)運(yùn)算即可；對(duì)于D，把三棱錐的正面和上底面綻開，即能找到的最小值，構(gòu)造直角三角形求解即可.對(duì)于A，連接，分別是棱的中點(diǎn)，且，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面在平面內(nèi)，所以平面，故A正確；對(duì)于B，易知，所以四點(diǎn)共面，又點(diǎn)，所以四點(diǎn)共面，平面，而平面，直線平面，故B不正確；對(duì)于C，以為正交基底，建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，，若，則，，在線段延長(zhǎng)線上，而不在線段上，故C不正確；對(duì)于D，把圖1的正面和上底面綻開如圖2所示，連接即為所求，過做PG垂直于且與其相交于，與相交于，易得，，，，在中，，，故D正確.故選：AD12．ABD對(duì)于A，分析點(diǎn)M沿正方體的表面從點(diǎn)A到點(diǎn)的各種狀況即可推斷；對(duì)于B，取DD1中點(diǎn)E，連EM并求出EM=1即可計(jì)算推斷；對(duì)于C，利用等體積法轉(zhuǎn)化為求三棱錐的體積即可推斷；對(duì)于D，建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量建立函數(shù)關(guān)系求其最值即可推斷作答.對(duì)于A，點(diǎn)M沿正方體的表面從點(diǎn)A到點(diǎn)的最短路程，則點(diǎn)M應(yīng)在點(diǎn)A與點(diǎn)P所在的兩個(gè)相鄰平面內(nèi)從點(diǎn)A到點(diǎn)，由對(duì)稱性知，點(diǎn)M從點(diǎn)A越過棱DD1與越過棱BB1到點(diǎn)的最短路程相等，點(diǎn)M從點(diǎn)A越過棱DC與越過棱BC到點(diǎn)的最短路程相等，把正方形ABB1A1與正方形BCC1B1放在同一平面內(nèi)，如圖，連接AP，AP長(zhǎng)是點(diǎn)M從點(diǎn)A越過棱BB1到點(diǎn)的最短路程，，把正方形ABCD與正方形BCC1B1放在同一平面內(nèi)，如圖，連接AP，AP長(zhǎng)是點(diǎn)M從點(diǎn)A越過棱BC到點(diǎn)的最短路程，，而，于是得點(diǎn)M沿正方體的表面從點(diǎn)A到點(diǎn)最短路程為，A正確；對(duì)于B，取DD1中點(diǎn)E，連EM，PE，如圖，因是正方體的棱中點(diǎn)，則PE//CD，而CD⊥平面ADD1A1，則有PE⊥平面ADD1A1，平面ADD1A1，于是得PE⊥EM，由，PE=1得，EM=1，因此，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)路徑是以E為圓心，1為半徑的圓在正方形內(nèi)的圓弧，如圖，圓弧所對(duì)圓心角為，圓弧長(zhǎng)為，B正確；對(duì)于C，因，而面積是定值，要三棱錐的體積最大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M到平面C1BD距離最大，如圖，點(diǎn)A1是正方形ADD1A1內(nèi)到平面C1BD距離最大的點(diǎn)，，C不正確；對(duì)于D，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，令，則，又，直線PD1與直線PM夾角為，，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，取最大值，而，此時(shí)，取得最小值，又，點(diǎn)到直線的距離，于是得，所以到直線的距離的最小值為，D正確.故選：ABD關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及空間圖形中幾條線段和最小的問題，把相關(guān)線段所在的平面圖形綻開并放在同一平面內(nèi)，再利用兩點(diǎn)之間線段最短解決是關(guān)鍵.13．把直線方程化為斜截式，再利用斜率與傾斜角的關(guān)系即可得出．設(shè)直線的傾斜角為．由直線化為，故，又，故，故答案為．一般地，假如直線方程的一般式為，那么直線的斜率為，且，其中為直線的傾斜角，留意它的范圍是．14．##由向量共面的性質(zhì)列出方程組求解即可.因?yàn)椋?，共面，所以存在?shí)數(shù)x，y，使得，得，解得∴

．故答案為：15．-9【解析】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，利用疊加法即得解.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，故故答案為:-9本題考查了利用疊加法求通項(xiàng)公式，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，分類探討，數(shù)學(xué)運(yùn)算的實(shí)力，屬于中檔題.16．依據(jù)圓心到切線的距離等于半徑求得，依據(jù)中位線求得且，利用等面積法求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入切線方程求得橫坐標(biāo).求出拋物線的方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程，化簡(jiǎn)后求得的值，進(jìn)而求得雙曲線的離心率.由于直線和圓相切，故圓心到直線的距離等于半徑，而，故.所以直線的斜率為，故直線的方程為.由于是的中點(diǎn)，故是三角形的中位線，故且，由等面積法得，解得，代入直線的方程，求得，故.由于拋物線和雙曲線焦點(diǎn)相同，故，所以拋物線方程為，將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程并化簡(jiǎn)得，即，解得，故雙曲線的離心率為.本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查雙曲線的離心率，屬于中檔題.17．（1）；；（2）.【解析】（1）由，得，進(jìn)而得，再由即可得解；（2）由，利用錯(cuò)位相減法即可求和.（1）當(dāng)時(shí)，，則，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，適合上式，則，（2）由（1）可知，則兩式相減得，∴.本題主要考查了利用求數(shù)列通項(xiàng)公式，涉及錯(cuò)位相減法求和，屬于基礎(chǔ)題.18．(1)(2)（1）依據(jù)動(dòng)圓圓心到兩定點(diǎn)距離的關(guān)系可以推斷其為雙曲線；（2）分兩種狀況探討，每一種狀況中計(jì)算、，從而求得面積的表達(dá)式，再求范圍即可.(1)由：，得，可知，其半徑為，由：，得，可知，其半徑為.設(shè)動(dòng)圓半徑為，動(dòng)圓圓心到的距離為，到的距離為，則有或，即，得，又，所以動(dòng)圓圓心的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線，由，可得.所以動(dòng)圓圓心的軌跡方程為.(2)①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，由題意，，設(shè)：，與雙曲線聯(lián)立，由于其于雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，得且，且.設(shè)：，即.設(shè)圓到直線的距離為，則，因?yàn)榻粓A于，兩點(diǎn)，故，得.且，由題意可知,所以，因?yàn)?，可?②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，所以，所以.19．(1)；.(2).（1）用空間向量的加減運(yùn)算分別表示，，，，再轉(zhuǎn)化為，，表示即可；（2）先把用，，表示，然后平方，把向量的模和數(shù)量積分別代入，計(jì)算出結(jié)果后再進(jìn)行開方運(yùn)算求得.（1）連結(jié).在直三棱柱中，，，，則..（2）如圖，在直三棱柱中，，，，所以，，又，所以，，.，所以.20．(1)；(2)2.（1）依據(jù)題意即可列出等式，即可求出答案；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程為即點(diǎn)的坐標(biāo)，把直線與拋物線進(jìn)行聯(lián)立，寫出韋達(dá)定理，利用到直線的距離等于半徑2，找到與之間的關(guān)系式，在計(jì)算OA，OB的斜率之差的肯定值，化簡(jiǎn)即可求出答案.(1)依據(jù)題意可列故拋物線C的方程為.(2)①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，，.

②當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，故設(shè)直線的方程為，圓M的一條切線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，故設(shè)把直線的方程與拋物線進(jìn)行聯(lián)立..綜上所述：的斜率之差的肯定值為定值為2.21．(1)證明見解析(2)證明見解析(3)（1）取線段的中點(diǎn)，連接、，證明出平面平面，利用面面平行的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（2）翻折前，利用勾股定理證明出，翻折后則有，，利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（3）過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，連接，分析可知二面角的平面角為，證明出，計(jì)算出的長(zhǎng)，即可求得的余弦值，即為所求.(1)證明：取線段的中點(diǎn)，連接、，翻折前，在矩形中，為的中點(diǎn)，，則，所以，，翻折后，在三棱錐中，、分別為、的中點(diǎn)，則，平面，平面，平面，為的中點(diǎn)，且，則，所以，為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈?/p>