福建省泉州市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期入學(xué)分班摸底檢測(cè)試題含解析

Page23福建省泉州市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期入學(xué)分班摸底檢測(cè)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.用條形圖描述某班學(xué)生的一次數(shù)學(xué)單元測(cè)驗(yàn)成果（滿分100分）.如圖所示，由圖中信息給出下列說法：①該班一共有50人；②假如60分為合格，則該班的合格率為88%；③人數(shù)最多的分?jǐn)?shù)段是80-90；④80分以上（含80分）占總?cè)藬?shù)的百分比為44%.其中正確說法的個(gè)數(shù)為：（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】D【解析】【分析】利用條形圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，對(duì)四個(gè)說法一一推斷，即可.①干脆相加，即可求出該班人數(shù)；②干脆計(jì)算該班的合格率；③由條形圖干脆推斷；④干脆計(jì)算出80分以上(含80分)占總?cè)藬?shù)的百分比，即可推斷.【詳解】依據(jù)條形圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析：①該班一共有2+4+10+12+14+8=50(人),此項(xiàng)正確；②，此項(xiàng)正確；③由條形圖可知：人數(shù)最多的分?jǐn)?shù)段是80-90,此項(xiàng)正確;④80分以上(含80分)占總?cè)藬?shù)的百分比為,此項(xiàng)正確.故選：D2.下列運(yùn)算中，正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】干脆利用根式的法則以及性質(zhì)求解即可．【詳解】對(duì)于A，，錯(cuò)誤；對(duì)于B，，錯(cuò)誤；對(duì)于C，，錯(cuò)誤；對(duì)于D，，正確；故選：D3.若關(guān)于的不等式組有且只有四個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）.A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)解一元一次不等式組步驟，進(jìn)行計(jì)算可得，然后依據(jù)題意可得，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：，解不等式①得，解不等式②得，依題意原不等式組的解集為，不等式組有且只有四個(gè)整數(shù)解，，，故選：C．4.為了疫情防控，某小區(qū)須要從甲?乙?丙?丁4名志愿者中隨機(jī)抽取2名負(fù)責(zé)該小區(qū)入口處的測(cè)溫工作，則甲被抽中的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中甲被抽中的結(jié)果有6種，再由概率公式求解即可．【詳解】解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中甲被抽中的結(jié)果有6種，甲被抽中的概率為，故選：A．5.如圖所示，已知三角形為直角三角形，為圓切線，為切點(diǎn)，，則和面積之比為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】連接OC,過點(diǎn)B作于M.利用幾何關(guān)系證明出，得到，即可求解.【詳解】如圖,連接OC,過點(diǎn)B作于M.∵BC是⊙O的切線,OC為半徑,∴,即.∵DE是⊙O的直徑,.又∵，∴.∵∴∴∴.故選：B.6.視察規(guī)律，，，，運(yùn)用你視察到的規(guī)律解決以下問題：如圖，分別過點(diǎn)作軸的垂線，交的圖像于點(diǎn)，交直線于點(diǎn).則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用解析式求得，，，，，進(jìn)而求得線段，，，將所求結(jié)果代入算式，再利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算可得．【詳解】解：在上，在直線上，，，；同理：，，；，，；，．．故選：D．7.如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線.結(jié)合圖象分析下列結(jié)論：①；②；③；④一元二次方程的兩根分別為；⑤若為方程的兩個(gè)根，則且.其中正確的結(jié)論有（）個(gè).A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】依據(jù)二次函數(shù)圖象的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、增減性以及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，逐項(xiàng)推斷即可．【詳解】解：拋物線開口向下，因此，對(duì)稱軸為，因此、異號(hào)，所以，拋物線與軸交點(diǎn)在正半軸，因此，所以，故①不正確；當(dāng)時(shí)，，故②正確；拋物線與軸交點(diǎn)，對(duì)稱軸為．因此另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，又，有，所以，而，因此，故③不正確；拋物線與軸交點(diǎn)，，即方程的兩根為，；所以，，所以，因此，即，即，解得，，即方程的兩根為，，故④錯(cuò)誤；拋物線與軸交點(diǎn)，，且，所以拋物線方程可化為，因此當(dāng)時(shí)，相應(yīng)的值大于或者小于，所以方程的兩個(gè)根，即方程的兩個(gè)根，則且，故⑤正確；綜上所述，正確的結(jié)論有：②⑤共2個(gè)，故選：A．8.如圖，和都是等腰直角三角形，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），與交于點(diǎn)，連結(jié).下列結(jié)論：①；②；③若，則；④在內(nèi)存在唯一一點(diǎn)，使得的值最小，若點(diǎn)在的延長線上，且的長為2，則.其中含全部正確結(jié)論的選項(xiàng)是（）A.①②④ B.①②③ C.①③④ D.①②③④【答案】B【解析】【分析】證明，即可推斷①；證明，，，四點(diǎn)共圓，利用圓周角定理證明②；設(shè)，則．，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，求出，，即可推斷③；將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)共線時(shí)，值最小，此時(shí)，，，設(shè)，則，構(gòu)建方程求出，即可推斷④．【詳解】解：如圖1中，

，，，，，，，故①正確，，，，，取的中點(diǎn)，連接，，，則，，，，四點(diǎn)共圓，，故②正確，設(shè)，則．，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，，故③正確．如圖2中，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，

，，，是等邊三角形，，，當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)共線時(shí)，值最小，此時(shí)，，，，設(shè)，則，，，，故④錯(cuò)誤．故選：B．【方法點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，圓周角定理，解直角三角形等學(xué)問，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用協(xié)助線，構(gòu)造特別三角形解決問題.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分9.假如解關(guān)于的分式方程時(shí)出現(xiàn)增根，則的值可能為（）A. B. C. D.1【答案】AB【解析】【分析】去分母，然后將增根代入即可求出的值．【詳解】解：方程的最簡公分母為，去分母，得，當(dāng)增根為時(shí)，，解得，當(dāng)增根為時(shí)，，的值可能為或，故選：AB．10.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形放置在第一象限，且軸，直線從原點(diǎn)動(dòng)身沿軸正方向平移，在平移過程中直線被平行四邊形截得的線段長度與直線在軸上平移的距離的函數(shù)圖像如圖2，下列說法正確的是（）

A.直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，在軸上平移的距離為6B.直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，被平行四邊形截得的線段長度為C.平行四邊形的面積為24D.的值為16【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)圖象可以得到當(dāng)移動(dòng)的距離是6時(shí)，直線經(jīng)過點(diǎn)，當(dāng)移動(dòng)距離是時(shí)，直線經(jīng)過，在移動(dòng)距離是時(shí)經(jīng)過，即可求出，結(jié)合圖形依次求值即可．【詳解】解：由題意得，當(dāng)直線平移到點(diǎn)時(shí)，，在軸上平移的距離，故A正確；當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，如圖所示：由題意和圖象2可知，，，故B正確；當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，作于點(diǎn)，如下圖所示：

由圖象和題意可得，，，，，直線平行直線，，，所以，平行四邊形的面積是，故C錯(cuò)誤；當(dāng)直線從過點(diǎn)的位置到過點(diǎn)位置時(shí)，結(jié)合圖形2可得，，，故D正確．故選：ABD．11.二次函數(shù)，，是常數(shù)，的自變量與函數(shù)值的部分對(duì)應(yīng)值如下表：01222已知.則下列結(jié)論中，正確的是（）A.B.和是方程的兩個(gè)根C.D.取隨意實(shí)數(shù)）【答案】ABC【解析】【分析】依題意可得、且，則，即可推斷A，再依據(jù)函數(shù)的對(duì)稱軸及最大值推斷B、D，令、，計(jì)算即可得到C.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，，，又當(dāng)時(shí)，所以，，故A正確；又是對(duì)稱軸，時(shí)，則時(shí)，，和是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，故B正確；當(dāng)時(shí)，，則，即，當(dāng)時(shí)，，則，即，故C正確；因?yàn)楹瘮?shù)圖象開口向下，對(duì)稱軸為，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最大值，即，所以當(dāng)（為隨意實(shí)數(shù)）時(shí)，即，即（為隨意實(shí)數(shù)），故D錯(cuò)誤；故選：ABC12.如圖，在中，和的角平分線交于點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)與交于點(diǎn)，以為邊向兩側(cè)作等邊和等邊，分別和，交于點(diǎn)，連接．若，，，．則下列結(jié)論中正確的是（）A.B.是等邊三角形C.與相互垂直平分D.【答案】ABD【解析】【分析】利用三角形的內(nèi)心的性質(zhì)可得為的平分線，利用角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理，通過計(jì)算即可得出，可推斷A；通過證明即可判定B的正確；利用為一般三角形，不肯定平分，可以判定C不肯定成立；利用三角形的面積公式計(jì)算得出結(jié)論即可判定D正確．【詳解】解：和的角平分線交于點(diǎn)，，．，．．．A正確；三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，為的平分線．．以為邊向兩側(cè)作等邊和等邊，，，．．在和中，，．．，是等邊三角形．B正確；，為的平分線，垂直平分，但不肯定平分，C不正確；．D正確．故選：ABD．三、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共35分.13.已知為實(shí)數(shù)，且，是關(guān)于的方程的兩根，則的值為__________.【答案】##【解析】【分析】利用韋達(dá)定理求出，，再由乘法公式變形計(jì)算可得．【詳解】解：因?yàn)?，是關(guān)于的方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系，得，．所以，故答案為：．14.如圖，甲?乙兩船同時(shí)從B港分別向C港和A港行駛.已知甲船速度是乙船速度的1.2倍，A?B兩港相距540千米.甲船3小時(shí)后到達(dá)C港，然后馬上駛向A港，最終與乙港同時(shí)到達(dá)A港，則乙船速度是__________千數(shù)/小時(shí).【答案】【解析】【分析】由題意，可得行程過程分為兩部分，一是相遇問題，二是追及問題，依據(jù)公式，可列方程，求解答案.【詳解】設(shè)乙船速度為，即甲船速度為，依據(jù)題意，可得：，解得：，故答案為：.15.如圖，把一張矩形紙片沿折疊后，點(diǎn)，分別落在，上，交于點(diǎn)，已知，那么__________度.【答案】【解析】【分析】因?yàn)槠叫兴杂?，又由題意可知和本就是同一個(gè)角，所以相等，依據(jù)平角概念即可求出．【詳解】解：，，，，．故答案為：．16.五個(gè)互不相等自然數(shù)的平均數(shù)是15，中位數(shù)是18，則這五個(gè)數(shù)中最大數(shù)的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)五個(gè)互不相等自然數(shù)從小到大分別為、、、、，依題意可得，，要使盡可能大，則其余三個(gè)數(shù)竟盡可能小，且，即可確定其余三個(gè)數(shù)，從而求出.【詳解】解：設(shè)五個(gè)互不相等的自然數(shù)從小到大分別為、、、、，因?yàn)槠淦骄鶖?shù)是，五個(gè)互不相等自然數(shù)的和為，中位數(shù)是，即，要使竟盡可能大，則、、需盡可能小，則，，，此時(shí)即這組數(shù)據(jù)為，，，，，符合題意.這五個(gè)數(shù)中最大數(shù)的最大值為．故答案為：．17.若，則__________.【答案】-3【解析】【分析】先化簡，再代入求值.【詳解】因?yàn)?，所以，原?=-3故答案為：-3.18.整數(shù)，滿意方程，則__________.【答案】或【解析】【分析】首先通過將等號(hào)左右兩邊同乘以一個(gè)數(shù)加上一個(gè)數(shù)，從而使左邊能夠分解因式，右邊變?yōu)橛泻苌賻讓?duì)兩整數(shù)相乘的形式，從而依據(jù)兩邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)一步求得、的值，進(jìn)而求得的值．【詳解】解：，，，，是質(zhì)數(shù)，或或或，解得或或或或故答案為：或．19.如圖，點(diǎn)是雙曲線在其次象限分支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接并延長交另一分支于點(diǎn)，以為底作等腰，且，點(diǎn)在第一象限，隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的位置也不斷改變，但點(diǎn)始終在雙曲線上運(yùn)動(dòng)，則的值為__________.【答案】【解析】【分析】連接，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，證明，依據(jù)相像三角形性質(zhì)求出和面積比，依據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征求出，得到，求出的值．【詳解】解：連接，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接并延長交另一分支于點(diǎn)，以為底作等腰，且，，，則，，，又，，，，點(diǎn)是雙曲線在其次象限分支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，，即，，故答案為：．四、解答題（共55分）20.在底面積為100、高為20的長方體水槽內(nèi)放入一個(gè)圓柱形燒杯（燒杯本身的質(zhì)量?體積忽視不計(jì)），如圖（1）所示，向燒杯中注入流量肯定的水，注滿燒杯后，接著注水，直至注滿水槽為止，（燒杯在水槽中的位置始終不變），水槽中水面上升的高度與注水時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系如圖（2）所示.

（1）求燒杯的底面積；（2）若燒杯的高為9，求注水的速度及注滿水槽所用時(shí)間.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)燒杯的底面積為、高為，注水速度為，注滿水槽所用時(shí)間為．如圖可知，當(dāng)注水時(shí)，燒杯剛好注滿；當(dāng)注水時(shí)，水槽內(nèi)的水面高度恰好是（即燒杯高度），即可得到方程，從而求出．（2）依據(jù)容積公式，求出注水速度．依據(jù)即可求解．【小問1詳解】解：設(shè)燒杯的底面積為、高為，注水速度為，注滿水槽所用時(shí)間為．由圖2知，當(dāng)注水時(shí)，燒杯剛好注滿；當(dāng)注水時(shí)，水槽內(nèi)的水面高度恰好是（即燒杯高度）．所以，，則有，即．所以燒杯的底面積為．【小問2詳解】解：若，則，所以注水速度為，由，解得．因此注滿水槽所用時(shí)間為．21.（1）已知關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)根，且滿意：，求實(shí)數(shù)的值；（2）已知，且，求的值.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由判別式大于或等于零，解出的范圍，再由根與系數(shù)的關(guān)系，得出兩根的正負(fù)，進(jìn)而可去掉肯定值符號(hào)，將已知等式化簡為關(guān)于的方程，求解即可；（2）將已知等式通安排方化簡，代入要求的代數(shù)式計(jì)算可得答案．詳解】（1）由題意，，解得，則，故，解得或(舍)．（2），可得，故，，，，，22.定義：如圖，若兩條拋物線關(guān)于直線成軸對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，取頂點(diǎn)左側(cè)的拋物線的部分；當(dāng)時(shí)，取頂點(diǎn)在右側(cè)的拋物線的部分，則我們將像這樣的兩條拋物線稱為關(guān)于直線的一對(duì)伴隨拋物線.例如：拋物線與拋物線就是關(guān)于直線軸的一對(duì)伴隨拋物線.（1）求拋物線關(guān)于直線的“伴隨拋物線"所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)拋物線交軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn).i.求直線平行于軸時(shí)的的值；ii.求是直角時(shí)拋物線關(guān)于直線的“伴隨拋物線”的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)；iii.已知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，干脆寫出拋物線及其關(guān)于直線的“伴隨拋物線”與矩形不同的邊有四個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的取值范圍.【答案】（1）；（2）i.；ii.或；iii.或且.【解析】【分析】（1）依據(jù)對(duì)稱性求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可寫出“伴隨拋物線”所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式；（2）i.先求出AB坐標(biāo)，得到方程，即可求解；ii.由,推斷出B(4,0).代入,求出m，得到的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用對(duì)稱性即可求“伴隨拋物線”的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)；iii.由題意推斷出點(diǎn)B在x軸下方,設(shè),則.把代入中,得.解不等式求出m的取值范圍.【小問1詳解】∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，而關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為∴“伴隨拋物線”所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式為;【小問2詳解】i.∵交軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn).∴，.，（舍去），.綜上所述：；ii.∵,∴點(diǎn)B在軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)是(4,0).把(4,0)代入,得,解得：或.∵的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為，即拋物線的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為或，∴拋物線關(guān)于直線的“伴隨拋物線”的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為或所以“伴隨拋物線”的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為或；iii.∵點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為(8,