2024年浙江省嘉興“南中杯”數(shù)學學科素養(yǎng)與創(chuàng)新能力競賽試卷和答案

2024.11嘉興“南中杯”數(shù)學學科素養(yǎng)與創(chuàng)新能力競賽一、選擇題(每小題3分,共24分)1.已知xyA.2x=3yB.x+yy=522.若把拋物線y=3xA.y=3x2?3B.y=33.如圖,已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,若∠AOC=140°A.100°B.110°C.120°4.從長度為1?cm,A.12B.13C.145.已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=ax2?4axa>0.若PA.m<?1B.m>5C.m<?16.如圖,四邊形ABCD是菱形,邊長為42,∠A=45°.點P從點A出發(fā),沿A→D→C方向以每秒2個單位長度的速度運動,同時點Q沿射線BA的方向以每秒1個長度單位的速度運動,當點P運動到達點C時,點Q也立刻停止運動,連接PQ,△題3題6B.C.D.7.拋物線y=ax2+bx+c交x軸于點A?①2a+b=0；②2c<④方程cx2+⑤拋物線上有兩點Px1,y1和Qx2A.2B.3C.4D.5題7題8題118.如圖,△ABC中,∠ACB=90°,點D在CAA.41111B.51111C.5二、填空題(每小題4分,共24分)9.有兩輛車按1,2編號,洪、楊兩位老師可任意選坐一輛車,則兩位老師同坐2號車的概率為_____.10.大自然是美的設計師,即使是一片小小的樹葉,也蘊含著“黃金分割”,P為AB的黃金分割點AP>PB,如果AB的長度為8?cm11.如圖,OA是⊙O的半徑,弦BC⊥OA于點D,連結(jié)OB.若⊙O的半徑為5?cm,BC的長為812.已知,二次函數(shù)y=4x2?13.已知:如圖,二次函數(shù)y=?49x2+4的圖象與y軸交于點A,與x軸正半軸交于點B,點P在以A點為圓心,2個單位長度為半徑的圓上,Q題13題14數(shù)學家菲爾貝提出借助圖形代替演算的觀點,這類圖形稱為“諾模圖”.如圖是關(guān)于x,y,z三者關(guān)系的諾模圖,它是由點O出發(fā)的三條射線OA,OB,OC組成,每條射線上都有相同的刻度,且射線端點刻度為0,其中∠AOC(1)若x=20,(2)若x=2y,則三、解答題(共6題,第15-18題每題8分,第19、20題每題10分,共52分)15.已知拋物線y=x2(1)求該圖象的頂點坐標和對稱軸.(2)自變量在什么范圍內(nèi)時,y隨x的增大而增大.16.第19屆亞運會在杭州舉行,小聰和小明都是志愿者,他們被隨機分配到A、(1)小明被分配到D場館做志愿者的概率是多少?(2)利用畫樹狀圖或列表的方法,求小聰和小明被分配到同一場館做志愿者的概率.17.如圖,在直角坐標系中,△ABC各頂點的坐標如下:A?1(1)以原點O為位似中心,在x軸上方作與△ABC的位似比為2的位似圖形△(2)頂點A′的坐標為_____,△A′18.在如圖所示的方格紙中存在△ABC,其中,點A,B(1)用直尺作出△ABC的外接圓圓心O(2)若方格紙中每個小正方形的邊長為1,求△ABC外接圓半徑R(3)在(2)的條件下,求出弧AB的長度.19.某超市購進甲、乙兩種商品,已知購進3件甲商品和2件乙商品,需60元;購進2件甲商品和3件乙商品,需65元.(1)甲、乙兩種商品的進貨單價分別是多少？(2)設甲商品的銷售單價為x(單位:元/件),在銷售過程中發(fā)現(xiàn),當11≤x≤19時,甲商品的日銷售量y(單位:件)與銷售單價銷售單價x(元/件)1119日銷售量y(件)182請寫出當11≤x≤19時,在(2)的條件下,設甲商品的日銷售利潤為w元,當甲商品的銷售單價x(元/件)定為多少時,日銷售利潤最大?最大利潤是多少?20.如圖1,△ACE,△ACD均為直角三角形,∠ACE=90°,∠ADC=90°,AE與CD相交于點P,以CD(1)求證:∠ADF(2)如圖2,過O作OG//CE,交BC于點G,連接DE,若BC=(3)如圖3,在此圖情況下,若AEOC=x,AF圖1圖2圖3解析選C依據(jù)“左加右減”選D由同弧所對的圓周角等于圓心角的一半得∠ABC=12∠AOC=70°,又由圓內(nèi)接四邊形ABCD從四條線段中任意取三條等價于從四條線段中拿出一條作為沒被取的,故總共有4種取法,要滿足所取線段能構(gòu)成等腰三角形就需要所取的三條線段中有兩條1?cm的線段或兩條2?cm的線段,而取兩條1?cm的線段時所取的第三條線段一定是2?cm,而1+1=2,所以此時無法組成三角形,故所取的三條線段能組成等腰三角形的概率P=2由題意得:拋物線開口向上,對稱軸x=??4a2a=2,根據(jù)二次函數(shù)的對稱性,當n=b時,m=?1或5,故當n>b時,m<?1顯然點D到AB的距離?=ADsin45°=4,①當0≤x≤4時,此時AP=2x,AQ=42?x,S△APQ=12AP?AQsin45°=?x由于拋物線經(jīng)過點(-1,0)和(3,0),則其對稱軸為直線x=1,即b?2a=1,故2a+b=0,故①正確;由拋物線的對稱軸為直線x=1知其在x=1時取到最小值,故對任意m,a+b+c≤am2+bm+c,即a+b≤am2+bm,故③錯誤;由兩點式得y=ax+1x?3=ax2?2ax?3a,故b=?2ac=?3a,故2c=?6a=3b,故②錯誤,故cx2+bx+a=?ax+1(3x?1),即設BC=x,顯然tan∠BAC=x5,tan∠BDC=xtan∠BDC=tan∠BAC+2∠BAC=x1由黃金分割點定義知AP=53顯然,二次函數(shù)開口向上,且對稱軸為x=a2,當a2≤0時,即a≤0,當x=0時,ymin=a2+2a+2=4,解得a=?1?3或?1+3(舍);當0<a2當x=2時,ymin=a連結(jié)AP,AB,取AB中點C,連結(jié)CQ,CO,因為OA=4,OB=3,因此AB=5,OC=52,CQ=12方法一:對于(1),過點B作AO的垂線交AO延長線于點D,x=20,∵OC為∠∴BO∴BC由斯特瓦爾特定理,當OC為∠AOBOC因此OC=對于(2),同(1)可得z=方法二:過點C作CD//OB交OA于點依題意得,∠BOC∵CD∴∠OCD∴△OCD∴CD∴AD∵CD∴△ACD∴AD即x?zx(1)當x=20,(2)x=2y時,即3yz=(1)2,?9分析:主要考察拋物線的基本知識和圖像.(1)14;(1)略；(2)(一2,2),4:1分析:主要考察位似三角形的基本定義.(1)略;(2)10;(3)分析:(1)(2)問主要考察外心的簡單性質(zhì)以及勾股定理.(3)問主要考察“一線三等角模型”發(fā)現(xiàn)弧AB所對圓心角為90°19.(1)10,15;(2)y=?(3)w=?2x20.(1)見解答；(2)400；(3)y分析:本題主要考察圓中角的關(guān)系,導角即可.(1)證明:∵∠ACE∴∠ADF∵∠PDF∴∠ADF(2)分析:本題主要考察相似關(guān)系,由題意把著眼點放在DE和AC上,不難發(fā)現(xiàn)包含這兩條邊的△CDE和△ACD具有相似關(guān)系,進而可以得到DE?AC=CD∵OG∴∠CGO∴OG∵BC