廣東省華附深中省實(shí)廣雅四校聯(lián)考2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

廣東省華附深中省實(shí)廣雅四校聯(lián)考2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四總分評(píng)分一、單選題1．已知全集U=R，集合A，B滿足A?(A∩B)，則下列關(guān)系一定正確的是（）A．A=B B．B?AC．A∩(?UB)=?2．已知復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=1?i，則A．i B．?1 C．1 D．–3．直線x+2y+3=0關(guān)于直線y=?x對(duì)稱的直線方程是（）A．x+2y?3=0 B．2x+y?3=0 C．x?2y?3=0 D．2x+3y+3=04．已知向量a在b方向上的投影向量的模為2，向量b在a方向上的投影向量的模為1，且(a+bA．30° B．45° C．5．若橢圓Γ1：x2aA．213 B．72 C．3 6．在平直的鐵軌上停著一輛高鐵列車，列車與鐵軌上表面接觸的車輪半徑為R，且某個(gè)車輪上的點(diǎn)P剛好與鐵軌的上表面接觸，若該列車行駛了距離S，則此時(shí)P到鐵軌上表面的距離為（）A．R(1+cosSR) B．R(1?cosSR)7．若(1?c)ea=(1?c)lnb=1A．c≤a<b B．c<a<b C．c<b<a D．b<a≤c8．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，且A．52<SC．32<S二、多選題9．下列結(jié)論正確的是（）A．若a>b，c>dB．若ac2C．“ab>1”是“a>1，D．若a>b>1，則lo10．已知圓C1：x2+y2A．若圓C1與圓C2B．當(dāng)r=5時(shí)，兩圓公共弦所在直線方程為6x?8y?1=0C．當(dāng)r=2時(shí)，則PQ斜率的最大值為?D．當(dāng)r=3時(shí)，過(guò)P點(diǎn)作圓C2兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則11．已知函數(shù)f(x)=x3?3x2A．若k=0，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是?4<b<0B．過(guò)y軸正半軸上任意一點(diǎn)僅有一條與函數(shù)y=f(x)?1相切的直線C．xD．若x1，12．已知正四面體O?ABC的棱長(zhǎng)為3，下列說(shuō)法正確的是（）A．若點(diǎn)P滿足OP=xOA+yOB+zOCB．在正四面體O?ABC的內(nèi)部有一個(gè)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)的正四面體，則此四面體體積可能為2C．若正四面體O?ABC的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四個(gè)互相平行的平面內(nèi)，且每相鄰平行平面間的距離均相等，則此距離為3D．點(diǎn)Q在△ABC所在平面內(nèi)且|QO|=2|QA|，則Q點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為2三、填空題13．雙曲線x24?14．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈15．已知函數(shù)f(x)=sin2(ωx?π3)(ω>0)的最小正周期為2π，且f(x)16．在同一平面直角坐標(biāo)系中，M，N分別是函數(shù)f(x)=??x2+4x?3和函數(shù)g(x)=ln(ax)?axex圖象上的動(dòng)點(diǎn)，若對(duì)任意四、解答題17．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和S（1）求{a（2）求數(shù)列{ann}的前18．在9道試題中有4道代數(shù)題和5道幾何題，每次從中隨機(jī)抽出1道題，抽出的題不再放回.（1）求在第一次抽到幾何題的條件下第二次抽到代數(shù)題的概率；（2）若抽4次，抽到X道代數(shù)題，求隨機(jī)變量X的分布列和期望.19．已知函數(shù)f(x)=axex(a≠0)（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)x>0時(shí)，f(x)與g(x)有公切線，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.20．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?EFGH中，點(diǎn)M是正方體的中心，將四棱錐M?BCGF繞直線CG逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0<α<π)后，得到四棱錐M'（1）若α=π2，求證：平面MBF⊥平面（2）是否存在α，使得直線M'F'⊥平面21．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，（1）若c=3h，求tanC的值；（2）求cosC的取值范圍.22．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（1）求C的方程；（2）設(shè)點(diǎn)Q(x0，y0)，求

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：由集合間的基本關(guān)系可得A?B，A、當(dāng)A為B的真子集時(shí)，不成立，故A錯(cuò)誤；B、當(dāng)A為B的真子集時(shí)，也不成立，故B錯(cuò)誤；C、A∩(?D、當(dāng)A為B的真子集時(shí)，不成立，故D錯(cuò)誤；故答案為：C.【分析】根據(jù)已知條件易得A?B，再進(jìn)行選擇即可.2．【答案】C【解析】【解答】解：由z=得z=i，z2024故答案為：C.【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出z，再確定復(fù)數(shù)z=i，根據(jù)in3．【答案】B【解析】【解答】解：x+2y+3=0圖象如下圖所示，由圖可知，點(diǎn)A(?3,0)關(guān)于直線y=?x稱的點(diǎn)為直線x+2y+3=0與直線y=?x的交點(diǎn)為C(3,∴關(guān)于直線y=?x稱的直線方程BC為：y=?3?(?3)3?0x+3故答案為：B.【分析】作出圖象，找出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)和直線x+2y+3=0與直線y=?x的交點(diǎn)，即可求出稱直線的方程.4．【答案】B【解析】【解答】解：由題可得|a?b因?yàn)?a+b所以2|a|2即cos?a,b故答案為：B.

【分析】根據(jù)投影向量的模長(zhǎng)公式計(jì)算出|a||5．【答案】A【解析】【解答】解：在橢圓Γ1:x∴4b2=3∴雙曲線的離心率e2故答案為：A.【分析】通過(guò)橢圓的離心率得出a,6．【答案】B【解析】【解答】解：當(dāng)列車行駛的距離為S時(shí)，則車輪轉(zhuǎn)過(guò)的角度所對(duì)應(yīng)的扇形弧長(zhǎng)為S，∴車輪轉(zhuǎn)過(guò)的角度為SR,P點(diǎn)的初始位置為P0時(shí)，作PQ⊥OP0，垂足為則OQ=OP?cosSR當(dāng)SR∈(π2,π)時(shí)，則PN=OP?sin∴P到鐵軌表面的距離為PM=MN+PN=R?RcosS同理可得當(dāng)SR在其它范圍時(shí)，點(diǎn)P到鐵軌上表面的距離均為R(1?cos故答案為：B.【分析】將實(shí)際問(wèn)題建模轉(zhuǎn)化為圓的弧長(zhǎng)與圓心角、半徑之間的關(guān)系，就圓心角的范圍進(jìn)行分類，借助于直角三角形計(jì)算即得.7．【答案】A【解析】【解答】解：由(1?c)e易知ea>0，所以1?c>0，故所以ea令f(x)=(1?x)ex(x<1)當(dāng)x<0時(shí)，f'(x)>0，當(dāng)0<x<1時(shí)，所以f(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞增，在所以f(x)≤f(0)=1，即ex所以ex≤1如圖，作出函數(shù)y=e由圖可知，可知c≤a<b.故答案為：A.【分析】由題意可得ea=lnb=11?c，構(gòu)造函數(shù)f(x)=(1?x)e8．【答案】D【解析】【解答】解：由1an=4+4an?1故1當(dāng)n≥2且n∈N*a1所以1<S故答案為：D.【分析】先把a(bǔ)n適度放縮至可以裂項(xiàng)求和的形式，從而求出前n9．【答案】B,D【解析】【解答】解：A、若取a=3,b=1,B、因c2≥0，又由acC、當(dāng)a=4,b=12時(shí)，滿足故推不出a>1,b>1，即“ab>1”不是“D、由換底公式，logab=lnblna,loga+1(b+1)=即由b+ma+m?b因a>b>1，有l(wèi)na>故log故答案為：BD.【分析】判斷與不等式有關(guān)結(jié)論的正確與否，一般可考慮以下方法：①取反例說(shuō)明不成立，②利用不等式性質(zhì)推理得到命題為真，③通過(guò)作差法判斷.10．【答案】B,C【解析】【解答】解：A、當(dāng)兩圓內(nèi)含時(shí)，r可以無(wú)窮大，故A不正確；B、當(dāng)r=5時(shí)兩圓相交，兩圓的方程作差可以得公共弦的直線方程為6x?8y?1=0，故B正確；C、當(dāng)r=2時(shí)如圖所示：PQ和CD為兩條內(nèi)公切線，且CD：x=1，由平面幾何知識(shí)可知CD=4,所以可得tan∠C即PQ斜率的最大值為?7D、如圖所示：點(diǎn)P在P1位置時(shí)P點(diǎn)P在P2位置時(shí)P所以中間必然有位置使得∠BPA=π故答案為：BC.【分析】根據(jù)兩圓位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合逐項(xiàng)分析驗(yàn)算.11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：由f'故f(x)在(?∞,0)和(2,+∞)上單調(diào)遞增，在A、當(dāng)f(x)=b有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x1,x2,xB、y=f(x)?1=x3?3且中心對(duì)稱點(diǎn)處的切線方程為y=?3x，結(jié)合圖象可知：當(dāng)且僅當(dāng)x<0時(shí)，符合題意，所以B正確，由于方程f(x)=kx+b有三個(gè)根x1所以x3?3x由x3?3x當(dāng)x1,x2,在x3?3x2?kx?b=(x?所以k+b=?2，D正確.故答案為：ABD.【分析】求導(dǎo)得函數(shù)單調(diào)性、極值，得出函數(shù)圖象草圖，數(shù)形結(jié)合判斷曲線與直線相交、相切問(wèn)題.12．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：建系如圖所示：

A、因?yàn)辄c(diǎn)P滿足OP=xOA+y可知點(diǎn)P是平面ABC上的一點(diǎn).又因?yàn)檎拿骟wO?ABC是棱長(zhǎng)為3，則三角形ABC外接圓半徑滿足2R=3故點(diǎn)O到平面ABC的距離為32故|OP|的最小值為點(diǎn)O到平面ABC的距離，即為B、將正四面體放入到正方體中，則正方體的棱長(zhǎng)為32因?yàn)檎拿骟wO?ABC的體積為立方體的體積減去四個(gè)小三棱錐的體積：(3而正四面體O?ABC四個(gè)面的面積都是3設(shè)正四面體O?ABC的內(nèi)切球半徑為r,4×1因?yàn)檎拿骟wQ?DEF在正四面體O?ABC的內(nèi)部，且可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，所以最大正四面體Q?DEF外接球直徑為62因此最大正四面體Q?DEF外接球也是棱長(zhǎng)為22所以正四面體Q?DEF體積最大值為(22C、在正方體AC1BO1?A1C過(guò)C作平面CC1B2，分別交AB，BO1于點(diǎn)由正四面體O?ABC的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四個(gè)互相平行的平面內(nèi)，且每相鄰平行平面間的距離均相等，其中平面OO1A易知A2為AC1的中點(diǎn)，B因?yàn)檎襟wAC1B所以O(shè)1所以點(diǎn)A到O1A2所以每相鄰平行平面間的距離為310D、建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)Q(x,y,由|QO|=2|QA|可得x2化簡(jiǎn)可得(x?22可知點(diǎn)Q的軌跡是平面ABC與以M(22AB=(?設(shè)平面ABC法向量為m=(xAB?取x=1,y=1,z=?1所以點(diǎn)M點(diǎn)到平面ABC的距離為|AM截面圓的半徑為22?(故答案為：ACD.【分析】根據(jù)空間向量共面的結(jié)論可判斷P是平面ABC上的一點(diǎn)，即可利用勾股定理求解四棱錐的高判斷A，根據(jù)正四面體與其外接球內(nèi)切球以及所在的正方體的關(guān)系即可求解B，根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可求解C，根據(jù)球的截面性質(zhì)即可求解D.13．【答案】y=±【解析】【解答】∵雙曲線x2而雙曲線x2a∴雙曲線x24故答案為y=±1

【分析】由雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)代入數(shù)值即可得出答案。14．【答案】-2【解析】【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意得：a1+3d=4a1因n∈N*，故當(dāng)n=1或n=2時(shí)，Sn故答案為：?2.【分析】建立關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組，求解后代入等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，配方即得.15．【答案】[【解析】【解答】解：由f(x)=sin2(ωx?π3)=1?cos(2ωx?2π3因當(dāng)?π3≤x≤2π3時(shí)，0≤x+π3當(dāng)2π3≤x≤5π3時(shí)，π≤x+π3≤2π由題知f(x)在[0,m]上單調(diào)遞減，在[2m,5π3故答案為：[π

【分析】由倍角公式將函數(shù)降冪，由題設(shè)求出ω的值，再根據(jù)后續(xù)條件，考查所得函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性，比較區(qū)間的包含關(guān)系計(jì)算即得.16．【答案】3【解析】【解答】解：由y=f(x)=??x2即M在圓心(2,g(x)=ln(ax)?axe令h(x)=x?ex,x∈R，則所以，當(dāng)x∈(?∞,0)時(shí)，h'當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，h'綜上可知，h(x)在x=0處取得極大值，也是最大值，且h(0)=0?e于是x+ln(ax)?e當(dāng)且僅當(dāng)x+ln所以曲線g(x)的一條切線為y=?x?1，

如圖所示：

數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)M,N分別為對(duì)應(yīng)切點(diǎn)，且MN與兩切線垂直時(shí)|MN|即|MN|的最小值為圓心到直線y=?x?1的距離減去半徑，即|MN|的最小值為|2+0+1|1過(guò)圓心(2,0)與y=?x?1垂直的直線方程所以，當(dāng)且僅當(dāng)x+ln(ax)=0y=x?2綜上所述，|MN|≥322所以m≤322?1，則故答案為：32

【分析】由y=??x2+4x?3得(x?2)2+y2=1(y≤0)，g(x)=ln(ax)?ax17．【答案】（1）解：由已知：S當(dāng)n≥2時(shí)S兩式相減可得：Sn=n(n+1)?2又n=1時(shí)，S1所以Sn=n(n+1)?2Sn?1=n(n?1)?2an=又n=1時(shí)，a1則a（2）解：由（1）可得：an則Tn即2T兩式相減可得：?T即Tn【解析】【分析】（1）根據(jù)已知Sn等式迭代得Sn-1等式，兩式相減確定Sn，再求an.18．【答案】（1）解：記Ai表示事件“第i次抽到代數(shù)題”，i=1方法一：由條件概率公式可得P(=C所以第一次抽到幾何題的條件下，第二次抽到代數(shù)題的概率為12方法二：已知第一次抽到幾何題，這時(shí)還剩余代數(shù)題和幾何題各四道，因此P(A（2）解：由題意，隨機(jī)變量X的可能取值為：0，P(X=0)=CP(X=2)=CP(X=4)=CX的分布列為X01234P52010101所以E(X)=0×【解析】【分析】（1）利用條件概率的公式求解，或者利用縮小事件空間的方法直接求解；

（2）先確定X的所有取值，由超幾何分布求出各自的概率，寫出分布列，利用期望的公式可得期望.19．【答案】（1）解：由函數(shù)f(x)=axex(a≠0)當(dāng)a>0時(shí)，可得x∈(?∞，?1)x∈(?1，+∞)當(dāng)a<0時(shí)，可得x∈(?∞，?1)x∈(?1，+∞)（2）解：設(shè)公切線與y=f(x)和y=g(x)的切點(diǎn)分別為(x可得k=f'(即y=a(x由g(x)=?x2，可得g'(x)=?2x所以?2b=a(x1設(shè)h(x)=4x2當(dāng)0<x<1時(shí)，h'(x)>0，當(dāng)x>1時(shí)，h'(x)<0，所以，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)h(x)取得極大值，極大值為h(1)=1又由當(dāng)x→0時(shí)，h(x)→0；當(dāng)x→+∞時(shí)，h(x)→0，所以0<h(x)≤1e，所以0<?a≤1e【解析】【分析】（1）f'（2）設(shè)公切線與y=f(x)和y=g(x)的切點(diǎn)分別為(x1,atex1),(b,?20．【答案】（1）證明：若α=π2，則平面DCGH?平面連接BH、BF'，則M是BH中點(diǎn)，M'所以平面MBF與平面BFHD重合，平面M'B'由正方體性質(zhì)可知BF⊥平面EFF因?yàn)镠F、FF'?平面EFF'∠HFF'為二面角因?yàn)镠G=FG，∠HGF=π2，則∠HFG=π所以∠HFF'=π（2）解：假設(shè)存在α，使得直線M'F'以C為原點(diǎn)，分別以CB、DC、CG的方向分別為x、y、z軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C(0，0，0)、B(2，0，設(shè)平面MBC的法向量為m=(x，y取y=1，得m=(0，1取CG的中點(diǎn)P，BF的中點(diǎn)Q，連接PQ、PM，則P(0，因?yàn)閨MG|=|MC|=12+(?1)2因?yàn)锽Q//CP，BQ=CP，BQ⊥BC，則四邊形BCPQ為矩形，所以，PQ⊥CG，于是∠MPM'是二面角∠MPQ是二面角M?CG?Q的平面角，∠QPM'是二面角Q?CG?M因?yàn)镻M=(1，?1，0)因?yàn)?<∠MPQ<π，則∠MPQ=π4，所以因?yàn)镻M⊥CG，PM'⊥CG，PM∩PM'=P，所以，CG⊥平面MPM'，且故M'(2所以M'因?yàn)?cosα?22sinα?2所以M'若直線M'F'⊥平面MBC，m是平面即存在λ∈R，使得M'F'因?yàn)?+λ2=故方程組cosα?si