2025年新高考數(shù)學一輪復習第10章第02講排列、組合(十九大題型)(練習)(學生版+解析)VIP

第02講排列、組合目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎練 2題型一：排列數(shù)與組合數(shù)的推導、化簡和計算 2題型二：直接法 2題型三：間接法 3題型四：捆綁法 4題型五：插空法 4題型六：定序問題（先選后排） 5題型七：列舉法 6題型八：多面手問題 6題型九：錯位排列 6題型十：涂色問題 7題型十一：分組問題 7題型十二：分配問題 8題型十三：隔板法 9題型十四：數(shù)字排列 9題型十五：幾何問題 9題型十六：分解法模型與最短路徑問題 10題型十七：排隊問題 11題型十八：構造法模型和遞推模型 11題型十九：環(huán)排問題 1202重難創(chuàng)新練 1203真題實戰(zhàn)練 15題型一：排列數(shù)與組合數(shù)的推導、化簡和計算1．已知，則x等于（

）A．6 B．13 C．6或13 D．122．已知，則（

）A．11 B．12 C．13 D．143．下列等式不正確的是（

）A． B．C． D．題型二：直接法4．沈陽二中24屆籃球賽正如火如荼地進行中，全年級共20個班，每四個班一組，如1—4班為一組，5—8班為二組……進行單循環(huán)小組賽（沒有并列），勝出的5個班級和從余下隊伍中選出的數(shù)據(jù)最優(yōu)秀的1個班級共6支球隊按抽簽的方式進行淘汰賽，最后勝出的三個班級再進行單循環(huán)賽，按積分的高低（假設沒有并列）決出最終的冠亞季軍，請問此次籃球賽學校共舉辦了多少場比賽？（

）A．51 B．42 C．39 D．365．在含有3件次品的50件產品中，任取2件，則恰好取到1件次品的不同方法數(shù)共有（

）A． B． C． D．6．（2024·貴州貴陽·校聯(lián)考模擬預測）2022年9月3日貴陽市新冠疫情暴發(fā)以來，某住宿制中學為做好疫情防控工作，組織6名教師組成志愿者小組，分配到高中三個年級教學樓樓門口配合醫(yī)生給學生做核酸.由于高三年級學生人數(shù)較多，要求高三教學樓志愿者人數(shù)均不少于另外兩棟教學樓志愿者人數(shù)，若每棟教學樓門至少分配1名志愿者，每名志愿者只能在1個樓門進行服務，則不同的分配方法種數(shù)為（

）A．240 B．150 C．690 D．1807．（多選題）2022年在全世界范圍內，氣溫升高是十分顯著的，世界氣象組織預測2022年到2026年間，有93%的概率平均氣溫會超過2016年，達到歷史上最高氣溫紀錄．某校環(huán)保興趣小組準備開展一次關于全球變暖的研討會，現(xiàn)有10名學生，其中5名男生5名女生，若從中選取4名學生參加研討會，則（

）A．選取的4名學生都是女生的不同選法共有5種B．選取的4名學生中恰有2名女生的不同選法共有400種C．選取的4名學生中至少有1名女生的不同選法共有420種D．選取的4名學生中至多有2名男生的不同選法共有155種8．（多選題）新高考按照“”的模式設置，其中“3”為全國統(tǒng)考科目語文、數(shù)學、外語，所有考生必考：“1”為首選科目，考生須在物理、歷史兩科中選擇一科；“2”為再選科目，考生可結合自身特長興趣在化學、生物、政治、地理四科中選擇兩科．下列說法正確的是（

）A．若任意選科，選法總數(shù)為B．若化學必選，選法總數(shù)為C．若政治和地理至多選一門，選法總數(shù)為D．若物理必選，化學、生物至少選一門，選法總數(shù)為題型三：間接法9．中園古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”主要指德育；“樂”主要指美育；“射”和“御”就是體育和勞動；“書”指各種歷史文化知識；“數(shù)”指數(shù)學.某校國學社團開展“六藝”講座活動，每周安排一次講座，共講六次.講座次序要求“射”不在第一次，“數(shù)”和“樂”兩次不相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有（

）A．408種 B．240種 C．1092種. D．120種10．中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”，合稱“六藝”.“禮”主要指德育；“樂”主要指美育；“射”和“御”就是體育和勞動；“書”指各種歷史文化知識；“數(shù)”指數(shù)學.某校國學社團開展“六藝”講座活動，每次講一藝.講座次序要求“數(shù)”不在第一次也不在第六次，“禮”和“樂”不相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有（

）A．480種 B．336種 C．144種 D．96種11．紅五月，某校團委決定舉辦慶祝中國共產黨成立100周年“百年榮光，偉大夢想”聯(lián)歡會，經過初賽，共有6個節(jié)目進入決賽，其中2個歌舞類節(jié)目，2個小品類節(jié)目，1個朗誦類節(jié)目，1個戲曲類節(jié)目．演出時要求同類節(jié)目不能相鄰，則演出順序的排法總數(shù)是（

）A． B． C． D．12．2022年6月17日，我國第三艘航母“福建艦”正式下水．現(xiàn)要給“福建艦”進行航母編隊配置科學試驗，要求2艘攻擊型核潛艇一前一后，3艘驅逐艦和3艘護衛(wèi)艦分列左右，每側3艘，同側不能都是同種艦艇，則艦艇分配方案的方法數(shù)為（

）A．72 B．324 C．648 D．1296題型四：捆綁法13．A，B，C，D，E，F(xiàn)六人站成一排，如果B，C必須相鄰，那么排法種數(shù)為（

）A．240 B．120 C．96 D．6014．（2024·高三·廣東·開學考試）從2023年伊始，各地旅游業(yè)爆火，少林寺是河南省旅游勝地．某大學一個寢室6位同學慕名而來，游覽結束后，在門前站一排合影留念，要求相鄰，在的左邊，則不同的站法共有（

）A．480種 B．240種 C．120種 D．60種15．某平臺設有“人物”“視聽學習”等多個欄目．假設在這些欄目中，某時段“人物”更新了2篇文章，“視聽學習”更新了4個視頻．一位學習者準備從更新的這6項內容中隨機選取3個視頻和2篇文章進行學習，則這2篇文章學習順序相鄰的學法有（

）A．192種 B．168種 C．72種 D．144種16．北京大興國際機場擁有世界上最大的單一航站樓，并擁有機器人自動泊車系統(tǒng)，解決了停車滿、找車難的問題．現(xiàn)有3輛車停放在7個并排的泊車位上，要求4個空位必須相鄰，箭頭表示車頭朝向，則不同的泊車方案有（）種．A．16 B．18 C．24 D．3217．（2024·江西九江·三模）考古發(fā)現(xiàn)在金字塔內有一組神秘的數(shù)字“142857”，我們把它和自然數(shù)1到6依次相乘，得，，結果是同樣的數(shù)字，只是調換了位置.若將這組神秘數(shù)字“142857”進行重新排序，其中偶數(shù)均相鄰的排法種數(shù)為（

）A．24 B．36 C．72 D．144題型五：插空法18．（2024·內蒙古包頭·三模）一個小型聯(lián)歡會要安排1個詩詞朗誦類節(jié)目，2個獨唱類節(jié)目，2個歌舞類節(jié)目，則同類節(jié)目不相鄰的安排方式共有（

）A．44種 B．48種 C．72種 D．80種19．一場文藝匯演中共有2個小品節(jié)目?2個歌唱類節(jié)目和3個舞蹈類節(jié)目，若要求2個小品類節(jié)目演出順序不相鄰且不在第一個表演，則不同的演出順序共有（

）A．480種 B．1200種 C．2400種 D．5040種20．某班畢業(yè)晚會有唱歌、跳舞、小品、雜技、相聲五個節(jié)目制成一個節(jié)目單.其中小品、相聲不相鄰且相聲、跳舞相鄰，這樣的節(jié)目單有（

）種A．36 B．40 C．32 D．4221．（2024·江西新余·二模）兩個大人和4個小孩站成一排合影，若兩個大人之間至少有1個小孩，則不同的站法有（

）種.A．240 B．360 C．420 D．480題型六：定序問題（先選后排）22．某次數(shù)學獲獎的6名高矮互不相同的同學站成兩排照相，后排每個人都高于站在他前面的同學，則共有多少種站法（

）A．36 B．90 C．360 D．72023．由高矮不同的3名女生和4名男生站成一排，要求女生按從高到低的順序排列，則不同的排列方法有（

）A．720 B．840 C．1120 D．144024．元宵節(jié)燈展后，懸掛有8盞不同的花燈需要取下，如圖所示，每次取1盞，則不同的取法共有（

）．A．32種 B．70種 C．90種 D．280種25．貼春聯(lián)、掛紅燈籠是我國春節(jié)的傳統(tǒng)習俗.現(xiàn)準備在大門的兩側各掛四盞一樣的紅燈籠，從上往下掛，可以一側掛好后再掛另一側，也可以兩側交叉著掛，則掛紅燈籠的不同方法數(shù)為（

）A． B． C． D．26．如圖所示，某貨場有兩堆集裝箱，一堆2個，一堆3個，現(xiàn)需要全部裝運，每次只能從其中一堆取最上面的一個集裝箱，則在裝運的過程中不同取法的種數(shù)是A．6 B．10 C．12 D．24題型七：列舉法27．定義：“各位數(shù)字之和為7的四位數(shù)叫幸運數(shù)”，比如“1006，2023”，則所有“幸運數(shù)”的個數(shù)為（）A．20 B．56 C．84 D．12028．設，，，那么滿足的所有有序數(shù)組的組數(shù)為（

）A．45 B．46 C．47 D．4829．將一個三位數(shù)的三個數(shù)字順序顛倒，將所得到的數(shù)與原數(shù)相加，若和中沒有一個數(shù)字是偶數(shù)，則稱這個數(shù)為“奇和數(shù)”.那么，所有的三位數(shù)中，奇和數(shù)有（

）個.A．100 B．120 C．160 D．200題型八：多面手問題30．在名工人中,有人只當鉗工,人只當車工,另外人既會鉗工又會車工，現(xiàn)從人中選出人當鉗工,人當車工,則共有（

）種不同的選法.A． B． C． D．31．某公園有P，Q，R三只小船，P船最多可乘3人，Q船最多可乘2人，R船只能乘1人，現(xiàn)有3個大人和2個小孩打算同時分乘若干只小船，規(guī)定有小孩的船必須有大人，共有不同的乘船方法為A．36種 B．33種 C．27種 D．21種32．有6名學生，其中有3名會唱歌，2名會跳舞，1名既會唱歌又會跳舞，現(xiàn)從中選出2名會唱歌的，1名會跳舞的，去參加文藝演出，求所有不同的選法種數(shù)為A．18 B．15 C．16 D．2533．我校去年11月份，高二年級有9人參加了赴日本交流訪問團，其中3人只會唱歌，2人只會跳舞，其余4人既能唱歌又能跳舞．現(xiàn)要從中選6人上臺表演，3人唱歌，3人跳舞，有______種不同的選法題型九：錯位排列34．若5個人各寫一張卡片（每張卡片的形狀、大小均相同），現(xiàn)將這5張卡片放入一個不透明的箱子里，并攪拌均勻，再讓這5人在箱子里各摸一張，恰有1人摸到自己寫的卡片的方法數(shù)有（

）A．20 B．90 C．15 D．4535．5個人站成一列，重新站隊時各人都不站在原來的位置上，共有種不同的站法（

）A．42 B．44 C．46 D．4836．若5個人按原來站的位置重新站成一排，恰有1個人站在自己原來的位置，則不同的站法共有（

）A．45種 B．40種 C．55種 D．60種37．若4個人按原來站的位置重新站成一排，恰有一個人站在自己原來的位置，則共有（

）種不同的站法.A．4 B．8 C．12 D．24題型十：涂色問題38．（2024·陜西寶雞·一模）七巧板是古代勞動人民智慧的結晶.如圖是某同學用木板制作的七巧板，它包括5個等腰直角三角形?一個正方形和一個平行四邊形.若用四種顏色給各板塊涂色，要求正方形板塊單獨一色，其余板塊兩塊一種顏色，而且有公共邊的板塊不同色，則不同的涂色方案有種.39．用4種不同顏色給一個正四面體涂色，每個面涂一種顏色，4個顏色都要用到，共有種涂色的方法．40．（2024·高三·安徽合肥·期末）如圖所示的按照下列要求涂色，若恰好用3種不同顏色給個區(qū)域涂色，且相鄰區(qū)域不同色，共有種不同的涂色方案？41．有三種不同顏色供選擇，給圖中六個格子涂色，相鄰格子顏色不能相同，共有種不同的涂色方案.題型十一：分組問題42．按下列要求分配6本不同的書,各有多少種不同的分配方式?（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;（3）平均分成三份,每份2本;（4）平均分配給甲、乙、丙三人,每人2本;（5）分成三份,1份4本,另外兩份每份1本;（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外兩人每人得1本;（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.43．將4個編號為1、2、3、4的不同小球全部放入4個編號為1、2、3、4的4個不同盒子中.求：(1)每個盒至少一個球，有多少種不同的放法？(2)恰好有一個空盒，有多少種不同的放法？(3)每盒放一個球，并且恰好有一個球的編號與盒子的編號相同，有多少種不同的放法？(4)把已知中4個不同的小球換成四個完全相同的小球（無編號），其余條件不變，恰有一個空盒，有多少種不同的放法？44．設有編號為1、2、3、4、5的5個球和編號為1、2、3、4、5的5個盒子，現(xiàn)將這5個球放入5個盒子內．(1)只有1個盒子空著，共有多少種投放方法？(2)沒有1個盒子空著，但球的編號與盒子編號不全相同，有多少種投放方法？(3)每個盒子內投放1球，并且至少有2個球的編號與盒子編號相同，有多少種投放方法？題型十二：分配問題45．（2024·安徽·一模）樹人學校開展學雷鋒主題活動，某班級5名女生和2名男生，分配成兩個小組去兩地參加志愿者活動，每小組均要求既要有女生又要有男生，則不同的分配方案有（

）A．20種 B．40種 C．60種 D．80種46．（2024·安徽安慶·三模）A、B、C、D、E5所學校將分別組織部分學生開展研學活動，現(xiàn)有甲、乙、丙三個研學基地供選擇，每個學校只選擇一個基地，且每個基地至少有1所學校去，則A校不去甲地，乙地僅有2所學校去的不同的選擇種數(shù)共有（

）A．36種 B．42種 C．48種 D．60種47．將5本不同的書分給3位同學，則每位同學至少有1本書的不同分配方式共有（

）種.A． B． C． D．48．（2024·高三·山西·開學考試）基礎學科對于一個國家科技發(fā)展至關重要，是提高核心競爭力，保持戰(zhàn)略領先的關鍵．其中數(shù)學學科尤為重要．某雙一流大學為提高數(shù)學系學生的數(shù)學素養(yǎng)，特開設了“九章算術”，“古今數(shù)學思想”，“數(shù)學原理”，“世界數(shù)學通史”，“算術研究”五門選修課程，要求數(shù)學系每位同學每學年至多選三門，至少選一門，且已選過的課程不能再選，大一到大三三學年必須將五門選修課程選完，則每位同學的不同選修方式種數(shù)為（）．A．種 B．種 C．種 D．種題型十三：隔板法49．現(xiàn)有6個三好學生名額，計劃分到三個班級，則恰有兩個班分到三好學生名額的概率為.50．以表示把件相同的物件分給個人的不同方法數(shù)，則.51．已知集合，則A中的元素的個數(shù)為.52．各數(shù)位數(shù)字之和等于6（數(shù)字可以重復）的四位數(shù)個數(shù)為（請用數(shù)字作答）．題型十四：數(shù)字排列53．（2024·上?！と＃┯?~9這九個數(shù)字組成的無重復數(shù)字的四位數(shù)中，各個數(shù)位上數(shù)字和為偶數(shù)的奇數(shù)共有個54．（2024·陜西·模擬預測）各位數(shù)字之積為8的三位數(shù)的個數(shù)為.55．（2024·河北石家莊·二模）各位數(shù)字之和為的三位正整數(shù)的個數(shù)為.題型十五：幾何問題56．若一個正方體繞著某直線旋轉不到一周后能與自身重合，那么這樣的直線的條數(shù)為（

）A． B． C． D．57．正方體的8個頂點中，選取4個共面的頂點，有種不同選法58．以三棱柱的頂點為頂點共可組成________個不同的三棱錐？59．在如圖所示的的方格紙上（每個小方格均為正方形），共有個矩形、個正方形．題型十六：分解法模型與最短路徑問題60．某小區(qū)的道路網(wǎng)如圖所示，則由A到C的最短路徑中，經過B的走法有（

）A．6種 B．8種C．9種 D．10種61．如圖為的網(wǎng)格圖，甲、乙兩人均從出發(fā)去地，每次只能向上或向右走一格，并且乙到達任何一個位置（網(wǎng)格交點處）時向右走過的格數(shù)不少于向上走過的格數(shù)，記甲、乙兩人所走路徑的條數(shù)分別為、，則的值為（

）A． B． C． D．62．（多選題）在某城市中，A，B兩地之間有如圖所示的道路網(wǎng)．甲隨機沿路網(wǎng)選擇一條最短路徑，從A地出發(fā)去往B地．下列結論正確的有（

）A．不同的路徑共有31條B．不同的路徑共有61條C．若甲途經C地，則不同的路徑共有18條D．若甲途經C地，且不經過D地，則不同的路徑共有9條63．5400的正約數(shù)有______個題型十七：排隊問題64．隨著北京冬殘奧會的開幕，吉祥物“雪容融”火遍國內外，現(xiàn)有3個完全相同的“雪容融”，甲?乙?丙3位運動員要與這3個“雪容融”站成一排拍照留念，則有且只有2個“雪容融”相鄰的排隊方法數(shù)為．65．某醫(yī)院對9個人進行核酸檢測，為了防止排隊密集，將9人分成兩組，第一組5人，排隊等候，由于甲、乙兩人不熟悉流程，故無論在哪一組，排隊都不在第一位，則第一組的不同排法種數(shù)為.（用數(shù)字作答）66．甲、乙、丙三人相約一起去做核酸檢測，到達檢測點后，發(fā)現(xiàn)有兩支正在等待檢測的隊伍，則甲、乙、丙三人不同的排隊方案共有種.67．（2024·四川廣元·三模）有名男生、名女生排隊照相，個人排成一排．①如果名男生必須連排在一起，那么有種不同排法；②如果名女生按確定的某種順序，那么有種不同的排法；③如果女生不能站在兩端，那么有種不同排法；④如果名女生中任何兩名不能排在一起，那么有種不同排法；則以上說法正確的有．68．有七名同學排隊進行核酸檢測，其中小王站在正中間，并且小李?小張兩位同學要站在一起，則不同的排隊法有種.題型十八：構造法模型和遞推模型69．（2024·浙江·模擬預測）從1，2，3，…，15中選取三個不同的數(shù)組成三元數(shù)組，且滿足，，則這樣的數(shù)組共有______個.（用數(shù)字作答）70．（2024·上海長寧·高三海市延安中學?？奸_學考試）從集合中選出4個數(shù)組成的子集，使得這4個數(shù)中的任何兩個數(shù)的和不等于11，則這樣的子集個數(shù)是________.71．16名社區(qū)志愿者組成4行4列的方陣，現(xiàn)從中選出2人，要求他們既不在同一行又不在同一列，則不同的選法種數(shù)為______________.72．個人排成一個n行，n列的方陣，現(xiàn)要從中選出n個代表，要使得每一行，每一列都有代表，則有___________種不同的選法.73．某活動中，有42人排成6行7列，現(xiàn)從中選出3人進行禮儀表演，要求這3人中的任意2人不同行也不同列，則不同的選法種數(shù)為_____（用數(shù)字作答）．題型十九：環(huán)排問題74．8人圍桌而坐，共有______種坐法.75．5個女孩與6個男孩圍成一圈，任意2個女孩中間至少站1個男孩，則不同排法有______種（填數(shù)字）．76．10位男生10位女生．男女相間隔圍成一圈，則其所有不同的排列數(shù)為__________77．4個人圍坐在如圖所示的8張椅子中的4張椅子上聚餐，其中甲、乙兩人不能相對（如1與8叫做相對）而坐，共有__________種不同的坐法(用數(shù)字作答)1．將6棵高度不同的景觀樹種植在道路兩側，要求每一側種植3棵，且每一側中間的景觀樹都要比兩邊的高，則不同的種植方法共有（

）A．20種 B．40種 C．80種 D．160種2．（2024·高三·重慶涪陵·開學考試）甲、乙、丙、丁、戊共5名同學進行數(shù)學建模比賽，決出了第1名到第5名的名次(無并列情況).甲、乙、丙去詢問成績.老師對甲說：“你不是最差的.”對乙說：“很遺憾，你和甲都沒有得到冠軍.”對丙說：“你不是第2名.”從這三個回答分析，5名同學可能的名次排列情況種數(shù)為（

）A．44 B．46 C．48 D．543．（2024·江西新余·模擬預測）甲、乙等5人排成一行，則甲不站在5人正中間位置且乙不站在最左端的不同的排列方式共有（

）種.A． B． C． D．4．下列命題不正確的是（

）A．正十二邊形的對角線的條數(shù)是54；B．身高各不相同的六位同學，三位同學從左到右按照由高到矮的順序站，共有120種站法；C．有5個元素的集合的子集共有32個；D．6名同學被邀請參加晚會（至少一人參加），其中甲和乙兩位同學要么都去，要么都不去，共有32種去法.5．（2024·高三·海南省直轄縣級單位·開學考試）小明將1，4，0，3，2，2這六個數(shù)字的一種排列設為自己的六位數(shù)字的銀行卡密碼，若兩個2不相鄰，且1與4相鄰，則可以設置的密碼種數(shù)為（

）A．144 B．72 C．36 D．246．（2024·四川德陽·模擬預測）甲乙等6名數(shù)學競賽國家集訓隊隊員站成一排合影，若甲乙兩名同學中間恰有1人，則不同的站法數(shù)為（

）A．144 B．192 C．360 D．4807．（2024·高三·廣東深圳·開學考試）三名籃球運動員甲、乙、丙進行傳球訓練（不能傳給自己），由丙開始傳，經過5次傳遞后，球又被傳回給丙，則不同的傳球方式共有（

）A．6種 B．10種 C．11種 D．12種8．北京時間2023年10月26日19時34分，神舟十六號航天員乘組（景海鵬，杜海潮，朱楊柱3人）順利打開“家門”，歡迎遠道而來的神舟十七號航天員乘組（湯洪波，唐勝杰，江新林3人）人駐“天宮”．隨后，兩個航天員乘組拍下“全家?！保餐蛉珖嗣駡笃桨玻暨@6名航天員站成一排合影留念，唐勝杰與江新林相鄰，景海鵬不站最左邊，湯洪波不站最右邊，則不同的排法有（

）A．144種 B．204種 C．156種 D．240種9．（多選題）現(xiàn)安排甲?乙?丙?丁?戊這5名同學參加志愿者服務活動，有翻譯、導游、禮儀、司機四項工作可以安排，且每人只安排一個工作，則下列說法正確的是（

）A．不同安排方案的種數(shù)為B．若每項工作至少有1人參加，則不同安排方案的種數(shù)為C．若司機工作不安排，其余三項工作至少有1人參加，則不同安排方案的種數(shù)為D．若每項工作至少有1人參加，甲不能從事司機工作，則不同安排方案的種數(shù)為10．（多選題）定義“圓排列”：從n個不同元素中選m個元素圍成一個圓形，稱為圓排列，所有圓排列的方法數(shù)計為.圓排列是排列的一種，區(qū)別于通常的“直線排列”，既無“頭”也無“尾”，所以.現(xiàn)有2個女生4個男生共6名同學圍坐成一圈，做擊鼓傳花的游戲，則（

）A．共有種排法 B．若兩名女生相鄰，則有種排法C．若兩名女生不相鄰，共有種排法 D．若男生甲位置固定，則有種排法11．（多選題）臨沂動植物園舉行花卉展覽，某花卉種植園有2種蘭花，2種三角梅共4種精品花卉，其中“綠水晶”是培育的蘭花新品種，4種精品花卉將全部去展館參展，每種只能去一個展館，每個展館至少有1種花卉參展，下列選項正確的是（

）A．若展館需要3種花卉，有4種安排方法1．（2020年山東省春季高考數(shù)學真題）現(xiàn)從4名男生和3名女生中，任選3名男生和2名女生，分別擔任5門不同學科的課代表，則不同安排方法的種數(shù)是（

）A．12 B．120 C．1440 D．172802．（2020年新高考全國卷Ⅱ數(shù)學試題（海南卷））要安排3名學生到2個鄉(xiāng)村做志愿者，每名學生只能選擇去一個村，每個村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（

）A．2種 B．3種 C．6種 D．8種3．（2020年新高考全國卷Ⅰ數(shù)學試題（山東卷））6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（

）A．120種 B．90種C．60種 D．30種4．（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（新課標Ⅱ））如圖，將鋼琴上的12個鍵依次記為a1，a2，…，a12.設1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，則稱ai，aj，ak為原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，則稱ai，aj，ak為原位小三和弦．用這12個鍵可以構成的原位大三和弦與原位小三和弦的個數(shù)之和為（

）A．5 B．8 C．10 D．155．（2002年普通高等學校招生考試數(shù)學試題（蘇豫粵））從正方體的6個面中選取3個面，其中有2個面不相鄰的選法共有（

）.A．20種 B．16種 C．12種 D．8種6．（2024年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）在如圖的4×4的方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數(shù)之和的最大值是．7．（2024年上海秋季高考數(shù)學真題）設集合中的元素皆為無重復數(shù)字的三位正整數(shù)，且元素中任意兩個不同元素之積皆為偶數(shù)，求集合中元素個數(shù)的最大值．8．（2023年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學真題）某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）．9．（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標Ⅱ））4名同學到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學，則不同的安排方法共有種.10．（2003年普通高等學校招生考試數(shù)學試題（遼寧卷））某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分.現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，則不同的栽種方法有種.（用數(shù)字作答）第02講排列、組合目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎練 2題型一：排列數(shù)與組合數(shù)的推導、化簡和計算 2題型二：直接法 3題型三：間接法 5題型四：捆綁法 6題型五：插空法 8題型六：定序問題（先選后排） 9題型七：列舉法 10題型八：多面手問題 12題型九：錯位排列 13題型十：涂色問題 14題型十一：分組問題 16題型十二：分配問題 18題型十三：隔板法 19題型十四：數(shù)字排列 20題型十五：幾何問題 21題型十六：分解法模型與最短路徑問題 23題型十七：排隊問題 25題型十八：構造法模型和遞推模型 26題型十九：環(huán)排問題 2702重難創(chuàng)新練 2903真題實戰(zhàn)練 36題型一：排列數(shù)與組合數(shù)的推導、化簡和計算1．已知，則x等于（

）A．6 B．13 C．6或13 D．12【答案】C【解析】由題意得，化簡可得，解得或6，因為，所以且，故.2．已知，則（

）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C【解析】因為，則，整理可得，解得，經檢驗，滿足題意．3．下列等式不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，故A錯誤；，C正確；，B正確；，D正確.題型二：直接法4．沈陽二中24屆籃球賽正如火如荼地進行中，全年級共20個班，每四個班一組，如1—4班為一組，5—8班為二組……進行單循環(huán)小組賽（沒有并列），勝出的5個班級和從余下隊伍中選出的數(shù)據(jù)最優(yōu)秀的1個班級共6支球隊按抽簽的方式進行淘汰賽，最后勝出的三個班級再進行單循環(huán)賽，按積分的高低（假設沒有并列）決出最終的冠亞季軍，請問此次籃球賽學校共舉辦了多少場比賽？（

）A．51 B．42 C．39 D．36【答案】B【解析】先進行單循環(huán)賽，有場，勝出的5個班級和從余下隊伍中選出的數(shù)據(jù)最優(yōu)秀的1個班級共6支球隊按抽簽的方式進行淘汰賽，6支球隊打3場，決出最后勝出的三個班，最后3個班再進行單循環(huán)賽，由場.所以共打了場.故選：D.5．在含有3件次品的50件產品中，任取2件，則恰好取到1件次品的不同方法數(shù)共有（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在50件產品中含有3件次品,所以有47件不是次品,任取2件，則恰好取到1件次品的不同方法數(shù)共有.故選:A.6．（2024·貴州貴陽·校聯(lián)考模擬預測）2022年9月3日貴陽市新冠疫情暴發(fā)以來，某住宿制中學為做好疫情防控工作，組織6名教師組成志愿者小組，分配到高中三個年級教學樓樓門口配合醫(yī)生給學生做核酸.由于高三年級學生人數(shù)較多，要求高三教學樓志愿者人數(shù)均不少于另外兩棟教學樓志愿者人數(shù)，若每棟教學樓門至少分配1名志愿者，每名志愿者只能在1個樓門進行服務，則不同的分配方法種數(shù)為（

）A．240 B．150 C．690 D．180【答案】C【解析】第一種：當高三的志愿者有3人時，其他兩個年級有1個年級1人，有1個年級2人，則有種；第二種：當高三的志愿者有2人時，其他兩個年級也分別有2人，則有種；第三種：當高三的志愿者有4人時，其他兩個年級分別有1人，則有種，所以不同的分配方法有：種，7．（多選題）2022年在全世界范圍內，氣溫升高是十分顯著的，世界氣象組織預測2022年到2026年間，有93%的概率平均氣溫會超過2016年，達到歷史上最高氣溫紀錄．某校環(huán)保興趣小組準備開展一次關于全球變暖的研討會，現(xiàn)有10名學生，其中5名男生5名女生，若從中選取4名學生參加研討會，則（

）A．選取的4名學生都是女生的不同選法共有5種B．選取的4名學生中恰有2名女生的不同選法共有400種C．選取的4名學生中至少有1名女生的不同選法共有420種D．選取的4名學生中至多有2名男生的不同選法共有155種【答案】CD【解析】選取的4名學生都是女生的不同選法共有種，故A正確；恰有2名女生的不同選法共有種，故B錯誤；至少有1名女生的不同選法共有種，故C錯誤；選取的4名學生中至多有2名男生的不同選法共有種，故D正確.故選：AD．8．（多選題）新高考按照“”的模式設置，其中“3”為全國統(tǒng)考科目語文、數(shù)學、外語，所有考生必考：“1”為首選科目，考生須在物理、歷史兩科中選擇一科；“2”為再選科目，考生可結合自身特長興趣在化學、生物、政治、地理四科中選擇兩科．下列說法正確的是（

）A．若任意選科，選法總數(shù)為B．若化學必選，選法總數(shù)為C．若政治和地理至多選一門，選法總數(shù)為D．若物理必選，化學、生物至少選一門，選法總數(shù)為【答案】CBC【解析】對選項A：若任意選科，選法總數(shù)為，正確；對選項B：若化學必選，選法總數(shù)為，正確；對選項C：若政治和地理至多選一門，選政治或地理有種方法，政治地理都不選有種方法，故共有選法總數(shù)為，正確；對選項D：若物理必選，化學、生物選一門有種，化學、生物都選有1種方法，故共有選法總數(shù)為，D錯誤.故選：ABC題型三：間接法9．中園古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”主要指德育；“樂”主要指美育；“射”和“御”就是體育和勞動；“書”指各種歷史文化知識；“數(shù)”指數(shù)學.某校國學社團開展“六藝”講座活動，每周安排一次講座，共講六次.講座次序要求“射”不在第一次，“數(shù)”和“樂”兩次不相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有（

）A．408種 B．240種 C．1092種. D．120種【答案】C【解析】每周安排一次，共講六次的“六藝”講座活動，“射”不在第一次的不同次序數(shù)為，其中“射”不在第一次且“數(shù)”和“樂”兩次相鄰的不同次序數(shù)為，于是得，所以“六藝”講座不同的次序共有408種.故選：A10．中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”，合稱“六藝”.“禮”主要指德育；“樂”主要指美育；“射”和“御”就是體育和勞動；“書”指各種歷史文化知識；“數(shù)”指數(shù)學.某校國學社團開展“六藝”講座活動，每次講一藝.講座次序要求“數(shù)”不在第一次也不在第六次，“禮”和“樂”不相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有（

）A．480種 B．336種 C．144種 D．96種【答案】A【解析】依題意，“數(shù)”不在第一次也不在第六次的不同次序數(shù)有：，“數(shù)”不在第一次也不在第六次時，“禮”和“樂”相鄰的不同次序數(shù)有：，所以所求“六藝”講座不同的次序數(shù)共有：.故選：B11．紅五月，某校團委決定舉辦慶祝中國共產黨成立100周年“百年榮光，偉大夢想”聯(lián)歡會，經過初賽，共有6個節(jié)目進入決賽，其中2個歌舞類節(jié)目，2個小品類節(jié)目，1個朗誦類節(jié)目，1個戲曲類節(jié)目．演出時要求同類節(jié)目不能相鄰，則演出順序的排法總數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】所有演出方案有種，歌舞類相鄰有種，小品類相鄰有種，歌舞與小品均相鄰有種，所以總數(shù)有種.12．2022年6月17日，我國第三艘航母“福建艦”正式下水．現(xiàn)要給“福建艦”進行航母編隊配置科學試驗，要求2艘攻擊型核潛艇一前一后，3艘驅逐艦和3艘護衛(wèi)艦分列左右，每側3艘，同側不能都是同種艦艇，則艦艇分配方案的方法數(shù)為（

）A．72 B．324 C．648 D．1296【答案】B【解析】由題意，2艘攻擊型核潛艇一前一后，分配方案有種，3艘驅逐艦和3艘護衛(wèi)艦分列左右，任意分配有種，同側的是同種艦艇的分配方案有種，故符合題意要求的艦艇分配方案的方法數(shù)為,故選：D題型四：捆綁法13．A，B，C，D，E，F(xiàn)六人站成一排，如果B，C必須相鄰，那么排法種數(shù)為（

）A．240 B．120 C．96 D．60【答案】C【解析】將捆綁在一起，然后進行全排列，故共有種排法.故選：A14．（2024·高三·廣東·開學考試）從2023年伊始，各地旅游業(yè)爆火，少林寺是河南省旅游勝地．某大學一個寢室6位同學慕名而來，游覽結束后，在門前站一排合影留念，要求相鄰，在的左邊，則不同的站法共有（

）A．480種 B．240種 C．120種 D．60種【答案】C【解析】站在一起有種，將看成一個整體與進行全排列，共有種，同時要求在的左邊，共有種．故選：.15．某平臺設有“人物”“視聽學習”等多個欄目．假設在這些欄目中，某時段“人物”更新了2篇文章，“視聽學習”更新了4個視頻．一位學習者準備從更新的這6項內容中隨機選取3個視頻和2篇文章進行學習，則這2篇文章學習順序相鄰的學法有（

）A．192種 B．168種 C．72種 D．144種【答案】C【解析】根據(jù)題意，分兩步進行分析：第一步，先從4個視頻中選3個，有種方法；2篇文章全選，有種方法；第二步，2篇文章要相鄰，則可以先“捆綁”看成一個元素，內部排列，有種方法；第三步，將“捆綁”元素與3個視頻進行全排列，有種方法.故滿足題意的學法有種.16．北京大興國際機場擁有世界上最大的單一航站樓，并擁有機器人自動泊車系統(tǒng)，解決了停車滿、找車難的問題．現(xiàn)有3輛車停放在7個并排的泊車位上，要求4個空位必須相鄰，箭頭表示車頭朝向，則不同的泊車方案有（）種．A．16 B．18 C．24 D．32【答案】C【解析】從7個車位里選擇4個相鄰的車位，共有4種方式，停放的3個車輛，有種方式，則不同的泊車方案有種．17．（2024·江西九江·三模）考古發(fā)現(xiàn)在金字塔內有一組神秘的數(shù)字“142857”，我們把它和自然數(shù)1到6依次相乘，得，，結果是同樣的數(shù)字，只是調換了位置.若將這組神秘數(shù)字“142857”進行重新排序，其中偶數(shù)均相鄰的排法種數(shù)為（

）A．24 B．36 C．72 D．144【答案】B【解析】第一步：將三個偶數(shù)看成一個整體，與三個奇數(shù)進行全排列共種排法；第二步：將三個偶數(shù)進行全排列共；根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得：將這組神秘數(shù)字“142857”進行重新排序，其中偶數(shù)均相鄰的排法種數(shù)為.故選：D.題型五：插空法18．（2024·內蒙古包頭·三模）一個小型聯(lián)歡會要安排1個詩詞朗誦類節(jié)目，2個獨唱類節(jié)目，2個歌舞類節(jié)目，則同類節(jié)目不相鄰的安排方式共有（

）A．44種 B．48種 C．72種 D．80種【答案】A【解析】依題意五個節(jié)目全排列有種排法；若獨唱類節(jié)目相鄰，則有種排法；若歌舞類節(jié)目相鄰，則有種排法；若獨唱類節(jié)目相鄰且歌舞類節(jié)目也相鄰，則有種排法；綜上可得同類節(jié)目不相鄰的安排方式共有種.故選：B19．一場文藝匯演中共有2個小品節(jié)目?2個歌唱類節(jié)目和3個舞蹈類節(jié)目，若要求2個小品類節(jié)目演出順序不相鄰且不在第一個表演，則不同的演出順序共有（

）A．480種 B．1200種 C．2400種 D．5040種【答案】C【解析】先排2個歌唱類節(jié)目和3個舞蹈類節(jié)目，共有種不同的演出順序；再排2個小品節(jié)目，共有種不同的演出順序.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，共有2400種不同的演出順序.20．某班畢業(yè)晚會有唱歌、跳舞、小品、雜技、相聲五個節(jié)目制成一個節(jié)目單.其中小品、相聲不相鄰且相聲、跳舞相鄰，這樣的節(jié)目單有（

）種A．36 B．40 C．32 D．42【答案】C【解析】將相聲，跳舞看成一個整體，與唱歌，雜技全排列共有種情況，3個節(jié)目有4個空，除去相聲旁邊的那個空，還剩3個空，小品選其一，有種，所以共有種排法.故選：A21．（2024·江西新余·二模）兩個大人和4個小孩站成一排合影，若兩個大人之間至少有1個小孩，則不同的站法有（

）種.A．240 B．360 C．420 D．480【答案】B【解析】若兩個大人之間至少有1個小孩，即兩個大人不相鄰，故共有種.故選：D.題型六：定序問題（先選后排）22．某次數(shù)學獲獎的6名高矮互不相同的同學站成兩排照相，后排每個人都高于站在他前面的同學，則共有多少種站法（

）A．36 B．90 C．360 D．720【答案】A【解析】6個高矮互不相同的人站成兩排，后排每個人都高于站在他前面的同學的站法數(shù)為，故選：B23．由高矮不同的3名女生和4名男生站成一排，要求女生按從高到低的順序排列，則不同的排列方法有（

）A．720 B．840 C．1120 D．1440【答案】A【解析】由于女生按從高到低的順序排列，故只需將4名男生從7個位置中選取4個位置排好，即有種排列方法，故選：B.24．元宵節(jié)燈展后，懸掛有8盞不同的花燈需要取下，如圖所示，每次取1盞，則不同的取法共有（

）．A．32種 B．70種 C．90種 D．280種【答案】A【解析】因為取燈時每次只能取一盞，所以每串燈必須先取下面的燈，即每串燈取下的順序確定，取下的方法有種．故選：B25．貼春聯(lián)、掛紅燈籠是我國春節(jié)的傳統(tǒng)習俗.現(xiàn)準備在大門的兩側各掛四盞一樣的紅燈籠，從上往下掛，可以一側掛好后再掛另一側，也可以兩側交叉著掛，則掛紅燈籠的不同方法數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】若盞燈籠任意掛，不同的掛法由種，又因為左右兩邊盞燈順序一定，故有種，故選：D26．如圖所示，某貨場有兩堆集裝箱，一堆2個，一堆3個，現(xiàn)需要全部裝運，每次只能從其中一堆取最上面的一個集裝箱，則在裝運的過程中不同取法的種數(shù)是A．6 B．10 C．12 D．24【答案】A【解析】將左邊的集裝箱從上往下分別記為1,2,3,右邊的集裝箱從上往下分別記為4,5.分兩種情況討論:若先取1,則有12345,12453,14523,14235,14523,12435,共6種情況;若先取4,則有45123,41235,41523,41253,共4種情況,故共有6+4=10種情況.題型七：列舉法27．定義：“各位數(shù)字之和為7的四位數(shù)叫幸運數(shù)”，比如“1006，2023”，則所有“幸運數(shù)”的個數(shù)為（）A．20 B．56 C．84 D．120【答案】C【解析】因為各位數(shù)字之和為7的四位數(shù)叫幸運數(shù),所以按首位數(shù)字分別計算當首位數(shù)字為,則剩余三位數(shù)分別是,共有個幸運數(shù);當首位數(shù)字為,則剩余三位數(shù)分別是,共有個幸運數(shù);當首位數(shù)字為,則剩余三位數(shù)分別是,共有個幸運數(shù);當首位數(shù)字為,則剩余三位數(shù)分別是,共有個幸運數(shù);當首位數(shù)字為,則剩余三位數(shù)分別是,共有個幸運數(shù);當首位數(shù)字為,則剩余三位數(shù)分別是,共有個幸運數(shù);當首位數(shù)字為,則剩余三位數(shù)分別是,共有個幸運數(shù);則共有個幸運數(shù);故選:.28．設，，，那么滿足的所有有序數(shù)組的組數(shù)為（

）A．45 B．46 C．47 D．48【答案】C【解析】①當時，，則，共1組；②當時，，則，不同時為2，共組；③當時，，則，為中任一元素，共組；④當時，，則，不同時為0，共組．故滿足題意的有序數(shù)組共有47組．29．將一個三位數(shù)的三個數(shù)字順序顛倒，將所得到的數(shù)與原數(shù)相加，若和中沒有一個數(shù)字是偶數(shù)，則稱這個數(shù)為“奇和數(shù)”.那么，所有的三位數(shù)中，奇和數(shù)有（

）個.A．100 B．120 C．160 D．200【答案】C【解析】設三位奇和數(shù)百位、十位、各位上的數(shù)字分別為，，，則顛倒順序后的數(shù)與原數(shù)相加為．如果此數(shù)的每一位都為奇數(shù)，那么必為奇數(shù)，由于定為偶數(shù)，所以如果讓十位數(shù)為奇數(shù)，那么必須大于10．又當時，百位上進1，那么百位必為偶數(shù)，所以，則可取0，1，2，3，4．由于為奇數(shù)，且，所以滿足條件的有：當時，．當時，．當時，，9．當時，，8．當時，，7，9．當時，，6，8．當時，，5，7，9．當時，，4，6，8．共有20種情況，由于可取0，1，2，3，4．故，共有100個三位奇和數(shù)．故選：A．題型八：多面手問題30．在名工人中,有人只當鉗工,人只當車工,另外人既會鉗工又會車工，現(xiàn)從人中選出人當鉗工,人當車工,則共有（

）種不同的選法.A． B． C． D．【答案】B【解析】按即會鉗工又會車工的2人分類：2人都不選的情況有種，只選1人且當鉗工的情況有種，只選1人且當車工的情況有種，選2人其中1人鉗工1人車工的情況有種，選2人都當鉗工的情況有種，選2人都當車工的情況有種，由分類加法原理得選法有種.故選：D.31．某公園有P，Q，R三只小船，P船最多可乘3人，Q船最多可乘2人，R船只能乘1人，現(xiàn)有3個大人和2個小孩打算同時分乘若干只小船，規(guī)定有小孩的船必須有大人，共有不同的乘船方法為A．36種 B．33種 C．27種 D．21種【答案】C【解析】第一類，船兩大人一小孩，船一大人一小孩：有種方法.第二類，船一大人兩小孩，船兩大人：有種方法.第三類，船一大人兩小孩，船一大人，船一大人：有種方法.第四類，船一大人一小孩，船一大人一小孩，船一大人：有種方法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有種不同的方法.故選C.考點：排列、組合、分類加法計數(shù)原理.32．有6名學生，其中有3名會唱歌，2名會跳舞，1名既會唱歌又會跳舞，現(xiàn)從中選出2名會唱歌的，1名會跳舞的，去參加文藝演出，求所有不同的選法種數(shù)為A．18 B．15 C．16 D．25【答案】A【解析】名會唱歌的從中選出兩個有種,名會跳舞的選出名有種選法,但其中一名既會唱歌又會跳舞的有一個,兩組不能同時用他,共有種，故選B.33．我校去年11月份，高二年級有9人參加了赴日本交流訪問團，其中3人只會唱歌，2人只會跳舞，其余4人既能唱歌又能跳舞．現(xiàn)要從中選6人上臺表演，3人唱歌，3人跳舞，有______種不同的選法【答案】216【解析】根據(jù)題意可按照只會跳舞的2人中入選的人數(shù)分類處理.第一類：2個只會跳舞的都不選，有種;第二類：2個只會跳舞的有1人入選，有種;第三類：2個只會跳舞的全入選，有種,所以共有216種不同的選法,故答案為：216.題型九：錯位排列34．若5個人各寫一張卡片（每張卡片的形狀、大小均相同），現(xiàn)將這5張卡片放入一個不透明的箱子里，并攪拌均勻，再讓這5人在箱子里各摸一張，恰有1人摸到自己寫的卡片的方法數(shù)有（

）A．20 B．90 C．15 D．45【答案】B【解析】根據(jù)題意，分2步分析：①先從5個人里選1人，恰好摸到自己寫的卡片，有種選法，②對于剩余的4人，因為每個人都不能拿自己寫的卡片，因此第一個人有3種拿法，被拿了自己卡片的那個人也有3種拿法，剩下的2人拿法唯一，所以不同的拿卡片的方法有種.故選：.35．5個人站成一列，重新站隊時各人都不站在原來的位置上，共有種不同的站法（

）A．42 B．44 C．46 D．48【答案】A【解析】由題意，設五人分別為，重新站隊時，可從開始，其中有種不同的選擇，比如占據(jù)了的位置，可再由選取位置，可分為兩類，1類：占據(jù)了的位置，則后面的重站，共有種站法；2類：沒有占據(jù)的位置，則有種站法，后面的重站，共有種站法，所以共有種不同的站法.故選：B.36．若5個人按原來站的位置重新站成一排，恰有1個人站在自己原來的位置，則不同的站法共有（

）A．45種 B．40種 C．55種 D．60種【答案】C【解析】先從5個人中選出站在自己原來的位置的有種選法設剩下的4個人為.則他們都不站自己原來的位置，分下列幾步完成:(1)假設先安排，則有種選法.(2)當站好后，站的位置原來站的是誰，接下來就安排這個人來選位置，有種選法.(3)接下來，剩下的兩個人和兩個位置中,至少有1人，他原來站的位置留下來了，都不站原來的位置，則只有1種站法.所以共有種選法.故選：A37．若4個人按原來站的位置重新站成一排，恰有一個人站在自己原來的位置，則共有（

）種不同的站法.A．4 B．8 C．12 D．24【答案】A【解析】根據(jù)題意，分2步分析：①先從4個人里選1人，其位置不變，其他三人的都不在自己原來的位置，有種選法；②對于剩余的三人，因為每個人都不能站在原來的位置上，因此第一個人有兩種站法，被站了自己位置的那個人只能站在第三個人的位置上，因此三個人調換有2種調換方法．故不同的調換方法有，故選：B．題型十：涂色問題38．（2024·陜西寶雞·一模）七巧板是古代勞動人民智慧的結晶.如圖是某同學用木板制作的七巧板，它包括5個等腰直角三角形?一個正方形和一個平行四邊形.若用四種顏色給各板塊涂色，要求正方形板塊單獨一色，其余板塊兩塊一種顏色，而且有公共邊的板塊不同色，則不同的涂色方案有種.【答案】【解析】由題意，一共4種顏色，板塊需單獨一色，剩下6個板塊中每2個區(qū)域涂同一種顏色.又板塊兩兩有公共邊不能同色，故板塊必定涂不同顏色.①當板塊與板塊同色時，則板塊與板塊或板塊分別同色，共2種情況；②當板塊與板塊同色時，則板塊只能與同色，板塊只能與同色，共1種情況.又板塊顏色可排列，故共種.故答案為：39．用4種不同顏色給一個正四面體涂色，每個面涂一種顏色，4個顏色都要用到，共有種涂色的方法．【答案】2【解析】不妨先規(guī)定其中一種顏色為底面（固定），其它面可以旋轉，正四面體展開圖如下：此時再涂其他三種顏色，共有種方法.故答案為：2.40．（2024·高三·安徽合肥·期末）如圖所示的按照下列要求涂色，若恰好用3種不同顏色給個區(qū)域涂色，且相鄰區(qū)域不同色，共有種不同的涂色方案？【答案】18【解析】恰好用3種不同顏色涂四個區(qū)域，則區(qū)域或區(qū)域或區(qū)域必同色，當同色時，有種，同理、分別同色時各有6種，由分類加法計數(shù)原理得恰好用3種不同顏色涂四個區(qū)域共種不同涂色的方案.故答案為：1841．有三種不同顏色供選擇，給圖中六個格子涂色，相鄰格子顏色不能相同，共有種不同的涂色方案.【答案】96【解析】將格子自左向右編號為1，2，3，4，5,6格子1，2有種選法，當格子3與格子1相同時，此時格子4，5，6都有2種選法，當格子3與格子1不同時，此時格子3有1種選法，格子4，5，6都有2種選法，所以當格子1和2顏色確定后，格子4，5，6共有種選法，所以不同的涂色方法有種，故答案為：96題型十一：分組問題42．按下列要求分配6本不同的書,各有多少種不同的分配方式?（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;（3）平均分成三份,每份2本;（4）平均分配給甲、乙、丙三人,每人2本;（5）分成三份,1份4本,另外兩份每份1本;（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外兩人每人得1本;（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.【解析】（1）無序不均勻分組問題.先選本有種選法;再從余下的本中選本有種選法;最后余下的本全選有種選法.故共有(種)選法.（2）有序不均勻分組問題.由于甲、乙、丙是不同三人,在題的基礎上,還應考慮再分配,共有.（3）無序均勻分組問題.先分三步,則應是種選法,但是這里出現(xiàn)了重復.不妨記六本書為,,,,,,若第一步取了,第二步取了,第三步取了,記該種分法為(,,),則種分法中還有(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),共有種情況,而這種情況僅是,,的順序不同,因此只能作為一種分法,故分配方式有.（4）有序均勻分組問題.在題的基礎上再分配給個人,共有分配方式(種).（5）無序部分均勻分組問題.共有(種)分法.（6）有序部分均勻分組問題.在題的基礎上再分配給個人,共有分配方式(種).（7）直接分配問題.甲選本有種選法,乙從余下本中選本有種選法,余下本留給丙有種選法,共有(種)選法.43．將4個編號為1、2、3、4的不同小球全部放入4個編號為1、2、3、4的4個不同盒子中.求：(1)每個盒至少一個球，有多少種不同的放法？(2)恰好有一個空盒，有多少種不同的放法？(3)每盒放一個球，并且恰好有一個球的編號與盒子的編號相同，有多少種不同的放法？(4)把已知中4個不同的小球換成四個完全相同的小球（無編號），其余條件不變，恰有一個空盒，有多少種不同的放法？【解析】（1）根據(jù)題意知，每個盒子里有且只有一個小球，所求放法種數(shù)為（種）；（2）先將4個小球分為3組，各組的球數(shù)分別為2、1、1，然后分配給4個盒子中的3個盒子，由分步乘法計數(shù)原理可知，所求的放法種數(shù)為（種）；（3）考查編號為1的盒子中放入編號為1的小球，則其它3個球均未放入相應編號的盒子，那么編號為2、3、4的盒子中放入的小球編號可以依次為3、4、2或4、2、3，因此，所求放法種數(shù)為（種）；（4）按兩步進行，空盒編號有4種情況，然后將4個完全相同的小球放入其它3個盒子，沒有空盒，則只需在4個完全相同的小球所形成的3個空（不包括兩端）中插入2塊板，由分步乘法計數(shù)原理可知，所求的放法種數(shù)為（種）.44．設有編號為1、2、3、4、5的5個球和編號為1、2、3、4、5的5個盒子，現(xiàn)將這5個球放入5個盒子內．(1)只有1個盒子空著，共有多少種投放方法？(2)沒有1個盒子空著，但球的編號與盒子編號不全相同，有多少種投放方法？(3)每個盒子內投放1球，并且至少有2個球的編號與盒子編號相同，有多少種投放方法？【解析】（1）首先選定兩個不同的球，作為一組，選法有種，再將組排到個盒子，有種投放法．共計種方法；（2）沒有一個盒子空著，相當于個元素排列在個位置上，有種，而球的編號與盒子編號全相同只有1種，所以沒有一個盒子空著，但球的編號與盒子編號不全相同的投法有種．（3）滿足的情形：第一類，五個球的編號與盒子編號全同的放法：1種；第二類，四個球的編號與盒子編號相同的放法：0種；第三類，三個球的編號與盒子編號相同的放法：種；第四類，兩個球的編號與盒子編號相同的放法：種．所以滿足條件的放法數(shù)為：種．題型十二：分配問題45．（2024·安徽·一模）樹人學校開展學雷鋒主題活動，某班級5名女生和2名男生，分配成兩個小組去兩地參加志愿者活動，每小組均要求既要有女生又要有男生，則不同的分配方案有（

）A．20種 B．40種 C．60種 D．80種【答案】C【解析】由題意可知兩名男生必須分開在兩組，則有1女1男一組，余下一組；2女1男一組，余下一組；3女1男一組，余下一組；4女1男一組，余下一組；所以分配方法為.故選：C46．（2024·安徽安慶·三模）A、B、C、D、E5所學校將分別組織部分學生開展研學活動，現(xiàn)有甲、乙、丙三個研學基地供選擇，每個學校只選擇一個基地，且每個基地至少有1所學校去，則A校不去甲地，乙地僅有2所學校去的不同的選擇種數(shù)共有（

）A．36種 B．42種 C．48種 D．60種【答案】A【解析】①A校去乙地有種；②A校與另一所學校去丙地有種，③A校單獨去丙地有種，所以共有種，故選：B．47．將5本不同的書分給3位同學，則每位同學至少有1本書的不同分配方式共有（

）種.A． B． C． D．【答案】C【解析】由題可先將5本不同的書分成三份，共有種方法，再將分好的三份書籍分發(fā)給3位同學的方法數(shù)有種，所以將5本不同的書分給3位同學共有種分法.48．（2024·高三·山西·開學考試）基礎學科對于一個國家科技發(fā)展至關重要，是提高核心競爭力，保持戰(zhàn)略領先的關鍵．其中數(shù)學學科尤為重要．某雙一流大學為提高數(shù)學系學生的數(shù)學素養(yǎng)，特開設了“九章算術”，“古今數(shù)學思想”，“數(shù)學原理”，“世界數(shù)學通史”，“算術研究”五門選修課程，要求數(shù)學系每位同學每學年至多選三門，至少選一門，且已選過的課程不能再選，大一到大三三學年必須將五門選修課程選完，則每位同學的不同選修方式種數(shù)為（）．A．種 B．種 C．種 D．種【答案】C【解析】先將五門課程分成3,1,1和2,2,1這樣兩種情況，再安排到三個學年中，則共有種選修方式故選：A題型十三：隔板法49．現(xiàn)有6個三好學生名額，計劃分到三個班級，則恰有兩個班分到三好學生名額的概率為.【答案】【解析】將6個三好學生名額分到三個班級，有3種類型：第一種是只有一個班分到名額，有3種情況；第二種是恰好有兩個班分到名額，由隔板法得有種情況，第三種是三個班都分到了名額，由隔板法得有種情況，則恰有兩個班分到三好學生名額的概率為．故答案為：．50．以表示把件相同的物件分給個人的不同方法數(shù)，則.【答案】【解析】設第個人分得件物件，則且，等于不定方程的非負整數(shù)解的個數(shù)，.故答案為：.51．已知集合，則A中的元素的個數(shù)為.【答案】【解析】，可轉化為將102個大小相同、質地均勻的小球分給甲、乙、丙3個人，每人至少分1個，利用隔板法可得分配的方案數(shù)為，所以中的元素的個數(shù)為.故答案為：.52．各數(shù)位數(shù)字之和等于6（數(shù)字可以重復）的四位數(shù)個數(shù)為（請用數(shù)字作答）．【答案】56【解析】設，，，對應個位到千位上的數(shù)字，則，且，相當于6個相同的球排成一排，每個球表示1，先拿一個球裝入，轉化為5個球裝入4個盒子，每盒可空，等價于9個球用3個隔板分成4組（各組不可為空），故共有種．故答案為：56．題型十四：數(shù)字排列53．（2024·上海·三模）用1~9這九個數(shù)字組成的無重復數(shù)字的四位數(shù)中，各個數(shù)位上數(shù)字和為偶數(shù)的奇數(shù)共有個【答案】840【解析】1~9這九個數(shù)字中由5個奇數(shù)和4個偶數(shù)，要使四位數(shù)滿足各個數(shù)位上數(shù)字和為偶數(shù)的奇數(shù)，則個位數(shù)字必須為奇數(shù)，前三位數(shù)字由1個奇數(shù)和2個偶數(shù)或3個奇數(shù)組成，所以，.故答案為：.54．（2024·陜西·模擬預測）各位數(shù)字之積為8的三位數(shù)的個數(shù)為.【答案】10【解析】滿足題意的三位數(shù)有：，共10個.故答案為：1055．（2024·河北石家莊·二模）各位數(shù)字之和為的三位正整數(shù)的個數(shù)為.【答案】【解析】因為或或或，所以各位數(shù)字之和為的三位數(shù)有，，，，，，，，，共個.故答案為：題型十五：幾何問題56．若一個正方體繞著某直線旋轉不到一周后能與自身重合，那么這樣的直線的條數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】若正方體繞著直線旋轉不到一周能與自身重合，則必過正方體中心，否則，正方體繞著直線旋轉不到一周后，中心不能回到原來的位置；共有三種情況：如圖所示；當過正方體的對角線兩頂點時，把正方體繞旋轉，正方體回到原來的位置，此時的直線共有條；當過正方體兩相對棱中點時，把正方體繞旋轉，正方體回到原來的位置，此時直線共有條；當過正方體對面中心時，把正方體繞旋轉，正方體回到原來的位置，此時直線共有條；綜上，符合條件的直線有條.故選：D.57．正方體的8個頂點中，選取4個共面的頂點，有種不同選法【答案】12【解析】從任意一個側棱出發(fā)，其它6個頂點中任選2個點都有3種共面的情況，所以，所有共面的情況有種，而每條棱均重復計數(shù)一次，綜上，正方體的8個頂點中，選取4個共面的頂點，有種.故答案為：1258．以三棱柱的頂點為頂點共可組成________個不同的三棱錐？【答案】12【解析】從個頂點中選出個的方法數(shù)有種，其中共面的有種（即個側面），故可以構成不同三棱錐的方法數(shù)有種.故答案為：1259．在如圖所示的的方格紙上（每個小方格均為正方形），共有個矩形、個正方形．【答案】28060【解析】根據(jù)題意，7×4的方格紙上，有5條水平方向的線，8條豎直方向的線，在5條水平方向的線中任選2條，在8條豎直方向的線中任選2條，就可以組成一個矩形，則可以組成個矩形；設方格紙上的小方格的邊長為1，當正方形的邊長為1時，有7×4=28個正方形，當正方形的邊長為2時，有6×3=18個正方形，當正方形的邊長為3時，有5×2=10個正方形，當正方形的邊長為4時，有4×1=4個正方形，則有28+18+10+4=60個正方形；故答案為：280，60.題型十六：分解法模型與最短路徑問題60．某小區(qū)的道路網(wǎng)如圖所示，則由A到C的最短路徑中，經過B的走法有（

）A．6種 B．8種C．9種 D．10種【答案】C【解析】由題意，從點到點，共走三步，需向上走一步，向右走兩步，共有種走法；從點到點，共走三步，需向上走一步，向右走兩步，共有種走法，由分步計數(shù)原理，可得共有種不同的走法.61．如圖為的網(wǎng)格圖，甲、乙兩人均從出發(fā)去地，每次只能向上或向右走一格，并且乙到達任何一個位置（網(wǎng)格交點處）時向右走過的格數(shù)不少于向上走過的格數(shù)，記甲、乙兩人所走路徑的條數(shù)分別為、，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得從到需要走格，向上、向右分別走格，因此甲只需在次選擇中次選擇向右走，剩下的次選擇向上走即可，，乙只能在對角線下方（包括）走，所以，乙的走法的所有可能情況為：（右上右上右上）、（右上右右上上）、（右右上上右上）、（右右上右上上）、（右右右上上上），即，則，62．（多選題）在某城市中，A，B兩地之間有如圖所示的道路網(wǎng)．甲隨機沿路網(wǎng)選擇一條最短路徑，從A地出發(fā)去往B地．下列結論正確的有（

）A．不同的路徑共有31條B．不同的路徑共有61條C．若甲途經C地，則不同的路徑共有18條D．若甲途經C地，且不經過D地，則不同的路徑共有9條【答案】CCD【解析】由圖可知，從A地出發(fā)去往B地的最短路徑共包含7步，其中3步向上，4步向右，且前3步中，至少有1步向上，則不同的路徑共有條．若甲途經C地，則不同的路徑共有條．若甲途經C地，且不經過D地，則不同的路徑共有條．故選：ACD．63．5400的正約數(shù)有______個【答案】48【解析】由，所以5400的正約數(shù)一定是由2的冪與3的冪和5的冪相乘的結果，設正約數(shù)為，其中取值為0，1，2，3共有4種；取值為0，1，2，3共有4種；取值為0，1，2共有3種；所以正約數(shù)個數(shù)為．故答案為：48題型十七：排隊問題64．隨著北京冬殘奧會的開幕，吉祥物“雪容融”火遍國內外，現(xiàn)有3個完全相同的“雪容融”，甲?乙?丙3位運動員要與這3個“雪容融”站成一排拍照留念，則有且只有2個“雪容融”相鄰的排隊方法數(shù)為．【答案】【解析】由題意，甲、乙、丙3位運動員站成一排，有種不同的排法；在三位運動員形成的4個空隙中選兩個，一個插入2個“雪容融”，一個插入1個“雪容融”，共有種排法.故答案為：.65．某醫(yī)院對9個人進行核酸檢測，為了防止排隊密集，將9人分成兩組，第一組5人，排隊等候，由于甲、乙兩人不熟悉流程，故無論在哪一組，排隊都不在第一位，則第一組的不同排法種數(shù)為.（用數(shù)字作答）【答案】11760【解析】第一組的第一位排法種數(shù)為7，后4位的排法種數(shù)，故所有排法種數(shù)為.故答案為：11760．66．甲、乙、丙三人相約一起去做核酸檢測，到達檢測點后，發(fā)現(xiàn)有兩支正在等待檢測的隊伍，則甲、乙、丙三人不同的排隊方案共有種.【答案】24【解析】先進行分類：①3人到隊伍檢測，考慮三人在隊的排隊順序，此時有種方案；②2人到隊伍檢測，同樣要考慮兩人在隊的排隊順序，此時有種方案；③1人到隊伍檢測，要考慮兩人在隊的排隊順序，此時有種方案；④0人到隊伍檢測，要考慮兩人在隊的排隊順序，此時有種方案；所以，甲、乙、丙三人不同的排隊方案共有24種.故答案為：2467．（2024·四川廣元·三模）有名男生、名女生排隊照相，個人排成一排．①如果名男生必須連排在一起，那么有種不同排法；②如果名女生按確定的某種順序，那么有種不同的排法；③如果女生不能站在兩端，那么有種不同排法；④如果名女生中任何兩名不能排在一起，那么有種不同排法；則以上說法正確的有．【答案】②③④【解析】名男生必須連排在一起，則這4名男生當成一個元素，共有，①不正確；名女生按確定的某種順序，只占3名女生的排列中的一種，共有，②正確；女生不能站在兩端，先讓兩名男生站兩端，共有，③正確；名女生中任何兩名不能排在一起，先排男生，將女生插空，共有，④正確.故答案為：②③④68．有七名同學排隊進行核酸檢測，其中小王站在正中間，并且小李?小張兩位同學要站在一起，則不同的排隊法有種.【答案】192【解析】當小李和小張在小王的左側時共有（種）排列方法，同理，當小李和小張在小王的右側時也有96種排列方法，∴共有192種排列方法.故答案為：192題型十八：構造法模型和遞推模型69．（2024·浙江·模擬預測）從1，2，3，…，15中選取三個不同的數(shù)組成三元數(shù)組，且滿足，，則這樣的數(shù)組共有______個.（用數(shù)字作答）【答案】56【解析】由，，得，，，當時，可取中任一數(shù)，共有6種取法，則此時共有種取法；當時，可取中的任一數(shù)，共有5種取法，則此時共有種取法；同理當取時，對應的分別有10，6，3，1種取法.綜上，這樣的數(shù)組共有（個）.故答案為：56.70．（2024·上海長寧·高三海市延安中學?？奸_學考試）從集合中選出4個數(shù)組成的子集，使得這4個數(shù)中的任何兩個數(shù)的和不等于11，則這樣的子集個數(shù)是________.【答案】【解析】將和等于11放在一組：1和10，2和9，3和8，4和7，5和6．從每一小組中取一個，共有，故答案為：80．71．16名社區(qū)志愿者組成4行4列的方陣，現(xiàn)從中選出2人，要求他們既不在同一行又不在同一列，則不同的選法種數(shù)為______________.【答案】72【解析】從16人中選出2人，共有種選法，若選出的2人既不在同一行又不在同一列，則共有種選法.故答案為：72.72．個人排成一個n行，n列的方陣，現(xiàn)要從中選出n個代表，要使得每一行，每一列都有代表，則有___________種不同的選法.【答案】【解析】從第行中選取一個代表，選法有種，從第行中選取一個代表，為保證每一列都有代表，選法有種，從第行中選取一個代表，為保證每一列都有代表，選法有種，從第行中選取一個代表，為保證每一列都有代表，選法有種，由分步乘法計數(shù)原理可知，不同的選法數(shù)有：，故答案為：.73．某活動中，有42人排成6行7列，現(xiàn)從中選出3人進行禮儀表演，要求這3人中的任意2人不同行也不同列，則不同的選法種數(shù)為_____（用數(shù)字作答）．【答案】4200【解析】先按順序依次選三人共有，再去掉順序數(shù)：故答案為：4200.題型十九：環(huán)排問題74．8人圍桌而坐，共有______種坐法.【答案】5040【解析】圍桌而坐與坐成一排不同，圍桌而坐沒有首尾之分，因此固定一人并從此位置把圓形展成直線，則其余7人共有（種）排法.故答案為：504075．5個女孩與6個男孩圍成一圈，任意2個女孩中間至少站1個男孩，則不同排法有______種（填數(shù)字）．【答案】86400【解析】因為任意2個女孩中間至少站1個男孩，則有且僅有2個男孩站在一起，先把5個女孩排成一個圈，這是個圓形排列，因此排法共有(種)，把6個男孩按2，1，1，1，1分成5組有種分法，最后把5組男孩放入5個女孩構成圓排列的5個間隔中有種方法，而站在一起的兩個男孩有順序性，有2種站法，所以，由分步乘法計數(shù)原理得，不同的排法共有(種).故答案為：8640076．10位男生10位女生．男女相間隔圍成一圈，則其所有不同的排列數(shù)為__________【答案】【解析】因為10位男生全排列有種排法，因為是圍成一圈，所以不分頭尾，所以10位男生圍成一圈有種，再把10位女生插入男生間的空隙中共有種方法，所以10位男生10位女生．男女相間隔圍成一圈，不同的排列數(shù)為.故答案為：.77．4個人圍坐在如圖所示的8張椅子中的4張椅子上聚餐，其中甲、乙兩人不能相對（如1與8叫做相對）而坐，共有__________種不同的坐法(用數(shù)字作答)【答案】1440【解析】因為甲、乙兩人不能相對（如1與8叫做相對）而坐，則甲、乙兩人不能同時坐在1與8位置或2與7位置或3與6位置或4與5，所以共有種不同的作法.故答案為：1440.1．將6棵高度不同的景觀樹種植在道路兩側，要求每一側種植3棵，且每一側中間的景觀樹都要比兩邊的高，則不同的種植方法共有（

）A．20種 B．40種 C．80種 D．160種【答案】C【解析】一側的種植方法有種排法，另一側的種植方法有種排法再由分步計數(shù)原理得不同的種植方法共有種排法，故選:C.2．（2024·高三·重慶涪陵·開學考試）甲、乙、丙、丁、戊共5名同學進行數(shù)學建模比賽，決出了第1名到第5名的名次(無并列情況).甲、乙、丙去詢問成績.老師對甲說：“你不是最差的.”對乙說：“很遺憾，你和甲都沒有得到冠軍.”對丙說：“你不是第2名.”從這三個回答分析，5名同學可能的名次排列情況種數(shù)為