2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章第01講直線的方程(九大題型)(講義)(學(xué)生版+解析)

第01講直線的方程目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 202知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航 303考點(diǎn)突破·題型探究 4知識(shí)點(diǎn)1：直線的傾斜角和斜率 4知識(shí)點(diǎn)2：直線的方程 5題型一：傾斜角與斜率的計(jì)算 6題型二：三點(diǎn)共線問題 7題型三：過定點(diǎn)的直線與線段相交問題 8題型四：直線的方程 9題型五：直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形問題 10題型六：兩直線的夾角問題 12題型七：直線過定點(diǎn)問題 13題型八：中點(diǎn)公式 14題型九：軌跡方程 1504真題練習(xí)·命題洞見 1705課本典例·高考素材 1806易錯(cuò)分析·答題模板 19易錯(cuò)點(diǎn)：錯(cuò)誤理解斜率與傾斜角間的關(guān)系 19答題模板：求斜率的取值范圍 19

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析（1）直線的傾斜角與斜率（2）直線的方程2008年江蘇卷第9題，5分2006年上海卷第11題，4分高考對(duì)直線方程的考查比較穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型難度均變化不大，備考時(shí)應(yīng)熟練掌握直線的傾斜角與斜率、直線方程的求法等，特別要重視直線方程的求法.復(fù)習(xí)目標(biāo)：（1）理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.（2）根據(jù)確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式)．

知識(shí)點(diǎn)1：直線的傾斜角和斜率1、直線的傾斜角若直線與軸相交，則以軸正方向?yàn)槭歼叄@交點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)直至與重合所成的角稱為直線的傾斜角，通常用表示（1）若直線與軸平行（或重合），則傾斜角為（2）傾斜角的取值范圍2、直線的斜率設(shè)直線的傾斜角為，則的正切值稱為直線的斜率，記為（1）當(dāng)時(shí)，斜率不存在；所以豎直線是不存在斜率的（2）所有的直線均有傾斜角，但是不是所有的直線均有斜率（3）斜率與傾斜角都是刻畫直線的傾斜程度，但就其應(yīng)用范圍，斜率適用的范圍更廣（與直線方程相聯(lián)系）（4）越大，直線越陡峭（5）傾斜角與斜率的關(guān)系當(dāng)時(shí)，直線平行于軸或與軸重合；當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為銳角，傾斜角隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為鈍角，傾斜角隨的增大而增大；3、過兩點(diǎn)的直線斜率公式已知直線上任意兩點(diǎn)，，則（1）直線的斜率是確定的，與所取的點(diǎn)無關(guān)．（2）若，則直線的斜率不存在，此時(shí)直線的傾斜角為90°4、三點(diǎn)共線．兩直線的斜率相等→三點(diǎn)共線；反過來，三點(diǎn)共線，則直線的斜率相等（斜率存在時(shí)）或斜率都不存在．【診斷自測(cè)】過點(diǎn)和點(diǎn)的直線的傾斜角為，則的值是.知識(shí)點(diǎn)2：直線的方程1、直線的截距若直線與坐標(biāo)軸分別交于，則稱分別為直線的橫截距，縱截距（1）截距：可視為直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的簡(jiǎn)記形式，其取值可正，可負(fù)，可為0（不要顧名思義誤認(rèn)為與“距離”相關(guān)）（2）橫縱截距均為0的直線為過原點(diǎn)的非水平非豎直直線2、直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式不含垂直于軸的直線斜截式不含垂直于軸的直線兩點(diǎn)式不含直線和直線截距式不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線一般式平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用3、求曲線（或直線）方程的方法：在已知曲線類型的前提下，求曲線（或直線）方程的思路通常有兩種：（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫出方程，例如在直線中，若用直接法則需找到兩個(gè)點(diǎn)，或者一點(diǎn)一斜率（2）間接法：若題目條件與所求要素聯(lián)系不緊密，則考慮先利用待定系數(shù)法設(shè)出曲線方程，然后再利用條件解出參數(shù)的值（通常條件的個(gè)數(shù)與所求參數(shù)的個(gè)數(shù)一致）4、線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式若點(diǎn)的坐標(biāo)分別為且線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，此公式為線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式．5、兩直線的夾角公式若直線與直線的夾角為，則.【診斷自測(cè)】過點(diǎn)引直線，使，兩點(diǎn)到直線的距離相等，則這條直線的方程是（

）A． B．C．或 D．或題型一：傾斜角與斜率的計(jì)算【典例1-1】直線的傾斜角為.【典例1-2】（2024·上海青浦·二模）已知直線的傾斜角比直線的傾斜角小，則的斜率為．【方法技巧】正確理解傾斜角的定義，明確傾斜角的取值范圍，熟記斜率公式，根據(jù)該公式求出經(jīng)過兩點(diǎn)的直線斜率，當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在，傾斜角為，求斜率可用，其中為傾斜角，由此可見傾斜角與斜率相互關(guān)聯(lián)，不可分割．牢記“斜率變化分兩段，是其分界，遇到斜率要謹(jǐn)記，存在與否要討論”．這可通過畫正切函數(shù)在上的圖像來認(rèn)識(shí)．【變式1-1】（2024·河南信陽·二模）已知直線的傾斜角為，則的值是．【變式1-2】若過點(diǎn)，的直線的斜率等于1，則m的值為．【變式1-3】若過點(diǎn)，的直線的傾斜角為銳角，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【變式1-4】（2024·重慶·重慶南開中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知直線的一個(gè)方向向量為，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．題型二：三點(diǎn)共線問題【典例2-1】若點(diǎn)、、在同一直線上，則實(shí)數(shù)k的值為．【典例2-2】若三點(diǎn)，，(其中)共線，則.【方法技巧】斜率是反映直線相對(duì)于軸正方向的傾斜程度的，直線上任意兩點(diǎn)所確定的方向不變，即在同一直線上任意不同的兩點(diǎn)所確定的斜率相等．這正是利用斜率可證三點(diǎn)共線的原因．【變式2-1】若三點(diǎn)共線，則的值為．【變式2-2】數(shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知的頂點(diǎn)分別為，，，則的歐拉線方程為.【變式2-3】已知，，三點(diǎn)在同一條直線上，則實(shí)數(shù)m的值為．【變式2-4】已知三點(diǎn)在同一條直線上，則實(shí)數(shù)的值為．題型三：過定點(diǎn)的直線與線段相交問題【典例3-1】已知，若點(diǎn)在線段AB上，則的取值范圍是.【典例3-2】已知點(diǎn)過點(diǎn)A的直線與線段BC相交，則直線的斜率的取值范圍是.【方法技巧】一般地，若已知，過點(diǎn)作垂直于軸的直線，過點(diǎn)的任一直線的斜率為，則當(dāng)與線段不相交時(shí)，夾在與之間；當(dāng)與線段相交時(shí)，在與的兩邊．【變式3-1】已知點(diǎn)，，直線是過點(diǎn)且與線段AB相交且斜率存在，則的斜率的取值范圍是【變式3-2】已知曲線，則的取值范圍是．【變式3-3】已知直線，若直線與連接兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線的傾斜角范圍是．【變式3-4】一質(zhì)點(diǎn)在矩形內(nèi)運(yùn)動(dòng)，從的中點(diǎn)沿一確定方向發(fā)射該質(zhì)點(diǎn)，依次由線段、、反射.反射點(diǎn)分別為、、（入射角等于反射角），最后落在線段上的（不包括端點(diǎn)）.若、、和，則的斜率的取值范圍是.

【變式3-5】已知直線和以為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.題型四：直線的方程【典例4-1】已知ΔABC為等腰直角三角形，C為直角頂點(diǎn)，AC中點(diǎn)為，斜邊上中線CE所在直線方程為，且點(diǎn)C的縱坐標(biāo)大于點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，則AB所在直線的方程為.【典例4-2】已知直線過點(diǎn)，它在軸上的截距是在軸上的截距的2倍，則此直線的方程為．【方法技巧】要重點(diǎn)掌握直線方程的特征值（主要指斜率、截距）等問題；熟練地掌握和應(yīng)用直線方程的幾種形式，尤其是點(diǎn)斜式、斜截式和一般式．【變式4-1】已知點(diǎn)，直線與軸相交于點(diǎn)，則中，邊上的高所在直線的方程是.【變式4-2】已知的頂點(diǎn)，，其外心（外接圓圓心）、重心（三條中線交點(diǎn)）、垂心（三條高線點(diǎn)）在同一條直線上，且這條直線的方程為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)是.【變式4-3】若△ABC的頂點(diǎn)A（5，1），AB邊上的中線CM所在直線方程為2x－y－5＝0，AC邊上的高BH所在直線方程為x－2y－5＝0，則直線BC的方程為.【變式4-4】如圖，在中，，所在直線方程分別為和，則的角平分線所在直線的方程為（

）A． B． C． D．【變式4-5】已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為，則所在直線的方程為（

）A． B．C． D．題型五：直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形問題【典例5-1】在平面直角坐標(biāo)系中，已知射線，過點(diǎn)作直線分別交射線OA、x軸正半軸于點(diǎn)A、B．(1)當(dāng)AB的中點(diǎn)為P時(shí)，求直線AB的一般式方程；(2)求面積的最小值．【典例5-2】已知直線過點(diǎn).(1)若直線與直線垂直，求直線的方程；(2)若直線分別與軸的正半軸，軸的正半軸交于、兩點(diǎn)，為原點(diǎn).若的面積為，求直線的方程.【方法技巧】（1）由于已知直線的傾斜角（與斜率有關(guān)）及直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積（與截距有關(guān)），因而可選擇斜截式直線方程，也可選用截距式直線方程，故有“題目決定解法”之說．（2）在求直線方程時(shí)，要恰當(dāng)?shù)剡x擇方程的形式，每種形式都具有特定的結(jié)論，所以根據(jù)已知條件恰當(dāng)?shù)剡x擇方程的類型往往有助于問題的解決．例如：已知一點(diǎn)的坐標(biāo)，求過這點(diǎn)的直線方程，通常選用點(diǎn)斜式，再由其他條件確定該直線在y軸上的截距；已知截距或兩點(diǎn)，選擇截距式或兩點(diǎn)式．在求直線方程的過程中，確定的類型后，一般采用待定系數(shù)法求解，但要注意對(duì)特殊情況的討論，以免遺漏．【變式5-1】過點(diǎn)的直線可表示為，若直線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為6，則這樣的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【變式5-2】已知直線和直線，當(dāng)實(shí)數(shù)的值在區(qū)間內(nèi)變化時(shí)，(1)求證直線恒過定點(diǎn)，并指出此定點(diǎn)的坐標(biāo).(2)求直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的四邊形面積的最小值.【變式5-3】（2024·高二單元測(cè)試）已知直線l過點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)A?與y軸正半軸交于點(diǎn)B.（1）求面積最小時(shí)直線l的方程（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；（2）求的最小值及取得最小值時(shí)l的直線方程.【變式5-4】（2024·河南鄭州·高二宜陽縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線經(jīng)過定點(diǎn)P．(1)證明：無論k取何值，直線l始終過第二象限；(2)若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，當(dāng)取最小值時(shí)，求直線l的方程．【變式5-5】（2024·江蘇宿遷·高二泗陽縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知直線過定點(diǎn)，且交軸負(fù)半軸于點(diǎn)?交軸正半軸于點(diǎn)．點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）若的面積為4，求直線的方程；（2）求的最小值，并求此時(shí)直線的方程；（3）求的最小值，并求此時(shí)直線的方程．【變式5-6】已知直線．(1)當(dāng)時(shí)，求直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)．①的面積為，求的最小值和此時(shí)直線的方程；②已知點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，求直線的方程．題型六：兩直線的夾角問題【典例6-1】如果直線與的斜率分別是一元二次方程的兩個(gè)根，那么兩直線的夾角為.【典例6-2】（2024·上海長寧·二模）直線與直線的夾角大小為．【方法技巧】若直線與直線的夾角為，則.【變式6-1】當(dāng)時(shí)，直線與直線的夾角為60°．【變式6-2】（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，等邊三角形的邊所在直線斜率為，則邊所在直線斜率的一個(gè)可能值為.【變式6-3】（2024·高三·上海浦東新·期末）直線與直線所成夾角的余弦值等于【變式6-4】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知等腰三角形兩腰所在直線的方程分別為與，原點(diǎn)在等腰三角形的底邊上，則底邊所在直線的斜率為.【變式6-5】直線與直線的夾角為.題型七：直線過定點(diǎn)問題【典例7-1】不論k為任何實(shí)數(shù)，直線恒過定點(diǎn)，若直線過此定點(diǎn)其m，n是正實(shí)數(shù)，則的最小值是.【典例7-2】不論m，n取什么值，直線必過一定點(diǎn)為.【方法技巧】合并參數(shù)【變式7-1】直線恒過定點(diǎn)【變式7-2】直線與直線相交于點(diǎn)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，直線分別恒過定點(diǎn)，則的最大值為.【變式7-3】已知函數(shù)且過定點(diǎn)，直線過定點(diǎn)，則題型八：中點(diǎn)公式【典例8-1】若直線l與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為A，B，且線段AB的中點(diǎn)為，則直線l的方程為：．【典例8-2】過點(diǎn)的直線，被直線，所截得的線段的中點(diǎn)恰好在直線上，則直線的方程為．【方法技巧】若點(diǎn)的坐標(biāo)分別為且線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則【變式8-1】已知直線與直線和的交點(diǎn)分別為，若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則直線的方程為.【變式8-2】過點(diǎn)的直線被兩平行直線與所截線段的中點(diǎn)恰在直線上，則直線的方程是．【變式8-3】已知點(diǎn)A，B分別是直線和直線上的點(diǎn)，點(diǎn)P為的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）過點(diǎn)的直線與曲線C，x軸分別交于點(diǎn)M，N，若點(diǎn)D為的中點(diǎn)，求直線的方程.【變式8-4】已知直線.(1)求證：直線經(jīng)過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)P；(2)經(jīng)過點(diǎn)P有一條直線l，它夾在兩條直線與之間的線段恰被P平分，求直線l的方程.題型九：軌跡方程【典例9-1】（2024·高三·全國·課后作業(yè)）若過點(diǎn)且互相垂直的兩條直線分別與軸、軸交于、兩點(diǎn)，則中點(diǎn)的軌跡方程為.【典例9-2】在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)，若點(diǎn)滿足（，且），則點(diǎn)的軌跡方程為．【方法技巧】（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫出方程，例如在直線中，若用直接法則需找到兩個(gè)點(diǎn)，或者一點(diǎn)一斜率（2）間接法：若題目條件與所求要素聯(lián)系不緊密，則考慮先利用待定系數(shù)法設(shè)出曲線方程，然后再利用條件解出參數(shù)的值（通常條件的個(gè)數(shù)與所求參數(shù)的個(gè)數(shù)一致）【變式9-1】已知，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，，則點(diǎn)的軌跡方程是．【變式9-2】已知的頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為、，頂點(diǎn)D在直線上移動(dòng)，則頂點(diǎn)B的軌跡方程為．【變式9-3】已知滿足方程，則M的軌跡為（

）A．直線 B．橢圓C．雙曲線 D．拋物線【變式9-4】在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為、、，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的軌跡方程．【變式9-5】（2024·安徽蚌埠·三模）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是原點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn).(1)求所在直線的一般式方程；(2)當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.【變式9-6】如圖，已知點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，連接，在線段上取點(diǎn)使得.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)已知點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.1．（2008年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（四川卷））直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再向右平移1個(gè)單位，所得到的直線為（

）A． B． C． D．2．（2002年普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（北京卷））到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B． C． D．3．（2004年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（湖北卷））已知點(diǎn)和．直線與線段的交點(diǎn)M分有向線段的比為，則m的值為（

）A． B． C． D．44．（2004年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（浙江卷））直線與直線的夾角是（

）A． B． C． D．5．（2020年山東省春季高考數(shù)學(xué)真題）已知直線的圖像如圖所示，則角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角1．判斷，，三點(diǎn)是否共線，并說明理由．2．菱形的兩條對(duì)角線分別位于x軸和y軸上，其長度分別為8和6，求菱形各邊所在直線的方程．3．求經(jīng)過點(diǎn)，并且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程．4．求直線（A，B不同時(shí)為0）的系數(shù)A，B，C分別滿足什么關(guān)系時(shí)，這條直線有以下性質(zhì)：（1）與兩條坐標(biāo)軸都相交；

（2）只與x軸相交；（3）只與y軸相交；

（4）是x軸所在的直線；（5）是y軸所在的直線．5．畫出直線，并在直線l外取若干點(diǎn)，將這些點(diǎn)的坐標(biāo)代入，求它的值；觀察有什么規(guī)律，并把這個(gè)規(guī)律表示出來．易錯(cuò)點(diǎn)：錯(cuò)誤理解斜率與傾斜角間的關(guān)系易錯(cuò)分析：斜率與傾斜角是直線在平面幾何中的兩個(gè)重要屬性，它們之間存在緊密的關(guān)系，但也容易被誤解。斜率表示直線的傾斜程度，是縱坐標(biāo)差與橫坐標(biāo)差之商；而傾斜角則是直線與x軸正方向之間的夾角。誤解常在于將斜率與傾斜角的正弦值混淆，或忽視了斜率不存在（即直線垂直于x軸）時(shí)傾斜角為90度這一特殊情況。【易錯(cuò)題1】若經(jīng)過兩點(diǎn)A(4，2y＋1)，B(2，－3)的直線的傾斜角是直線4x－3y＋2019＝0的傾斜角的一半，則y的值為.【易錯(cuò)題2】直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．答題模板：求斜率的取值范圍1、模板解決思路求解斜率的取值范圍問題時(shí)，通常的做法是先通過關(guān)鍵點(diǎn)計(jì)算出相關(guān)的斜率值，這些值往往作為臨界值存在。接著，結(jié)合圖形的直觀分析，判斷斜率的取值范圍是位于這些臨界值的中間區(qū)域，還是分布在臨界值的兩側(cè)。簡(jiǎn)而言之，就是先找臨界斜率，再結(jié)合圖形確定取值范圍是居中還是分居兩側(cè)。2、模板解決步驟第一步：確定直線與幾何圖形有公共點(diǎn)的邊界點(diǎn).第二步：求出已知點(diǎn)與邊界點(diǎn)所在直線的斜率.第三步：分析直線的變化范圍，寫出直線的斜率的取值范圍.【經(jīng)典例題1】已知兩點(diǎn)，B2,1，過點(diǎn)的直線與線段（含端點(diǎn)）有交點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【經(jīng)典例題2】已知直線和以，為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A． B．C． D．第01講直線的方程目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 202知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航 303考點(diǎn)突破·題型探究 4知識(shí)點(diǎn)1：直線的傾斜角和斜率 4知識(shí)點(diǎn)2：直線的方程 5題型一：傾斜角與斜率的計(jì)算 6題型二：三點(diǎn)共線問題 8題型三：過定點(diǎn)的直線與線段相交問題 11題型四：直線的方程 16題型五：直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形問題 20題型六：兩直線的夾角問題 27題型七：直線過定點(diǎn)問題 30題型八：中點(diǎn)公式 32題型九：軌跡方程 3504真題練習(xí)·命題洞見 3905課本典例·高考素材 4106易錯(cuò)分析·答題模板 43易錯(cuò)點(diǎn)：錯(cuò)誤理解斜率與傾斜角間的關(guān)系 43答題模板：求斜率的取值范圍 44

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析（1）直線的傾斜角與斜率（2）直線的方程2008年江蘇卷第9題，5分2006年上海卷第11題，4分高考對(duì)直線方程的考查比較穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型難度均變化不大，備考時(shí)應(yīng)熟練掌握直線的傾斜角與斜率、直線方程的求法等，特別要重視直線方程的求法.復(fù)習(xí)目標(biāo)：（1）理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.（2）根據(jù)確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式)．

知識(shí)點(diǎn)1：直線的傾斜角和斜率1、直線的傾斜角若直線與軸相交，則以軸正方向?yàn)槭歼?，繞交點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)直至與重合所成的角稱為直線的傾斜角，通常用表示（1）若直線與軸平行（或重合），則傾斜角為（2）傾斜角的取值范圍2、直線的斜率設(shè)直線的傾斜角為，則的正切值稱為直線的斜率，記為（1）當(dāng)時(shí)，斜率不存在；所以豎直線是不存在斜率的（2）所有的直線均有傾斜角，但是不是所有的直線均有斜率（3）斜率與傾斜角都是刻畫直線的傾斜程度，但就其應(yīng)用范圍，斜率適用的范圍更廣（與直線方程相聯(lián)系）（4）越大，直線越陡峭（5）傾斜角與斜率的關(guān)系當(dāng)時(shí)，直線平行于軸或與軸重合；當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為銳角，傾斜角隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為鈍角，傾斜角隨的增大而增大；3、過兩點(diǎn)的直線斜率公式已知直線上任意兩點(diǎn)，，則（1）直線的斜率是確定的，與所取的點(diǎn)無關(guān)．（2）若，則直線的斜率不存在，此時(shí)直線的傾斜角為90°4、三點(diǎn)共線．兩直線的斜率相等→三點(diǎn)共線；反過來，三點(diǎn)共線，則直線的斜率相等（斜率存在時(shí)）或斜率都不存在．【診斷自測(cè)】過點(diǎn)和點(diǎn)的直線的傾斜角為，則的值是.【答案】【解析】，，，則，解得．故答案為：．知識(shí)點(diǎn)2：直線的方程1、直線的截距若直線與坐標(biāo)軸分別交于，則稱分別為直線的橫截距，縱截距（1）截距：可視為直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的簡(jiǎn)記形式，其取值可正，可負(fù)，可為0（不要顧名思義誤認(rèn)為與“距離”相關(guān)）（2）橫縱截距均為0的直線為過原點(diǎn)的非水平非豎直直線2、直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式不含垂直于軸的直線斜截式不含垂直于軸的直線兩點(diǎn)式不含直線和直線截距式不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線一般式平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用3、求曲線（或直線）方程的方法：在已知曲線類型的前提下，求曲線（或直線）方程的思路通常有兩種：（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫出方程，例如在直線中，若用直接法則需找到兩個(gè)點(diǎn)，或者一點(diǎn)一斜率（2）間接法：若題目條件與所求要素聯(lián)系不緊密，則考慮先利用待定系數(shù)法設(shè)出曲線方程，然后再利用條件解出參數(shù)的值（通常條件的個(gè)數(shù)與所求參數(shù)的個(gè)數(shù)一致）4、線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式若點(diǎn)的坐標(biāo)分別為且線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，此公式為線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式．5、兩直線的夾角公式若直線與直線的夾角為，則.【診斷自測(cè)】過點(diǎn)引直線，使，兩點(diǎn)到直線的距離相等，則這條直線的方程是（

）A． B．C．或 D．或【答案】B【解析】設(shè)所求的直線為，則直線平行于或直線過線段的中點(diǎn)，因?yàn)椋?，所以，所以過點(diǎn)且與平行的直線為：即，因?yàn)椋?，所以線段的中點(diǎn)為，所以過點(diǎn)與線段的中點(diǎn)為的直線的方程為：，即，所以這條直線的方程是：或，故選：.題型一：傾斜角與斜率的計(jì)算【典例1-1】直線的傾斜角為.【答案】【解析】由題意可將原直線方程變形，則直線的斜率為，由傾斜角的取值范圍，所以傾斜角為.故答案為：.【典例1-2】（2024·上海青浦·二模）已知直線的傾斜角比直線的傾斜角小，則的斜率為．【答案】【解析】由直線方程：得的傾斜角為，所以的傾斜角為，即的斜率為.故答案為：.【方法技巧】正確理解傾斜角的定義，明確傾斜角的取值范圍，熟記斜率公式，根據(jù)該公式求出經(jīng)過兩點(diǎn)的直線斜率，當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在，傾斜角為，求斜率可用，其中為傾斜角，由此可見傾斜角與斜率相互關(guān)聯(lián)，不可分割．牢記“斜率變化分兩段，是其分界，遇到斜率要謹(jǐn)記，存在與否要討論”．這可通過畫正切函數(shù)在上的圖像來認(rèn)識(shí)．【變式1-1】（2024·河南信陽·二模）已知直線的傾斜角為，則的值是．【答案】【解析】由直線方程，得直線斜率，所以.故答案為：【變式1-2】若過點(diǎn)，的直線的斜率等于1，則m的值為．【答案】1【解析】由已知可得，過點(diǎn)，的直線的斜率，解得，故答案為：.【變式1-3】若過點(diǎn)，的直線的傾斜角為銳角，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【答案】【解析】因?yàn)橹本€的斜率，又因?yàn)橹本€的傾斜角為銳角，所以，解得.故答案為：【變式1-4】（2024·重慶·重慶南開中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知直線的一個(gè)方向向量為，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可得：直線的斜率，即直線的傾斜角為.故選：A題型二：三點(diǎn)共線問題【典例2-1】若點(diǎn)、、在同一直線上，則實(shí)數(shù)k的值為．【答案】【解析】因?yàn)槿c(diǎn)、、在同一直線上，∴的斜率和的斜率相等，即，∴.故答案為：．【典例2-2】若三點(diǎn)，，(其中)共線，則.【答案】【解析】由于，，三點(diǎn)共線且、，顯然、的斜率存在，則，所以，所以，所以.故答案為：【方法技巧】斜率是反映直線相對(duì)于軸正方向的傾斜程度的，直線上任意兩點(diǎn)所確定的方向不變，即在同一直線上任意不同的兩點(diǎn)所確定的斜率相等．這正是利用斜率可證三點(diǎn)共線的原因．【變式2-1】若三點(diǎn)共線，則的值為．【答案】【解析】依題意有，即，解得.【變式2-2】數(shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知的頂點(diǎn)分別為，，，則的歐拉線方程為.【答案】【解析】由題可知，的重心為，可得直線AB的斜率為，則AB邊上高所在的直線斜率為，則方程為，即，直線AC的斜率為，則AC邊上高所在的直線斜率為，則方程為，即，聯(lián)立方程，解得，即的垂心為，則直線GH斜率為，則可得直線GH方程為，故的歐拉線方程為.故答案為：.【變式2-3】已知，，三點(diǎn)在同一條直線上，則實(shí)數(shù)m的值為．【答案】【解析】由題意易得A，B，C三點(diǎn)所在直線不可能垂直于x軸，因此其中任意兩點(diǎn)所確定的直線斜率都存在，設(shè)直線AB，BC的斜率分別為，．由斜率公式可得，．因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)在同一條直線上，則，即，整理得，解得或．故答案為：.【變式2-4】已知三點(diǎn)在同一條直線上，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】5【解析】根據(jù)題意可得：，即：，，解得或?2；又當(dāng)時(shí)，是同一個(gè)點(diǎn)，不滿足題意，故舍去；綜上所述，實(shí)數(shù)的值為：.故答案為：.題型三：過定點(diǎn)的直線與線段相交問題【典例3-1】已知，若點(diǎn)在線段AB上，則的取值范圍是.【答案】【解析】設(shè)，則，，點(diǎn)是線段上的任意一點(diǎn)，的取值范圍是，，故答案為：，【典例3-2】已知點(diǎn)過點(diǎn)A的直線與線段BC相交，則直線的斜率的取值范圍是.【答案】【解析】如圖，要使過點(diǎn)A的直線與線段BC相交，需使直線的傾斜角介于直線的傾斜角之間，即需使斜率滿足，因，，故.故答案為：.【方法技巧】一般地，若已知，過點(diǎn)作垂直于軸的直線，過點(diǎn)的任一直線的斜率為，則當(dāng)與線段不相交時(shí)，夾在與之間；當(dāng)與線段相交時(shí)，在與的兩邊．【變式3-1】已知點(diǎn)，，直線是過點(diǎn)且與線段AB相交且斜率存在，則的斜率的取值范圍是【答案】【解析】因?yàn)?，，，所以，．直線過點(diǎn)且與線段相交，如下圖所示：或，直線的斜率的取值范圍是：．故答案為：．【變式3-2】已知曲線，則的取值范圍是．【答案】【解析】函數(shù)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)圖象如下所示：當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，則，表示曲線上的點(diǎn)與連線的斜率，令，又，，由圖可得或，即的取值范圍為.故答案為：【變式3-3】已知直線，若直線與連接兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線的傾斜角范圍是．【答案】【解析】如下圖，由題意，直線方程可化為，由解得，則直線過定點(diǎn)，又，則由直線與連接兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)知:直線的斜率滿足或，又當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，，所以或，則直線的傾斜角為或，又也符合題意，則直線的傾斜角范圍是.故答案為：.【變式3-4】一質(zhì)點(diǎn)在矩形內(nèi)運(yùn)動(dòng)，從的中點(diǎn)沿一確定方向發(fā)射該質(zhì)點(diǎn)，依次由線段、、反射.反射點(diǎn)分別為、、（入射角等于反射角），最后落在線段上的（不包括端點(diǎn)）.若、、和，則的斜率的取值范圍是.

【答案】【解析】由題意知：，，設(shè)，則線段的斜率：，為使點(diǎn)落在線段上（不包括端點(diǎn)），所以得：當(dāng)落到點(diǎn)，點(diǎn)時(shí)為相應(yīng)的兩種臨界位置，當(dāng)落到點(diǎn)時(shí)：由題意知：點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，且從點(diǎn)出發(fā)又回到點(diǎn)，所以可得：此時(shí)P1位于線段的中點(diǎn)位置，所以得此時(shí)的斜率：；當(dāng)落到點(diǎn)時(shí)：點(diǎn)與點(diǎn)重合，如下圖所示，設(shè)，可得：，且，所以得：，，，所以得：，解之得：，所以此時(shí)斜率：，綜上所述：可得的斜率范圍為：，即.故答案為：.【變式3-5】已知直線和以為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】直線，過定點(diǎn)，則，直線和以為端點(diǎn)的線段相交，由圖可知，或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.題型四：直線的方程【典例4-1】已知ΔABC為等腰直角三角形，C為直角頂點(diǎn)，AC中點(diǎn)為，斜邊上中線CE所在直線方程為，且點(diǎn)C的縱坐標(biāo)大于點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，則AB所在直線的方程為.【答案】【解析】因?yàn)橹芯€CE所在直線方程為，所以可設(shè)，由AC中點(diǎn)為，可得，所以，為等腰直角三角形，CE為中線，，，①，又是的中點(diǎn)，，，，化簡(jiǎn)得：②，由①②解得，所以點(diǎn)，又因?yàn)?，所以直線方程為，即所求方程為.故答案為：【典例4-2】已知直線過點(diǎn)，它在軸上的截距是在軸上的截距的2倍，則此直線的方程為．【答案】或【解析】當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，直線方程為：．當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為：，把點(diǎn)代入，解得．直線方程為．綜上可得直線方程為：或，故答案是：或．【方法技巧】要重點(diǎn)掌握直線方程的特征值（主要指斜率、截距）等問題；熟練地掌握和應(yīng)用直線方程的幾種形式，尤其是點(diǎn)斜式、斜截式和一般式．【變式4-1】已知點(diǎn)，直線與軸相交于點(diǎn)，則中，邊上的高所在直線的方程是.【答案】【解析】直線與軸交點(diǎn)的斜率，所以邊上的高的斜率，所以所在直線方程為.故答案為：【變式4-2】已知的頂點(diǎn)，，其外心（外接圓圓心）、重心（三條中線交點(diǎn)）、垂心（三條高線點(diǎn)）在同一條直線上，且這條直線的方程為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)是.【答案】或【解析】設(shè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的重心坐標(biāo)為，由題意可知：，即，可知線段的中點(diǎn)為，斜率，則線段的中垂線的方程為，即，聯(lián)立方程，解得，即的外心坐標(biāo)為，由，即，可得，解得或，即或，經(jīng)檢驗(yàn)或均符合題意.故答案為：或.【變式4-3】若△ABC的頂點(diǎn)A（5，1），AB邊上的中線CM所在直線方程為2x－y－5＝0，AC邊上的高BH所在直線方程為x－2y－5＝0，則直線BC的方程為.【答案】6x－5y－9＝0【解析】先計(jì)算AC邊所在直線方程為2x＋y－11＝0，設(shè)B（x0，y0），AB的中點(diǎn)M為，根據(jù)解得答案.由AC邊上的高BH所在直線方程為x－2y－5＝0可以知道kAC＝－2，又A（5，1），AC邊所在直線方程為2x＋y－11＝0，聯(lián)立直線AC與直線CM方程得解得頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（4，3）.設(shè)B（x0，y0），AB的中點(diǎn)M為，由M在直線2x－y－5＝0上，得2x0－y0－1＝0，B在直線x－2y－5＝0上，得x0－2y0－5＝0，聯(lián)立解得所以頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（－1，－3）.于是直線BC的方程為6x－5y－9＝0.故答案為：6x－5y－9＝0【變式4-4】如圖，在中，，所在直線方程分別為和，則的角平分線所在直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】聯(lián)立，解得，即，因?yàn)?，所以，即，設(shè)的角平分線所在直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則，則，即的角平分線所在直線的斜率為，所以的角平分線所在直線的方程為，即.故選：A.【變式4-5】已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為，則所在直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，邊上的高所在直線方程為，所以，所以邊所在直線的方程為，即.又邊上的中線所在直線方程為，由，解得，所以.設(shè)，則線段的中點(diǎn)，則解得即，所以所在直線的方程為.故選：D題型五：直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形問題【典例5-1】在平面直角坐標(biāo)系中，已知射線，過點(diǎn)作直線分別交射線OA、x軸正半軸于點(diǎn)A、B．(1)當(dāng)AB的中點(diǎn)為P時(shí)，求直線AB的一般式方程；(2)求面積的最小值．【解析】（1）由題意可設(shè)、，且、．當(dāng)AB的中點(diǎn)為P時(shí)，則，解得，，所以、B4，0．所以直線AB的方程為，即一般式方程為：．（2）當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，、，此時(shí)．當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為．直線AB與相交，可得，直線AB與x軸正半軸相交于B，可得．由，解得或．則．令，則（或），可得，由或，可得或，，當(dāng)，即，時(shí)，，即，則，此時(shí)、B4，0符合題意．綜上，．【典例5-2】已知直線過點(diǎn).(1)若直線與直線垂直，求直線的方程；(2)若直線分別與軸的正半軸，軸的正半軸交于、兩點(diǎn)，為原點(diǎn).若的面積為，求直線的方程.【解析】（1）與直線垂直的直線的方程可設(shè)為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程得，解得，所以直線的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，由題意可的，解的，所以直線的方程為，即.【方法技巧】（1）由于已知直線的傾斜角（與斜率有關(guān)）及直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積（與截距有關(guān)），因而可選擇斜截式直線方程，也可選用截距式直線方程，故有“題目決定解法”之說．（2）在求直線方程時(shí)，要恰當(dāng)?shù)剡x擇方程的形式，每種形式都具有特定的結(jié)論，所以根據(jù)已知條件恰當(dāng)?shù)剡x擇方程的類型往往有助于問題的解決．例如：已知一點(diǎn)的坐標(biāo)，求過這點(diǎn)的直線方程，通常選用點(diǎn)斜式，再由其他條件確定該直線在y軸上的截距；已知截距或兩點(diǎn)，選擇截距式或兩點(diǎn)式．在求直線方程的過程中，確定的類型后，一般采用待定系數(shù)法求解，但要注意對(duì)特殊情況的討論，以免遺漏．【變式5-1】過點(diǎn)的直線可表示為，若直線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為6，則這樣的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】A【解析】可化為①，要使與兩坐標(biāo)軸能圍成三角形，則且，由①令得；令得，依題意，，所以或，所以或，設(shè)，則或，則或解得或，即或，即或，所以這樣的直線有條.故選：D【變式5-2】已知直線和直線，當(dāng)實(shí)數(shù)的值在區(qū)間內(nèi)變化時(shí)，(1)求證直線恒過定點(diǎn)，并指出此定點(diǎn)的坐標(biāo).(2)求直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的四邊形面積的最小值.【解析】（1）解法1當(dāng)時(shí)，，無論為何值，直線過定點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，直線過定點(diǎn)；綜上：直線恒過定點(diǎn)；解法2：將直線化為，由，得，即直線恒過定點(diǎn).（2）將直線化為，得直線恒過定點(diǎn)，在直線中，由于，令得，令，故直線與軸正半軸交于點(diǎn)，同理在直線中，令，得，故與軸正半軸交于點(diǎn)，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中取點(diǎn)，連接，當(dāng)實(shí)數(shù)的值在區(qū)間內(nèi)變化時(shí)，過點(diǎn)作出直線的大致圖象，與軸交于點(diǎn)與軸交于點(diǎn).則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.因?yàn)?，所以，在中邊上的高?，在中邊上的高為2，所以，所以當(dāng)時(shí)，所求四邊形的面積最小，最小值為.【變式5-3】（2024·高二單元測(cè)試）已知直線l過點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)A?與y軸正半軸交于點(diǎn)B.（1）求面積最小時(shí)直線l的方程（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；（2）求的最小值及取得最小值時(shí)l的直線方程.【解析】（1）設(shè)l的方程為，由直線過點(diǎn)知，即，由基本不等式得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又知，所以時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)l直線的方程為，即面積最小時(shí)直線l的方程為.（2）易知直線l的斜率存在，所以可設(shè)直線l的方程為，所以得，，所以，得，等號(hào)成立時(shí)有k，得，此時(shí)直線的方程為，即.故的最小值是24，取最小值時(shí)直線l的方程是.【變式5-4】（2024·河南鄭州·高二宜陽縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線經(jīng)過定點(diǎn)P．(1)證明：無論k取何值，直線l始終過第二象限；(2)若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，當(dāng)取最小值時(shí)，求直線l的方程．【解析】（1）證明：由可得：，由可得，所以l經(jīng)過定點(diǎn)；即直線l過定點(diǎn)，且定點(diǎn)在第二象限，所以無論k取何值，直線l始終經(jīng)過第二象限．（2）設(shè)直線l的傾斜角為，則，可得，所以，令，因?yàn)椋傻茫?，將兩邊平方可得：，所以，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，可得，所以，所以直線的方程為．【變式5-5】（2024·江蘇宿遷·高二泗陽縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直線過定點(diǎn)，且交軸負(fù)半軸于點(diǎn)?交軸正半軸于點(diǎn)．點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）若的面積為4，求直線的方程；（2）求的最小值，并求此時(shí)直線的方程；（3）求的最小值，并求此時(shí)直線的方程．【解析】設(shè)，，.（1）設(shè)，因?yàn)檫^點(diǎn)，所以，所以，由解得，所以直線的方程為，即；（2），所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，所以直線的方程為；（3）依題意可知三點(diǎn)共線，在線段上（且與不重合），所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，所以直線的方程為．【變式5-6】已知直線．(1)當(dāng)時(shí)，求直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)．①的面積為，求的最小值和此時(shí)直線的方程；②已知點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，求直線的方程．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，直線為，則，解得，故所求交點(diǎn)為；（2）①由題意，設(shè)，故直線的方程為，因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，代入方程可得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則，所以的面積的最小值是4，此時(shí)，解得；所以此時(shí)直線的方程為；②法1：由題意，設(shè)，則，，令，則，故且，則，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)取最大值，此時(shí)取最小值，當(dāng)時(shí)，有，解得，所以直線的傾斜角為，則，故直線方程為．法2：由題設(shè)知，由三點(diǎn)共線，設(shè)的中點(diǎn)為，所以，且，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線方程為.題型六：兩直線的夾角問題【典例6-1】如果直線與的斜率分別是一元二次方程的兩個(gè)根，那么兩直線的夾角為.【答案】/60°【解析】設(shè)直線與的斜率分別為，，與夾角為.∵直線的斜率分別為二次方程的兩個(gè)根且∴，∴∵∴，故答案為：.【典例6-2】（2024·上海長寧·二模）直線與直線的夾角大小為．【答案】/【解析】設(shè)直線與直線的傾斜角分別為，則，且，所以，因?yàn)?，所以，即兩條直線的夾角為，故答案為：.【方法技巧】若直線與直線的夾角為，則.【變式6-1】當(dāng)時(shí)，直線與直線的夾角為60°．【答案】0或【解析】由的傾斜角為，所以直線的傾斜角為或，故或.故答案為：0或【變式6-2】（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，等邊三角形的邊所在直線斜率為，則邊所在直線斜率的一個(gè)可能值為.【答案】或【解析】設(shè)直線的傾斜角為，由已知得，設(shè)直線的傾斜角為，則，因?yàn)樵诘冗吶切沃?，，所以，?dāng)，，所以當(dāng)，，所以綜上，或，故答案為：或【變式6-3】（2024·高三·上海浦東新·期末）直線與直線所成夾角的余弦值等于【答案】【解析】直線，即，則其斜率為，傾斜角為；直線，即，則其斜率，設(shè)直線的傾斜角為，則，又，所以，所以，，而，所以兩直線的夾角為，又因?yàn)?，則所以，故所求夾角的余弦值為.故答案為：.【變式6-4】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知等腰三角形兩腰所在直線的方程分別為與，原點(diǎn)在等腰三角形的底邊上，則底邊所在直線的斜率為.【答案】3【解析】直線的斜率，直線的斜率，設(shè)底邊所在直線為，由題意，與的夾角等于與的夾角，于是有，即，化簡(jiǎn)得，解得或，因?yàn)樵c(diǎn)在等腰三角形的底邊上，所以.故答案為：3.【變式6-5】直線與直線的夾角為.【答案】【解析】由直線與直線的方程可知，兩直線的斜率分別為：，∴，∴，∴兩直線的夾角為.故答案為：.題型七：直線過定點(diǎn)問題【典例7-1】不論k為任何實(shí)數(shù)，直線恒過定點(diǎn)，若直線過此定點(diǎn)其m，n是正實(shí)數(shù)，則的最小值是.【答案】/【解析】直線即，由題意，解得，即直線恒過點(diǎn)，因?yàn)橹本€過此定點(diǎn)，其中m，n是正實(shí)數(shù)，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是.故答案為：【典例7-2】不論m，n取什么值，直線必過一定點(diǎn)為.【答案】【解析】由題意，在令，解得，不論m，n取什么值，直線必過一定點(diǎn).故答案為：【方法技巧】合并參數(shù)【變式7-1】直線恒過定點(diǎn)【答案】【解析】直線，化為，令，解得，所以直線恒過定點(diǎn)，故答案為：【變式7-2】直線與直線相交于點(diǎn)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，直線分別恒過定點(diǎn)，則的最大值為.【答案】4【解析】直線化為，當(dāng)，得，即直線恒過點(diǎn)，即點(diǎn)，直線化為，當(dāng)，得，即直線恒過點(diǎn)，即點(diǎn)，且兩條直線滿足，，即，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，的最大值為4.故答案為：4.【變式7-3】已知函數(shù)且過定點(diǎn)，直線過定點(diǎn)，則【答案】5【解析】，；由得：，直線恒過定點(diǎn)；.故答案為：.題型八：中點(diǎn)公式【典例8-1】若直線l與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為A，B，且線段AB的中點(diǎn)為，則直線l的方程為：．【答案】【解析】依題知，直線與x軸y軸的截距都存在且都不為0，設(shè)直線方程為，又線段AB的中點(diǎn)為，則，即則直線方程為，即.故答案為：【典例8-2】過點(diǎn)的直線，被直線，所截得的線段的中點(diǎn)恰好在直線上，則直線的方程為．【答案】【解析】設(shè)中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以在直線上，由在直線上，聯(lián)立可得，解得，即中點(diǎn)為，所以直線的斜率，所以的方程為，即．故答案為：．【方法技巧】若點(diǎn)的坐標(biāo)分別為且線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則【變式8-1】已知直線與直線和的交點(diǎn)分別為，若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則直線的方程為.【答案】【解析】因?yàn)橹本€與直線和的交點(diǎn)分別為，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，由中點(diǎn)公式可得，解得，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即.故答案為：.【變式8-2】過點(diǎn)的直線被兩平行直線與所截線段的中點(diǎn)恰在直線上，則直線的方程是．【答案】【解析】設(shè)線段的中點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)到與的距離相等，故，解得，則點(diǎn)．直線的方程為，即．故答案為：【變式8-3】已知點(diǎn)A，B分別是直線和直線上的點(diǎn)，點(diǎn)P為的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）過點(diǎn)的直線與曲線C，x軸分別交于點(diǎn)M，N，若點(diǎn)D為的中點(diǎn)，求直線的方程.【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，，，因?yàn)辄c(diǎn)P為的中點(diǎn)，可得，，又由，，兩式相加，可得，所以，即，所以曲線C的方程為.（2）根據(jù)題意，設(shè)，，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，解得，，即，所以直線的方程為，整理得，即直線的方程.【變式8-4】已知直線.(1)求證：直線經(jīng)過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)P；(2)經(jīng)過點(diǎn)P有一條直線l，它夾在兩條直線與之間的線段恰被P平分，求直線l的方程.【解析】（1）證明：將直線l的方程改寫為，令，且，兩式聯(lián)立，解得，，所以直線過定點(diǎn).（2）如圖，設(shè)直線l夾在直線，之間的部分是AB，且AB被平分，設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是，，則有，，又A，B兩點(diǎn)分別在直線，上，所以，，由以上四個(gè)式子解得，，即，所以直線AB的方程為.題型九：軌跡方程【典例9-1】（2024·高三·全國·課后作業(yè)）若過點(diǎn)且互相垂直的兩條直線分別與軸、軸交于、兩點(diǎn)，則中點(diǎn)的軌跡方程為.【答案】【解析】設(shè)，則，連接，，，即，化簡(jiǎn)即得.故答案為：【典例9-2】在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)，若點(diǎn)滿足（，且），則點(diǎn)的軌跡方程為．【答案】【解析】點(diǎn)滿足（，且），，，，由共線向量定理可知，三點(diǎn)共線，點(diǎn)的軌跡為直線，又，直線的方程為：，整理得：，故點(diǎn)的軌跡方程為，故答案為：【方法技巧】（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫出方程，例如在直線中，若用直接法則需找到兩個(gè)點(diǎn)，或者一點(diǎn)一斜率（2）間接法：若題目條件與所求要素聯(lián)系不緊密，則考慮先利用待定系數(shù)法設(shè)出曲線方程，然后再利用條件解出參數(shù)的值（通常條件的個(gè)數(shù)與所求參數(shù)的個(gè)數(shù)一致）【變式9-1】已知，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，，則點(diǎn)的軌跡方程是．【答案】【解析】設(shè)，，，則，故，點(diǎn)在直線，故，整理得到.故答案為：.【變式9-2】已知的頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為、，頂點(diǎn)D在直線上移動(dòng)，則頂點(diǎn)B的軌跡方程為．【答案】（除點(diǎn)外）【解析】設(shè)點(diǎn)，在中，對(duì)角線AC的中點(diǎn)為，于是得點(diǎn)，而點(diǎn)在直線上，則有，即，直線的方程為：，即，由解得，在中，點(diǎn)A，B，C不共線，因此點(diǎn)不在點(diǎn)B的軌跡上，所以頂點(diǎn)B的軌跡方程為：（除點(diǎn)外）.故答案為：（除點(diǎn)外）【變式9-3】已知滿足方程，則M的軌跡為（

）A．直線 B．橢圓C．雙曲線 D．拋物線【答案】A【解析】滿足方程，即滿足方程，幾何意義為：點(diǎn)M到直線x-2y+3=0和到點(diǎn)（-1，1）的距離相等，又因?yàn)辄c(diǎn)（-1，1）在直線x-2y+3=0上，所以點(diǎn)M的軌跡為一條直線，故選：A【變式9-4】在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為、、，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的軌跡方程．【解析】設(shè)點(diǎn)、，直線的斜率為，直線的方程為，即，，，，，由可得，所以，，可得，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，則，即，整理可得，因此，點(diǎn)的軌跡方程為.【變式9-5】（2024·安徽蚌埠·三模）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是原點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn).(1)求所在直線的一般式方程；(2)當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.【解析】（1），所在直線的斜率為：.所在直線方程是，即；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，由平行四邊形的性質(zhì)得點(diǎn)的坐標(biāo)是，是線段的中點(diǎn)，，，于是有，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，，，即，由得，線段的中點(diǎn)的軌跡方程為.【變式9-6】如圖，已知點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，連接，在線段上取點(diǎn)使得.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)已知點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【解析】（1）設(shè)，，，由，，又，得：，把①②代入上式得，即為點(diǎn)的軌跡方程.（2）設(shè)，由，得，又點(diǎn)滿足，聯(lián)立得方程組，解得或.故存在點(diǎn)滿足條件，點(diǎn)的坐標(biāo)為或.1．（2008年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（四川卷））直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再向右平移1個(gè)單位，所得到的直線為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】當(dāng)直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，所得直線斜率為，此時(shí)，該直線方程為，再將該直線向右平移1個(gè)單位可得