2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章第七章立體幾何與空間向量(測(cè)試)(學(xué)生版+解析)

第七章立體幾何與空間向量（測(cè)試）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)是三個(gè)不同平面，且，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．已知向量，，向量在向量上的投影向量為（

）．A． B．C． D．3．四棱臺(tái)的上底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，下底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，四條側(cè)棱的長(zhǎng)均為，則該四棱臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．4．已知球O的體積為，點(diǎn)A到球心O的距離為3，則過點(diǎn)A的平面被球O所截的截面面積的最小值是（

）A． B． C． D．5．三棱錐中，平面，，，，，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．6．如圖，已知正方形ABCD為圓柱的軸截面，，E，F(xiàn)為上底面圓周上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF過上底面的圓心G，若，則三棱錐的體積為（

）

A． B． C． D．7．在三棱柱中，點(diǎn)在棱上，滿足，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)在直線上，若平面，則（

）A．2 B．3 C．4 D．58．已知E，F(xiàn)分別是棱長(zhǎng)為2的正四面體的對(duì)棱的中點(diǎn).過的平面與正四面體相截，得到一個(gè)截面多邊形，則下列說法正確的是（

）A．截面多邊形不可能是平行四邊形 B．截面多邊形的周長(zhǎng)是定值C．截面多邊形的周長(zhǎng)的最小值是 D．截面多邊形的面積的取值范圍是二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知a，b，c為三條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則10．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)P是正方體的上底面內(nèi)（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是棱的中點(diǎn)，則以下命題正確的是（

）

A．三棱錐的體積是定值B．存在點(diǎn)P，使得與所成的角為C．直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為D．若，則P的軌跡的長(zhǎng)度為11．半正多面體（semiregularsolid）亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的，它由八個(gè)正三角形和六個(gè)正方形構(gòu)成（如圖所示），若它的所有棱長(zhǎng)都為，則（

）A．平面EABB．該二十四等邊體的體積為C．該二十四等邊體外接球的表面積為D．PN與平面EBFN所成角的正弦值為第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知四面體有兩個(gè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，另外兩個(gè)面是直角三角形，則該四面體的體積等于．13．如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，為等腰直角三角形，，平面平面ABC，D為AB的中點(diǎn)，則異面直線AC與PD所成角的余弦值為．14．要使正方體以直線為軸，旋轉(zhuǎn)后與其自身重合，則的最小正值為．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）如圖所示，在平行六面體中，M、N分別是、BC的中點(diǎn)．設(shè)，，．(1)已知P是的中點(diǎn)，用、、表示、、；(2)已知P在線段上，且，用、、表示．16．（15分）已知三棱錐，，，D，M，N分別是AP，AB，CP的中點(diǎn)，，，二面角的余弦值為．(1)證明：；(2)求直線MN與平面BCD所成角的正弦值．17．（15分）如圖，平行六面體的體積為，，，，．(1)求點(diǎn)A到平面的距離；(2)求二面角的正弦值．18．（17分）如圖，四棱錐中，底面是矩形，，，且平面平面．分別是的中點(diǎn)．．(1)求證：是直角三角形；(2)求四棱錐體積的最大值；(3)求平面與平面的夾角余弦值的范圍．19．（17分）對(duì)于空間向量，定義，其中表示這三個(gè)數(shù)的最大值.(1)已知，.①寫出，寫出（用含的式子表示）；②當(dāng)，寫出的最小值及此時(shí)x的值；(2)設(shè)，，求證：(3)在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，，，，點(diǎn)P是以O(shè)為球心，1為半徑的球面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是△ABC內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，直接寫出的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo).第七章立體幾何與空間向量（測(cè)試）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)是三個(gè)不同平面，且，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由于，，由平面平行的性質(zhì)定理可得：，所以是的充分條件；但當(dāng)，，并不能推出，也有可能相交，所以是的不必要條件；故選:A.2．已知向量，，向量在向量上的投影向量為（

）．A． B．C． D．【答案】A【解析】向量在向量上的投影向量為故選：A3．四棱臺(tái)的上底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，下底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，四條側(cè)棱的長(zhǎng)均為，則該四棱臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】過，由正四棱臺(tái)的性質(zhì)可知：是該正四棱臺(tái)的高，因?yàn)樗倪呅问堑妊菪?，所以，由勾股定理可知：，所以該四棱臺(tái)的體積為，故選：C4．已知球O的體積為，點(diǎn)A到球心O的距離為3，則過點(diǎn)A的平面被球O所截的截面面積的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)球O的半徑為R，則，解得.因?yàn)辄c(diǎn)A到球心O的距離為3，所以過點(diǎn)A的平面被球O所截的截面圓的半徑的最小值為，則所求截面面積的最小值為.故選：C5．三棱錐中，平面，，，，，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在中，，，，由余弦定理可得，即，所以，設(shè)的外接圓半徑為，則，所以，平面，且，設(shè)三棱錐外接球半徑為，則，即，所以三棱錐外接球的表面積為．故選：B．6．如圖，已知正方形ABCD為圓柱的軸截面，，E，F(xiàn)為上底面圓周上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF過上底面的圓心G，若，則三棱錐的體積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖設(shè)圓柱的下底面的圓心為，連接，則，且平面，平面，所以，又，，所以，又，平面，所以平面，且，，所以.故選：B.7．在三棱柱中，點(diǎn)在棱上，滿足，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)在直線上，若平面，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】如圖所示：因?yàn)?，所以，所以所以，所以，則，設(shè)三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為6，則，，又為的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，則。過作，且，連接，又，所以平面平面，又平面，所以平面，所以，所以，所以，則，故選：D8．已知E，F(xiàn)分別是棱長(zhǎng)為2的正四面體的對(duì)棱的中點(diǎn).過的平面與正四面體相截，得到一個(gè)截面多邊形，則下列說法正確的是（

）A．截面多邊形不可能是平行四邊形 B．截面多邊形的周長(zhǎng)是定值C．截面多邊形的周長(zhǎng)的最小值是 D．截面多邊形的面積的取值范圍是【答案】D【解析】對(duì)于A，當(dāng)平面過或時(shí)，截面為三角形.易知正四面體關(guān)于平面對(duì)稱，將平面從平面開始旋轉(zhuǎn)與交于點(diǎn)時(shí)，由對(duì)稱性可知，此時(shí)平面與交于點(diǎn)，且，此時(shí)截面為四邊形，且注意到當(dāng)分別為的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)滿足，且，即此時(shí)截面四邊形是平行四邊形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于BC，設(shè)，由余弦定理得，，由兩點(diǎn)間距離公式知，表示動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和的距離之和，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，由二次函數(shù)單調(diào)性可知，當(dāng)或時(shí)，取得最大值，所以截面多邊形周長(zhǎng)的取值范圍是，故BC錯(cuò)誤；對(duì)于D，記與的交點(diǎn)為，由對(duì)稱性，，所以，，因?yàn)?，所以，所以，記，則，因?yàn)椋?，由二次函?shù)性質(zhì)可知，，即，所以，故D正確；故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知a，b，c為三條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】AC【解析】對(duì)于A，因?yàn)椋?，又，，所以，所以，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，直線不一定垂直于，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由面面平行的判定定理可知，C正確；對(duì)于D，由面面垂直性質(zhì)定理可知，若直線時(shí)，直線不一定垂直于，D錯(cuò)誤.故選：AC10．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)P是正方體的上底面內(nèi)（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是棱的中點(diǎn)，則以下命題正確的是（

）

A．三棱錐的體積是定值B．存在點(diǎn)P，使得與所成的角為C．直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為D．若，則P的軌跡的長(zhǎng)度為【答案】ACD【解析】對(duì)于A，三棱錐的體積等于三棱錐的體積，是定值，A正確；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則對(duì)于B，，使得與所成的角滿足：，因?yàn)?，故，故，而，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，平面的法向量，所以直線與平面所成角的正弦值為：，因?yàn)椋使?，而，，故即的取值范圍為，C正確；對(duì)于D，，由，可得，化簡(jiǎn)可得，在平面內(nèi)，令，得，令，得，則P的軌跡的長(zhǎng)度為，D正確；故選：ACD.11．半正多面體（semiregularsolid）亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的，它由八個(gè)正三角形和六個(gè)正方形構(gòu)成（如圖所示），若它的所有棱長(zhǎng)都為，則（

）A．平面EABB．該二十四等邊體的體積為C．該二十四等邊體外接球的表面積為D．PN與平面EBFN所成角的正弦值為【答案】BD【解析】對(duì)于A，假設(shè)A對(duì)，即平面，于是，，但六邊形為正六邊形，，矛盾，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，補(bǔ)齊八個(gè)角構(gòu)成棱長(zhǎng)為2的正方體，則該二十四等邊體的體積為，所以B對(duì)；對(duì)于C，取正方形對(duì)角線交點(diǎn)，即為該二十四等邊體外接球的球心，其半徑為，其表面積為，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)射影為，所以與平面所成角即為，其正弦值為，所以D對(duì)．故選：BD．第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知四面體有兩個(gè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，另外兩個(gè)面是直角三角形，則該四面體的體積等于．【答案】【解析】由題意,作出圖象如下圖所示，在三棱錐中，，，取的中點(diǎn)，連結(jié)，，在和中，由幾何知識(shí)得，兩三角形為等腰直角三角形，∴又平面，平面，，所以平面．故，分別是三棱錐和三棱錐的高，從而．在中，，，，∴．所以．故答案為：13．如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，為等腰直角三角形，，平面平面ABC，D為AB的中點(diǎn)，則異面直線AC與PD所成角的余弦值為．【答案】【解析】取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)椋裕制矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面．又，所以，可得，，兩兩垂直，所以以為坐?biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，，，所以，，所以，又異面直線所成角的取值范圍為，所以異面直線與所成角的余弦值為．故答案為：.14．要使正方體以直線為軸，旋轉(zhuǎn)后與其自身重合，則的最小正值為．【答案】120【解析】因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，同理可證得，因?yàn)?，平面，所以平面，同理可證得平面，因?yàn)闉榈冗吶切?，，所以過的中心，設(shè)的中心為點(diǎn)，連接，則，同理也過等邊的中心，若正方體繞旋轉(zhuǎn)后與其自身重合，只需要和旋轉(zhuǎn)后能和自身重合即可，因此至少旋轉(zhuǎn).故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）如圖所示，在平行六面體中，M、N分別是、BC的中點(diǎn)．設(shè)，，．(1)已知P是的中點(diǎn)，用、、表示、、；(2)已知P在線段上，且，用、、表示．【解析】（1）因?yàn)镸、N、P分別是、BC、的中點(diǎn)所以，；（2分）；；（8分）（2）因?yàn)?，所以所以．?3分）16．（15分）已知三棱錐，，，D，M，N分別是AP，AB，CP的中點(diǎn)，，，二面角的余弦值為．(1)證明：；(2)求直線MN與平面BCD所成角的正弦值．【解析】（1）證明：取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)?，，所以平面，?分）所以平面，平面，所以，即是的中垂線，所以，取中點(diǎn)，連接，所以，所以就是二面角的平面角，在中，由余弦定理可得：，根據(jù)題意和線段的中點(diǎn)可知，,，，，代入解得或，在中，，所以（舍）.（5分）當(dāng)時(shí)，，所以，故，得,連接，因?yàn)?，是平面?nèi)兩條相交直線，所以平面，因?yàn)槠矫妫?（7分）（2）連接并延長(zhǎng)至且有，連接，由（1）知，是平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面，又因?yàn)槭堑闹形痪€，所以平面，計(jì)算得，，如圖，以為原點(diǎn)，射線方向?yàn)檩S，射線方向?yàn)檩S，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算得（10分）故，設(shè)平面的法向量為，則，令，可取，因?yàn)?所以，（13分）設(shè)直線與平面所成角為，則所以直線與平面所成角的正弦值為.（15分）17．（15分）如圖，平行六面體的體積為，，，，．(1)求點(diǎn)A到平面的距離；(2)求二面角的正弦值．【解析】（1）由題意可知底面是平行四邊形，且O為底面的中心，又因?yàn)?，所以底面ABCD是菱形，連結(jié)，因?yàn)椋?，所以，，又平面ABCD，所以底面ABCD，又平面，所以平面底面ABCD，因?yàn)榈酌鍭BCD，底面ABCD，所以，（4分）又根據(jù)底面ABCD是菱形，可知，平面，所以平面，故A0為點(diǎn)A到平面的距離．因?yàn)?，，所以△ACD是邊長(zhǎng)為4的正三角形，所以．即點(diǎn)A到平面的距離為2．（7分）（2）由（1）可知OD，0A，兩兩互相垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz．因?yàn)闉槠叫辛骟w的高，又平行六面體的體積為，所以，解得．則O0,0,0，，，，，所以，，（10分）設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，，所以平面的一個(gè)法向量為，又平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的大小為，則，（13分）所以，故二面角的正弦值為．（15分）18．（17分）如圖，四棱錐中，底面是矩形，，，且平面平面．分別是的中點(diǎn)．．(1)求證：是直角三角形；(2)求四棱錐體積的最大值；(3)求平面與平面的夾角余弦值的范圍．【解析】（1）設(shè)平面平面PCD，由于，平面ADC，平面ADC，因此平面PDC，而平面APB，平面平面，因此，而，因此．而平面平面PCD，平面平面，平面，因此平面PDC，而平面PDC，因此.故△PEF是直角三角形．（5分）（