2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第3章重難點(diǎn)突破09導(dǎo)數(shù)中的“距離”問(wèn)題(八大題型)(學(xué)生版+解析)

重難點(diǎn)突破09導(dǎo)數(shù)中的“距離”問(wèn)題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納與總結(jié) 2題型一：曲線與直線的距離 2題型二：曲線與點(diǎn)的距離 3題型三：曲線與圓的距離 3題型四：曲線與拋物線的距離 4題型五：曲線與曲線的距離 4題型六：橫向距離 5題型七：縱向距離 6題型八：直線與兩曲線交點(diǎn)的距離 703過(guò)關(guān)測(cè)試 8

導(dǎo)數(shù)中的“距離”問(wèn)題，利用化歸轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想可把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離、兩點(diǎn)間的距離問(wèn)題，再利用導(dǎo)數(shù)法來(lái)求距離的最值．方法之一是轉(zhuǎn)化化歸，將動(dòng)點(diǎn)間的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題，而這個(gè)“點(diǎn)”一般就是利用導(dǎo)數(shù)求得的切點(diǎn)；方法之二是構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解最值．題型一：曲線與直線的距離【典例1-1】（2024·廣西桂林·二模）已知函數(shù)的最小值為，則正實(shí)數(shù)（

）A．3 B． C． D．3或【典例1-2】若函數(shù)，函數(shù)，則的最小值為（

）A． B．C． D．【變式1-1】點(diǎn)M是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2024·高三·安徽合肥·期中）點(diǎn)分別是函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．C． D．【變式1-3】（2024·陜西西安·二模）若，，則的最小值為（

）A． B．6 C．8 D．12【變式1-4】已知函數(shù)，，點(diǎn)與分別在函數(shù)與的圖象上，若的最小值為，則（

）A． B．3 C．或3 D．1或3【變式1-5】若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是（

）A．8 B．9 C．10 D．11【變式1-6】已知實(shí)數(shù)，，，滿足，則的最小值為（

）A． B．8 C．4 D．16題型二：曲線與點(diǎn)的距離【典例2-1】若點(diǎn)與曲線上點(diǎn)的距離的最小值為，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．【典例2-2】（2024·河北石家莊·石家莊二中?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)點(diǎn)，P為曲線上動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)A，P間距離的最小值為，則實(shí)數(shù)t的值為（

）A． B． C． D．【變式2-1】（2024·高三·廣東汕頭·開學(xué)考試）若點(diǎn)與曲線上點(diǎn)距離最小值為，則實(shí)數(shù)為.題型三：曲線與圓的距離【典例3-1】（2024·高三·山東青島·期末）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P，Q分別在圓和曲線上，則的最小值為．【典例3-2】（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）已知且，則的最小值是（

）A． B． C． D．8【變式3-1】若x、a、b為任意實(shí)數(shù)，若，則最小值為(

)A． B．9 C． D．【變式3-2】若，分別是函數(shù)與圓上的點(diǎn)，則的最小值為．【變式3-3】已知點(diǎn)為函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，則線段長(zhǎng)度的最小值為（

）A． B．1 C． D．題型四：曲線與拋物線的距離【典例4-1】設(shè)，當(dāng)a，b變化時(shí)，的最小值為_______.【典例4-2】設(shè).，則的最小值為A． B．1 C． D．2【變式4-1】（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，其中，則的最小值為（）A． B． C． D．題型五：曲線與曲線的距離【典例5-1】（2024·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中?？计谥校┰O(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則的最小值為___________.【典例5-2】設(shè)，，則的最小值為．【變式5-1】（2024·湖北襄陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)點(diǎn)P在曲線上，點(diǎn)Q在曲線上，則|PQ|的最小值為.【變式5-2】設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則的最小值為.【變式5-3】已知點(diǎn)P在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)Q在函數(shù)的圖象上，則的最小值為.【變式5-4】（2024·高三·遼寧·期中）如圖所示，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在函數(shù)，上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為．【變式5-5】設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則最小值為（

）A． B．C． D．【變式5-6】已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于某一條直線對(duì)稱，若，分別為它們圖象上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則這兩點(diǎn)之間距離的最小值為（

）A． B． C． D．【變式5-7】（2024·高三·寧夏石嘴山·開學(xué)考試）已知?jiǎng)狱c(diǎn)分別是曲線和曲線上的任意一點(diǎn)，則線段的最小值為（

）A． B． C． D．題型六：橫向距離【典例6-1】（多選題）（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，的圖象與直線y=m分別交于A、B兩點(diǎn)，則（）.A．B．，曲線在A處的切線總與曲線在B處的切線相交C．的最小值為1D．?，使得曲線在點(diǎn)A處的切線也是曲線的切線【典例6-2】（2024·江蘇蘇州·一模）已知直線y＝a分別與直線，曲線交于點(diǎn)A，B，則線段AB長(zhǎng)度的最小值為．【變式6-1】已知直線，分別與直線和曲線交于點(diǎn)M，N兩點(diǎn)，則線段MN長(zhǎng)度的最小值是．【變式6-2】直線分別與曲線，直線交于兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式6-3】（2024·陜西銅川·一模）直線分別與直線、曲線交于點(diǎn)A，B，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式6-4】已知直線分別與曲線和曲線交于兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．【變式6-5】已知函數(shù)，的圖象分別與直線交于兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．題型七：縱向距離【典例7-1】（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測(cè)）若直線與兩曲線分別交于兩點(diǎn)，且曲線在點(diǎn)處的切線為，曲線在點(diǎn)處的切線為，則下列結(jié)論：①，使得；②當(dāng)時(shí)，取得最小值；③的最小值為2；④最小值小于．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【典例7-2】直線分別與曲線和曲線交于，兩點(diǎn)，則的最小值為A． B．2 C． D．【變式7-1】動(dòng)直線（）與函數(shù)，的圖象分別交于點(diǎn)A，B，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式7-2】已知直線與函數(shù)，的圖像分別交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．題型八：直線與兩曲線交點(diǎn)的距離【典例8-1】已知直線與曲線，分別交于點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．e【典例8-2】（2024·陜西安康·三模）已知直線分別與直線、曲線交于點(diǎn)A，B，則線段AB長(zhǎng)度的最小值為（

）A．2 B． C．4 D．【變式8-1】（2024·福建莆田·一模）已知直線分別與直線及曲線交于A,B兩點(diǎn)，則A,B兩點(diǎn)間距離的最小值為（

）A． B． C． D．1．已知直線與曲線和直線分別交于P，Q兩點(diǎn)，則的最小值為．2．（2024·高三·山東聊城·期末）最優(yōu)化原理是指要求目前存在的多種可能的方案中，選出最合理的，達(dá)到事先規(guī)定的最優(yōu)目標(biāo)的方案，這類問(wèn)題稱之為最優(yōu)化問(wèn)題.為了解決實(shí)際生活中的最優(yōu)化問(wèn)題，我們常常需要在數(shù)學(xué)模型中求最大值或者最小值.下面是一個(gè)有關(guān)曲線與直線上點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題，請(qǐng)你利用所學(xué)知識(shí)來(lái)解答：若點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．3．曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為（

）A． B．2 C． D．44．已知點(diǎn)P是曲線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線上任一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．5．若點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線距離的最小值為（

）A． B． C．2 D．6．若動(dòng)點(diǎn)在曲線上，則動(dòng)點(diǎn)到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．7．設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則的最小值為（

）A． B．C． D．8．設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則的最小值為（

）A． B．C． D．9．（2024·四川·一模）若點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線距離的最小值為（

）A． B． C． D．10．若點(diǎn)，，則、兩點(diǎn)間距離的最小值為（

）A．1 B． C． D．211．已知，，則的最小值為（

）A． B． C． D．12．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．13．已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足：，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則的最小值是（

）A．7 B．8 C．9 D．1014．（2024·新疆·二模）若，則的最小值是（

）A． B． C． D．15．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，的最小值為（

）A． B．2 C． D．16．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，則的最小值為（

）A．9 B． C． D．17．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）若，，，求的最小值為（

）A． B． C． D．18．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B．C． D．19．（2024·山西朔州·模擬預(yù)測(cè)）已知A，B分別為曲線和直線上的點(diǎn)，則的最小值為.20．（2024·河北石家莊·一模）若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為．21．已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足，則的最小值為．22．（2024·江西·一模）已知點(diǎn)為函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)（為自然對(duì)數(shù)的底），則線段的長(zhǎng)度的最小值為．23．（2024·高三·山東淄博·期末）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為．24．（2024·廣東佛山·一模）若分別是曲線與圓上的點(diǎn)，則的最小值為.25．已知函數(shù)的最小值是，則的值是重難點(diǎn)突破09導(dǎo)數(shù)中的“距離”問(wèn)題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納與總結(jié) 2題型一：曲線與直線的距離 2題型二：曲線與點(diǎn)的距離 7題型三：曲線與圓的距離 8題型四：曲線與拋物線的距離 12題型五：曲線與曲線的距離 14題型六：橫向距離 19題型七：縱向距離 23題型八：直線與兩曲線交點(diǎn)的距離 2603過(guò)關(guān)測(cè)試 28

導(dǎo)數(shù)中的“距離”問(wèn)題，利用化歸轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想可把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離、兩點(diǎn)間的距離問(wèn)題，再利用導(dǎo)數(shù)法來(lái)求距離的最值．方法之一是轉(zhuǎn)化化歸，將動(dòng)點(diǎn)間的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題，而這個(gè)“點(diǎn)”一般就是利用導(dǎo)數(shù)求得的切點(diǎn)；方法之二是構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解最值．題型一：曲線與直線的距離【典例1-1】（2024·廣西桂林·二模）已知函數(shù)的最小值為，則正實(shí)數(shù)（

）A．3 B． C． D．3或【答案】D【解析】表示點(diǎn)與點(diǎn)的距離的平方，點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，如圖，可得，設(shè)與平行的直線與曲線相切于點(diǎn)，．，，①點(diǎn)與點(diǎn)的距離的平方的最小值等于點(diǎn)，到直線的距離．，②結(jié)合①②得，，或，.故選：D.【典例1-2】若函數(shù)，函數(shù)，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則的幾何意義是兩條曲線上動(dòng)點(diǎn)之間的距離的平方.∵∴∵直線的斜率為1∴令，解得，則，即曲線在處的切線和直線平行，則最短距離為點(diǎn)到的距離，∴的最小值為故選：B【變式1-1】點(diǎn)M是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．由，所以，易得函數(shù)為在上單調(diào)遞增函數(shù)，為零點(diǎn)，此時(shí)M的坐標(biāo)為，由點(diǎn)到直線的距離公式可得M到直線的距離的最小值為.故選:【變式1-2】（2024·高三·安徽合肥·期中）點(diǎn)分別是函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)處的切線與平行時(shí)，最小.，令得或（舍），所以切點(diǎn)為，所以的最小值為切點(diǎn)到直線的距離，所以的最小值為.故選：D.【變式1-3】（2024·陜西西安·二模）若，，則的最小值為（

）A． B．6 C．8 D．12【答案】C【解析】由題意，設(shè)函數(shù)，直線，設(shè)直線與函數(shù)的切點(diǎn)為可得，可得，解得，可得，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切點(diǎn)到直線的距離為，又因?yàn)楸硎军c(diǎn)到直線的距離為平方，所以的最小值為.故選：C.【變式1-4】已知函數(shù)，，點(diǎn)與分別在函數(shù)與的圖象上，若的最小值為，則（

）A． B．3 C．或3 D．1或3【答案】A【解析】因?yàn)?，令，解得，而，則函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，則，即點(diǎn)到直線的距離為，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，與函數(shù)的圖象相交，所以.故選：A.【變式1-5】若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】A【解析】由，得，令，則，令得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；由，得，令，的圖像如下圖：則表示上一點(diǎn)與上一點(diǎn)的距離的平方，顯然，當(dāng)過(guò)M點(diǎn)的的切線與平行時(shí)，最小，設(shè)上與平行的切線的切點(diǎn)為，由，解得，所以切點(diǎn)為，切點(diǎn)到的距離的平方為，即的最小值為8；故選：A.【變式1-6】已知實(shí)數(shù)，，，滿足，則的最小值為（

）A． B．8 C．4 D．16【答案】B【解析】由得，，，即，，的幾何意義為曲線上的點(diǎn)到直線上的點(diǎn)連線的距離的平方，不妨設(shè)曲線，直線，設(shè)與直線平行且與曲線相切的直線方程為，顯然直線與直線的距離的平方即為所求，由，得，設(shè)切點(diǎn)為，，則，解得，直線與直線的距離為，的最小值為8．故選：B.題型二：曲線與點(diǎn)的距離【典例2-1】若點(diǎn)與曲線上點(diǎn)的距離的最小值為，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】先設(shè)切點(diǎn)B，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義以及最值列式解得實(shí)數(shù)的值.因?yàn)?所以由題意得以A為圓心，為半徑的圓與曲線相切于點(diǎn)B,設(shè),則在B點(diǎn)處切線的斜率為，所以，選D.【典例2-2】（2024·河北石家莊·石家莊二中校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)點(diǎn)，P為曲線上動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)A，P間距離的最小值為，則實(shí)數(shù)t的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，則，記，，易知是增函數(shù)，且的值域是，∴的唯一解，且時(shí)，，時(shí)，，即，由題意，而，，∴，解得，．∴．故選：C．【變式2-1】（2024·高三·廣東汕頭·開學(xué)考試）若點(diǎn)與曲線上點(diǎn)距離最小值為，則實(shí)數(shù)為.【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可知，直線與曲線在點(diǎn)處的切線垂直，則，得，由兩點(diǎn)間的距離公式得，由于的最小值為，即，，解得，因此，.故答案為：題型三：曲線與圓的距離【典例3-1】（2024·高三·山東青島·期末）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P，Q分別在圓和曲線上，則的最小值為．【答案】【解析】由題意得，即圓心在上，半徑為，故的最小值等于的最小值減去半徑，設(shè)，由于與關(guān)于對(duì)稱，的最小值等于到直線的距離的最小值的2倍，由，可得，令，解得，故在點(diǎn)處的切線與平行，此時(shí)到的距離最小，最小值為，故的最小值為，則的最小值等于.故答案為：【典例3-2】（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）已知且，則的最小值是（

）A． B． C． D．8【答案】B【解析】代數(shù)式可以看成點(diǎn)到點(diǎn)距離的平方，點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中，表示單位圓上的點(diǎn)，點(diǎn)表示曲線上的點(diǎn)，如下圖所示：

，由，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，此時(shí)直線與直線垂直于點(diǎn)，交圓于點(diǎn)，由數(shù)形結(jié)合思想可以確定：當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)用到點(diǎn)時(shí)，有最小值，即，故選：B【變式3-1】若x、a、b為任意實(shí)數(shù)，若，則最小值為(

)A． B．9 C． D．【答案】C【解析】由可得在以為圓心，1為半徑的圓上，表示點(diǎn)與點(diǎn)的距離的平方，即表示圓上動(dòng)點(diǎn)到函數(shù)y＝lnx圖像上動(dòng)點(diǎn)距離的平方．設(shè)為y＝lnx上一點(diǎn)，且在處的y＝lnx的切線與和連線垂直，可得，即有，由在時(shí)遞增，且，可得m＝1，即切點(diǎn)為，圓心與切點(diǎn)的距離為，由此可得的最小值為．故選：C．【變式3-2】若，分別是函數(shù)與圓上的點(diǎn)，則的最小值為．【答案】/【解析】設(shè)圓的圓心為，半徑為，當(dāng)垂直于拋物線在點(diǎn)處的切線時(shí)，取得最小值，為，如圖所示，設(shè)點(diǎn)，則直線的斜率為，且，由知，，所以在點(diǎn)處的切線的斜率為，因?yàn)橹本€與切線垂直，所以，所以，所以，即，因?yàn)楹愠闪?，所以，即，此時(shí)，所以，即的最小值為．故答案為：．【變式3-3】已知點(diǎn)為函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，則線段長(zhǎng)度的最小值為（

）A． B．1 C． D．【答案】A【解析】由圓的對(duì)稱性可得只需考慮圓心到函數(shù)圖象上一點(diǎn)的距離的最小值．設(shè)圖象上一點(diǎn)，令圖象上一點(diǎn)的切線為由的導(dǎo)數(shù)為，即切線的斜率為，當(dāng)時(shí)，圓心到函數(shù)圖象上一點(diǎn)的距離最小，此時(shí)，即有，由，可得，遞增，又，所以，，所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離最小，且為，則線段的長(zhǎng)度的最小值為，故選：A．題型四：曲線與拋物線的距離【典例4-1】設(shè)，當(dāng)a，b變化時(shí)，的最小值為_______.【答案】.【解析】，函數(shù)表示點(diǎn)和的距離加上的縱坐標(biāo)，畫出和的圖像，如圖所示：故，當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立.設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，，故，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，故，函數(shù)單調(diào)遞減.，故.綜上所述：的最小值是.故答案為：.【典例4-2】設(shè).，則的最小值為A． B．1 C． D．2【答案】C【解析】由題可得：設(shè)，所以為上任意一點(diǎn)到上任一點(diǎn)及拋物線焦點(diǎn)的距離之和，所以距離表達(dá)式為,令，，顯然在遞減，遞增所以，故最小值為【變式4-1】（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，其中，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，，則點(diǎn)在函數(shù)圖象上，在函數(shù)的圖象上，容易知道圖象是拋物線圖象的上半部分，記拋物線焦點(diǎn)為，過(guò)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，如圖所示：則，當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時(shí)，取最小值.設(shè)這時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為，又，所以有，解得，即該點(diǎn)為，所以，因此.故選：A.題型五：曲線與曲線的距離【典例5-1】（2024·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中?？计谥校┰O(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則的最小值為___________.【答案】【解析】由于曲線是由向右平移1個(gè)單位得到的，是由現(xiàn)右平移1個(gè)單位得到的，所以的最小值可以看成曲線上的點(diǎn)與上的點(diǎn)間的最小值，因?yàn)榕c互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以所求的最小值為曲線上的點(diǎn)到直線的最小距離的2倍，設(shè)與直線平行的直線與曲線相切于點(diǎn)，因?yàn)椋?，得，所以切點(diǎn)，所以點(diǎn)到直線的最小距離為，所以的最小值為，故答案為：【典例5-2】設(shè)，，則的最小值為．【答案】【解析】由兩點(diǎn)距離公式的幾何意義可知表示點(diǎn)到的距離，表示點(diǎn)到的距離，而是上的點(diǎn)，是上的點(diǎn)，是上的點(diǎn)，且與關(guān)于直線對(duì)稱，所以的最小值可轉(zhuǎn)化為圖像上的動(dòng)點(diǎn)與圖像上的動(dòng)點(diǎn)最小距離，顯然，與平行的切線的切點(diǎn)，和與平行的切線的切點(diǎn)，它們之間的距離就是所求最小距離，對(duì)于，設(shè)切點(diǎn)為，有，則，故，則，故，對(duì)于，設(shè)切點(diǎn)為，有，則，故，則，故，所以，所以題設(shè)式子的最小值為.故答案為：.【變式5-1】（2024·湖北襄陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)點(diǎn)P在曲線上，點(diǎn)Q在曲線上，則|PQ|的最小值為.【答案】【解析】令、分別向上平移一個(gè)單位可得、，而與關(guān)于對(duì)稱，∴當(dāng)兩條曲線在P、Q處的切線均與平行時(shí)，P、Q關(guān)于對(duì)稱，|PQ|有最小，對(duì)應(yīng)曲線平移到、后，P、Q關(guān)于對(duì)稱即可，∴令，則，∴有，則，即，∴到的距離，∴.故答案為：.【變式5-2】設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則的最小值為.【答案】/【解析】由，得：，.所以與互為反函數(shù)．則它們的圖象關(guān)于對(duì)稱．要使的距離最小，則線段垂直直線.點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)Q在曲線上，設(shè)，.又P，Q的距離為P或Q中一個(gè)點(diǎn)到的最短距離的兩倍．以Q點(diǎn)為例，Q點(diǎn)到直線的最短距離所以當(dāng)，即時(shí)，d取得最小值，則的最小值等于.故答案為：【變式5-3】已知點(diǎn)P在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)Q在函數(shù)的圖象上，則的最小值為.【答案】【解析】由函數(shù)，求導(dǎo)可得：，則，在處的切線方程為，整理可得：；由函數(shù)，求導(dǎo)可得：，則，在處的切線方程為，整理可得；由直線的斜率，易知：直線分別與兩條切線垂直..故答案為：.【變式5-4】（2024·高三·遼寧·期中）如圖所示，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在函數(shù)，上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為．【答案】【解析】如題圖，兩個(gè)函數(shù)都是定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)，又，在定義域上分別單調(diào)遞增、單調(diào)遞減，所以函數(shù)遞增的速度由慢到快，遞增的速度由快到慢，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，，當(dāng)且僅當(dāng)滿足：時(shí)，取得最小值，由圖象的示意圖不難發(fā)現(xiàn)，該方程組有唯一一組，，所以，，所以的最小值為．故答案為：.【變式5-5】設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則最小值為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】與互為反函數(shù)，其圖像關(guān)于直線對(duì)稱先求出曲線上的點(diǎn)到直線的最小距離．設(shè)與直線平行且與曲線相切的切點(diǎn)，．，，解得．．得到切點(diǎn)，點(diǎn)P到直線的距離．最小值為．故選：B．【變式5-6】已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于某一條直線對(duì)稱，若，分別為它們圖象上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則這兩點(diǎn)之間距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)為函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，則，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，又，即點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以這，兩點(diǎn)之間距離的最小值等于點(diǎn)到直線距離最小值的倍，由，則，函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，令，解得，，所以點(diǎn)到直線距離的最小值為，所以這，兩點(diǎn)之間距離的最小值為.故選：D【變式5-7】（2024·高三·寧夏石嘴山·開學(xué)考試）已知?jiǎng)狱c(diǎn)分別是曲線和曲線上的任意一點(diǎn)，則線段的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)榕c互為反函數(shù)，所以其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，先求出曲線上的點(diǎn)到直線的最小距離，該距離的2倍即為所求.設(shè)與直線平行且與曲線相切的直線切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，解得，所以，即切點(diǎn)為，點(diǎn)P到直線的距離，所以線段的最小值為.故選：B題型六：橫向距離【典例6-1】（多選題）（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，的圖象與直線y=m分別交于A、B兩點(diǎn)，則（）.A．B．，曲線在A處的切線總與曲線在B處的切線相交C．的最小值為1D．?，使得曲線在點(diǎn)A處的切線也是曲線的切線【答案】ACD【解析】設(shè)A、B的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，則由于，故，故A正確；當(dāng)時(shí),,所以曲線在A處的切線總與曲線在B處的切線斜率相等，兩切線不相交，故B錯(cuò)誤；,設(shè)則,是單調(diào)遞增函數(shù)，且,所以在上單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，所以,故C正確；曲線在點(diǎn)A處的切線方程為,若此切線同時(shí)也是曲線的切線，可設(shè)切點(diǎn)為,則,消去得,設(shè),,因?yàn)榈膱D象是連續(xù)的，所以至少有兩個(gè)零點(diǎn)（可以證明恰有兩個(gè)零點(diǎn)，因與本題結(jié)論無(wú)關(guān)，在此從略），故有解，進(jìn)而得到的值是存在的且大于零的，故D正確.故選：ACD.【典例6-2】（2024·江蘇蘇州·一模）已知直線y＝a分別與直線，曲線交于點(diǎn)A，B，則線段AB長(zhǎng)度的最小值為．【答案】【解析】，設(shè)與平行的的切線的點(diǎn)為，則切線斜率為，切線方程為，則與，被直線與切線截得的線段長(zhǎng)，就是被直線和曲線截得線段的最小值，因?yàn)槿∪魏沃禃r(shí)，被兩平行線截得的線段長(zhǎng)相等，所以令，可得，線段的最小值，故答案為.【變式6-1】已知直線，分別與直線和曲線交于點(diǎn)M，N兩點(diǎn)，則線段MN長(zhǎng)度的最小值是．【答案】【解析】設(shè)與平行且與相切的直線的切點(diǎn)為，因?yàn)?，，切點(diǎn)為，切線方程為，即，長(zhǎng)度的最小值就是被與截得的弦長(zhǎng)，則有，故答案為：.【變式6-2】直線分別與曲線，直線交于兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題，設(shè)到直線的距離為，直線的傾斜角為，則，又，，故最小即最小，即為當(dāng)過(guò)點(diǎn)處的切線與直線平行時(shí)最小，由曲線，得，所以切點(diǎn)為，可求得點(diǎn)到直線的距離最小值為故，故選：C【變式6-3】（2024·陜西銅川·一模）直線分別與直線、曲線交于點(diǎn)A，B，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可知，直線與直線的交點(diǎn)，直線與曲線交點(diǎn)，滿足，則，設(shè)，，則，由，得；，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即，故選：B．【變式6-4】已知直線分別與曲線和曲線交于兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)橹本€分別與曲線和曲線交于兩點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，設(shè)，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上都為增函數(shù)，所以函數(shù)在為增函數(shù)，又，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：A.【變式6-5】已知函數(shù)，的圖象分別與直線交于兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像與直線分別交于兩點(diǎn)，所以，，其中，且，所以，令，則，令得：；所以易得：時(shí)，；時(shí)，；即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，即的最小值為.故答案為：B.題型七：縱向距離【典例7-1】（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測(cè)）若直線與兩曲線分別交于兩點(diǎn)，且曲線在點(diǎn)處的切線為，曲線在點(diǎn)處的切線為，則下列結(jié)論：①，使得；②當(dāng)時(shí)，取得最小值；③的最小值為2；④最小值小于．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由直線與兩曲線分別交于兩點(diǎn)可知：曲線上點(diǎn)坐標(biāo)，可求導(dǎo)數(shù)，則切線斜率，可知切線：.曲線上點(diǎn)坐標(biāo)，可求導(dǎo)數(shù)，則切線斜率.令，則，令，，由零點(diǎn)存在定理，使，即，使，即，故①正確.，令，由同理可知有，使，令，在處取最小值，即當(dāng)時(shí)，取得最小值，故②正確.是對(duì)勾函數(shù)，在上是減函數(shù)，，故③錯(cuò)誤，④正確.故選：C【典例7-2】直線分別與曲線和曲線交于，兩點(diǎn)，則的最小值為A． B．2 C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意可設(shè)，，即可表示出，構(gòu)造函數(shù)并求得，令求得極值點(diǎn)并判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求得的最小值.直線分別與曲線和曲線交于，兩點(diǎn)，設(shè)，，且，，，．，，，令解得，（舍），當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增．所以，綜上可知的最小值為．故選：D.【變式7-1】動(dòng)直線（）與函數(shù)，的圖象分別交于點(diǎn)A，B，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，所以在上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)取得最小值，所以的最小值為，故選：A【變式7-2】已知直線與函數(shù)，的圖像分別交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以的最小值為，故選：D.題型八：直線與兩曲線交點(diǎn)的距離【典例8-1】已知直線與曲線，分別交于點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．e【答案】B【解析】設(shè)與直線垂直，且與相切的直線為，設(shè)與直線垂直，且與相切的直線為，所以，，設(shè)直線與的切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，解得，，即，設(shè)直線與的切點(diǎn)為，因?yàn)椋?，解得，，即，此時(shí)，所以，當(dāng)直線與直線重合時(shí)，最小，最小值為.故選：B【典例8-2】（2024·陜西安康·三模）已知直線分別與直線、曲線交于點(diǎn)A，B，則線段AB長(zhǎng)度的最小值為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】C【解析】令，則，時(shí)，，時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．所以直線在曲線的上方，由，則，由，則，則．令，則，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，．故選：C．【變式8-1】（2024·福建莆田·一模）已知直線分別與直線及曲線交于A,B兩點(diǎn)，則A,B兩點(diǎn)間距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，由，得，，，，則，，則，在上遞減，在上遞增，，即兩點(diǎn)間距離的最小值為，故選：D.1．已知直線與曲線和直線分別交于P，Q兩點(diǎn)，則的最小值為．【答案】4【解析】設(shè)點(diǎn)P到直線的距離為d，則，所以當(dāng)點(diǎn)P到直線的距離最小時(shí)最小，又當(dāng)曲線在點(diǎn)P處的切線與直線平行時(shí)d最小，所以此時(shí)最小，設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?，令，解得或（舍去），所以切點(diǎn)為，點(diǎn)P到直線的距離，所以的最小值為4，故答案為：4.2．（2024·高三·山東聊城·期末）最優(yōu)化原理是指要求目前存在的多種可能的方案中，選出最合理的，達(dá)到事先規(guī)定的最優(yōu)目標(biāo)的方案，這類問(wèn)題稱之為最優(yōu)化問(wèn)題.為了解決實(shí)際生活中的最優(yōu)化問(wèn)題，我們常常需要在數(shù)學(xué)模型中求最大值或者最小值.下面是一個(gè)有關(guān)曲線與直線上點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題，請(qǐng)你利用所學(xué)知識(shí)來(lái)解答：若點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由函數(shù)，可得，令，可得，因?yàn)?，可得，則，即平行于直線且與曲線相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為，由點(diǎn)到直線的距離公式，可得點(diǎn)到直線的距離為.故選：B3．曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【解析】設(shè)與已知直線平行且與曲線相切的直線為，則，解得，所以切點(diǎn)為，代入切線方程，可得，即切線為，由兩平行線間的距離，所以最小值為，故選：C．4．已知點(diǎn)P是曲線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線上任一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】函數(shù)的定義域?yàn)槿w正實(shí)數(shù)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，函數(shù)圖象如下圖：過(guò)點(diǎn)的曲線的切線與直線平行時(shí)，最小，即有，所以，故選：A5．若點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線距離的最小值為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，當(dāng)切線與直線平行時(shí)，點(diǎn)到直線距離最小.設(shè)切點(diǎn)為，所以切線斜率為，由題知，解得或（舍），，此時(shí)點(diǎn)到直線距離.故選：D6．若動(dòng)點(diǎn)在曲線上，則動(dòng)點(diǎn)到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，由題意知，則在點(diǎn)處的切線斜率為，當(dāng)在點(diǎn)處的切線與直線平行時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最小，由，得，則，所以點(diǎn)到直線的距離.所以動(dòng)點(diǎn)到直線的距離的最小值為.故選：A7．設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】與互為反函數(shù)，它們圖像關(guān)于直線對(duì)稱；故可先求點(diǎn)P到直線的最近距離d，又，當(dāng)曲線上切線的斜率時(shí)，得，，則切點(diǎn)到直線的距離為，所以的最小值為．故選：D．8．設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】與互為反函數(shù)，所以與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)，則，令得，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，所以與無(wú)交點(diǎn)，則與也無(wú)交點(diǎn)，下面求出曲線上的點(diǎn)到直線的最小距離，設(shè)與直線平行且與曲線相切的切點(diǎn)，，，，解得，，得到切點(diǎn)，到直線的距離，的最小值為，故選：D．9．（2024·四川·一模）若點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，當(dāng)切線與直線平行時(shí)，點(diǎn)到直線距離的最小.設(shè)切點(diǎn)為，，所以，切線斜率為，由題知得或（舍），所以，，此時(shí)點(diǎn)到直線距離.故選：C10．若點(diǎn)，，則、兩點(diǎn)間距離的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】點(diǎn)在直線，點(diǎn)在上，，設(shè)的切線的切點(diǎn)為，令，所以在點(diǎn)處的切線為,此時(shí)切線與直線平行，直線與之間的距離為的最小值，故選：B11．已知，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，則點(diǎn)在函數(shù)上，，則點(diǎn)在函數(shù)上，則表示、兩點(diǎn)的距離的平方，要求的最小值，即求的最小值，當(dāng)過(guò)的點(diǎn)切線與直線平行時(shí)，點(diǎn)到直線的距離即為的最小值，由可得，所以，解得，所以，即，所以到的距離，即，所以的最小值為；故選：C12．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，點(diǎn)是函數(shù)圖像上一點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，所以其圖像上一點(diǎn)處切線的斜率為當(dāng)過(guò)點(diǎn)的切線與直線平行時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離最小且兩點(diǎn)間的距離可轉(zhuǎn)化兩平行線之間的距離此時(shí)有，，從而可得此時(shí)函數(shù)圖像上過(guò)點(diǎn)的切線方程為化簡(jiǎn)為，其與直線間的距離為所以的最小值為.故選：C.13．已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足：，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則的最小值是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【解析】因?yàn)閷?shí)數(shù)a，b，c，d滿足：，所以，.所以點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在上.所以的幾何意義就是曲線上的任一點(diǎn)到上的任一點(diǎn)的距離的平方.由幾何意義可知，當(dāng)?shù)哪骋粭l切線與平行時(shí)，兩平行線間距離最小.設(shè)在點(diǎn)處的切線與平行，則有：，解得：，即切點(diǎn)為.此時(shí)到直線的距離為就是兩曲線間距離的最小值，所以的最小值為.故選：B14．（2024·新疆·二模）若，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知可得，，則的最小值即為曲線的點(diǎn)到直線的距離最小值的平方，設(shè)，則，令，解得，，曲線與平行的切線相切于，則所求距離的最小值為點(diǎn)到直線的距離的平方，即.故選：D.15．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，的最小值為（

）A． B．2 C． D．【答案】B