2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第10章第05講古典概型與概率的基本性質(zhì)(八大題型)(練習(xí))(學(xué)生版+解析)

第05講古典概型與概率的基本性質(zhì)目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：簡單的古典概型問題 2題型二：古典概型與向量的交匯問題 2題型三：古典概型與幾何的交匯問題 3題型四：古典概型與函數(shù)的交匯問題 4題型五：古典概型與數(shù)列的交匯問題 4題型六：古典概率與統(tǒng)計(jì)的綜合 5題型七：有放回與無放回問題的概率 5題型八：概率的基本性質(zhì) 602重難創(chuàng)新練 703真題實(shí)戰(zhàn)練 9題型一：簡單的古典概型問題1．下列試驗(yàn)是古典概型的是（

）A．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，從橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的所有點(diǎn)中任取一點(diǎn)B．某射手射擊一次，可能命中0環(huán)，1環(huán)，2環(huán)，…，10環(huán)C．某小組有男生5人，女生3人，從中任選1人做演講D．在適宜的條件下，種下一粒種子，觀察它是否發(fā)芽2．下列有關(guān)古典概型的說法中，錯(cuò)誤的是（

）A．試驗(yàn)的樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)有限B．每個(gè)事件出現(xiàn)的可能性相等C．每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等D．已知樣本點(diǎn)總數(shù)為n，若隨機(jī)事件A包含k個(gè)樣本點(diǎn)，則事件A發(fā)生的概率3．先后兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察朝上的點(diǎn)數(shù)．記事件A：點(diǎn)數(shù)之和為3，事件B：點(diǎn)數(shù)之和不超過3．有下列說法：①樣本空間；②；③；④．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．44．下列是古典概型的是（

）①從6名同學(xué)中，選出4人參加數(shù)學(xué)競賽，每人被選中的可能性的大?。虎谕瑫r(shí)擲兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)和為7的概率；③近三天中有一天降雨的概率；④10個(gè)人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率.A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③④題型二：古典概型與向量的交匯問題5．（2024·浙江嘉興·二模）已知正九邊形，從中任取兩個(gè)向量，則它們的數(shù)量積是正數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．6．（2024·上海浦東新·三模）連續(xù)投骰子兩次得到的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，作向量（m，n），則與（1，﹣1）的夾角成為直角三角形內(nèi)角的概率是．7．（2024·上海徐匯·二模）將兩顆質(zhì)地均勻的骰子拋擲一次，記第一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是，記第二顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是，向量，向量，則向量a⊥b的概率是.8．設(shè)m，n分別為連續(xù)兩次投擲骰子得到的點(diǎn)數(shù)，且向量則向量，的夾角為銳角的概率是.題型三：古典概型與幾何的交匯問題9．（2024·河北唐山·一模）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)連接構(gòu)成三角形，則能構(gòu)成正三角形的概率為（

）A． B． C． D．10．（2024·內(nèi)蒙古·模擬預(yù)測）如圖，這是第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)的大致圖案，它是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的.現(xiàn)用紅色和藍(lán)色給這4個(gè)三角形區(qū)域涂色，每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，則相鄰的區(qū)域所涂顏色不同的概率是（

）A． B． C． D．11．（2024·陜西咸陽·一模）《幾何原本》又稱《原本》，是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的一部數(shù)學(xué)巨著，大約成書于公元前300年．漢語的最早譯本是由中國明代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家徐光啟和意大利傳教士利瑪竇合譯，成書于1607年，該書據(jù)克拉維斯的拉丁文本《歐幾里得原本十五卷》譯出．前6卷主要包括：基本概念、三角形、四邊形、多邊形、圓、比例線段、相似形這7章內(nèi)容，幾乎包含現(xiàn)今平面幾何的所有內(nèi)容．某高校要求數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生從這7章里面任選3章進(jìn)行選修并計(jì)人學(xué)分．則數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生張某在三角形和四邊形這兩章中至少選一章的概率為（

）A． B． C． D．12．一個(gè)大正方體木塊的表面積為，將大正方體木塊的表面涂上紅色顏料，并且分割成若干個(gè)棱長為的小正方體木塊．若從這些小正方體木塊中任取一個(gè)，恰好取到有一面著色的小正方體木塊的概率為（

）A． B． C． D．題型四：古典概型與函數(shù)的交匯問題13．設(shè)函數(shù)，若是從四個(gè)數(shù)中任取一個(gè)，是從六個(gè)數(shù)中任取一個(gè)，則恒成立的概率為.14．（2024·高三·山東濰坊·開學(xué)考試）已知四個(gè)函數(shù)：①，②，③，④，從中任選2個(gè)，則事件“所選2個(gè)函數(shù)的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”的概率為.15．（2024·高三·上海青浦·期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，則函數(shù)是偶函數(shù)的概率為.16．（2024·上海閔行·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則函數(shù)是偶函數(shù)的概率為．題型五：古典概型與數(shù)列的交匯問題17．（2024·江西·一模）斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家萊昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，指的是這樣一個(gè)數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列以如下遞推的方式定義：且中，則B中所有元素之和為奇數(shù)的概率為．18．（2024·福建·模擬預(yù)測）意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算經(jīng)》中記載了一個(gè)有趣的數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，，若從該數(shù)列的前96項(xiàng)中隨機(jī)地抽取一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)是奇數(shù)的概率為．19．（2024·山東泰安·三模）已知大于的素?cái)?shù)只分布在和兩數(shù)列中（其中為非零自然數(shù)），數(shù)列中的合數(shù)叫陰性合數(shù)，其中的素?cái)?shù)叫陰性素?cái)?shù)；數(shù)列中的合數(shù)叫陽性合數(shù)，其中的素?cái)?shù)叫陽性素?cái)?shù)．則從以內(nèi)的素?cái)?shù)中任意取出兩個(gè)，恰好是一個(gè)陰性素?cái)?shù)，一個(gè)陽性素?cái)?shù)的概率是．20．裴波那契數(shù)列（）又稱黃金分割數(shù)列，因?yàn)閿?shù)學(xué)家列昂納多?裴波那契以兔子繁殖為例子引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，在數(shù)學(xué)上裴波那契數(shù)列被以下遞推方法定義：數(shù)列滿足：，，現(xiàn)從該數(shù)列的前項(xiàng)中隨機(jī)抽取一項(xiàng)，則能被3整除的概率是21．集合中有4個(gè)等差數(shù)列，集合中有5個(gè)等比數(shù)列，的元素個(gè)數(shù)是1，在中任取兩個(gè)數(shù)列，這兩個(gè)數(shù)列中既有等差數(shù)列又有等比數(shù)列的概率是.題型六：古典概率與統(tǒng)計(jì)的綜合22．（2024·上海·三模）將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲6次，得到的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，4，5，6，x，則這6個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為4的概率為．23．（2024·江西上饒·二模）將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲6次，得到的點(diǎn)數(shù)分別為，則這6個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為3的概率為．24．已知{}是公差不為0的等差數(shù)列.現(xiàn)從，這組數(shù)據(jù)中隨機(jī)刪除2個(gè)數(shù)，得到一組新的數(shù)據(jù).這兩組數(shù)據(jù)的極差相同的概率為.25．高三年級某8位同學(xué)的體重分別為90，100，110，120，140，150，150，160（單位：），現(xiàn)在從中任選3位同學(xué)去參加拔河，則選中的同學(xué)中最大的體重恰好為這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)的概率是．26．A，B，C三個(gè)地區(qū)爆發(fā)了流感，這三個(gè)地區(qū)分別有5%，4%，2%的人患了流感．假設(shè)這三個(gè)地區(qū)的人口比例為4∶3∶3．現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中任意選取一個(gè)人，則這個(gè)人患流感的概率為．題型七：有放回與無放回問題的概率27．（2024·全國·模擬預(yù)測）4個(gè)產(chǎn)品中有3個(gè)正品，1個(gè)次品．現(xiàn)每次取出1個(gè)做檢查（檢查完后不再放回），直到次品被找到為止，則經(jīng)過3次檢查恰好將次品找到的概率是（

）A． B． C． D．28．杭州亞運(yùn)會的三個(gè)吉祥物分別取名“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”，如圖．現(xiàn)將三張分別印有“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”圖案的卡片(卡片的形狀、大小和質(zhì)地完全相同)放入盒子中．若從盒子中依次有放回地取出兩張卡片，則一張為“琮琮”，一張為“宸宸”的概率是（

）A． B． C． D．29．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）在《周易》中，長橫“”表示陽爻，兩個(gè)短橫“”表示陰爻.有放回地取陽爻和陰爻三次合成一卦，共有種組合方法，這便是《系辭傳》所說“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”.有放回地取陽爻和陰爻一次有2種不同的情況，有放回地取陽爻和陰爻兩次有四種情況，有放回地取陽爻和陰爻三次，八種情況.所謂的“算卦”，就是兩個(gè)八卦的疊合，即共有放回地取陽爻和陰爻六次，得到六爻，然后對應(yīng)不同的解析.在一次所謂“算卦”中得到六爻，這六爻恰好有三個(gè)陽爻三個(gè)陰爻的概率是（

）A． B． C． D． E．均不是30．一個(gè)袋子中裝有大小和質(zhì)地相同的5個(gè)球，其中有2個(gè)黃色球，3個(gè)紅色球，從袋中不放回的依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，則事件“兩次都摸到紅色球”的概率為（

）A． B． C． D．31．在一個(gè)不透明的袋中有4個(gè)紅球和個(gè)黑球，現(xiàn)從袋中有放回地隨機(jī)摸出2個(gè)球，已知取出的球中至少有一個(gè)紅球的概率為，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4題型八：概率的基本性質(zhì)32．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)是隨機(jī)事件，且，則．33．一次考試，小明數(shù)學(xué)超過90分的概率是0.8，物理超過90分的概率是0.7，兩門都超過90分的概率是0.6，則他的數(shù)學(xué)和物理至少有一門超過90分的概率是．34．（2024·浙江寧波·一模）第33屆奧運(yùn)會將于2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行.某田徑運(yùn)動(dòng)員準(zhǔn)備參加100米?200米兩項(xiàng)比賽，根據(jù)以往賽事分析，該運(yùn)動(dòng)員100米比賽未能站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺的概率為，200米比賽未能站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺的概率為，兩項(xiàng)比賽都未能站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺的概率為，若該運(yùn)動(dòng)員在100米比賽中站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺，則他在200米比賽中也站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺的概率是.35．已知相互獨(dú)立事件滿足，則.36．甲、乙兩人獨(dú)立解某一道數(shù)學(xué)題，已知該題被甲獨(dú)立解出的概率為0.7，被甲或乙解出的概率為0.94，則該題被乙獨(dú)立解出的概率為．37．為實(shí)現(xiàn)學(xué)生高中選科和大學(xué)專業(yè)選擇的有效銜接，湖南省于2019年采用“3+1+2”模式改革考試科目設(shè)置，即考生總成績由統(tǒng)一高考的語文、數(shù)學(xué)、外語3個(gè)科目成績，物理或歷史中的1門成績，和生物、政治、地理、化學(xué)中的2個(gè)科目成績組成．在選擇物理的學(xué)生中，選擇物理、化學(xué)、生物的概率是選擇其它組合的2倍，則選擇物理、化學(xué)、生物的概率為；現(xiàn)有選擇物理的2名學(xué)生，他們選擇專業(yè)的組合互不影響，則至少有1人選擇物理、化學(xué)、生物的概率為．1．（2024·四川巴中·模擬預(yù)測）有4名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，服務(wù)星期六、星期日兩天．若每天從4人中任選兩人參加服務(wù)，則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的概率為（

）A． B． C． D．2．（2024·浙江嘉興·模擬預(yù)測）將數(shù)字隨機(jī)填入的正方形格子中，則每一橫行?每一豎列以及兩條斜對角線上的三個(gè)數(shù)字之和都相等的概率為（

）A． B． C． D．3．（2024·江西上饒·模擬預(yù)測）某學(xué)校組織學(xué)生開展研學(xué)旅行，準(zhǔn)備從4個(gè)甲省景區(qū)，3個(gè)乙省景區(qū)，2個(gè)丙省景區(qū)中任選4個(gè)景區(qū)進(jìn)行研學(xué)旅行，則所選的4個(gè)景區(qū)中甲、乙、丙三個(gè)省的景區(qū)都有的概率是（

）A． B． C． D．4．從的二項(xiàng)展開式中隨機(jī)取出不同的兩項(xiàng)，則這兩項(xiàng)的乘積為有理項(xiàng)的概率為（

）A． B． C． D．5．（2024·高三·江蘇鎮(zhèn)江·開學(xué)考試）由數(shù)字2，3，4組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．6．隨著電商的興起，物流快遞的工作越來越重要了，早在周代，我國便已出現(xiàn)快遞制度，據(jù)《周禮·秋官》記載，周王朝的官職中設(shè)置了主管郵驛，物流的官員“行夫”，其職責(zé)要求是“雖道有難，而不時(shí)必達(dá)”.現(xiàn)某機(jī)構(gòu)對國內(nèi)排名前五的家快遞公司的某項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行了輪測試(每輪測試的客觀條件視為相同)，每輪測試結(jié)束后都要根據(jù)該輪測試的成績對這家快遞公司進(jìn)行排名，那么跟測試之前的排名比較，這輪測試中恰好有1輪測試結(jié)果出現(xiàn)家公司排名不變的概率為（

）．A． B． C． D．7．（2024·高三·山東菏澤·開學(xué)考試）某興趣小組組織四項(xiàng)比賽，只有甲?乙?丙?丁四人報(bào)名參加且每項(xiàng)比賽四個(gè)人都參加，每項(xiàng)比賽冠軍只有一人，若每項(xiàng)比賽每個(gè)人獲得冠軍的概率均相等，則甲恰好拿到其中一項(xiàng)比賽冠軍的概率為（

）B．從甲、乙兩袋中取出的2個(gè)球均為紅球的概率為C．從乙袋中取出的2個(gè)球是紅球的概率為D．已知從乙袋中取出的是2個(gè)紅球，則從甲袋中取出的也是2個(gè)紅球的概率為13．從，，，2，3，4，6，9中任取兩個(gè)不同的數(shù)，分別記為，，記“”，則.14．甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字3，5，7，9，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2，4，6，8，兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分為3的概率為.15．現(xiàn)安排甲、乙、丁、丙、戊五位老師從周一到周五的常規(guī)值班，每人一天，每天一人，則甲、乙兩人相鄰，丙不排在周三的概率為.16．（2024·高三·江蘇南京·開學(xué)考試）數(shù)陣圖是將一些數(shù)按照一定要求排列而成的某種圖形，簡稱數(shù)陣，數(shù)陣是由幻方演化出來的另一種數(shù)字圖，有圓、多邊形、星形、花瓣形、十字形，甚至多種圖形的組合，變幻多端，由若干個(gè)互不相同的數(shù)構(gòu)成等腰直角三角形數(shù)陣，如圖，其中第一行1個(gè)數(shù)，第二行2個(gè)數(shù)，第三行3個(gè)數(shù)……以此類推，一共10行，設(shè)是從上往下數(shù)第行中的最大數(shù)，則的概率為.1．（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（

）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.82．（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．3．（2024年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）在如圖的4×4的方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個(gè)數(shù)之和的最大值是．4．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中無放回地隨機(jī)取3次，每次取1個(gè)球.記為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，為取出的三個(gè)球上數(shù)字的平均值，則與之差的絕對值不大于的概率為．5．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）五種活動(dòng)，甲、乙都要選擇三個(gè)活動(dòng)參加.甲選到的概率為；已知乙選了活動(dòng)，他再選擇活動(dòng)的概率為．6．（2024年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2，4，6，8，兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為.7．（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）把若干個(gè)黑球和白球（這些球除顏色外無其它差異）放進(jìn)三個(gè)空箱子中，三個(gè)箱子中的球數(shù)之比為．且其中的黑球比例依次為．若從每個(gè)箱子中各隨機(jī)摸出一球，則三個(gè)球都是黑球的概率為；若把所有球放在一起，隨機(jī)摸出一球，則該球是白球的概率為．8．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為．9．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為．第05講古典概型與概率的基本性質(zhì)目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：簡單的古典概型問題 2題型二：古典概型與向量的交匯問題 3題型三：古典概型與幾何的交匯問題 5題型四：古典概型與函數(shù)的交匯問題 7題型五：古典概型與數(shù)列的交匯問題 9題型六：古典概率與統(tǒng)計(jì)的綜合 11題型七：有放回與無放回問題的概率 13題型八：概率的基本性質(zhì) 1502重難創(chuàng)新練 1703真題實(shí)戰(zhàn)練 25題型一：簡單的古典概型問題1．下列試驗(yàn)是古典概型的是（

）A．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，從橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的所有點(diǎn)中任取一點(diǎn)B．某射手射擊一次，可能命中0環(huán)，1環(huán)，2環(huán)，…，10環(huán)C．某小組有男生5人，女生3人，從中任選1人做演講D．在適宜的條件下，種下一粒種子，觀察它是否發(fā)芽【答案】C【解析】對于A，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)有無限多個(gè)，不滿足有限樣本空間特征，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B，命中0環(huán)，1環(huán)，2環(huán)…，10環(huán)的概率不相同，不滿足等可能性特征，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C，人數(shù)有限，且任選1人與學(xué)生的性別無關(guān)，是等可能的，故該選項(xiàng)正確；對于D，“發(fā)芽”與“不發(fā)芽”的概率不一定相等，不滿足等可能性特征，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C.2．下列有關(guān)古典概型的說法中，錯(cuò)誤的是（

）A．試驗(yàn)的樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)有限B．每個(gè)事件出現(xiàn)的可能性相等C．每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等D．已知樣本點(diǎn)總數(shù)為n，若隨機(jī)事件A包含k個(gè)樣本點(diǎn)，則事件A發(fā)生的概率【答案】B【解析】由古典概型概念可知：試驗(yàn)的樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)有限；每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等，故A，C正確；每個(gè)事件不一定是樣本點(diǎn)，可能包含若干個(gè)樣本點(diǎn)，所以B不正確；根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式可知D正確，故選：B3．先后兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察朝上的點(diǎn)數(shù)．記事件A：點(diǎn)數(shù)之和為3，事件B：點(diǎn)數(shù)之和不超過3．有下列說法：①樣本空間；②；③；④．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】用表示第一次擲出1點(diǎn)第二次擲出2點(diǎn)，其他的樣本點(diǎn)用類似的方法表示，則可知所有樣本點(diǎn)均可表示成的形式，其中i，j都是1，2，3，4，5，6中的數(shù)．因此，樣本空間，①判斷正確；由可知②判斷正確；由可知③判斷正確；因?yàn)?，，故，故④判斷正確．故選：D4．下列是古典概型的是（

）①從6名同學(xué)中，選出4人參加數(shù)學(xué)競賽，每人被選中的可能性的大?。虎谕瑫r(shí)擲兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)和為7的概率；③近三天中有一天降雨的概率；④10個(gè)人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率.A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③④【答案】B【解析】①②④中的基本事件都是有限個(gè)，且每個(gè)基本事件都是等可能的，符合古典概型的定義和特點(diǎn)；③不是古典概型，因?yàn)椴环系瓤赡苄?，受多方面因素影?故選：B.題型二：古典概型與向量的交匯問題5．（2024·浙江嘉興·二模）已知正九邊形，從中任取兩個(gè)向量，則它們的數(shù)量積是正數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】可以和向量構(gòu)成數(shù)量積有一共8個(gè)向量，其中數(shù)量積為的正數(shù)的向量有：一共4個(gè)，由對稱性可知，任取兩個(gè)向量，它們的數(shù)量積是正數(shù)的概率為：.故選：A6．（2024·上海浦東新·三模）連續(xù)投骰子兩次得到的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，作向量（m，n），則與（1，﹣1）的夾角成為直角三角形內(nèi)角的概率是．【答案】【解析】由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件數(shù)6×6，∵m＞0，n＞0，∴（m，n）與（1，﹣1）不可能同向．∴夾角θ≠0．∵θ∈（0，]?0，∴m﹣n≥0，即m≥n．當(dāng)m＝6時(shí)，n＝6，5，4，3，2，1；當(dāng)m＝5時(shí)，n＝5，4，3，2，1；當(dāng)m＝4時(shí)，n＝4，3，2，1；當(dāng)m＝3時(shí)，n＝3，2，1；當(dāng)m＝2時(shí)，n＝2，1；當(dāng)m＝1時(shí)，n＝1．∴滿足條件的事件數(shù)6+5+4+3+2+1∴概率P．故答案為7．（2024·上海徐匯·二模）將兩顆質(zhì)地均勻的骰子拋擲一次，記第一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是，記第二顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是，向量，向量，則向量a⊥b的概率是.【答案】【解析】由題意知，，則共有36種，由，得，即，共有6種，根據(jù)古典概型的計(jì)算公式可得，所求概率為.8．設(shè)m，n分別為連續(xù)兩次投擲骰子得到的點(diǎn)數(shù)，且向量則向量，的夾角為銳角的概率是.【答案】【解析】向量，的夾角為銳角，所以，所以，即.所以所求概率.故答案為：.題型三：古典概型與幾何的交匯問題9．（2024·河北唐山·一模）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)連接構(gòu)成三角形，則能構(gòu)成正三角形的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】從八個(gè)頂點(diǎn)中任選三個(gè)構(gòu)成三角形的有種結(jié)果；其中能構(gòu)成正三角形的有8種結(jié)果：故概率為：，故選：A．.10．（2024·內(nèi)蒙古·模擬預(yù)測）如圖，這是第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)的大致圖案，它是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的.現(xiàn)用紅色和藍(lán)色給這4個(gè)三角形區(qū)域涂色，每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，則相鄰的區(qū)域所涂顏色不同的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】將四塊三角形區(qū)域編號如下，由題意可得總的涂色方法有種，若相鄰的區(qū)域所涂顏色不同，即12同色，34同色，故符合條件的涂色方法有2種，故所求概率.故選：A11．（2024·陜西咸陽·一模）《幾何原本》又稱《原本》，是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的一部數(shù)學(xué)巨著，大約成書于公元前300年．漢語的最早譯本是由中國明代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家徐光啟和意大利傳教士利瑪竇合譯，成書于1607年，該書據(jù)克拉維斯的拉丁文本《歐幾里得原本十五卷》譯出．前6卷主要包括：基本概念、三角形、四邊形、多邊形、圓、比例線段、相似形這7章內(nèi)容，幾乎包含現(xiàn)今平面幾何的所有內(nèi)容．某高校要求數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生從這7章里面任選3章進(jìn)行選修并計(jì)人學(xué)分．則數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生張某在三角形和四邊形這兩章中至少選一章的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生從這7章里面任選3章共有種選法；數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生張某在三角形和四邊形這兩章中至少選一章共有選法種，故張某在三角形和四邊形這兩章中至少選一章的概率為,故選：C.12．一個(gè)大正方體木塊的表面積為，將大正方體木塊的表面涂上紅色顏料，并且分割成若干個(gè)棱長為的小正方體木塊．若從這些小正方體木塊中任取一個(gè)，恰好取到有一面著色的小正方體木塊的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】表面積為的正方體棱長為，體積為，所以該大正方體可以分割成64個(gè)棱長為的小正方體，分割后在大正方體每個(gè)面上既不靠近頂點(diǎn)，又不靠近棱邊的位置有4個(gè)小正方體是一面著色的，所以所求概率為，故選：D題型四：古典概型與函數(shù)的交匯問題13．設(shè)函數(shù)，若是從四個(gè)數(shù)中任取一個(gè)，是從六個(gè)數(shù)中任取一個(gè)，則恒成立的概率為.【答案】/0.625【解析】因?yàn)?，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故，由不等式恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，因?yàn)槭菑乃膫€(gè)數(shù)中任取一個(gè)，是從六個(gè)數(shù)中任取一個(gè)，則構(gòu)成的所有基本事件總數(shù)有24個(gè)，又由，，設(shè)事件“不等式恒成立”，則事件包含事件：，，，共15個(gè)，因此不等式恒成立的概率為.故答案為：.14．（2024·高三·山東濰坊·開學(xué)考試）已知四個(gè)函數(shù)：①，②，③，④，從中任選2個(gè)，則事件“所選2個(gè)函數(shù)的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”的概率為.【答案】/0.5【解析】作出函數(shù)圖象，由圖可得③與①有一個(gè)公共點(diǎn)，②和④有一個(gè)公共點(diǎn)，②和③有一個(gè)公共點(diǎn)，其余不符合題意，所以事件“所選2個(gè)函數(shù)的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”的概率為，故答案為：.15．（2024·高三·上海青浦·期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則函數(shù)是偶函數(shù)的概率為.【答案】【解析】因?yàn)榈亩x域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對稱，當(dāng)是偶函數(shù)時(shí)，有，，而的值域?yàn)?，所以有且，或且兩種情況，不考慮為偶函數(shù)時(shí)，分兩種情況討論：一種是將分成一組1個(gè)元素，一組3個(gè)元素的情況，此時(shí)有種情況滿足題設(shè)；一種是將分成每組各2個(gè)元素的情況，此時(shí)有種情況滿足題設(shè)；綜上，滿足的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)榈那闆r共有種，所以函數(shù)是偶函數(shù)的概率為.故答案為：.16．（2024·上海閔行·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，則函數(shù)是偶函數(shù)的概率為．【答案】【解析】因?yàn)榈亩x域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對稱，值域?yàn)椋杂?，或，或或，或，或，?種情況；而當(dāng)和時(shí)，滿足是偶函數(shù)，有2種情況，所以是偶函數(shù)的概率．故答案為：題型五：古典概型與數(shù)列的交匯問題17．（2024·江西·一模）斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家萊昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，指的是這樣一個(gè)數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列以如下遞推的方式定義：且中，則B中所有元素之和為奇數(shù)的概率為．【答案】【解析】由斐波那契數(shù)列規(guī)律可知，集合中的元素有675個(gè)偶數(shù)，1349個(gè)奇數(shù)，記A中所有偶數(shù)組成的集合為C，所有奇數(shù)組成的集合為D，集合C的子集為E，集合D中含有奇數(shù)個(gè)元素的子集為F，則所有元素之和為奇數(shù)的集合B可看成，顯然集合E共有個(gè)，集合F共有個(gè)，所以所有元素之和為奇數(shù)的集合B共有個(gè)，又集合A的非空子集共有個(gè)，所以B中所有元素之和為奇數(shù)的概率為.故答案為：18．（2024·福建·模擬預(yù)測）意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算經(jīng)》中記載了一個(gè)有趣的數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，，若從該數(shù)列的前96項(xiàng)中隨機(jī)地抽取一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)是奇數(shù)的概率為．【答案】【解析】由題意可知，該數(shù)列連續(xù)三個(gè)數(shù)有兩個(gè)奇數(shù)，一個(gè)偶數(shù)，則該數(shù)列的前96項(xiàng)中奇數(shù)共有，即這個(gè)數(shù)是奇數(shù)的概率為.故答案為：19．（2024·山東泰安·三模）已知大于的素?cái)?shù)只分布在和兩數(shù)列中（其中為非零自然數(shù)），數(shù)列中的合數(shù)叫陰性合數(shù)，其中的素?cái)?shù)叫陰性素?cái)?shù)；數(shù)列中的合數(shù)叫陽性合數(shù)，其中的素?cái)?shù)叫陽性素?cái)?shù)．則從以內(nèi)的素?cái)?shù)中任意取出兩個(gè)，恰好是一個(gè)陰性素?cái)?shù)，一個(gè)陽性素?cái)?shù)的概率是．【答案】【解析】30以內(nèi)的素?cái)?shù)有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29共10個(gè)．其中陰性素?cái)?shù)有5、11、17、23、29共5個(gè)，陽性素?cái)?shù)有7、13、19共3個(gè)．因此，所求概率為．故答案為：.20．裴波那契數(shù)列（）又稱黃金分割數(shù)列，因?yàn)閿?shù)學(xué)家列昂納多?裴波那契以兔子繁殖為例子引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，在數(shù)學(xué)上裴波那契數(shù)列被以下遞推方法定義：數(shù)列滿足：，，現(xiàn)從該數(shù)列的前項(xiàng)中隨機(jī)抽取一項(xiàng)，則能被3整除的概率是【答案】/【解析】數(shù)列的前項(xiàng)依次為它們除以的余數(shù)分別為，可以發(fā)現(xiàn)：從第開始，余數(shù)重復(fù)出現(xiàn)，故余數(shù)構(gòu)成的數(shù)列周期為，故數(shù)列前項(xiàng)中，除以余數(shù)為的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為，∴從該數(shù)列的前項(xiàng)中隨機(jī)抽取一項(xiàng)，則能被整除的概率是．故答案為：21．集合中有4個(gè)等差數(shù)列，集合中有5個(gè)等比數(shù)列，的元素個(gè)數(shù)是1，在中任取兩個(gè)數(shù)列，這兩個(gè)數(shù)列中既有等差數(shù)列又有等比數(shù)列的概率是.【答案】【解析】由的元素個(gè)數(shù)是1可知，所以中共有8個(gè)數(shù)列，其中有一個(gè)數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，有3個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列而不是等比數(shù)列，有4個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列而不是等差數(shù)列.則從中任取2個(gè)數(shù)列有種不同的取法.從中取出的兩個(gè)數(shù)列中，全為等差數(shù)列有種不同的取法，全為等比數(shù)列有種不同的取法.所以這兩個(gè)數(shù)列中既有等差數(shù)列又有等比數(shù)列有種不同的取法.所以這兩個(gè)數(shù)列中既有等差數(shù)列又有等比數(shù)列的概率為故答案為：題型六：古典概率與統(tǒng)計(jì)的綜合22．（2024·上海·三模）將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲6次，得到的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，4，5，6，x，則這6個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為4的概率為．【答案】/【解析】當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，這6個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為4，的概率為，所以這6個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為4的概率為.故答案為：.23．（2024·江西上饒·二模）將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲6次，得到的點(diǎn)數(shù)分別為，則這6個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為3的概率為．【答案】【解析】當(dāng)為時(shí)，這6個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為3，當(dāng)時(shí)，這6個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為，當(dāng)時(shí)，這6個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為，當(dāng)為時(shí)，這6個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為，所以這6個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為3的概率為.故答案為：.24．已知{}是公差不為0的等差數(shù)列.現(xiàn)從，這組數(shù)據(jù)中隨機(jī)刪除2個(gè)數(shù)，得到一組新的數(shù)據(jù).這兩組數(shù)據(jù)的極差相同的概率為.【答案】/0.4【解析】不妨設(shè)，則，這組數(shù)據(jù)的極差為，要使在隨機(jī)刪除2個(gè)數(shù)后，極差不變，就應(yīng)在這四個(gè)數(shù)據(jù)中刪除，則有種刪除方法，故這兩組數(shù)據(jù)的極差相同的概率為.故答案為：.25．高三年級某8位同學(xué)的體重分別為90，100，110，120，140，150，150，160（單位：），現(xiàn)在從中任選3位同學(xué)去參加拔河，則選中的同學(xué)中最大的體重恰好為這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)的概率是．【答案】【解析】因?yàn)?×70%第70百分位數(shù)是第六個(gè)數(shù)，即150，事件“選中的同學(xué)中最大體重恰好為這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)”的概率故答案為:.26．A，B，C三個(gè)地區(qū)爆發(fā)了流感，這三個(gè)地區(qū)分別有5%，4%，2%的人患了流感．假設(shè)這三個(gè)地區(qū)的人口比例為4∶3∶3．現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中任意選取一個(gè)人，則這個(gè)人患流感的概率為．【答案】/0.038【解析】因?yàn)锳，B，C三個(gè)地區(qū)的人口數(shù)的比為，所以設(shè)A，B，C三個(gè)地區(qū)的人口數(shù)分別為，則這三個(gè)地區(qū)患了流感的人數(shù)分別為，，.現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中任意選取一個(gè)人，則這個(gè)人患流感的概率為：.故答案為：.題型七：有放回與無放回問題的概率27．（2024·全國·模擬預(yù)測）4個(gè)產(chǎn)品中有3個(gè)正品，1個(gè)次品．現(xiàn)每次取出1個(gè)做檢查（檢查完后不再放回），直到次品被找到為止，則經(jīng)過3次檢查恰好將次品找到的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】方法一：經(jīng)過3次檢查恰好將1個(gè)次品找到包括兩種情況：①第3次抽到次品，前2次抽到2個(gè)正品；②前3次抽到的都是正品，所以經(jīng)過3次檢查恰好將次品找到的概率是；方法二：①經(jīng)過1次檢查恰好將1個(gè)次品找到的概率是；②經(jīng)過2次檢查恰好將1個(gè)次品找到的概率是，所以經(jīng)過3次檢查恰好將次品找到的概率是.故選：C．28．杭州亞運(yùn)會的三個(gè)吉祥物分別取名“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”，如圖．現(xiàn)將三張分別印有“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”圖案的卡片(卡片的形狀、大小和質(zhì)地完全相同)放入盒子中．若從盒子中依次有放回地取出兩張卡片，則一張為“琮琮”，一張為“宸宸”的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】記印有“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”圖案的卡片分別為，代表依次摸出的卡片，，則基本事件分別為：，其中一張為“琮琮”，一張為“宸宸”的共有兩種情況：，所以從盒子中依次有放回地取出兩張卡片，則一張為“琮琮”，一張為“宸宸”的概率是.故選：D.29．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）在《周易》中，長橫“”表示陽爻，兩個(gè)短橫“”表示陰爻.有放回地取陽爻和陰爻三次合成一卦，共有種組合方法，這便是《系辭傳》所說“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”.有放回地取陽爻和陰爻一次有2種不同的情況，有放回地取陽爻和陰爻兩次有四種情況，有放回地取陽爻和陰爻三次，八種情況.所謂的“算卦”，就是兩個(gè)八卦的疊合，即共有放回地取陽爻和陰爻六次，得到六爻，然后對應(yīng)不同的解析.在一次所謂“算卦”中得到六爻，這六爻恰好有三個(gè)陽爻三個(gè)陰爻的概率是（

）A． B． C． D． E．均不是【答案】B【解析】在一次所謂“算卦”中得到六爻，基本事件的總數(shù)為，這六爻恰好有三個(gè)陽爻包含的基本事件數(shù)為，所以這六爻恰好有三個(gè)陽爻三個(gè)陰爻的概率是.故選：B.30．一個(gè)袋子中裝有大小和質(zhì)地相同的5個(gè)球，其中有2個(gè)黃色球，3個(gè)紅色球，從袋中不放回的依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，則事件“兩次都摸到紅色球”的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意記個(gè)黃色球?yàn)?、，個(gè)紅色球?yàn)?、、，從中摸出個(gè)球的可能結(jié)果有，，，，，，，，，共個(gè)，其中兩次都摸到紅色球的有，，共個(gè)，故所求概率.故選：B31．在一個(gè)不透明的袋中有4個(gè)紅球和個(gè)黑球，現(xiàn)從袋中有放回地隨機(jī)摸出2個(gè)球，已知取出的球中至少有一個(gè)紅球的概率為，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由題可得取出的球中沒有紅球的概率，即兩次都摸出黑球的概率為，則.故選：B題型八：概率的基本性質(zhì)32．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)是隨機(jī)事件，且，則．【答案】/0.125【解析】因?yàn)?，所以，故．故答案為?3．一次考試，小明數(shù)學(xué)超過90分的概率是0.8，物理超過90分的概率是0.7，兩門都超過90分的概率是0.6，則他的數(shù)學(xué)和物理至少有一門超過90分的概率是．【答案】/【解析】因?yàn)橐淮慰荚囍?，小明?shù)學(xué)超過90分的概率是0.8，物理超過90分的概率是0.7，兩門都超過90分的概率是0.6，所以他的數(shù)學(xué)和物理至少有一門超過90的概率為.故答案為：.34．（2024·浙江寧波·一模）第33屆奧運(yùn)會將于2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行.某田徑運(yùn)動(dòng)員準(zhǔn)備參加100米?200米兩項(xiàng)比賽，根據(jù)以往賽事分析，該運(yùn)動(dòng)員100米比賽未能站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺的概率為，200米比賽未能站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺的概率為，兩項(xiàng)比賽都未能站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺的概率為，若該運(yùn)動(dòng)員在100米比賽中站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺，則他在200米比賽中也站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺的概率是.【答案】/0.6【解析】設(shè)在200米比賽中站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺為事件，在100米比賽中站上領(lǐng)獎(jiǎng)臺為事件，則，，，，則，則，故.故答案為：35．已知相互獨(dú)立事件滿足，則.【答案】/【解析】因?yàn)橄嗷オ?dú)立事件，，所以，所以，所以.故答案為：36．甲、乙兩人獨(dú)立解某一道數(shù)學(xué)題，已知該題被甲獨(dú)立解出的概率為0.7，被甲或乙解出的概率為0.94，則該題被乙獨(dú)立解出的概率為．【答案】0.8/4【解析】記“該題被甲獨(dú)立解出”為事件A，“該題被乙獨(dú)立解出”為事件B，由題意可知，，.因?yàn)槭录?，相互?dú)立，所以.又，所以.故答案為：.37．為實(shí)現(xiàn)學(xué)生高中選科和大學(xué)專業(yè)選擇的有效銜接，湖南省于2019年采用“3+1+2”模式改革考試科目設(shè)置，即考生總成績由統(tǒng)一高考的語文、數(shù)學(xué)、外語3個(gè)科目成績，物理或歷史中的1門成績，和生物、政治、地理、化學(xué)中的2個(gè)科目成績組成．在選擇物理的學(xué)生中，選擇物理、化學(xué)、生物的概率是選擇其它組合的2倍，則選擇物理、化學(xué)、生物的概率為；現(xiàn)有選擇物理的2名學(xué)生，他們選擇專業(yè)的組合互不影響，則至少有1人選擇物理、化學(xué)、生物的概率為．【答案】；【解析】設(shè)選擇物理、化學(xué)、生物的概率為，因?yàn)槲锢?、化學(xué)、生物的概率是選擇其它組合的2倍，所以，解得.即選擇物理、化學(xué)、生物的概率為；因?yàn)橹辽儆?人選擇物理、化學(xué)、生物的組合的對立事件為2名學(xué)生都沒有選擇物理、化學(xué)、生物組合，所以2名學(xué)生都沒有選擇物理、化學(xué)、生物組合的概率為，所以至少有1人選擇物理、化學(xué)、生物的概率為故答案為：；1．（2024·四川巴中·模擬預(yù)測）有4名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，服務(wù)星期六、星期日兩天．若每天從4人中任選兩人參加服務(wù)，則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】不妨設(shè)4名志愿者分別假設(shè)連續(xù)參加兩天的社區(qū)服務(wù)，剩下的3人中抽取2人參加服務(wù)，共有種方法，所以恰好有1人連續(xù)參與兩天服務(wù)的總數(shù)為：種.總的情況數(shù)為種.故恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的概率為.故選：B.2．（2024·浙江嘉興·模擬預(yù)測）將數(shù)字隨機(jī)填入的正方形格子中，則每一橫行?每一豎列以及兩條斜對角線上的三個(gè)數(shù)字之和都相等的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】符合題意的填寫方法有如下8種：而9個(gè)數(shù)填入9個(gè)格子有種方法所以所求概率為，故選：A．3．（2024·江西上饒·模擬預(yù)測）某學(xué)校組織學(xué)生開展研學(xué)旅行，準(zhǔn)備從4個(gè)甲省景區(qū)，3個(gè)乙省景區(qū)，2個(gè)丙省景區(qū)中任選4個(gè)景區(qū)進(jìn)行研學(xué)旅行，則所選的4個(gè)景區(qū)中甲、乙、丙三個(gè)省的景區(qū)都有的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)樣本空間為，則，設(shè)所選的4個(gè)景區(qū)中甲、乙、丙三個(gè)省的景區(qū)都有為事件A，則，所以.故選：B.4．從的二項(xiàng)展開式中隨機(jī)取出不同的兩項(xiàng)，則這兩項(xiàng)的乘積為有理項(xiàng)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】展開式通項(xiàng)為，則的二項(xiàng)展開式分別為：，，，，，，將這6項(xiàng)依次記為：，從的二項(xiàng)展開式中隨機(jī)取出不同的兩項(xiàng)有種情況，所以這兩項(xiàng)的乘積為有理項(xiàng)的基本事件為：，，，共6種情況，所以這兩項(xiàng)的乘積為有理項(xiàng)的概率為.故選：A.5．（2024·高三·江蘇鎮(zhèn)江·開學(xué)考試）由數(shù)字2，3，4組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】將組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，共有種，而其中偶數(shù)有兩種情況：①以為個(gè)位數(shù)的三位數(shù)，是，共有2種②以為個(gè)位數(shù)的三位數(shù)，是，共有2種所以，這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)的情況共有種，所以，這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)的概率為事件，則.故選：A.6．隨著電商的興起，物流快遞的工作越來越重要了，早在周代，我國便已出現(xiàn)快遞制度，據(jù)《周禮·秋官》記載，周王朝的官職中設(shè)置了主管郵驛，物流的官員“行夫”，其職責(zé)要求是“雖道有難，而不時(shí)必達(dá)”.現(xiàn)某機(jī)構(gòu)對國內(nèi)排名前五的家快遞公司的某項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行了輪測試(每輪測試的客觀條件視為相同)，每輪測試結(jié)束后都要根據(jù)該輪測試的成績對這家快遞公司進(jìn)行排名，那么跟測試之前的排名比較，這輪測試中恰好有1輪測試結(jié)果出現(xiàn)家公司排名不變的概率為（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，在一輪測試5家快遞公式進(jìn)行排名與測試之前的排名比較出現(xiàn)2家公司排名不變的概率為，其次，3輪測試每次發(fā)生上述情形的概率均為，所以，這3輪測試中恰好有1輪測試結(jié)果都出現(xiàn)2家公式排名不變的概率為：.故選：C.7．（2024·高三·山東菏澤·開學(xué)考試）某興趣小組組織四項(xiàng)比賽，只有甲?乙?丙?丁四人報(bào)名參加且每項(xiàng)比賽四個(gè)人都參加，每項(xiàng)比賽冠軍只有一人，若每項(xiàng)比賽每個(gè)人獲得冠軍的概率均相等，則甲恰好拿到其中一項(xiàng)比賽冠軍的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】每項(xiàng)比賽的冠軍都可以是四人中的一人，故總的情況有種，其中甲恰好拿到其中一項(xiàng)比賽冠軍，先從四個(gè)比賽中選擇一個(gè)安排甲，再考慮剩余的3場比賽，冠軍可以從剩余的3人中任選，故共有種，故概率.故選：C.8．已知都是定義在R上的函數(shù)，，，，在有窮數(shù)列中，任意取前k項(xiàng)相加，則前k項(xiàng)和大于的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則，故單調(diào)遞減，所以．又，解得，則數(shù)列，其前n項(xiàng)和，因?yàn)?，所以，故．故答案為：B9．（多選題）中國的五岳是指在中國境內(nèi)的五座名山，坐落于東西南北中五個(gè)方位，分別是東岳泰山、西岳華山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山．小明與其父母共3人計(jì)劃在假期出游，每人選一個(gè)地方，則（

）A．3人選擇的地點(diǎn)均不同的方法總數(shù)為20B．恰有2人選一個(gè)地方的方法總數(shù)為60C．恰有1人選泰山的概率是D．已知小明已選擇去泰山的情況下，其父母至少有一人選擇去泰山的概率為【答案】BCD【解析】對于A，3人選擇的地點(diǎn)均不同的方法總數(shù)為，故A錯(cuò)誤；對于B，恰有2人選一個(gè)地方的方法總數(shù)為，故B正確；對于C，恰有1人選泰山的方法總數(shù)為，所有的方法數(shù)為，所以恰有1人選泰山的概率是，故C正確；對于D，父母都不選擇去泰山的概率為，所以小明已選擇去泰山的情況下，其父母至少有一人選擇去泰山的概率，故D正確；故選：BCD．10．（多選題）（2024·全國·模擬預(yù)測）連續(xù)投擲一枚均勻的骰子3次，記3次擲出點(diǎn)數(shù)之積為X，擲出點(diǎn)數(shù)之和為Y，則（

）A．事件“X為奇數(shù)”發(fā)生的概率 B．事件“”發(fā)生的概率為C．事件“”和事件“”相等 D．事件“”和事件“Y＝6”獨(dú)立【答案】ABC【解析】對于A，事件“X為奇數(shù)”等價(jià)于“3次擲出的點(diǎn)數(shù)都為奇數(shù)”，其發(fā)生的概率為，A正確；對于B，事件“”的對立事件為“或”，而“”等價(jià)于“3次擲出的點(diǎn)數(shù)均為6”，其概率為，“”等價(jià)于“擲出的3個(gè)點(diǎn)數(shù)中有2個(gè)6和1個(gè)5”，其概率為，因此，B正確；對于C，事件“”和事件“”包含相同的樣本點(diǎn)，因此是相等事件，C正確；對于D，事件“”等價(jià)于“3次擲出的點(diǎn)數(shù)中有2個(gè)1和1個(gè)4，或者2個(gè)2和1個(gè)1”，其概率為，事件“”等價(jià)于“3次擲出的點(diǎn)數(shù)中有3個(gè)2，或者2個(gè)1和1個(gè)4，或者1個(gè)1，1個(gè)2和1個(gè)3”，其概率為，而積事件等價(jià)于“3次擲出的點(diǎn)數(shù)中有2個(gè)1和1個(gè)4”，其概率，D錯(cuò)誤．故選：ABC11．（多選題）（2024·高三·山西大同·期末）某商場在店慶期間舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，凡購買商品超過1000元的顧客就可參加活動(dòng).主辦方在一個(gè)不透明的盒子中放入形狀大小完全一樣的四個(gè)紅球和四個(gè)白球，充分搖晃后，由顧客（遮蓋雙眼）從中取出一個(gè)小球丟掉，再從剩下的7個(gè)小球中取出兩個(gè)小球，若第二次取出的兩個(gè)小球都是紅球，則可獲得一份價(jià)值100元的紀(jì)念品；若第二次取出的兩個(gè)小球一紅一白，則可獲得一份價(jià)值50元的紀(jì)念品，其余結(jié)果沒有獎(jiǎng)品，則以下說法正確的是（

）A．顧客甲獲得100元紀(jì)念品的概率為B．顧客甲獲得50元紀(jì)念品的概率為C．已知顧客甲獲得了100元紀(jì)念品，則他丟掉的小球也是紅球的概率為D．已知顧客甲獲得了50元紀(jì)念品，則他丟掉的小球?yàn)榧t球的概率為.【答案】ACD【解析】解析：設(shè)事件“丟掉一個(gè)小球后任取兩個(gè)小球均為紅球”，事件“丟掉的小球?yàn)榧t球”，事件“丟掉的小球?yàn)榘浊颉保录皝G掉一個(gè)小球后任取兩個(gè)小球?yàn)橐患t一白”，則，，由全概率公式可得.故A對；，故B錯(cuò)；，故C對；，故D對，故選:ACD.12．（多選題）（2024·福建三明·三模）假設(shè)甲袋中有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，乙袋中有2個(gè)白球和2個(gè)紅球.現(xiàn)從甲袋中任取2個(gè)球放入乙袋，混勻后再從乙袋中任取2個(gè)球.下列選項(xiàng)正確的是（

）A．從甲袋中任取2個(gè)球是1個(gè)紅球1個(gè)白球的概率為B．從甲、乙兩袋中取出的2個(gè)球均為紅球的概率為C．從乙袋中取出的2個(gè)球是紅球的概率為D．已知從乙袋中取出的是2個(gè)紅球，則從甲袋中取出的也是2個(gè)紅球的概率為【答案】ACD【解析】從甲袋中取出個(gè)球有個(gè)紅球的事件為，從乙袋中取出個(gè)球紅球的事件為，，，，，，，對于A，從甲袋中任取2個(gè)球是1個(gè)紅球1個(gè)白球的概率為，A正確；對于B，從甲、乙兩袋中取出的2個(gè)球均為紅球的概率為，B錯(cuò)誤；對于C，從乙袋中取出的2個(gè)球是紅球的概率，C正確；對于D，從乙袋中取出的是2個(gè)紅球，則從甲袋中取出的也是2個(gè)紅球的概率，D正確.故選：ACD13．從，，，2，3，4，6，9中任取兩個(gè)不同的數(shù)，分別記為，，記“”，則.【答案】【解析】因?yàn)椋曰?，從中任取兩個(gè)不同的數(shù)，共可得到取法，其中對數(shù)值為負(fù)數(shù)的有個(gè)，所以.故答案為：.14．甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字3，5，7，9，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2，4，6，8，兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分為3的概率為.【答案】【解析】設(shè)樣本空間為，甲的總得分為3為事件A，不妨假設(shè)甲的的卡片順序?yàn)?，5，7，9，則乙的卡片順序共有種，即；若甲的總得分為3，則乙的卡片順序?yàn)?，，共?1種，即，所以.故答案為：.15．現(xiàn)安排甲、乙、丁、丙、戊五位老師從周一到周五的常規(guī)值班，每人一天，每天一人，則甲、乙兩人相鄰，丙不排在周三的概率為.【答案】【解析】先將甲、乙兩人捆綁在一起，作為一個(gè)元素，再將四個(gè)元素全排，再減去丙排在周三的的排法即可求得所求事件的不同排法.所以不同排法的種數(shù)為，又5位教師從周一到周五的常規(guī)值班一共有種方法，所以教師不站兩端，且甲、乙相鄰的概率.故答案為：16．（2024·高三·江蘇南京·開學(xué)考試）數(shù)陣圖是將一些數(shù)按照一定要求排列而成的某種圖形，簡稱數(shù)