2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第5章重難點(diǎn)突破01奔馳定理與四心問(wèn)題(五大題型)(學(xué)生版+解析)

重難點(diǎn)突破01奔馳定理與四心問(wèn)題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納與總結(jié) 3題型一：奔馳定理 3題型二：重心定理 5題型三：內(nèi)心定理 6題型四：外心定理 6題型五：垂心定理 703過(guò)關(guān)測(cè)試 8

技巧一．四心的概念介紹：（1）重心：中線的交點(diǎn)，重心將中線長(zhǎng)度分成2：1．（2）內(nèi)心：角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心），角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等．（3）外心：中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心），外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等．（4）垂心：高線的交點(diǎn)，高線與對(duì)應(yīng)邊垂直．技巧二．奔馳定理解決面積比例問(wèn)題重心定理：三角形三條中線的交點(diǎn)．已知的頂點(diǎn)，，，則△ABC的重心坐標(biāo)為．注意：（1）在中，若為重心，則．（2）三角形的重心分中線兩段線段長(zhǎng)度比為2：1，且分的三個(gè)三角形面積相等．重心的向量表示：．奔馳定理：，則、、的面積之比等于奔馳定理證明：如圖，令，即滿足，，，故．技巧三．三角形四心與推論：（1）是的重心：．（2）是的內(nèi)心：．（3）是的外心：．（4）是的垂心：．技巧四．常見(jiàn)結(jié)論（1）內(nèi)心：三角形的內(nèi)心在向量所在的直線上．為的內(nèi)心．（2）外心：為的外心．（3）垂心：為的垂心．（4）重心：為的重心．題型一：奔馳定理【典例1-1】已知為內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，若的面積與的面積的比值為，則的值為（

）A． B． C． D．2【典例1-2】點(diǎn)在的內(nèi)部，且滿足：，則的面積與的面積之比是（

）A． B．3 C． D．2【變式1-1】設(shè)是內(nèi)一點(diǎn)，且，定義，其中分別是的面積，若，則的最小值是（

）A． B．18 C．16 D．9【變式1-2】設(shè)，過(guò)作直線分別交（不與端點(diǎn)重合）于，若，，若與的面積之比為，則A． B． C． D．【變式1-3】（多選題）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來(lái)，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（

）

A．若，則M為的重心B．若M為的內(nèi)心，則C．若，，M為的外心，則D．若M為的垂心，，則【變式1-4】（多選題）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，則有.設(shè)是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，，，分別是的三個(gè)內(nèi)角，以下命題正確的有（

）A．若，則為的重心B．若，則C．若，，，則D．若為的垂心，則題型二：重心定理【典例2-1】已知是所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定過(guò)的.（選填：外心、內(nèi)心、垂心、重心）【典例2-2】（2024·高三·陜西渭南·期末）如圖所示，中為重心，過(guò)點(diǎn)，，，則．

【變式2-1】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形中，為的重心，，則．【變式2-2】（2024·高三·上海普陀·期中）在中，過(guò)重心的直線交邊于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)（、為不同兩點(diǎn)），且，，則的取值范圍為.【變式2-3】在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，設(shè)分別是的外心和重心，則的最大值是（

）A． B． C． D．【變式2-4】（2024·全國(guó)·二模）點(diǎn)是所在平面內(nèi)兩個(gè)不同的點(diǎn)，滿足，則直線經(jīng)過(guò)的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心題型三：內(nèi)心定理【典例3-1】已知為的內(nèi)心，，且滿足，則的最大值為.【典例3-2】在△ABC中，，若O為內(nèi)心，且滿足，則x+y的最大值為．【變式3-1】已知點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為的等邊△ABC的內(nèi)心，則＝．【變式3-2】（2024·高三·山東聊城·期中）已知是的內(nèi)心，，，，則．【變式3-3】已知中，，，，I是的內(nèi)心，P是內(nèi)部（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn).若（，），則的取值范圍是.題型四：外心定理【典例4-1】已知點(diǎn)在所在平面內(nèi)，滿足，則點(diǎn)是的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．垂心 D．重心【典例4-2】為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則是的（

）A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心【變式4-1】（2024·天津北辰·三模）在中，，為外心，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【變式4-2】在中，，是的外心，為的中點(diǎn)，，是直線上異于、的任意一點(diǎn)，則（

）A．3 B．6 C．7 D．9【變式4-3】已知O為的外心，，則（

）A．8 B．10 C．12 D．1【變式4-4】在中，，O是的外心，則的最大值為【變式4-5】已知內(nèi)一點(diǎn)是其外心，，且，則的最大值為．【變式4-6】在中，，，為的外心，，，分別為，，的中點(diǎn)，且，則.題型五：垂心定理【典例5-1】已知的垂心為點(diǎn)，面積為15，且，則；若，則.【典例5-2】若是的垂心，且，則的值為．【變式5-1】在中，三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C，，，，H為的垂心．若，則．【變式5-2】已知為的垂心（三角形的三條高線的交點(diǎn)），若，則.【變式5-3】已知在中，，點(diǎn)為的垂心，則=．1．已知是內(nèi)部的一點(diǎn)，，則的面積與的面積之比是（

）A． B． C． D．2．（2024·四川南充·三模）已知點(diǎn)P在所在平面內(nèi)，若，則點(diǎn)P是的（

）A．外心 B．垂心 C．重心 D．內(nèi)心3．已知G，O，H在所在平面內(nèi)，滿足，，，則點(diǎn)G，O，H依次為的（

）A．重心，外心，內(nèi)心 B．重心、內(nèi)心，外心C．重心，外心，垂心 D．外心，重心，垂心4．O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是該平面上不共線的3個(gè)點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P滿足：，則直線AP一定通過(guò)的（）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心5．已知點(diǎn)A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，點(diǎn)為的外心，動(dòng)點(diǎn)滿足條件：(，)，則點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的（

）．A．內(nèi)心 B．垂心 C．重心 D．邊的中點(diǎn)6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)是的重心，過(guò)點(diǎn)的直線與邊分別交于兩點(diǎn)，為邊的中點(diǎn)．若，則（

）A． B． C．2 D．7．已知，，，是平面上的4個(gè)定點(diǎn)，，，不共線，若點(diǎn)滿足，其中，則點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過(guò)的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心8．已知的重心為，則向量（

）A． B．C． D．9．已知的重心為O，若向量，則（

）A． B． C． D．10．已知在中，為的垂心，是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則以下正確的是（

）A．點(diǎn)為的內(nèi)心 B．點(diǎn)為的外心C． D．為等邊三角形11．已知是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則的軌跡一定通過(guò)的（）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心12．在中，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則P點(diǎn)軌跡一定通過(guò)的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心13．（多選題）（2024·高三·江西新余·期末）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來(lái)，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（

）A．若，則M為的重心B．若M為的內(nèi)心，則C．若M為的垂心，，則D．若，，M為的外心，則14．（多選題）（2024·江蘇南京·二模）已知內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，為的重心，，，則（

）A． B．C．的面積的最大值為 D．的最小值為15．（多選題）（2024·遼寧·二模）的重心為點(diǎn)，點(diǎn)O，P是所在平面內(nèi)兩個(gè)不同的點(diǎn)，滿足，則（

）A．三點(diǎn)共線 B．C． D．點(diǎn)在的內(nèi)部22．我校高一同學(xué)發(fā)現(xiàn)：若是內(nèi)的一點(diǎn)，、、的面積分別為、、，則存在結(jié)論，這位同學(xué)利用這個(gè)結(jié)論開始研究：若為內(nèi)的一點(diǎn)且為內(nèi)心，的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且，若，則的最大值為.23．已知點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，，則的面積之比為．24．已知點(diǎn)在所在的平面內(nèi)，則下列各結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是．①若為的垂心，．則②若為邊長(zhǎng)為2的正三角形，則的最小值為③若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡經(jīng)的外心④若為的重心，過(guò)點(diǎn)的直線分別與、交于、兩點(diǎn)，若，，則25．點(diǎn)O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上的三個(gè)頂點(diǎn)，，分別是邊AC，AB的對(duì)角.有以下四個(gè)命題：①動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的外心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中；②動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的內(nèi)心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中；③動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的重心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中；④動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的垂心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中.其中正確命題的個(gè)數(shù)為.26．點(diǎn)是平面上一定點(diǎn)，、、是平面上的三個(gè)頂點(diǎn)，、分別是邊、的對(duì)角，以下命題正確的是（把你認(rèn)為正確的序號(hào)全部寫上）．①動(dòng)點(diǎn)滿足，則的重心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中；②動(dòng)點(diǎn)滿足，則的內(nèi)心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中；③動(dòng)點(diǎn)滿足，則的重心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中；④動(dòng)點(diǎn)滿足，則的垂心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中；⑤動(dòng)點(diǎn)滿足，則的外心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中．27．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）在中，點(diǎn)O、點(diǎn)H分別為的外心和垂心，，則.28．設(shè)H是的垂心，且，則．29．在中，，，為的垂心，且滿足，則.30．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知的外心、垂心分別為，，，則.重難點(diǎn)突破01奔馳定理與四心問(wèn)題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納與總結(jié) 3題型一：奔馳定理 3題型二：重心定理 10題型三：內(nèi)心定理 13題型四：外心定理 17題型五：垂心定理 2203過(guò)關(guān)測(cè)試 25

技巧一．四心的概念介紹：（1）重心：中線的交點(diǎn)，重心將中線長(zhǎng)度分成2：1．（2）內(nèi)心：角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心），角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等．（3）外心：中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心），外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等．（4）垂心：高線的交點(diǎn)，高線與對(duì)應(yīng)邊垂直．技巧二．奔馳定理解決面積比例問(wèn)題重心定理：三角形三條中線的交點(diǎn)．已知的頂點(diǎn)，，，則△ABC的重心坐標(biāo)為．注意：（1）在中，若為重心，則．（2）三角形的重心分中線兩段線段長(zhǎng)度比為2：1，且分的三個(gè)三角形面積相等．重心的向量表示：．奔馳定理：，則、、的面積之比等于奔馳定理證明：如圖，令，即滿足，，，故．技巧三．三角形四心與推論：（1）是的重心：．（2）是的內(nèi)心：．（3）是的外心：．（4）是的垂心：．技巧四．常見(jiàn)結(jié)論（1）內(nèi)心：三角形的內(nèi)心在向量所在的直線上．為的內(nèi)心．（2）外心：為的外心．（3）垂心：為的垂心．（4）重心：為的重心．題型一：奔馳定理【典例1-1】已知為內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，若的面積與的面積的比值為，則的值為（

）A． B． C． D．2【答案】B【解析】由，得，如圖，分別是的中點(diǎn)，則，所以在線段上，且，得，設(shè)，則，所以，因?yàn)?，，，所以，則，解得.故選：B【典例1-2】點(diǎn)在的內(nèi)部，且滿足：，則的面積與的面積之比是（

）A． B．3 C． D．2【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，即，取中點(diǎn)為點(diǎn)，則，即，所以在中線上，且過(guò)，分別作邊上的高，垂足為，則，所以，，所以，所以，故選：C.【變式1-1】設(shè)是內(nèi)一點(diǎn)，且，定義，其中分別是的面積，若，則的最小值是（

）A． B．18 C．16 D．9【答案】B【解析】設(shè)中，角的對(duì)邊分別為，，由，得，，若，則，，有，得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，則的最小值是18.故選：B【變式1-2】設(shè)，過(guò)作直線分別交（不與端點(diǎn)重合）于，若，，若與的面積之比為，則A． B． C． D．【答案】D【解析】連接并延長(zhǎng)，則通過(guò)的中點(diǎn)，過(guò)，分別向所在直線作垂線，垂足分別為，，如圖所示與的面積之比為根據(jù)三角形相似可知，則即由平行四邊形法則得根據(jù)待定系數(shù)法有，則故選【變式1-3】（多選題）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來(lái)，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（

）

A．若，則M為的重心B．若M為的內(nèi)心，則C．若，，M為的外心，則D．若M為的垂心，，則【答案】ABD【解析】對(duì)A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，取的中點(diǎn)，則，所以，故，，三點(diǎn)共線，且，同理，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，可得，，三點(diǎn)共線，，，三點(diǎn)共線，所以為的重心，A正確；對(duì)B選項(xiàng)，若為的內(nèi)心，可設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，，，所以，即，B正確；對(duì)C選項(xiàng)，若，，為的外心，則，設(shè)的外接圓半徑為，故，，，故，，，所以，C錯(cuò)誤；對(duì)D選項(xiàng)，若為的垂心，，則，如圖，，，，相交于點(diǎn)，又，，即，，即，，即，設(shè)，，，則，，，因?yàn)?，，所以，即，，則，D正確；故選：ABD.【變式1-4】（多選題）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，則有.設(shè)是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，，，分別是的三個(gè)內(nèi)角，以下命題正確的有（

）A．若，則為的重心B．若，則C．若，，，則D．若為的垂心，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A：如下圖所示，假設(shè)為的中點(diǎn)，連接，則，故共線，即在中線上，同理可得在另外兩邊的中線上，故O為的重心，即A正確；對(duì)于B：由奔馳定理O是內(nèi)的一點(diǎn)，的面積分別為，則有可知，若，可得，即B正確；對(duì)于C：由，可知，又，所以，由可得；所以，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D：由四邊形內(nèi)角和可知，，則，同理，因?yàn)镺為的垂心，則，所以，同理得，，則，令，由，則，同理：，，綜上，，根據(jù)奔馳定理得，即D正確.故選：ABD.題型二：重心定理【典例2-1】已知是所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定過(guò)的.（選填：外心、內(nèi)心、垂心、重心）【答案】重心【解析】過(guò)作，垂足為，取中點(diǎn)為，連接，如下所示：則，則，則，，又為非負(fù)實(shí)數(shù)，故共線，也即三點(diǎn)共線，又為三角形中線，故的軌跡過(guò)三角形的重心.故答案為：重心.【典例2-2】（2024·高三·陜西渭南·期末）如圖所示，中為重心，過(guò)點(diǎn)，，，則．

【答案】3【解析】設(shè)根據(jù)題意，；，，，三點(diǎn)共線，則存在，使得，即，即，，整理得，所以；故答案為：3【變式2-1】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形中，為的重心，，則．【答案】/【解析】如圖，設(shè)與相交于點(diǎn)，又為的重心，所以為的中點(diǎn)，，則，則，故．故答案為：【變式2-2】（2024·高三·上海普陀·期中）在中，過(guò)重心的直線交邊于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)（、為不同兩點(diǎn)），且，，則的取值范圍為.【答案】【解析】由題意，，延長(zhǎng)交于，則是中點(diǎn)，,又，，所以，又三點(diǎn)共線，所以，，，設(shè)，則，時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，，又，即，所以的取值范圍是，故答案為：，【變式2-3】在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，設(shè)分別是的外心和重心，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)為邊中點(diǎn)，連接,作于，即為中點(diǎn)，因?yàn)?同理,則，在中，，由余弦定理得，即，由均值不等式，，所以（當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立），所以.故選：B．【變式2-4】（2024·全國(guó)·二模）點(diǎn)是所在平面內(nèi)兩個(gè)不同的點(diǎn)，滿足，則直線經(jīng)過(guò)的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【答案】A【解析】設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)，所以，則，若四點(diǎn)共線時(shí)，即點(diǎn)都在中線上，所以經(jīng)過(guò)三角形的重心，若四點(diǎn)不共線時(shí)，，且，連結(jié)，交于點(diǎn)，如圖，，即點(diǎn)是三角形的重心，即經(jīng)過(guò)的重心，綜上可知，經(jīng)過(guò)的重心.故選：A題型三：內(nèi)心定理【典例3-1】已知為的內(nèi)心，，且滿足，則的最大值為.【答案】【解析】設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，延長(zhǎng)交于D，則，即，由三點(diǎn)共線，得，，，.當(dāng)，即，亦即時(shí)等號(hào)成立，故.故答案為：.【典例3-2】在△ABC中，，若O為內(nèi)心，且滿足，則x+y的最大值為．【答案】【解析】延長(zhǎng)AO交BC于D，設(shè)BC與圓O相切于點(diǎn)E，AC與圓O相切于點(diǎn)F，則OE＝OF，則，設(shè)，因?yàn)锽、C、D三點(diǎn)共線，所以，即，因?yàn)?，，所以，所以．故答案是：【變?-1】已知點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為的等邊△ABC的內(nèi)心，則＝．【答案】1【解析】設(shè)D為BC的中點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)O是邊長(zhǎng)為的等邊△ABC的內(nèi)心，所以，，兩兩夾角為120°，且||＝||＝|||AD|．所以＝22＝1.故答案為：1．【變式3-2】（2024·高三·山東聊城·期中）已知是的內(nèi)心，，，，則．【答案】36【解析】如圖所示：以為圓心作的內(nèi)切圓，分別與、、相切于點(diǎn)、、，設(shè)，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得，,,所以，即，解得，即，由題意可得,所以，所以,.故答案為：36.【變式3-3】已知中，，，，I是的內(nèi)心，P是內(nèi)部（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn).若（，），則的取值范圍是.【答案】【解析】建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)槭侨切蔚膬?nèi)心，設(shè)三角形內(nèi)切圓半徑為，則，解得.所以，.依題意點(diǎn)在三角形的內(nèi)部（不含邊界）.因?yàn)?，所以，所以，令，則，由圖可知，當(dāng)過(guò)時(shí)，.當(dāng)，過(guò)，即為直線時(shí)，.所以的取值范圍時(shí).故答案為：題型四：外心定理【典例4-1】已知點(diǎn)在所在平面內(nèi)，滿足，則點(diǎn)是的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．垂心 D．重心【答案】A【解析】因?yàn)?，即點(diǎn)到的距離相等，所以點(diǎn)是的外心.故選：A【典例4-2】為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則是的（

）A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心【答案】B【解析】依題意，，，，則，于是，所以是的外心.故選：B【變式4-1】（2024·天津北辰·三模）在中，，為外心，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由O為△ABC外心，可得在方向上的投影向量為，則，故，又，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由可知，，故的最大值為．故選：A．【變式4-2】在中，，是的外心，為的中點(diǎn)，，是直線上異于、的任意一點(diǎn)，則（

）A．3 B．6 C．7 D．9【答案】B【解析】因?yàn)槭堑耐庑?，為的中點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，所以，，設(shè)，則，又是的外心，所以，所以.故選：B【變式4-3】已知O為的外心，，則（

）A．8 B．10 C．12 D．1【答案】A【解析】如圖，O為的外心，過(guò)作于因?yàn)?，所以則.故選：A.【變式4-4】在中，，O是的外心，則的最大值為【答案】3【解析】由題知，記的三邊為，因?yàn)镺是的外心，記中點(diǎn)為，則有，所以且，所以①，在中，由余弦定理得：，即，即，代入①中可得：，在中，由正弦定理得：，所以，所以，當(dāng)時(shí)取等，故的最大值為3．故答案為：3【變式4-5】已知內(nèi)一點(diǎn)是其外心，，且，則的最大值為．【答案】/0.75【解析】如圖所示，延長(zhǎng)交于，令，∵，，三點(diǎn)共線，∴，∴取最大值時(shí)，取最大值，則，∵為外接圓的半徑（定值），∴當(dāng)取得最小時(shí)，取最大值，此時(shí)，∴為等腰三角形，且，∴，則，，，∵，，∴．故答案為：【變式4-6】在中，，，為的外心，，，分別為，，的中點(diǎn)，且，則.【答案】【解析】如圖，設(shè)的外接圓半徑為，由正弦定理，則，又因?yàn)?，，分別為，，的中點(diǎn)，所以，，，三式平方相加可得，又因?yàn)?，代入得結(jié)果為.故答案為：.題型五：垂心定理【典例5-1】已知的垂心為點(diǎn)，面積為15，且，則；若，則.【答案】305【解析】如圖，

是的邊上的高，則；設(shè)，因?yàn)椋娣e為15，所以，即；.由第一空可知，所以；所以，由可得，即；因?yàn)?，所以?故答案為：30;5.【典例5-2】若是的垂心，且，則的值為．【答案】/【解析】由，得，所以，故垂心在中線上，即高線與中線重合，故，又，所以，又因?yàn)?，，得，所以，即，得到，由余弦定理得，又，所以，所以，所?得到．故答案為：.【變式5-1】在中，三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C，，，，H為的垂心．若，則．【答案】【解析】因?yàn)?，，，所以，由余弦定理可得，由以及為銳角，可得，故．同理，．于是．接下來(lái)證明定理4：O是（非直角三角形）的垂心．證明：O是（非直角三角形）的垂心，由定理4得，故，化簡(jiǎn)得．所以．故答案為：【變式5-2】已知為的垂心（三角形的三條高線的交點(diǎn)），若，則.【答案】/【解析】因?yàn)?，所以，同理，由H為△ABC的垂心，得，即，可知，即，同理有，即，可知，即，所以，，又，所以．故答案為：.【變式5-3】已知在中，，點(diǎn)為的垂心，則=．【答案】18【解析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，因?yàn)椋c(diǎn)為的垂心，所以為的中點(diǎn)，，所以，故答案為：181．已知是內(nèi)部的一點(diǎn)，，則的面積與的面積之比是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，設(shè)，易知，可得，又，得，故，可知，同理，可得，結(jié)合可得，整理得成立，而由題意得，故，設(shè)即，，故，故C正確.故選：C2．（2024·四川南充·三模）已知點(diǎn)P在所在平面內(nèi)，若，則點(diǎn)P是的（

）A．外心 B．垂心 C．重心 D．內(nèi)心【答案】D【解析】在中，由，得，即，由，同理得，顯然，即與不重合，否則，同理，則，即，，于是平分，同理平分，所以點(diǎn)P是的內(nèi)心.故選：D3．已知G，O，H在所在平面內(nèi)，滿足，，，則點(diǎn)G，O，H依次為的（

）A．重心，外心，內(nèi)心 B．重心、內(nèi)心，外心C．重心，外心，垂心 D．外心，重心，垂心【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，設(shè)AB的中點(diǎn)D，則，所以，所以C，G，D三點(diǎn)共線，即G為的中線CD上的點(diǎn)，且，所以G為的重心．因?yàn)?，所以，所以O(shè)為的外心；因?yàn)椋?，即，所以，同理可得：，，所以H為的垂心.故選：C.4．O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是該平面上不共線的3個(gè)點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P滿足：，則直線AP一定通過(guò)的（）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】C【解析】取線段BC的中點(diǎn)E，則，動(dòng)點(diǎn)P滿足：，則，則，所以，又為兩向量的公共起點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，所以直線一定通過(guò)的重心．故選：C．5．已知點(diǎn)A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，點(diǎn)為的外心，動(dòng)點(diǎn)滿足條件：(，)，則點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的（

）．A．內(nèi)心 B．垂心 C．重心 D．邊的中點(diǎn)【答案】D【解析】取的中點(diǎn)D，連接，則，∵，∴，則，即∴P，C，D三點(diǎn)共線，因?yàn)?，所以，于是點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過(guò)邊的中點(diǎn)．故選：D.6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)是的重心，過(guò)點(diǎn)的直線與邊分別交于兩點(diǎn)，為邊的中點(diǎn)．若，則（

）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】如圖所示，由三角形重心的性質(zhì)，可得，所以，所以，即，因?yàn)槿c(diǎn)共線，可得，所以.故選：A．7．已知，，，是平面上的4個(gè)定點(diǎn)，，，不共線，若點(diǎn)滿足，其中，則點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過(guò)的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【答案】A【解析】取線段的中點(diǎn)，則.動(dòng)點(diǎn)滿足：，，則，即，所以，又，所以三點(diǎn)共線，即點(diǎn)的軌跡是直線，一定通過(guò)的重心.故選：A.8．已知的重心為，則向量（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)分別是的中點(diǎn)，由于是三角形的重心，所以.故選：B.9．已知的重心為O，若向量，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，設(shè)E是的中點(diǎn)，由于O是三角形的重心，所以．則.故選:D．10．已知在中，為的垂心，是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則以下正確的是（

）A．點(diǎn)為的內(nèi)心 B．點(diǎn)為的外心C． D．為等邊三角形【答案】B【解析】在中，由為的垂心，得，由，得，則，即，又，顯然，同理得，因此點(diǎn)為的外心，B正確，無(wú)判斷ACD成立的條件.故選：B11．已知是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則的軌跡一定通過(guò)的（）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【答案】A【解析】由題意，當(dāng)時(shí)，如圖可知：點(diǎn)在邊上的中線所在直線上，∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的重心，故選：A．12．在中，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則P點(diǎn)軌跡一定通過(guò)的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，所以，設(shè)的中點(diǎn)為，則，則，所以，所以點(diǎn)P在線段AB的中垂線上，故點(diǎn)P的軌跡過(guò)的外心.故選：A13．（多選題）（2024·高三·江西新余·期末）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來(lái)，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（

）A．若，則M為的重心B．若M為的內(nèi)心，則C．若M為的垂心，，則D．若，，M為的外心，則【答案】ABC【解析】A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，取的中點(diǎn)，則，所以，故三點(diǎn)共線，且，同理，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，可得三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，所以M為的重心，A正確；B選項(xiàng)，若M為的內(nèi)心，可設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，，，所以，即，B正確；C選項(xiàng)，若M為的垂心，，則，如圖，⊥，⊥，⊥，相交于點(diǎn)，又，，即，，即，，即，設(shè)，，，則，，，因?yàn)椋?，所以，即，同理可得，即，故，，則，故，，則，故，，故，同理可得，故，C正確；D選項(xiàng)，若，，M為的外心，則，設(shè)的外接圓半徑為，故，，故，，，所以，D錯(cuò)誤.故選：ABC14．（多選題）（2024·江蘇南京·二模）已知內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，為的重心，，，則（

）A． B．C．的面積的最大值為 D．的最小值為【答案】ABC【解析】延長(zhǎng)交于點(diǎn).因?yàn)槭堑闹匦?，所以點(diǎn)是中點(diǎn)，，則.對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：由得：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.又因?yàn)?，即，，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，所以，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：由，，得，所以由余弦定理可得：，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：ABC.15．（多選題）（2024·遼寧·二模）的重心為點(diǎn)，點(diǎn)O，P是所在平面內(nèi)兩個(gè)不同的點(diǎn)，滿足，則（

）A．三點(diǎn)共線 B．C． D．點(diǎn)在的內(nèi)部【答案】AC【解析】，因?yàn)辄c(diǎn)為的重心，所以，所以，所以三點(diǎn)共線，故A正確，B錯(cuò)誤；，因?yàn)?，所以，即，故C正確；因?yàn)?，所以點(diǎn)的位置隨著點(diǎn)位置的變化而變化，故點(diǎn)不一定在的內(nèi)部，故D錯(cuò)誤；故選：AC．16．（多選題）已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，下列說(shuō)法中正確的是（

）A．若，則為的重心B．若，則為的內(nèi)心C．若為的重心，是邊上的中線，則D．若，則【答案】AD【解析】取的中點(diǎn)，連接，則，若，則，則三點(diǎn)共線，且，則為的重心，故A正確；若，則為的外心，不一定是內(nèi)心，故B錯(cuò)誤；若為的重心，是邊上的中線，則，則，故C錯(cuò)誤；取的中點(diǎn)，連接，則，若，則，則三點(diǎn)共線，且，則，故D正確.故選：AD.17．（多選題）點(diǎn)O為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則（

）A．若，則點(diǎn)O為的重心B．若，則點(diǎn)O為的內(nèi)心C．若，則點(diǎn)O為的垂心D．在中，設(shè)，那么動(dòng)點(diǎn)O的軌跡必通過(guò)的外心【答案】ABD【解析】對(duì)于A中，由點(diǎn)O為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，可得，則以為鄰邊作平行四邊形，可得，且，設(shè)，根據(jù)平行四邊形法則，可得為的中點(diǎn)，即為上的中線，同理可證：延長(zhǎng)也過(guò)的中點(diǎn)，所以為的重心，所以A正確；對(duì)于B中，由向量表示方向的單位向量，表示方向的單位向量，可得四邊形是菱形，則，因?yàn)椋?，即，即和共線，即是的角平分線，同理可得是的角平分線，即是的內(nèi)心，所以B正確.對(duì)于C中，如圖所示，取分別為的中點(diǎn)，根據(jù)向量的平行四邊形法則，可得，因?yàn)?，可得，所以，所以點(diǎn)在線段的垂直平分線上，所以點(diǎn)為的外心，所以C不正確；對(duì)于D中，由,因?yàn)?，可得，即，設(shè)為的中點(diǎn)，可得，所以，即，且為的中點(diǎn)，所以動(dòng)點(diǎn)O的軌跡必通過(guò)的外心，所以D正確.故選：ABD.18．（多選題）已知，在所在的平面內(nèi)，且滿足，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．為的外心B．為的垂心C．為的內(nèi)心D．為的重心【答案】BD【解析】由題意，所以，即＝0，所以，同理可得：，，所以M為的垂心；A錯(cuò)誤,B正確；因?yàn)樗裕?，設(shè)AB的中點(diǎn)D，則，所以，所以C，N，D三點(diǎn)共線，即N為的中線CD上的點(diǎn)，且，所以N為的重心,C錯(cuò)誤,D正確.故選:BD.19．（多選題）在中，角的對(duì)邊分別為，為的外心，則（

）A．若有兩個(gè)解，則B．的取值范圍為C．的最大值為9D．若為平面上的定點(diǎn)，則A點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，由正弦定理，得，有兩解的情形為，且，則，故A正確；對(duì)于B，由正弦定理，得外接圓半徑，由正弦定理知A點(diǎn)在以為圓心半徑為的優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)，，于是，故B正確；對(duì)于C，法一：用投影向量求當(dāng)在上的投影向量的模最大，且與同向時(shí)，取得的最大值，此時(shí)，設(shè)為的中點(diǎn)，則，在上的投影向量的模為，最大值為，故C錯(cuò)誤；法二：轉(zhuǎn)化到圓心：，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如下圖，由正弦定理知A點(diǎn)在以為圓心半徑為的優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)，由兩段優(yōu)弧拼接成，每段優(yōu)弧所對(duì)圓心角為，所以A點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，故D正確．故選：ABD.20．設(shè)M為內(nèi)一點(diǎn)，且，則與的面積之比為．【答案】/0.25【解析】在取中點(diǎn)，則，可知點(diǎn)為的中點(diǎn)，可得，即，所以與的面積之比為.故答案為：.21．“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳車的標(biāo)志而來(lái)，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，奔馳定理與三角形的四心（重心?內(nèi)心?外心?垂心）有著美麗的邂逅.它的具體內(nèi)容是：如圖，若是內(nèi)一點(diǎn)，的面積分別為，則有.已知為的內(nèi)心，且，若，則的最大值為.【答案】【解析】因?yàn)榈膬?nèi)心到該三角形三邊的距離相等，則，由可得，所以，又，則，所以，兩式相加可得，化簡(jiǎn)可得，又，由余弦定理可得，由基本不等式可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以.故答案為：.22．我校高一同學(xué)發(fā)現(xiàn)：若是內(nèi)的一點(diǎn)，、、的面積分別為、、，則存在結(jié)論，這位同學(xué)利用這個(gè)結(jié)論開始研究：若為內(nèi)的一點(diǎn)且為內(nèi)心，的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且，若，則的最大值為.【答案】【解析】因?yàn)榈膬?nèi)心到該三角形三邊的距離相等，則，由可得，所以，，因?yàn)?，則，所以，，所以，，可得，因?yàn)?，由余弦定理可得，由基本不等式可得，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，.故答案為：.23．已知點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，，則的面積之比為．【答案】【解析】先將已知向量式化為兩個(gè)向量共線的形式，再利用平行四邊形