2025年新高考數(shù)學一輪復習第3章重難點突破01玩轉(zhuǎn)指對冪比較大小(十一大題型)(學生版+解析)

重難點突破01玩轉(zhuǎn)指對冪比較大小目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納總結(jié) 3題型一：直接利用單調(diào)性 3題型二：引入媒介值 3題型三：含變量問題 4題型四：構(gòu)造函數(shù) 4題型五：數(shù)形結(jié)合 5題型六：特殊值法、估算法 6題型七：放縮法 6題型八：不定方程 7題型九：泰勒展開 7題型十：同構(gòu)法 8題型十一：帕德逼近估算法 903過關(guān)測試 9

（1）利用函數(shù)與方程的思想，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導數(shù)研究其單調(diào)性或極值，從而確定a，b，c的大?。?）指、對、冪大小比較的常用方法：①底數(shù)相同，指數(shù)不同時，如和，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；②指數(shù)相同，底數(shù)不同，如和利用冪函數(shù)單調(diào)性比較大??；③底數(shù)相同，真數(shù)不同，如和利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大?。虎艿讛?shù)、指數(shù)、真數(shù)都不同，尋找中間變量0，1或者其它能判斷大小關(guān)系的中間量，借助中間量進行大小關(guān)系的判定．（3）轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點的橫坐標（4）特殊值法（5）估算法（6）放縮法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法（7）常見函數(shù)的麥克勞林展開式：①②③④⑤⑥

題型一：直接利用單調(diào)性【典例1-1】記，則（

）A． B．C． D．【典例1-2】（2024·全國·模擬預測）已知，，，則實數(shù)a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【變式1-1】設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2024·寧夏銀川·三模）已知，，，則（

）A． B．C． D．題型二：引入媒介值【典例2-1】（2024·甘肅蘭州·二模）故，，，則a，b，c的大小順序是（

）A． B． C． D．【典例2-2】（2024·高三·廣西·開學考試）已知，，，則（

）A． B． C． D．【變式2-1】（2024·全國·模擬預測）已知，，，那么，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【變式2-2】（2024·江西上饒·模擬預測）設(shè)，則有（

）A． B．C． D．題型三：含變量問題【典例3-1】（2024·陜西西安·統(tǒng)考一模）設(shè)且，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【典例3-2】（多選題）若，則（

）A． B．C． D．【變式3-1】（多選題）（2024·海南?？凇つM預測）已知x，y，z都為正數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【變式3-2】（多選題）（2024·山西·模擬預測）已知當時，，則（

）A． B．C． D．【變式3-3】（多選題）（2024·湖北·模擬預測）已知正實數(shù)a，b，c滿足，則一定有（

）A． B． C． D．題型四：構(gòu)造函數(shù)【典例4-1】設(shè)，，，，則（

）A． B．C． D．【典例4-2】（2024·湖北武漢·二模）設(shè)，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【變式4-1】設(shè)，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【變式4-2】（2024·全國·模擬預測）已知，，，則（

）A． B． C． D．【變式4-3】已知，則（

）A． B． C． D．題型五：數(shù)形結(jié)合【典例5-1】（2024·高三·海南·期末）若，則（

）A． B． C． D．【典例5-2】（2024·陜西商洛·模擬預測）設(shè)，則（

）A． B．C． D．【變式5-1】已知，，，則（

）A． B． C． D．【變式5-2】（2024·四川廣安·二模）已知，，均為正數(shù)，，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【變式5-3】（2024·黑龍江哈爾濱·三模）已知，，則下面正確的是（

）A． B．C． D．【變式5-4】雅各布·伯努利（JakobBernoulli，1654-1705年）是伯努利家族代表人物之一，瑞士數(shù)學家，他酷愛數(shù)學，常常忘情地沉溺于數(shù)學之中．伯努利不等式就是由伯努利提出的在分析不等式中一種常見的不等式．伯努利不等式的一種形式為：，，則．伯努利不等式是數(shù)學中的一種重要不等式，它的應用非常廣泛，尤其在概率論、統(tǒng)計學等領(lǐng)域中有著重要的作用．已知，，，則（

）A． B． C． D．【變式5-5】（2024·高三·江蘇蘇州·期中）設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）．A． B． C． D．【變式5-6】（2024·江西南昌·三模）若，，，則正數(shù)大小關(guān)系是（）A． B．C． D．題型六：特殊值法、估算法【典例6-1】若都不為零的實數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【典例6-2】已知，，，若，則a、b、c的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【變式6-1】已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【變式6-2】（2024·陜西安康·模擬預測）若滿足，則（

）A． B．C． D．題型七：放縮法【典例7-1】（2024·全國·模擬預測）已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【典例7-2】（2024·全國·模擬預測）已知，，，則（

）A． B． C． D．【變式7-1】（2024·全國·模擬預測）已知，則下列不等式中不成立的是（

）A． B． C． D．【變式7-2】（2024·江西宜春·模擬預測）若，，，則（

）A． B． C． D．【變式7-3】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【變式7-4】下列大小關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．題型八：不定方程【典例8-1】已知a、b、c是正實數(shù)，且，則a、b、c的大小關(guān)系不可能為（

）A． B．C． D．【典例8-2】設(shè)實數(shù)，滿足，，則，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．無法比較【變式8-1】已知實數(shù)、，滿足，，則關(guān)于、下列判斷正確的是A． B． C． D．【變式8-2】已知實數(shù)，滿足，，則下列判斷正確的是A． B． C． D．【變式8-3】若且，且，且，則A． B． C． D．題型九：泰勒展開【典例9-1】已知，則（

）【典例9-2】設(shè)，則的大小關(guān)系為___________．（從小到大順序排）【變式9-1】設(shè)，則（）A．B．C．D．【變式9-2】，則（）A．B．C．D．【變式9-3】（2024·全國·模擬預測）已知，，則（

）A． B． C． D．題型十：同構(gòu)法【典例10-1】（多選題）（2024·全國·模擬預測）已知實數(shù)a，b滿足，則下列關(guān)系式中可能正確的是（

）A．，使 B．，使C．，有 D．，有【典例10-2】（多選題）已知，且滿足，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．【變式10-1】（2024·高三·浙江·開學考試）已知，若，則（

）A． B．C． D．【變式10-2】（2024·重慶·模擬預測）已知正實數(shù)滿足則（

）A． B． C． D．【變式10-3】（多選題）（2024·遼寧撫順·模擬預測）已知實數(shù)a，b滿足，，，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當時， B．當時，C． D．【變式10-4】（2024·陜西西安·模擬預測）若，則（

）A． B．C． D．題型十一：帕德逼近估算法【典例11-1】已知，，，則（

）A． B． C． D．【典例11-2】已知，，，則（

）A． B． C． D．【變式11-1】已知，，，則（

）A． B． C． D．【變式11-2】已知，，，則（

）A． B． C． D．1．（2024·江西萍鄉(xiāng)·二模）已知，則這三個數(shù)的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．2．（2024·寧夏銀川·三模）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．3．（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）設(shè)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，則（

）A． B． C． D．4．（2024·天津紅橋·二模）若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．5．已知，，，，則在，，，，，這6個數(shù)中最小的是（

）A． B． C． D．6．（2024·全國·模擬預測）已知，，，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．7．（2024·山西·模擬預測）已知實數(shù)滿足，，，則（

）A． B．C． D．18．（2024·高三·四川成都·期末）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．19．（2024·全國·模擬預測）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．20．已知，，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．21．已知三個互不相等的正數(shù)滿足，（其中是一個無理數(shù)），則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．22．已知，，，則（

）A． B． C． D．23．（多選題）已知，，，，則（

）A． B． C． D．24．（多選題）（2024·湖南長沙·二模）下列不等式正確的有（

）A． B．C． D．25．（多選題）（2024·山東聊城·一模）若實數(shù)，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．26．（多選題）（2024·江蘇南通·三模）已知，則（

）A． B．C． D．27．（多選題）（2024·全國·模擬預測）已知，則（

）A． B．C． D．28．（多選題）已知，，，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則重難點突破01玩轉(zhuǎn)指對冪比較大小目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納總結(jié) 3題型一：直接利用單調(diào)性 3題型二：引入媒介值 4題型三：含變量問題 6題型四：構(gòu)造函數(shù) 9題型五：數(shù)形結(jié)合 12題型六：特殊值法、估算法 19題型七：放縮法 20題型八：不定方程 23題型九：泰勒展開 26題型十：同構(gòu)法 28題型十一：帕德逼近估算法 3203過關(guān)測試 33

（1）利用函數(shù)與方程的思想，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導數(shù)研究其單調(diào)性或極值，從而確定a，b，c的大?。?）指、對、冪大小比較的常用方法：①底數(shù)相同，指數(shù)不同時，如和，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；②指數(shù)相同，底數(shù)不同，如和利用冪函數(shù)單調(diào)性比較大??；③底數(shù)相同，真數(shù)不同，如和利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大??；④底數(shù)、指數(shù)、真數(shù)都不同，尋找中間變量0，1或者其它能判斷大小關(guān)系的中間量，借助中間量進行大小關(guān)系的判定．（3）轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點的橫坐標（4）特殊值法（5）估算法（6）放縮法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法（7）常見函數(shù)的麥克勞林展開式：①②③④⑤⑥

題型一：直接利用單調(diào)性【典例1-1】記，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以，所以，又對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，故.故選：D.【典例1-2】（2024·全國·模擬預測）已知，，，則實數(shù)a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由在R上單調(diào)遞增，可得，又，則．由在上單調(diào)遞增，可得．由在上單調(diào)遞增，可得．所以，故選：A．【變式1-1】設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，，所以，則，即，因為，，所以，所以，則，即，又，所以，所以.故選：D【變式1-2】（2024·寧夏銀川·三模）已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題知，，，因為在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即，因為在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以，即，因為在上單調(diào)遞減，所以，即，綜上：.故選：D題型二：引入媒介值【典例2-1】（2024·甘肅蘭州·二模）故，，，則a，b，c的大小順序是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，所以，故選：D【典例2-2】（2024·高三·廣西·開學考試）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，因為，所以，因為，所以，所以，故選：A.【變式2-1】（2024·全國·模擬預測）已知，，，那么，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，則，即，，即，，故故選：B【變式2-2】（2024·江西上饒·模擬預測）設(shè)，則有（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，得，，，而，所以.故選：B題型三：含變量問題【典例3-1】（2024·陜西西安·統(tǒng)考一模）設(shè)且，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，可得，則因為，所以，則，因為，所以．故選：A．【典例3-2】（多選題）若，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】A選項中，因為，故在R上單調(diào)遞減，故，因為在上單調(diào)遞增，故，綜上，，A正確；B選項中，由于，而已知，所以B不正確；C選項中，，設(shè)，則，設(shè)，則，所以在上遞增，這樣，故C正確；D選項中，取，，則，，又，故，所以D錯誤.故選：AC.【變式3-1】（多選題）（2024·海南海口·模擬預測）已知x，y，z都為正數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】令，則，，，所以，B錯誤；（注意等號不成立），故，A正確；（注意等號不成立），則，C正確，由，令且，則，由，因為，故，綜上，，即在上單調(diào)遞減，所以，故恒成立，即，D正確.故選：ACD【變式3-2】（多選題）（2024·山西·模擬預測）已知當時，，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】因為，令，，則，令，，則，A正確；因為，則，，…，，以上各式相加有，B錯誤；由得，，即，于是，，，…，，以上各式相加有，即，C正確；由得，，因此，設(shè)，，則，所以，D正確．故選：ACD【變式3-3】（多選題）（2024·湖北·模擬預測）已知正實數(shù)a，b，c滿足，則一定有（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】由正實數(shù)a，b，c，以及，可得，又，所以．所以，又，所以，即，等價于，構(gòu)造函數(shù)，，當時，故在上遞增，從而．又取時，原式為同樣成立，故CD不正確，故選：AB題型四：構(gòu)造函數(shù)【典例4-1】設(shè)，，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】構(gòu)造函數(shù)，的定義域為，，令可得：，令可得：，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．故，即，變形可得，即，所以；又，所以，又因為，所以，綜上，，故選：B．【典例4-2】（2024·湖北武漢·二模）設(shè)，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知可得，設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，綜上，設(shè)，，則，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，所以故選：B.【變式4-1】設(shè)，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，易知，且，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即，在時取得等號，且，在時取得等號，則，在時取得等號，所以，即.故選：D【變式4-2】（2024·全國·模擬預測）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，，所以，，令，則，令，則恒成立，所以在上單調(diào)遞減，則，所以在上恒成立，則上單調(diào)遞減，又，所以，即，即，所以，則；因為，所以，而，令，則，令，則恒成立，所以在上單調(diào)遞減，則，所以在上恒成立，則上單調(diào)遞減，又，所以，即，即，所以，則；綜上，.故選：B．【變式4-3】已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，則，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞增；又，所以，所以；，，設(shè)，，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，所以，又，所以，則，綜上，.故選：C.題型五：數(shù)形結(jié)合【典例5-1】（2024·高三·海南·期末）若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，，當時，，單減，故，即；設(shè)，，當時，，所以，即，即；，故最小，，，，因為，所以，所以，，所以故選：C【典例5-2】（2024·陜西商洛·模擬預測）設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)，設(shè)0，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即.根據(jù)已知得，可設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即.綜上，.故選：D.【變式5-1】已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，畫出的圖象，故為下凸函數(shù)，當時，所以，.設(shè)，畫出圖象，故為上凸函數(shù)，當時，所以，同一坐標系內(nèi)畫出和的圖象，又在R上單調(diào)遞減，故，所以.設(shè)，則，在上單調(diào)遞減，所以時，所以，，所以，同理可得，，相加得，，所以.故選：A【變式5-2】（2024·四川廣安·二模）已知，，均為正數(shù)，，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】可變形為：，可變形為：，可變形為：，令，，，，且，可知分別為函數(shù)與，，的交點橫坐標，當時，單調(diào)遞增且，，，，這三個函數(shù)全部單調(diào)遞減，且，，，，由零點存在性定理可知：，所以只需判斷，，這三個函數(shù)的單調(diào)性，在范圍內(nèi)下降速度快的，交點橫坐標小，下降速度慢的交點橫坐標大，由圖象可知，下降速度最慢，所以最大，，，時，，所以交點，故選：B【變式5-3】（2024·黑龍江哈爾濱·三模）已知，，則下面正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】令，由，故，由與在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，又，，故，故B錯誤；令，由函數(shù)的圖象及的圖象可得在上只有一個零點，由，故，又，，故，故C錯誤；有，故A錯誤；，故D正確.故選：D.【變式5-4】雅各布·伯努利（JakobBernoulli，1654-1705年）是伯努利家族代表人物之一，瑞士數(shù)學家，他酷愛數(shù)學，常常忘情地沉溺于數(shù)學之中．伯努利不等式就是由伯努利提出的在分析不等式中一種常見的不等式．伯努利不等式的一種形式為：，，則．伯努利不等式是數(shù)學中的一種重要不等式，它的應用非常廣泛，尤其在概率論、統(tǒng)計學等領(lǐng)域中有著重要的作用．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，令，兩函數(shù)圖象如圖所示，因為均單調(diào)遞增，且，結(jié)合圖象可知當時，，即，故，故；如圖，單位圓A中，于，設(shè)，，則的長度，，，則由圖易得，，即，所以，故；綜上，.故選：B.【變式5-5】（2024·高三·江蘇蘇州·期中）設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，作出單位圓，與軸交于點，則，過點作垂直于軸，交射線于點，連接，過點作⊥軸于點，由三角函數(shù)定義可知，，，設(shè)扇形的面積為，則，即，故，因為，所以，又，由得，即，令，，則，當時，，故在上單調(diào)遞減，所以，所以，故，綜上，.故選：D【變式5-6】（2024·江西南昌·三模）若，，，則正數(shù)大小關(guān)系是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，則為與交點的橫坐標，由，則為與交點的橫坐標，由，即，則為與交點的橫坐標，作出，，，的圖象如下所示，由圖可知，.故選：B題型六：特殊值法、估算法【典例6-1】若都不為零的實數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】取，滿足，但，A錯誤；當，滿足，但，B錯誤；因為，所以，所以，C正確；當或時，無意義，故D錯誤．故選：C【典例6-2】已知，，，若，則a、b、c的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】取，則，，，所以．故選：B．【變式6-1】已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，，可知，又由，從而，可得，因為，所以；因為，從而，即，由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，，綜上所述，．故選：B．【變式6-2】（2024·陜西安康·模擬預測）若滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，得，所以，所以，所以錯誤；令，此時與無意義，所以錯誤；因為，所以由不等式的性質(zhì)可得，所以正確；令，則，所以錯誤.故選：.題型七：放縮法【典例7-1】（2024·全國·模擬預測）已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，則恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以當時，，即；令，則恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以當時，，即；由誘導公式得，所以，因此；因為，，故只需比較與的大小，由二項式定理得，，所以．綜上，.故選：C【典例7-2】（2024·全國·模擬預測）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，，所以．因為，，所以．綜上可知，．故選：B．【變式7-1】（2024·全國·模擬預測）已知，則下列不等式中不成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，對于A，易得，所以，故A成立.對于B，因為，所以，故B成立.對于C，，當且僅當時，等號成立，顯然等號不成立，所以，故C不成立.對于D，因為且，所以，故D成立.故選：C.【變式7-2】（2024·江西宜春·模擬預測）若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】顯然，，因為，所以；又因為，，令，．則，可知在上單調(diào)遞增，則，可得，令，，則在內(nèi)恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即，所以；綜上所述：．故選：A．【變式7-3】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，，，因為，所以，因為，，所以，所以.故選：D.【變式7-4】下列大小關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對于A，由于，所以，故，故A錯誤；對于BCD，設(shè)，則，當時，，此時單調(diào)遞減，當時，，此時單調(diào)遞增，因此，即，故B錯誤；，故C正確；，故D錯誤.故選：C題型八：不定方程【典例8-1】已知a、b、c是正實數(shù)，且，則a、b、c的大小關(guān)系不可能為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，a、b、c是正實數(shù)，所以，因為，所以，對于A，若，則，滿足題意；對于B，若，則，滿足題意；對于C，若，則，滿足題意；對于D，若，則，不滿足題意．故選：D．【典例8-2】設(shè)實數(shù)，滿足，，則，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．無法比較【答案】C【解析】假設(shè)，則，，由得，因函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，則，所以；由得，因函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，則，所以；即有與假設(shè)矛盾，所以，故選：C【變式8-1】已知實數(shù)、，滿足，，則關(guān)于、下列判斷正確的是A． B． C． D．【答案】【解析】先比較與2的大小，因為，所以，所以，即，故排除，，再比較與2的大小，易得，當時，由，得與矛盾，舍去，故，則有，得，令，，令，則，故，故，從而．故選：．【變式8-2】已知實數(shù)，滿足，，則下列判斷正確的是A． B． C． D．【答案】【解析】，故，，，故，即，，且，，，令，則，故，即，故，故選：．【變式8-3】若且，且，且，則A． B． C． D．【答案】【解析】令，則．由得：．函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．，，，，，，（4）（a），（5）（b），（6）（c）．，（6）（5）（4），（c）（b）（a），又，，，，，都小于，．故選：．題型九：泰勒展開【典例9-1】已知，則（

）【答案】A【解析】設(shè)，則，，，計算得，故選A．【典例9-2】設(shè)，則的大小關(guān)系為___________．（從小到大順序排）【答案】【解析】，由函數(shù)切線放縮得，因此．故答案為：【變式9-1】設(shè)，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，故選【變式9-2】，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，，故選B【變式9-3】（2024·全國·模擬預測）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知，，，設(shè)，，則，其中，令，則，當時，，∴在上單調(diào)遞減，，∴當時，，，在上單調(diào)遞增，∴，即，∴有.對于與，，將泰勒展開，得，，∴.綜上所述，，，的大小關(guān)系為.故選：C.題型十：同構(gòu)法【典例10-1】（多選題）（2024·全國·模擬預測）已知實數(shù)a，b滿足，則下列關(guān)系式中可能正確的是（

）A．，使 B．，使C．，有 D．，有【答案】ABC【解析】由得，令，則分別在和上單調(diào)遞增，令，則分別在和上單調(diào)遞增，當時，的值域為，當時，的值域為，所以存在，使得；同理可得，存在，使得，因此，使，故選項A正確．令，則方程可化為，由換底公式可得，顯然關(guān)于b的方程在上有解，所以，使，故選項B正確．當時，因為，所以．又在上單調(diào)遞增，所以．因為，令，則在上單調(diào)遞增．因為，所以，從而，所以．綜上所述，，故選項C正確．當時，因為，所以．又在上單調(diào)遞增，所以．因為．令，則在上單調(diào)遞增，因為，所以，從而，所以．綜上所述，，故選項D錯誤．故選：ABC．【典例10-2】（多選題）已知，且滿足，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】等式，等號兩邊同除以，可得，所以，所以，所以，構(gòu)造函數(shù)，則，顯然，函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，所以，即．而，而，故，故，故D正確.故選：AD．【變式10-1】（2024·高三·浙江·開學考試）已知，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】當時，，函數(shù)是正實數(shù)集的上的增函數(shù)，因為，因此，顯然，因此選項A不正確；當時，，函數(shù)是正實數(shù)集的上的增函數(shù)，因為，因此，顯然，因此選項B不正確；因為，所以由，構(gòu)造函數(shù)，顯然該函數(shù)單調(diào)遞增，由，因此選項C不正確，選項D正確，故選：D【變式10-2】（2024·重慶·模擬預測）已知正實數(shù)滿足則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得因，則有即（*）設(shè)，則（*）即，因在上為增函數(shù)，故可得：.故選：B.【變式10-3】（多選題）（2024·遼寧撫順·模擬預測）已知實數(shù)a，b滿足，，，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當時， B．當時，C． D．【答案】ABC【解析】因為，令函數(shù)，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，可知當時，；當時，；且，則有：當時，，即，可得，故A正確；當時，，即，可得，故B正確；又因為當時，在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，可得；當時，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，可得，所以C正確，D錯誤．故選：ABC.【變式10-4】（2024·陜西西安·模擬預測）若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】不等式，令函數(shù)，求導得，令，求導得，當時，，當時，，函數(shù)在上遞減，在上遞增，，即，因此函數(shù)在R上遞增，原不等式等價于，于是，對于AB，取，有，AB錯誤；對于CD，，即，C錯誤，D正確.故選：D題型十一：帕德逼近估算法【典例11-1】已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用帕德逼近，得，，，綜上，.故選：B【典例11-2】已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用帕德逼近可得，綜上，．故選：B.【變式11-1】已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，綜上，．故選：B【變式11-2】已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，.綜上，．故選：A1．（2024·江西萍鄉(xiāng)·二模）已知，則這三個數(shù)的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令，令得，令得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為，且，則，即.故選：C.2．（2024·寧夏銀川·三模）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，則，當時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，因此可得，即，所以，又指數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞增，可得，即，因為，所以.故選：A.3．（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）設(shè)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令函數(shù)，求導得，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，而，又，因此，所以.故選：B4．（2024·天津紅橋·二模）若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，而，所以a，b，c的大小關(guān)系為.故選：C5．已知，，，，則在，，，，，這6個數(shù)中最小的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，，，，則，故，又，，，，，故最小值是，故選：C．6．（2024·全國·模擬預測）已知，，，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，又，，即；，，即，；，可令，，在上單調(diào)遞增，，即，；綜上所述：.故選：A.7．（2024·山西·模擬預測）已知實數(shù)滿足，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，可得，且，，令，則，設(shè)，可得，所以為R上單調(diào)遞增函數(shù)，因為，可得，即，所以，即單調(diào)遞減，所以，即，即，所以，再設(shè)，可得，所以在上在單調(diào)遞增，所以，即，又因為，所以，所以，綜上可得：.故選：C.8．（2024·湖北黃岡·二模）已知分別滿足下列關(guān)系：，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由可得因，又，故,即；因，則由，由函數(shù)，，因時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，則有，故得；由，而，即，綜上，則有.故選：B.9．（2024·青海西寧·模擬預測）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，則.當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，則，故.令，則.當時，，單調(diào)遞減，則，即.故.故選：A.10．（2024·安徽·三模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，即，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，則有，即，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，則有，即，故.故選：A.11．（2024·河南南陽·模擬預測）設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】得.由得，又.取，則.設(shè)，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，又，則，即，所以.令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則，故，則，即，所以.故選：A.12．（多選題）已知，，則下列說法正確的有（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】A選項，因為，所以，令，，則，因為，所以恒成立，故在上單調(diào)遞減，故，則，故A錯誤；B選項，由A選項可知，，故B正確；CD選項，由AB選項可知，，C正確，D錯誤.故選：BC13．（多選題）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】已知，則，有，由，得，則，即，所以，A選項正確；函數(shù)，有，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，，，即，時等號成立，已知，由，所以，B選項正確；已知，則，，當且僅當，即等號成立，所以，有，得，C選項錯誤；設(shè)，有，則，，有，設(shè)，有，設(shè)，則，所以，即，，所以，在上恒成立，得在上單調(diào)遞增，，即，D選項正確.故選：ABD.14．（多選題）已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)），，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】由題意，即，而在定義域上遞增，故，所以，即，A對，C錯；由，，故零點，所以，B對；由，則，而，顯然，則，故，綜上，，D對.故選：ABD15．（多選題）（2024·吉林長春·模擬預測）若正實數(shù)滿足，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】因為，為單調(diào)遞增函數(shù)，故，由于，故，或，當時，，此時；，故；，；當時，，此時，，故；，；對于ABC，A正確，BC均錯誤；對于D，，兩邊取自然對數(shù)，，因為不管，還是，均有，所以，故只需證即可，設(shè)（且），則，令（且），則，當時，，當時，，所以，所以在且上恒成立，故（且）單調(diào)遞減，因為，所以，結(jié)論得證，D正確．故選：AD．16．（多選題）（2024·海南?？凇つM預測）已知，，，下面結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】A選項，變形得到，因為，所以，故，解得，當且僅當時，等號成立，A錯誤；B選項，因為，所以，即，又，所以，即，因為，所以，同理可得，由可得，故，，所以，故，解得，又，即，所以，即，解得，解得，綜上，，同理可得，所以，故B正確；C選項，因為，所以，解得，當且僅當時，等號成立，，C正確；D選項，由B可知，，設(shè)，，則，故當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，又，所以，所以，即，解得，，故選：BCD17．若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，所以，令，所以，則，，所以，即恒為遞增函數(shù)，則，即，所以，綜上：，故選：A.18．（2024·高三·四川成都·期末）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，令，，則，令，，則，令，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，故在上恒成立，將中換為可得，，即，故在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，由復合函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，故，即.故選：D19．（2024·全國·模擬預測）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，．取，則，，．設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，則，即，所以．令，則，所以在上單調(diào)遞增，則，所以，即，所以．故選：A20．已知，，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，，，構(gòu)造函數(shù)，，則