華東師大版八年級下冊數(shù)學(xué)全冊教案（2022年12月修訂）

華師大版八年級下冊數(shù)學(xué)

全冊教案設(shè)計(jì)

第16章分式

16.1分式及其基本性質(zhì)

1.分式

二-J敦與目標(biāo)

【知識與技能】

1.了解分式的概念，明確分式和整式的區(qū)別

2.使學(xué)生能夠求出分式有意義的條件

【過程與方法】

讓學(xué)生經(jīng)歷用字母表示實(shí)際問題中數(shù)量關(guān)系的過程，體會分式是表示現(xiàn)實(shí)世

界中的一類量的數(shù)學(xué)模型

【情感態(tài)度】

培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、類比的思維，讓學(xué)生學(xué)會自主探索，合作交流

【教學(xué)重點(diǎn)】

理解分式有意義的條件，分式的值為零的條件

【教學(xué)難點(diǎn)】

能熟練地求出分式有意義的條件，分式的值為零的條件

，-'敦與過睚

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識

下列有理式中哪些是整式？

a,-3x2y3,5x-1,x2+xy+y2,一-一,—,

m-ny

amc

9a-l于％

【教學(xué)說明】因?yàn)榉质礁拍畹膶W(xué)習(xí)是學(xué)生通過觀察，比較分式與整式的區(qū)別

從而獲得分式的概念，所以必須熟練掌握整式的概念.

二、思考探究，獲取新知

探究：分式的概念

做一做

（1）面積為2平方米的長方形一邊長3米，則它的另一邊長為一米；

（2）面積為S平方米的長方形一邊長a米，則它的另一邊長為一米；

（3）一箱蘋果售價(jià)p元，總重m千克，箱重n千克，則每千克蘋果的售價(jià)

是一元；

問題：觀察你所列的3個式子，它們有什么共同點(diǎn)？你能歸納嗎？

【歸納結(jié)論】形如A/B（A、B是整式，且B中含有字母，BWO）的式子，叫做

分式.其中A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.整式和分式統(tǒng)稱有理式，即有

整式

有理式

分式.

【教學(xué)說明】讓學(xué)生通過觀察、歸納、總結(jié)出整式與分式的異同，從而得出

分式的概念.

三、運(yùn)用新知，深化理解

1.見教材P2例1、P3例2.

2.下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？

（l）g,（2）2a+6,（3）-汜,（4）；0+/

2a4-X2

解：（2）、（4）是整式，（1）>（3）是分式.

3.x取什么值時(shí)，下列分式無意義？

（1）——（2）

{,2x-3',5%+10

解：（1）因?yàn)楫?dāng)分母的值為零時(shí)，分式?jīng)]有意義.

由2x-3=0,得x=3/2

所以當(dāng)x=3/2時(shí)，分式無意義.

（2）因?yàn)楫?dāng)分母的值為零時(shí)，分式?jīng)]有意義.

由5x+10=0,得x=-2

所以當(dāng)x=-2時(shí)，分式無意義.

4.若分式烏有意義，則x的取值范圍是（）

x-3

A.xw3B.xw?3

C.x>3D.x>-3

解：當(dāng)分母X-3H0,即XH3時(shí)，分式上有意義.故選A

x-3

5.若分式目二的值為零，則x的值為—

x+1

分析：分式的值為。的條件是：(1)分子=0;(2)分母工0.兩個條件需同時(shí)

具備，缺一不可.據(jù)此可以解答本題

解：—―-=0,則|x|-l=0,即x=±l,且x+1工0,即XA1.故x=L故若分式

X+1

組的值為零，則X的值為1.

【教學(xué)說明】讓學(xué)生體會分式的意義，理解如果a的取值使得分母的值為零,

則分式?jīng)]有意義，反之有意義.

四、師生互動，課堂小結(jié)

這節(jié)課你有哪些收獲？

1.學(xué)習(xí)了分式的概念，理解了整式與分式的異同.

2.知道當(dāng)分式的分母不等于零時(shí)分式才有意義.

3.在學(xué)習(xí)新知識時(shí)，可把它與所學(xué)的舊知識比較，通過觀察、類比、歸納它

們異同的方法來學(xué)習(xí)新知識.

4.若使分式的值為零，需滿足兩個條件：①分子等于零；②分母不等于零

產(chǎn)課后作業(yè)

1.布置作業(yè):教材〃習(xí)題16.1〃中第1、2、3題.

2.完成本課時(shí)對應(yīng)練習(xí).

更敦與反思

在學(xué)習(xí)分式的概念時(shí)，借助整式的概念，用類比的思想進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生掌握

的較好，能夠緊抓概念，很容易的區(qū)分整式與分式.而在分式的值等于0的教學(xué)

中，一部分學(xué)生都只考慮分式的分子等于0,而沒有考慮分式的分母.因此，在后

面的教學(xué)中對這方面的教學(xué)有待加強(qiáng).

2,分式的基本性質(zhì)

“宣教學(xué)目標(biāo)

【知識與技能】

使學(xué)生理解并掌握分式的基本性質(zhì)，并能運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行分式約分、通分

【過程與方法】

通過對分式的基本性質(zhì)的歸納，培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比、推理的能力

【情感態(tài)度】

讓學(xué)生在討論活動中通過相互間的合作與交流，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生合作交流的

能力和數(shù)學(xué)表達(dá)能力

【教學(xué)重點(diǎn)】

掌握分式的基本性質(zhì)

【教學(xué)難點(diǎn)】

運(yùn)用分式的基本性質(zhì)來化簡分式

,-'敦與過睚

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識

1.分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)是什么？

2.3=」的依據(jù)是什么？

62

3.2與土相等嗎？

35

【教學(xué)說明】通過分?jǐn)?shù)的約分、通分，復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，通過類比來學(xué)

習(xí)分式的基本性質(zhì).

二、思考探究，獲取新知

探究1：分式的基本性質(zhì)

你認(rèn)為分式網(wǎng)與,相等嗎？史與己呢？

6。2mntn

【教學(xué)說明】通過對分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)的理解，可類比得出分式的基本性質(zhì)，

但學(xué)生只想到分式的分子分母同時(shí)乘以或除以一個數(shù)，不容易想到整式，另外這

個整式不能為零，老師要引導(dǎo)學(xué)生想到這一點(diǎn).

【歸納結(jié)論】分式的分子和分母都同時(shí)乘以（或除以）同一個不等于零的整

式，分式的值不變.

探究2：約分化簡下列分式:

⑴嚕

【教學(xué)說明】有的學(xué)生在應(yīng)用分式的基本性質(zhì)時(shí)往往分式的分子與分母沒有

同時(shí)乘以或除以同一個公因式.有些學(xué)生不能正確找到分子、分母的公因式，導(dǎo)

致約分的錯誤和不徹底.所以教師應(yīng)適當(dāng)引導(dǎo).

[歸納結(jié)論】把一個分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的

約分，分子和分母已沒有公因式，這樣的分式稱為最簡分式.

探究3：通分把下列各小題中的兩個分式化成同分母的兩個分式.

（）

k1a—2——bfab29

⑵于

X-yx+xy

【歸納結(jié)論】分式的通分，即要求把幾個異分母的分式分別化為與原來分式

相等的同分母分式.通分的關(guān)鍵是確定幾個分式的公分母，通常取各分母所有因

式的最高次幕的積作為公分母（即最簡公分母）.

三、運(yùn)用新知，深化理解

1.填空

①聯(lián)=，）,（a。。）

5個lOar）7

②署1

解：6a2a-2

2.分式:①—，②等芻,③尸④一二中，最簡分式有（B）

a~+3a-b'\2[a-b）x-2

A.l個B.2個

C.3個D.4個

3.若把分式蟲中的x和y都擴(kuò)大3倍，那么分式的值（C）

2xy

A.擴(kuò)大3倍B.不變

C.縮小3倍D.縮小6倍

4.約分：(1)坐(2)吟(3)土耳(4)

6ab~c2mn\6xyz~y-x

解：(1)，-(2)—(3)(4)-2(x-y)2

2bcn4

5.不改變分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“?〃號?

-66-X-7"?-3x

-5a'3y'6n4y

分析：每個分式的分子、分母和分式本身都有自己的符號，其中兩個符號同

時(shí)改變，分式的值不變.

6b6bxx1tnItn3x3x

解:---=—，—=----，-----=—,----=—.

-5a5a3y3y6〃6n4y4y

6.通分:

I2

2ab35a2b2c

/c、adb

(2)——和一r

2xy3x2

⑶券和-券

(4)」-和一!-

y-\y+1

解.⑴-J—=5ac

*<‘2/ioa*c'

246

5a2b2c10a2b3c

3c12c3

(J)~-o_~，

2ab~Sab~c"

_a__a?b

86c2-Sab2c2

(4)-J-=---21±1-----

'S-l(y-l)(y+ir

1二)T

y+1-(7-1)()+1)

【教學(xué)說明】在教學(xué)中讓學(xué)生將約分的步驟分為這樣幾步，首先將找出分子

和分母公因式并提取，再將分式的分子和分母同時(shí)除以公因式.最后看看結(jié)果是

否為最簡分式或整式.

四、師生互動，課堂小結(jié)

這節(jié)課你有哪些收獲？

課后作業(yè)

1.布置作業(yè):教材"習(xí)題16.1〃中第4、5題.

2.完成本課時(shí)對應(yīng)練習(xí).

/教與反思

學(xué)生對分式的基本性質(zhì)，能說能背.從表面上來看，掌握的比較好.但從練習(xí)

中可以發(fā)現(xiàn)很多問題.如：不會找分式的分子、分母的公因式；分子、分母不同時(shí)

乘或除；約分不徹底等.所以在這些方面要多練習(xí).

16.2分式的運(yùn)算

1.分式的乘除

丁敦與目標(biāo)

【知識與技能】

1.理解分式的乘除運(yùn)算法則，會進(jìn)行簡單的分式的乘除法運(yùn)算

2.掌握分式乘方的有關(guān)運(yùn)算

【過程與方法】

經(jīng)歷探索分式的乘除法法則的過程，并結(jié)合具體情境說明其合理性

【情感態(tài)度】

通過師生討論、交流，培養(yǎng)學(xué)生合作探究的意識和能力

【教學(xué)重點(diǎn)】

掌握分式的乘除法法則

【教學(xué)難點(diǎn)】

熟練地運(yùn)用法則進(jìn)行計(jì)算，提高運(yùn)算能力

,-'敦與過睚

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識

計(jì)算，并說出分?jǐn)?shù)的乘除法的法則：

一、421小24

(1)—x—(2)—子一

7859

【教學(xué)說明】復(fù)習(xí)小學(xué)學(xué)過的分?jǐn)?shù)的乘除法運(yùn)算，為學(xué)習(xí)分式乘除法的法則

做準(zhǔn)備.

二、思考探究，獲取新知

探究1：分式的乘除法法則

242x452V2

353x5797x9

2.4252x55.259

3.5-34-3x4'97'9-72-

5x9

772

你能總結(jié)分式乘除法的法則嗎？與同伴交流.

【歸納結(jié)論】分式的乘除法的法則：

兩個分式相乘，把分子相莢的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母;

如果得到的不是最簡分式，應(yīng)通過約分進(jìn)行化簡.

兩個分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘.

【教學(xué)說明】讓學(xué)生觀察運(yùn)算，通過小組討論交流，并與分?jǐn)?shù)的乘除法的法

則類比，讓學(xué)生自己總結(jié)出分式的乘除法的法則.

探究2：分式的乘方

怎樣進(jìn)行分式的乘方呢？試計(jì)算：

(1)(-)3(2)(k是正整數(shù))

min

解：(1)(2L)3=ZL2L2L=_(^L=______；

mmmmym-mtn)

<?_個人_s

(2)(ay=a.

ZL...JL=

mmmm

(〃?〃.........n)

(m,in.........m)

仔細(xì)觀察所得的結(jié)果，試總結(jié)出分式乘方的法則.

【教學(xué)說明】通過類比分?jǐn)?shù)的乘方運(yùn)算方法，總結(jié)出分式的乘方運(yùn)算法則.

【歸納結(jié)論】把分式的分子、分母分別乘方，所得的幕作結(jié)果的分子、分母.

三、運(yùn)用新知，深化理解

1.見教材P7例1、例2.

2.計(jì)算：

(1)(上下；

-2x

(2)(胃)3

2

解：(D原式二E

4婷

(2)原式二

3.計(jì)算：QzQ+(a—b)2

ab

解：原式=

ab（a-b）

4計(jì)算：（生產(chǎn)（起）3.（。）

3y4x4

解：原式=三

4r

5冼化簡,再求值：性［其中ar,bf

16

解:當(dāng)a=-8,b=，時(shí),原式:=——J

249

3X(-8)-1

6.上海到北京的航線全程s千米，飛行時(shí)間需a小時(shí)；鐵路全長為航線長

的m倍，乘車時(shí)間需b小時(shí).飛機(jī)的速度是火車速度的多少倍？（用含a、b、s、

m的分式表示）

皿sms5bb

用羊：-4-——=—X——=——

abamsam

7.甲隊(duì)在n天內(nèi)挖水渠a米，乙隊(duì)在m天內(nèi)挖水渠b米，如果兩隊(duì)同時(shí)挖

水渠，要挖x米，需要多少天才能完成？（用代數(shù)式表示）

解：甲、乙兩隊(duì)每天分別挖巴米，2米，若兩隊(duì)合挖，每天挖（）米，所以

nm

要挖x米，需要—^=上匚天才能完成.

一a+.-bam+bn

nm

【教學(xué)說明】通過例題講解，使學(xué)生會根據(jù)法則，理解每一步的算理，從而

進(jìn)行簡單的分式的乘除法運(yùn)算，并能解決一些與分式有關(guān)的簡單的實(shí)際問題，增

強(qiáng)學(xué)生代數(shù)推理的能力與應(yīng)用意識.需要給學(xué)生強(qiáng)調(diào)的是分式運(yùn)算的結(jié)果通常要

化成最簡分式或整式，對于這一點(diǎn)，很多學(xué)生在開始學(xué)習(xí)分式計(jì)算時(shí)往往沒有注

意到結(jié)果要化簡.

四、師生互動，課堂小結(jié)

分式乘除法的運(yùn)算步驟：

當(dāng)分式的分子與分母都是單項(xiàng)式時(shí):

(1)乘法運(yùn)算步驟是：①年分子的積做積的分子，分母的積做積的分母；②把

分式積中的分子與分母分別寫成分子與分母的分因式與另一個因式的乘積形式，

如果分子(或分母)的符號是負(fù)號，應(yīng)把負(fù)號提到分式的前面；③約分

(2)除法的運(yùn)算步驟是：把除式中的分子與分母顛倒位置后，與被除式相乘，

其它與乘法運(yùn)算步驟相同.當(dāng)分式的分子、分母中有多項(xiàng)式，①先分解因式；②如

果分子與分母有公因式，先約分再計(jì)算；③如果分式的分子(或分母)的符號是負(fù)

號時(shí)，應(yīng)把負(fù)號提到分式的前面.最后的計(jì)算結(jié)果必須是最簡分式.

課后作業(yè)

1.布置作業(yè):教材P8的“練習(xí)〃.

2.完成本課時(shí)對應(yīng)練習(xí).

尸教與反思

在練習(xí)中暴露出一些問題，例如在傳授過程中急于求成，法則的引入沒有給

學(xué)生過多的時(shí)間，如果時(shí)間足夠，學(xué)生自己得出法則并不是一件難事.在解決習(xí)題

時(shí)，對學(xué)生容易出現(xiàn)的錯誤沒有重點(diǎn)強(qiáng)調(diào).所以學(xué)生在后面的練習(xí)中仍然出現(xiàn)這

樣那樣的錯誤.學(xué)生答題的規(guī)范性還差了些，在黑板上的板書不到位，在以后的教

學(xué)中加強(qiáng)學(xué)生的答題規(guī)范性練習(xí).

2.分式的加減

第1課時(shí)分式的加減法

丁敦與目標(biāo)

【知識與技能】

1.理解同分母的分式加減法的運(yùn)算法則，能進(jìn)行同分母的分式加減法運(yùn)算

2.理解并掌握異分母分式加減法的法則

【過程與方法】

類比同分?jǐn)?shù)加減法的法則歸納出同分母分式的加減法法則

【情感態(tài)度】

通過學(xué)習(xí)認(rèn)識到數(shù)與式的聯(lián)系，理解事物拓延的內(nèi)在本質(zhì)，豐富數(shù)學(xué)情感與

思想

【教學(xué)重點(diǎn)】

熟練地進(jìn)行異分母的分式加減法的運(yùn)算

【教學(xué)難點(diǎn)】

熟練地進(jìn)行異分母的分式加減法的運(yùn)算

敦與過睚

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識

做一做：

-1+-2-~12~

3377

-1-+--3-二--7-—.5..二

881212

猜一猜

-1+-2-~-2-.1~

aaxx

3574

2b2b~3y3y-

【教學(xué)說明】通過做一做的幾道同分母分?jǐn)?shù)加減的題，引導(dǎo)學(xué)生用類比的思

想猜一猜同分母分式的加減運(yùn)算，并試圖讓學(xué)生認(rèn)識其合理性.從而拋出同分母

分式加減法的運(yùn)算法則，點(diǎn)明本節(jié)課的主要內(nèi)容.

二、思考探究，獲取新知

探究：分式的加減法

計(jì)算：

,，、b2/_、23

(1)—i—；(2)------

aaaah

小b2b+2

(1)=-+-=----

解：°°°

e232b3a2b-3a

⑵/一茄二百一百=F"

【教學(xué)說明】類比時(shí)注意引導(dǎo)學(xué)生正確猜想，使法則的提出順理成章，也為

后面的學(xué)習(xí)做好鋪墊.

【歸納結(jié)論】同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減;

異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，然后再加減.

三、運(yùn)用新知，深化理解

1.見教材P9例4

2.計(jì)算：

n-m

(1)——+----

x

n-\

解：原式二

X

...a22ab+b2

2+-------

a+ba+b

解：原式二a+b

⑶公一言;

解：原式=3-3），

2x-y

3.計(jì)算：

CT1—2〃

a-\\-a

解：原式二a-1

.tn-5n6nm

4.+------

n-9m9m-n9m-n

解：原式=1-

9m-n

5.計(jì)算：

小122

—+----

機(jī)2_93-m

解：原式=--+/2

m--9-(w-3)

______12________2

(/w+3)(m-3)(m-3)

______12________2("z+3)

(w+3)(/n-3)(/7?4-3)(/n-3)

______12__________2m+6

(m+3)(m-3)(m-3)(m+3)

12-2僧一6

(zw+3)(w—3)

_6-2m

(/H+3)(W-3)

2(3_m)

(m+3)(/n-3)

-2(團(tuán)-3)

(m+3)(m-3)

2

=--------

m+3

4

(2)a+2--------

2-a

解:原式=2+tz-4

2-a

_(2+a)(2-a)4

2-a2-a

4-a*2*4_4

2-a2-a

4-a2-4

2-a

2

-a-

=2^

Q-

=^2

【教學(xué)說明】讓學(xué)生體會法則的運(yùn)用要因題而變，而萬變不離其宗一一異分

母分式加減法法則.

四、師生互動，課堂小結(jié)

通過木節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？哪些疑惑？

y課后作業(yè)

1.布置作業(yè):教材P9〃練習(xí)”.

2.完成本課時(shí)對應(yīng)練習(xí).

敦與反思

在授課結(jié)束后發(fā)現(xiàn)學(xué)生本于同分母的分式的加減運(yùn)算掌握得比較好，但是對

于異分母的分式加減就掌握得不是很理想，很多學(xué)生對于分式的通分還很不熟練,

也有學(xué)生對于計(jì)算結(jié)果應(yīng)該為最簡分式理解不夠總是無法化到最簡的形式.所以

對異分母的加減法還要加強(qiáng)練習(xí).

第2課時(shí)分式的混合運(yùn)算

“宣教學(xué)目標(biāo)

【知識與技能】

知道分式的加、減、乘、除、乘方的法則是什么；會進(jìn)行分式的混合運(yùn)算

【過程與方法】

經(jīng)歷探索分式的混合運(yùn)算法則的過程,理解分式加減法運(yùn)算的原理

【情感態(tài)度】

培養(yǎng)大膽猜想、積極探究的學(xué)習(xí)態(tài)度，發(fā)展觀察、類比、交流的能力

【教學(xué)重點(diǎn)】

能夠進(jìn)行分式的混合運(yùn)算

【教學(xué)難點(diǎn)】

能夠進(jìn)行分式的混合運(yùn)算

敦與過睚

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識

我們在小學(xué)里學(xué)過四則混合運(yùn)算，它的運(yùn)算順序是什么？分式的混合運(yùn)算順

序又是什么樣的呢？

【教學(xué)說明】通過回顧小學(xué)里學(xué)過四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序，從而引出分式

的混合順序.

二、思考探究，獲取新知

計(jì)算.1_%+3J-2%+1

*x+1x2-lx2+4x4-3

x+3

解：原式

X+1

(4-1)2

(x+3)(x+1)

1x-1

-7TT-(x+i)*2

X+1x-1

-（、+l）2（x+l）2

X+1-X+1

=（無+1）2

2

=（x+n2

【教學(xué)說明】引導(dǎo)學(xué)生觀察上面的計(jì)算過程，并總結(jié)分式的混合運(yùn)算法則.

【歸納結(jié)論】分式的混合運(yùn)算需要注意運(yùn)算順序，式與數(shù)有相同的混合運(yùn)算

順序：先乘方，再乘除，然后加減，最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意最后的

結(jié)果要是最簡分式或整式.

三、運(yùn)用新知，深化理解

x+2x-\

1.計(jì)算（

x2-2xx2-4x+4

x+2n-1

解:原式二x(x-2)(x-2)2]~

(久+2)(%—2)-.

x(x-2)2

2A2.

x—4—x+xx

x(x-2)2x-4

x-4x1

(4-2)2

Xx+1

2.先化簡，再求值:+1),其中x=、5+l

x2-2x+l*vx2-l

解:原式二1(x+l)(x-l)

（X-71T）x(x+l)

X-1

當(dāng)冤=區(qū)+1時(shí)

原式二」一=考

J2+1-12

3.從三個代數(shù)式：①a2-2ab+b2,②3a-3b,③中任意選兩個代數(shù)式構(gòu)造分

式，然后進(jìn)行化簡，并求出當(dāng)a=6,b=3時(shí)該分式的值.

解：選②與③構(gòu)造出分式，與二名

a+b

當(dāng)a=6,b=3時(shí)

4?先化簡，再求值：（-六廣才其中x是不等式3x+7>l

的負(fù)整數(shù)解.

解:原式=[(x-h2)(x-2)x(x-l)

x(%-2)x(x-2)

x-4

x2-4-x2+x(—2)2

x(x-2)*v-4

2

x-4x(x-2)

x(x-2)x-4

_x-2

x

3x+7>l

3x>-6

x>-2

?.?x是不等式3x+7>l的負(fù)整數(shù)解

，x=-l把x=-l代入曰中

得：原式:土^二3

—1

【教學(xué)說明】注意：1.分式通分時(shí)分母能分解應(yīng)先分解；2.確定最簡公分母;

3.分子、分母同乘以不等于零的整式.

四、師生互動，課堂小結(jié)

本節(jié)課你學(xué)到了什么？同桌兩人相互交流意見.

課后作業(yè)

1.布置作業(yè):教材"習(xí)題16.2〃中第3、4、5題.

2,完成本課時(shí)對應(yīng)練習(xí).

，-'敦與反思

教學(xué)時(shí)，要隨時(shí)注意學(xué)生出現(xiàn)的錯誤，及時(shí)給予糾正.對計(jì)算錯誤的原因,

要仔細(xì)分析.幫助學(xué)生從根本上弄清概念和法則，使學(xué)生明白所犯錯誤的原因,

才能避免再犯同樣的錯誤.

16.3可化為一元一次方程的分式方程

第1課時(shí)分式方程

丁敦與目標(biāo)

【知識與技能】

1.理解分式方程的概念

2.會通過設(shè)適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，根據(jù)等量關(guān)系列出分式方程

3.使學(xué)生理解增根的概念，了解增根產(chǎn)生的原因，知道解分式方程須驗(yàn)根并

掌握驗(yàn)根的方法

【過程與方法】

通過列出的方程歸納出它們的共同特點(diǎn)，得出分式方程的概念.了解分式的

概念，明確分式和整式的區(qū)別

【情感態(tài)度】

在建立分式方程的數(shù)學(xué)模型的過程中培養(yǎng)能力和克服困難的勇氣，并從中獲

得成就感，提高解決問題的能力

【教學(xué)重點(diǎn)】

使學(xué)生理解分式方程的意義，會按一般步驟解可化為一元一次方程的分式方

程

【教學(xué)難點(diǎn)】

使學(xué)生理解增根的概念，了解增根產(chǎn)生的原因，知道解分式方程須驗(yàn)根并掌

握驗(yàn)根的方法

,-'敦與過睚

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識

1.什么是方程？

2.什么是一元一次方程？它的解怎樣檢驗(yàn)？

【教學(xué)說明】回顧方程的相關(guān)知識，為本節(jié)課的教學(xué)做準(zhǔn)備.

二、思考探究，獲取新知

探究L分式方程的概念

輪船在順?biāo)泻叫?0千米所需的時(shí)間和逆水航行60千米所需的時(shí)間相同.

已知水流的速度是3千米/時(shí)，求輪船在靜水中的速度.

分析：設(shè)輪船在靜水中的速度為x千米/時(shí)，根據(jù)題意，得

8060

------=-------（1）

x+3x-3

觀察這個方程與我們學(xué)過的一元一次方程有什么不同？

【教學(xué)說明】通過讓學(xué)生通過觀察、歸納、總結(jié)出整式方程與分式方程的異

同，從而得出分式方程的概念

【歸納結(jié)論】方程（1）中含有分式，并且分母中含有未知數(shù)，像這樣的方

程叫做分式方程.

思考：怎樣解分式方程呢？有沒有辦法可以去掉分式方程中的分母把它轉(zhuǎn)化

為整式方程呢？試動手解一解方程（1）.

方程（1）可以解答如下：方程兩邊同乘以（x+3）（x-3）,約去分母，得80（x-

3）=60（x+3）.解這個整式方程，得x=21.

所以輪船在靜水中的速度為21千米/時(shí).

【歸納結(jié)論】上述解分式方程的過程，實(shí)質(zhì)上是將方程的兩邊乘以同一個整

式，約去分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程來解.所乘的整式通常取方程中出現(xiàn)的

各分式的最簡公分母.

探究2：分式方程的增根

解方程兩邊同乘以42-1），約去分母，得x+l=2.

解這個整式方程，得x=l.

思考：x=l是不是原分式方程的解（或根）呢？

當(dāng)x=l時(shí)，原分式方程左邊和右邊的分母（x-1）與（N—1）都是0,方程

中出現(xiàn)的兩個分式都沒有意義，因此，x=l不是原分式方程的解，應(yīng)當(dāng)舍去.所以

原分式方程無解.

【歸納結(jié)論】在解分式方程時(shí)，產(chǎn)生不適合原分式方程的解（或根），這種

根通常稱為增根.因此，在解分式方程時(shí)必須進(jìn)行檢驗(yàn).

如何判定一個值是否為這個分式方程的根呢？分式方程如何檢驗(yàn)?zāi)兀?/p>

【歸納結(jié)論】解分式方程進(jìn)行檢驗(yàn)的關(guān)鍵是看所求得的整式方程的根是否使

原分式方程中的分式的分母為零.有時(shí)為了簡便起見，也可將它代入所乘的整式

(即最簡公分母)，看它的值是否為零?如果為零，即為增根.

三，運(yùn)用新知，深化理解

L見教材P15例2.

2.在方程X+3_5=0,3=6,----3=0,———=1,—=2中分式方程有(B)

2x2+x3x死

A.2個B.3個

C.4個D.5個

3.A、主!3=5；B、——-3=0；C、土=21中，B是分式方程,A、C是整式

22x4-17t

方程.

4.解下列方程：

(1)2+

y一1y

解：方程兩邊都乘以y(y-1),得

2y2+y(y-1)=(y-1)(3y-l)?

2y2+y2-y=3y2-4y+l,

3y=l,

解得y=；,

1117

檢驗(yàn)：當(dāng)y:一時(shí)，y(y-1)=—x(--1)=--*0,

3339

???.1是原方程的解，

?,?原方程的解為尸;.

(2)---1=_——r.

x+1(x7+l)(x-2)

解：兩邊同時(shí)乘以(x+1)(x-2),

得x(x-2)-(x+1)(x?2)=3.

解這個方程，得x=-l.(7分)

檢驗(yàn)：x=-l時(shí)(x+1)(x-2)=0,x=-l不是原分式方程的解，

???原分式方程無解.

(3)—--4^=0.

x-\r-1

解：方程的兩邊同乘(x-1)(X+1),得

3x+3-x-3=0,解得x=0.

檢驗(yàn)：把x=0代入(x-1)(x+1)=-1*0.

???原方程的解為：x=0

21

(4)-=0.

x-4x+2

解：方程的兩邊同乘(x+2)(x-2),得2-(x-2)=0,解得x=4.

檢驗(yàn)：把x=4代入(x+2)(x-2)=12*0.

???原方程的解為：x=4

(5)3———=-^—.

3x-l6x-2

解：方程兩邊同乘以2(3x-l),

得3(6x-2)-2=4

18x62=4,

18x=12,

2

x=—.

3

檢驗(yàn)：把x=4代入2(3x-l)中，

3

2(3x-l)*0,

???x=2是原方程的根.

3

???原方程的解為x=2.

3

/「、113

(6)+—=---------.

l-3x26x-2

解:方程兩邊同乘以2(3x-l),

得：-2+3x-l=3,

解得:x=2,

檢驗(yàn)：x=2時(shí)，2(3x-l)M

所以x=2是原方程的解.

【教學(xué)說明】通過學(xué)生的反饋練習(xí)，考察學(xué)生對分式方程的概念、增根的理

解；通過學(xué)生的反饋練習(xí)，使教師能全面了解學(xué)生對解分式方程是否清楚，以便

教師能及時(shí)地進(jìn)行查漏補(bǔ)缺.

四、師生互動，課堂小結(jié)

(1)什么是分式方程？舉例說明；

(2)解分式方程的一般步驟：在方程的兩邊都乘以最簡公分母，約去分母，化

為整式方程.解這個整式方程；驗(yàn)根，即把整式方程的根代入最簡公分母，看結(jié)

果是不是零，若結(jié)果不是0,說明此根是原方程的根；若結(jié)杲是0,說明此根是

原方程的增根，必須舍去.

(3)解分式方程為什么要進(jìn)行驗(yàn)根？怎樣進(jìn)行驗(yàn)根？

課后作業(yè)

1.布置作業(yè):教材"習(xí)題16.3"中第1題.

2.完成本課時(shí)對應(yīng)練習(xí).

尸教與反思

本節(jié)課的關(guān)鍵是如何過渡，究竟是給學(xué)生一個完全自由的空間還是讓學(xué)生在

老師的引導(dǎo)下去完成，“完全開放〃符合設(shè)計(jì)思路，符合課改要求，但是經(jīng)過教學(xué)

發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)難以完成教學(xué)任務(wù)，因此，先講解，做示范，再練習(xí)

更好些.

第2課時(shí)分式方程的應(yīng)用

‘題教學(xué)目標(biāo)

【知識與技能】

1.經(jīng)歷將實(shí)際問題中的等量關(guān)系用分式方程表示的過程；

2.掌握列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟；

3.會列分式方程解決簡單的應(yīng)用題，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力和

應(yīng)用意識.

【過程與方法】

經(jīng)歷〃實(shí)際問題情境一一建立分式方程模型一一求解一一解釋解的合理性〃的

過程，進(jìn)一步提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的

意識.

【情感態(tài)度】

通過創(chuàng)設(shè)貼近學(xué)生生活實(shí)際的現(xiàn)實(shí)情境，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)月意識，加深學(xué)生對

生活的熱愛.

【教學(xué)重點(diǎn)】

列分式方程解應(yīng)用題

【教學(xué)難點(diǎn)】

對所求出的分式方程的根進(jìn)行檢驗(yàn)的思想的重視

酸敦與過睚

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識

1.解分式方程的一般步驟；

2.解方程四-4一=1;

X-1x-1

3.列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟分哪幾步？

【教學(xué)說明】回顧上節(jié)課知識，檢查學(xué)生掌握情況，復(fù)習(xí)列一元一次方程解

應(yīng)用題的一般步驟，引出新問題.

二、思考探究，獲取新知

某校招生錄取時(shí)，為了防止數(shù)據(jù)輸入出錯，2640名學(xué)生的成績數(shù)據(jù)分別由

兩位程序操作員各向計(jì)算機(jī)輸入一遍，然后讓計(jì)算機(jī)比較兩人的輸入是否一致.

已知甲的輸入速度是乙的2倍，結(jié)果甲比乙少用2小時(shí)輸完.問這兩個操作員每

分鐘各能輸入多少名學(xué)生的成績？

解：設(shè)乙每分鐘能輸入x名學(xué)生的成績，則甲每分能輸入2x名學(xué)生的成績，

根據(jù)題意得

26402640?！?/p>

-------=----------2x60.

2xx

解得：x=ll.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=ll是原方程的解.

并且x=ll,2x=2xll=22,符合題意.

答：甲每分鐘能輸入22名學(xué)生的成績，乙每分鐘能輸入11名學(xué)生的成績.

【教學(xué)說明】引導(dǎo)學(xué)生通過獨(dú)立思考和小組討論的形式，用所學(xué)過的列方程

解應(yīng)用題的一般方法去解決問題，鼓勵學(xué)生大膽嘗試，形成解決問題的一些基本

策略，體驗(yàn)解決問題策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐能力與創(chuàng)新精神.

【歸納結(jié)論】列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：審一設(shè)一列一解一驗(yàn)一答.

三、運(yùn)用新知，深化理解

L王軍同學(xué)準(zhǔn)備在課外活動時(shí)間組織部分同學(xué)參加電腦網(wǎng)絡(luò)培訓(xùn)，按原定的

人數(shù)估計(jì)共需費(fèi)用300元.后因人數(shù)增加到原定人數(shù)的2倍，費(fèi)用享受了優(yōu)惠，

一共只需要480元，參加活動的每個同學(xué)平均分?jǐn)偟馁M(fèi)用比原計(jì)劃少4元，原定

的人數(shù)是多少？

解：設(shè)原定是x人，由題意可知：

300,480

-------4=------

x2x

解得：x=15

經(jīng)檢驗(yàn)：x=15是原分式方程的根.

答：原定的人數(shù)是15人.

2.在達(dá)成鐵路復(fù)線工程中，某路段需要鋪軌.先由甲工程隊(duì)單獨(dú)做2天后,

再由乙工程隊(duì)單獨(dú)做3天剛好完成這項(xiàng)任務(wù).已知乙工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)任務(wù)比

甲工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)任務(wù)多用2天，求甲、乙工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)任務(wù)各需要

多少天？

解：設(shè)甲工程隊(duì)單獨(dú)完成任務(wù)需x天，則乙工程隊(duì)單獨(dú)完成任務(wù)需(x+2)天,

?3

依題意得上+=一二1.

xx+2

化為整式方程得x2-3x-4=0

解得x=-l或x=4.

檢驗(yàn)：當(dāng)x=4和x=-l時(shí)，x（x+2）#0,x=4和x=-l都是原分式方程的解.

但x=-l不符合實(shí)際意義，故x=-l舍去；

，乙單獨(dú)完成任務(wù)需要x+2=6（天）.

答：甲、乙工程隊(duì)單獨(dú)完成任務(wù)分別需要4天、6天.

3.去年5月12日，四川省汶川縣發(fā)生了里氏8.0級大地震，蘭州某中學(xué)師生

自愿捐款，己知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人數(shù)比第

一天捐款人數(shù)多50人，且兩天人均捐款數(shù)相等，那么兩天共參加捐款的人數(shù)是

多少？人均捐款多少元？

解法1：設(shè)第一天捐款x人，則第二天捐款（x+50）人,

由題意列方程理=3.

xx+50

解得x=200.

檢驗(yàn)：當(dāng)x=200時(shí)，x（x+50）*0,

Ax=200是原方程的解.

兩天捐款人數(shù)x+（x+50）=450,人均捐款幽=24（元）.

x

解法2：設(shè)人均捐款x元，

由題意列方程幽-幽=50.

XX

答：兩天共參加捐款的有450人，人均捐款24元.

4.在我市某一城市美化工程招標(biāo)時(shí)，有甲、乙兩個工程隊(duì)投標(biāo).經(jīng)測算：甲

隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要60天；若由甲隊(duì)先做20天，剩下的工程由甲、乙合做

24天可完成.

（1）乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要多少天？

（2）甲隊(duì)施工一天，需討工程款3.5萬元，乙隊(duì)施工一天需付工程款2萬

元.若該工程計(jì)劃在70天內(nèi)完成，在不超過計(jì)劃天數(shù)的前提下，是由甲隊(duì)或乙

隊(duì)單獨(dú)完成該工程省錢？還是由甲乙兩隊(duì)全程合作完成該工程省錢？

解：（1）設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)完成需x天

根據(jù)題意，得

11

—x20十(一十一)x24=l

601x60

解這個方程，得x=90

經(jīng)檢驗(yàn)，x=90是原方程的解.

，乙隊(duì)單獨(dú)完成需90天.

（2）設(shè)甲、乙合作完成需y天，則有

（—+—）＞?=1

160907

解得y=36（天）

甲單獨(dú)完成需付工程款為60x3.5=210（萬元）.

乙單獨(dú)完成超過計(jì)劃天數(shù)不符題意（若不寫此行不扣分）.

甲、乙合作完成需付工程款為

36x(3.5+2)=198(萬元)

答：在不超過計(jì)劃天數(shù)的前提下，由甲、乙合作完成最省錢.

5.一輛汽車開往距離出發(fā)地180千米的目的地，出發(fā)后第一小時(shí)內(nèi)按原計(jì)劃

的速度勻速行駛，一小時(shí)后以原來的1.5倍勻速行駛，并比原計(jì)劃提前40分鐘

到達(dá)目的地.求前一小時(shí)的行駛速度.

解：設(shè)前一小時(shí)的速度為xkm/小時(shí)，則一小時(shí)后的速度為1.5xkm/小時(shí)，由

題意得：

解這個方程為x=60,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=60是所列方程的根，

答：前一小時(shí)的速度為60km/小時(shí).

【教學(xué)說明】使學(xué)生體會豐富的實(shí)例，鞏固用分式方程解決實(shí)際問題的技巧.

四、師生互動，課堂小結(jié)

列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：

（1）審清題意；

（2）設(shè)未知數(shù)（要有單位）；

（3）根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系列出式子，找出相等關(guān)系，列出方程；

（4）解方程，并驗(yàn)根，還要看方程的解是否符合題意；

（5）寫出答案（要有單位）.

;課后作業(yè)

1.布置作業(yè):教材"習(xí)題16.3〃中第2、3題.

2.完成本課時(shí)對應(yīng)練習(xí).

二敦與反思

應(yīng)用題歷來是個"老大難"，學(xué)生痛苦，老師無奈，怎么辦？降低門檻，找準(zhǔn)

認(rèn)識的生長點(diǎn)是關(guān)鍵，引導(dǎo)學(xué)生喜歡應(yīng)用題是關(guān)鍵.

16.4零指數(shù)幕與負(fù)整數(shù)指數(shù)累

“宣教學(xué)目標(biāo)

【知識與技能】

1.使學(xué)生掌握不等于零的零次幕的意義.

2.使學(xué)生掌握(axO,n是正整數(shù))并會運(yùn)用它進(jìn)行計(jì)算.

3.會用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù).

【過程與方法】

通過探索，讓學(xué)生體會到從特殊到一般的方法是研究數(shù)學(xué)的一個重要方法

【情感態(tài)度】

簡潔的內(nèi)容，在形式上盡可能做到活潑，從而培養(yǎng)學(xué)生之間的感情，有利于

形成和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)觀念和思維方式.

【教學(xué)重點(diǎn)】

不等于零的數(shù)的零次幕的意義以及理解和應(yīng)用負(fù)整數(shù)指數(shù)基的性質(zhì)

【教學(xué)難點(diǎn)】

不等于零的數(shù)的零次暴的意義以及理解和應(yīng)用負(fù)整數(shù)指數(shù)塞的性質(zhì)

,-'敦與過睚

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識

在前面，我們學(xué)習(xí)過同底數(shù)基的除法公式am.an二am』時(shí)，有一個附加條件:

m>n,即被除數(shù)的指數(shù)大于除數(shù)的指數(shù).當(dāng)被除數(shù)的指數(shù)不大于除數(shù)的指數(shù)，即

m=n或m<n時(shí)，情況怎樣呢？

【教學(xué)說明】回顧相關(guān)知識，為本節(jié)課的教學(xué)做準(zhǔn)備.

二、思考探究，獲取新知

探究1：零次幕

計(jì)算：

5*24-52,103.103,a54-a5(a*0)

仿照同底數(shù)累的除法公式來計(jì)算，得

52.52=52-2=50,

1034*-103=103-3=10°,

a5-j-a5=a5-5=a°(a#0).

另一方面，由于這幾個式子的被除式等于除式，由除法的意義可知，所得的

商都等于1.

【歸納結(jié)論】任何不等于零的數(shù)的零次幕都等于1.即：(a^O)

探究2：負(fù)整數(shù)指數(shù)基

計(jì)算：524-55,1034-107,

一方面，如果仿照同底數(shù)累的除法公式來計(jì)算，得

52?55=52-5=5-3,103-rl07=103-7=10-4.

另一方面，我們可利用約分，直接算出這兩個式子的結(jié)果為

-Y52式!

「5-尹一-尹’

io：。二直二.

107103X104104

【歸納結(jié)論】5-3q,107=+.一般地，我們規(guī)定：。-(axo,n是正

整數(shù))

這就是說，任何不等于零的數(shù)的一n(n為正整數(shù))次累，等于這個數(shù)的n次

累的倒數(shù).

【教學(xué)說明】引導(dǎo)學(xué)生觀察、對比兩種計(jì)算方法，總結(jié)出相關(guān)結(jié)論.

探究3：科學(xué)記數(shù)法

我們曾用科學(xué)記數(shù)法表示一些絕對值較大的數(shù)，即利用10的正整數(shù)次幕，

把一個絕對值大于10的數(shù)表示成axion的形式，其中n是正整數(shù)，k|a|V10.例

如，864000可以寫成8.64x105.

類似地，我們可以利用10的負(fù)整數(shù)次基，用科學(xué)記數(shù)法表示一些絕對值較

小的數(shù)，即將它們表示成axl(r的形式，其中n是正整數(shù)，14a|V10.

三、運(yùn)用新知，深化理解

L若式子(2x-l)。有意義，求x的取值范圍.解：由2X—1H0,得X。,即，當(dāng)XH

2

1時(shí)，(2x-l)。有意義

2

2.計(jì)算:

(l)103X(TT-5)C-(-3)3X0.3-1

+1-121；

(2)(-a)4,(-a2)3-ra10(a#0).

解:⑴I小闔’X(?5)°-(-3)3

x0.3-1+I-121

=1000+302xl+27x局1+12

=1000+900+27Xy+12

=2002

(2)(-a)4?(-a2)3-a10

=a4?(/-a6\)-.n10=-a-10-.a10=一i］

3.用科學(xué)記數(shù)法表不卜列各數(shù).

(1)30920000(2)0.00003092

(3)-309200(4)-0.000003092

解：(1)30920000=3.092xl07

(2)0.00003092=3.092xl0-5

(3)-309200=-3.092xl05

(4)-0.000003092=-3.092xl06.

4.用小數(shù)表示下列各數(shù).

(1)-6.23x106(2)(-2)3X10-8

解：(1)-6.23x10-5=-0.0000623：

(2)(-2)3xl08=-8x10-8=-0.00000008.

5.己知x+x4=a,求x2+x'2的值.

分析：本例考查的是負(fù)整數(shù)指數(shù)累及完全平方公式的靈活運(yùn)用，顯然，由x+x-

1我們很難求出X,但可根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)基的意義，把X+X-1及X2+X-2化為分?jǐn)?shù)形

式，觀察、比較兩式的特點(diǎn)，運(yùn)用完全平方公式即可求解.

解：二?%+嵬t=a,

1

/.x+—=a,

x

14+=a2EPx2+-y+2=a2

/.x2+占=a?-2即x2+x"2=a2-2

x"

【教學(xué)說明】鞏固提高通過觀察、靈活運(yùn)用.

四、師生互動，課堂小結(jié)

1.公式am+an=amn（aHO,m>n）當(dāng)m=n時(shí)，am-ran=當(dāng)m<n時(shí)，am-ran=

2.任何數(shù)的零次事都等于1嗎？規(guī)定。十其中a、n有沒有限制？如何限

制？

,‘課后作業(yè)

1布置作業(yè):教材"習(xí)題16.4〃中第1、2、3題.

2.完成本課時(shí)對應(yīng)練習(xí).

?敦與反思

教學(xué)中，復(fù)習(xí)事的有關(guān)運(yùn)算性質(zhì)后提出問題"事的這些運(yùn)算性質(zhì)中指數(shù)都要

求是正整數(shù)，如果是負(fù)數(shù)又表示什么意義呢？〃通過提問讓學(xué)生尋找規(guī)律，猜想出

零指數(shù)累和負(fù)整數(shù)累的意義，不但調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，而且使其印象更深,

當(dāng)然也達(dá)到了課堂的