自動(dòng)控制原理 課件 7.2 信號(hào)的采樣與保持

7.2信號(hào)的采樣與保持

采樣器與保持器是離散系統(tǒng)的兩個(gè)基本環(huán)節(jié)，為了定量研究離散系統(tǒng)，需要對(duì)信號(hào)的采樣和保持過(guò)程用數(shù)學(xué)的方法加以描述。7.2.1信號(hào)的采樣1.采樣過(guò)程

將連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)換成脈沖序列的過(guò)程，稱(chēng)為采樣過(guò)程，完成采樣操作的裝置稱(chēng)為采樣器或稱(chēng)采樣開(kāi)關(guān)。

采樣過(guò)程如圖7-2-

1所示，采樣開(kāi)關(guān)S每隔一個(gè)周期T

閉合一次，閉合持續(xù)時(shí)間為τ,

之后每隔一個(gè)周期重復(fù)一次。采樣開(kāi)關(guān)的輸入信號(hào)

f(t)

為連續(xù)信號(hào)，輸出信號(hào)

fτ*(t)為寬度為τ的脈沖序列，如圖7-2-

1(c)所示。在實(shí)際應(yīng)用中，采樣開(kāi)關(guān)多為電子開(kāi)關(guān)，閉合時(shí)間τ極短，通常為毫秒到微秒級(jí)，一般遠(yuǎn)小于采樣周期T和系統(tǒng)連續(xù)部分的最大時(shí)間常數(shù)，為了簡(jiǎn)化系統(tǒng)的分析，可以認(rèn)為τ=0。這樣，采樣開(kāi)關(guān)的輸出近似看成一串理想脈沖，脈沖強(qiáng)度等于相應(yīng)采樣時(shí)刻

f(t)的值，如圖7-2-

1(d)所示。實(shí)際上，理想采樣過(guò)程可以看成是一個(gè)幅值調(diào)制過(guò)程，如圖7-2-2所示。理想單位脈沖序列為采樣信號(hào)為由于在實(shí)際系統(tǒng)中，時(shí)間函數(shù)

f(t)

在

t<0時(shí)都為零，而且

f(t)

僅在脈沖發(fā)生時(shí)刻在采樣開(kāi)關(guān)輸出端有效，記為

f(kT)，所以采樣信號(hào)f*(t)又可以寫(xiě)成2.采樣定理式中：

S為采樣角頻率,Ck為傅里葉系數(shù)假設(shè)連續(xù)信號(hào)

的傅里葉變換為,采樣信號(hào)

的傅里葉變換用

表示。理想單位脈沖序列

是一個(gè)周期函數(shù)，展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)形式，即則兩邊取拉普拉斯變換，由拉普拉斯變換的復(fù)數(shù)位移定理，得令

代入，得到

的傅里葉變換式為上式建立了連續(xù)信號(hào)頻譜和相應(yīng)采樣信號(hào)頻譜之間的關(guān)系，表明采樣信號(hào)的頻譜是連續(xù)信號(hào)頻譜的周期性重復(fù)，只是幅值為連續(xù)信號(hào)頻的

。采樣信號(hào)為假定連續(xù)信號(hào)

具有有限頻譜，最高角頻率為

，其頻譜如圖7-2-3(a)所示。根據(jù)式(7-2-6)可得采樣信號(hào)頻譜如圖7-2-3(b)~(d)所示，由圖可知，當(dāng)

，相鄰分頻譜互不重疊，采樣信號(hào)頻譜包含了連續(xù)信號(hào)頻譜的全部頻率成分，可通過(guò)一個(gè)理想低通濾波器濾去所有的高頻頻譜，保留主頻譜，即可獲得連續(xù)信號(hào)的頻譜；當(dāng)時(shí)

，相鄰分頻譜出現(xiàn)混疊現(xiàn)象，采樣信號(hào)的頻譜與連續(xù)信號(hào)的頻譜有很大的差別，以致無(wú)法從采樣信號(hào)中獲得連續(xù)信號(hào)的頻譜。圖7-2-3信號(hào)的頻譜圖綜上所述，若連續(xù)信號(hào)具有有限帶寬，其最高角頻率為

，當(dāng)采樣角頻率

時(shí)，原連續(xù)信號(hào)完全可以用其采樣信號(hào)來(lái)表征，即采樣信號(hào)可以不失真地恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)，這就是著名的香農(nóng)(Shannon)采樣定理。在離散系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中，香農(nóng)采樣定理是必須要遵守的一條準(zhǔn)則，它給出了選擇采樣頻率的理論依據(jù)。一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于具有連續(xù)被控對(duì)象的離散系統(tǒng)，不易確定連續(xù)信號(hào)的最高角頻率

，但從物理意義上可以理解為采樣頻率越高，采樣信號(hào)中包含被采樣信號(hào)的信息就越多，因此，在實(shí)際應(yīng)用中采樣角頻率

往往選擇的比

大很多。7.2.2信號(hào)的保持

在離散控制系統(tǒng)中，數(shù)字控制器輸出的離散信號(hào)，一般必須要轉(zhuǎn)換成連續(xù)信號(hào)，才能夠用于被控對(duì)象的控制。把離散信號(hào)變?yōu)檫B續(xù)信號(hào)的過(guò)程，稱(chēng)為信號(hào)的保持。工程實(shí)踐中常用的保持器是零階保持器。

零階保持器的作用是在信號(hào)傳遞過(guò)程中，把

時(shí)刻的采樣值一直保持到

時(shí)刻，從而把采樣信號(hào)

變成連續(xù)的階梯信號(hào)

。因?yàn)樵诿恳粋€(gè)采樣間隔內(nèi)的值均為常值，即其一階導(dǎo)數(shù)為零，故稱(chēng)為零階保持器(Zero-Order-Holder)，可用ZOH來(lái)表示。如果把階梯信號(hào)

的中點(diǎn)連起來(lái)，可以得到與連續(xù)信號(hào)

形狀一致而時(shí)間上滯后半個(gè)采樣周期的響應(yīng)曲線

，這表明引入零階保持器相當(dāng)于給系統(tǒng)增加了一個(gè)延遲時(shí)間為

的延遲環(huán)節(jié)。一般來(lái)說(shuō)，引入零階保持器對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性不利。在零階保持器輸入端輸入一個(gè)理想單位脈沖信號(hào)

，則其單位脈沖響應(yīng)函數(shù)

是幅值為1，持續(xù)時(shí)間為

的矩形脈沖，如圖7-2-6所示，它可分解為兩個(gè)單位階躍函數(shù)之和，即對(duì)單位脈沖響應(yīng)函數(shù)

取拉普拉斯變換，可得零階保持的傳遞函數(shù)為令

，則零階保持器的頻率特性為零階保持器的幅頻特性和相頻特性,如圖7-2-7所示。若以采樣角頻率

來(lái)表示，則上式可表示為圖7-2-7零階保持器的頻率特性由圖可見(jiàn)，零階保持器具有如下特性。(1)低通特性：由于幅頻特性的幅值隨頻率值的增大而迅速衰減，說(shuō)明零階保持器基本上是一個(gè)低通濾波器，但與理想低通濾波器特性相比，在

時(shí)，其幅值只有初值的

。零階保持器除允許主要頻譜分量通過(guò)外，還允許部分高頻頻譜分量通過(guò)，從而造成數(shù)字控制系統(tǒng)的輸出存在紋波。(2)相角滯后特性：由相頻特性可見(jiàn)，零階保持器要產(chǎn)生相角滯后，且隨

的增大而加大，在

處，相角滯后可達(dá)

，從而使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。實(shí)際應(yīng)用中，零階保持器可以近似用無(wú)源網(wǎng)絡(luò)來(lái)實(shí)