合肥市廬江縣2022年八年級下學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試題與參考答案

6/26合肥市廬江縣2022年八年級下學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試題與參考答案一、選擇題本大題共10小題，每小題4分，滿分40分。1．（4分）下列二次根式中是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．的被開方數(shù)的因數(shù)不是整數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；B．是最簡二次根式，故本選項符合題意；C．的被開方數(shù)中含有能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；D．的被開方數(shù)中含有能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了最簡二次根式的定義，能熟記最簡二次根式的定義是解此題的關(guān)鍵，滿足下列兩個條件的二次根式，叫最簡二次根式：①被開方數(shù)中的每個因數(shù)都是整數(shù)，因式都是整式，②被開方數(shù)中不含有能開得盡方的因數(shù)或因式．2．（4分）如圖，直線a∥b，則直線a，b之間的距離是（）A．線段AB B．線段AB的長度 C．線段CD D．線段CD的長度【分析】根據(jù)平行線間的距離的定義，可得答案．【解答】解：由直線a∥b，CD⊥b，得：線段CD的長度是直線a，b之間距離，故選：D．【點評】本題考查了平行線間的距離，利用平行線間的距離的定義是解題關(guān)鍵．3．（4分）Rt△ABC的斜邊為13，其中一條直角邊為12，另一條直角邊的長為（）A．5 B．6 C．7 D．9【分析】根據(jù)勾股定理計算，即可得出答案．【解答】解：根據(jù)題意，由勾股定理得，另一條直角邊長＝＝5；故選：A．4．（4分）當(dāng)x＞2時，＝（）A．2﹣x B．x﹣2 C．2+x D．±（x﹣2）【分析】根據(jù)＝|a|的進(jìn)行計算即可．【解答】解：因為x＞2，所以＝|2﹣x|＝x﹣2，故選：B．5．（4分）若3、4、a為勾股數(shù)，則a的值為（）A． B．5 C．5或7 D．5或【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義：滿足a2+b2＝c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)求解即可．【解答】解：因為3、4、a為勾股數(shù)，所以當(dāng)a最大時，此時a＝＝5，當(dāng)4時最大時，a＝＝，不能構(gòu)成勾股數(shù)，故選：B．【點評】本題主要考查勾股數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握勾股數(shù)的定義：滿足a2+b2＝c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．6．（4分）下列計算正確的是（）A．＝2 B．×＝ C．2÷＝ D．+＝【分析】利用二次根式的加法法則，乘法的法則，除法的法則，減法的法則對各項進(jìn)行運(yùn)算即可．【解答】解：A、與﹣不屬于同類二次根式，不能合并，故A不符合題意；B、，故B不符合題意；C、，故C符合題意；D、，故D不符合題意；故選：C．【點評】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．7．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝CB＝6，BD⊥AC于點D，F(xiàn)在BC上且BF＝2，連接AF，E為AF的中點，連接DE，則DE的長為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AD＝DC，根據(jù)三角形中位線定理解答即可．【解答】解：因為CB＝6，BF＝2，所以FC＝6﹣2＝4，因為BA＝BC，BD⊥AC，所以AD＝DC，因為AE＝EF，所以DE是△AFC的中位線，所以DE＝FC＝×4＝2，故選：B．【點評】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．8．（4分）如圖，菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于點H，則AH＝（）A．24 B．10 C． D．【分析】由菱形面積＝對角線積的一半可求面積，由勾股定理求出BC，然后由菱形的面積即可得出結(jié)果．【解答】解：如圖，對角線AC、BD交于點O，因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，所以BC＝＝＝5，因為菱形ABCD的面積＝×6×8＝24，所以AH＝，故選：C．【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、菱形面積公式等知識；熟練掌握菱形的性質(zhì)，由勾股定理求出BC是解題的關(guān)鍵．9．（4分）如圖，高速公路的同一側(cè)有A，B兩城鎮(zhèn)，它們到高速公路所在直線MN的距離分別為AC＝2km，BD＝4km，CD＝8km．要在高速公路上C，D之間建一個出口P，使A，B兩城鎮(zhèn)到P的距離之和最小，則這個最短距離為（）A．8km B．10km C．12km D．10km【分析】根據(jù)題意畫出圖形，再利用軸對稱求最短路徑的方法得出P點位置，進(jìn)而結(jié)合勾股定理得出即可．【解答】解：如圖所示：作A點關(guān)于直線MN的對稱點A'，再連接A'B，交直線MN于點P.則此時AP+PB最小，過點B作BD⊥CA延長線于點E，因為AC＝2km，BD＝4km，CD＝8km，所以AA'＝4km，則AE＝6km，在Rt△A'EB中，CB＝＝10（km），則AP+PB的最小值為：10km．故選：B．【點評】此題主要考查了應(yīng)用與設(shè)計作圖，兩點之間線段最短、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用對稱解決最短問題．10．（4分）如圖，矩形ABCD中，AB＝12，點E是AD上的一點，AE＝6，BE的垂直平分線交BC的延長線于點F，連接EF交CD于點G，若G是CD的中點，則BC的長是（）A．12.5 B．12 C．10 D．10.5【分析】根據(jù)線段中點的定義可得CG＝DG，然后利用“角邊角”證明△DEG和△CFG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DE＝CF，EG＝FG，設(shè)DE＝x，表示出BF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得BF＝EF，然后列出方程求出x的值，從而求出AD，再根據(jù)矩形的對邊相等可得BC＝AD．【解答】解：因為矩形ABCD中，G是CD的中點，AB＝12，所以CG＝DG＝×12＝6，在△DEG和△CFG中，，所以△DEG≌△CFG（ASA），所以DE＝CF，EG＝FG，設(shè)DE＝x，則BF＝BC+CF＝AD+CF＝6+x+x＝6+2x，在Rt△DEG中，EG＝＝，所以EF＝2，因為FH垂直平分BE，所以BF＝EF，所以6+2x＝2，解得x＝4.5，所以AD＝AE+DE＝6+4.5＝10.5，所以BC＝AD＝10.5．故選：D．二、填空題本大題共4小題，每小題5分，滿分20分。11．（5分）若式子有意義，則x的取值范圍是x≥2．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件列不等式求解．【解答】解：由題意可得3x﹣6≥0，解得x≥2，故答案為：x≥2．【點評】本題考查二次根式有意義的條件，理解二次根式有意義的條件（被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)）是解題關(guān)鍵．12．（5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以O(shè)為圓心，以O(shè)P的長為半徑畫弧，交x軸的負(fù)半軸于點A，則點A的坐標(biāo)為（﹣，0），點P的縱坐標(biāo)為﹣1，則P點的坐標(biāo)為（﹣4，﹣1）．【分析】過P作PB⊥OA于B，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：過P作PB⊥OA于B，因為點A的坐標(biāo)為（﹣，0），所以O(shè)P＝OA＝，因為點P的縱坐標(biāo)為﹣1，所以PB＝1，所以O(shè)B＝＝4，所以P點的坐標(biāo)為（﹣4，﹣1），故答案為：（﹣4，﹣1）．【點評】本題考查的是勾股定理，根據(jù)題意利用勾股定理求出OP的長是解答此題的關(guān)鍵．13．（5分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于點D，∠ABD＝3∠CBD，E是斜邊AC的中點，∠EBD的度數(shù)是45°．【分析】先根據(jù)已知條件求出∠CBD和∠BDE的度數(shù)，再根據(jù)E是斜邊AC的中點，得出∠EBA＝∠A，從而得出結(jié)論．【解答】解：因為∠ABD＝3∠CBD，∠ABC＝90°，∠ABD+∠CBD＝∠ABC，所以4∠CBD＝90°，所以∠CBD＝22.5°，則∠ABD＝3×22.5°＝67.5°，因為BD⊥AC，所以∠C＝∠BDC﹣∠CBD＝90°﹣22.5°＝67.5°，所以∠A＝∠ABC﹣∠C＝90°﹣67.5°＝22.5°，因為E是斜邊AC的中點，所以BE＝AE＝CE，所以∠EBA＝∠A＝22.5°，所以∠EBD＝∠DBA﹣∠EBA＝67.5°﹣22.5°＝45°，故答案為：45°．【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)以及角的運(yùn)算，關(guān)鍵是對角的和差的運(yùn)算．14．（5分）如圖，已知正方形ABCD的邊長為6cm，E為邊AB上一點，且AE長為1cm，動點P從點B出發(fā)以每秒1cm的速度沿射線BC方向運(yùn)動．把△EBP沿EP折疊，點B落在點B'處，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．（1）當(dāng)t＝5時，∠B'PC為直角；（2）若點B'到直線AD的距離為3cm，則BP長為或15．【分析】（1）根據(jù)當(dāng)∠B'PC＝90°時，∠BPB'＝90°，即可得到△BEP為等腰直角三角形，進(jìn)而得到BP＝BE＝5cm，再根據(jù)點P從點B出發(fā)以每秒1cm的速度沿射線BC方向運(yùn)動，即可得到t的值；（2）過B'作MN∥AB，交AD，BC于點M，N，過E作EH∥AD，交MN于H，進(jìn)而得出四邊形ABNM是矩形，四邊形AEHM是矩形．再分兩種情況進(jìn)行討論：①若點B'在AD下方；②若點B'在AD上方，分別根據(jù)Rt△PB'N中，B'P2＝PN2+B'N2，即可得到BP的值．【解答】解：（1）因為正方形ABCD的邊長為6cm，E為邊AB上一點且AE長為1cm，所以BE＝5（cm），當(dāng)∠B'PC＝90°時，∠BPB'＝90°，所以由折疊可得，∠BPE＝∠BPB'＝45°，又因為∠B＝90°，所以∠BEP＝45°，所以BP＝BE＝5（cm），因為點P從點B出發(fā)以每秒1cm的速度沿射線BC方向運(yùn)動，所以t＝5÷1＝5（秒），故答案為：5；（2）過B'作MN∥AB，交AD，BC于點M，N，過E作EH∥AD，交MN于H，因為AD∥BC，MN∥AB，所以四邊形ABNM是平行四邊形，又因為∠A＝90°，所以四邊形ABNM是矩形同理可得：四邊形AEHM是矩形．①如圖：若點B'在AD下方，則B'M＝3cm，B'N＝3cm，因為MH＝AE＝1（cm），所以B'H＝2（cm），由折疊可得，EB'＝EB＝5（cm），所以Rt△EB'H中，EH＝＝（cm），所以BN＝AM＝EH＝（cm），設(shè)BP＝tcm，所以PB'＝tcm，PN＝（﹣t）cm因為Rt△PB'N中，B'P2＝PN2+B'N2，所以t2＝（﹣t）2+32，解得：t＝．②如圖：若點B'在AD上方，則B'M＝3cm，B'N＝9cm，同理可得，EH＝3cm，設(shè)BP＝tcm，所以B'P＝tcm，PN＝（t﹣3）cm，因為Rt△PB'N中，B'P2＝PN2+B'N2，所以t2＝（t﹣3）2+92，解得：t＝15．綜上所述，BP的值為或15．故答案為：或15．【點評】本題考查了折疊問題，勾股定理以及正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，解題時我們常常設(shè)要求的線段長為x，然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切危\(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）15．（8分）計算：（+1）2﹣（3﹣）÷．【分析】先根據(jù)完全平方公式和二次根式的除法法則進(jìn)行計算，再根據(jù)二次根式的加減法則進(jìn)行計算即可．【解答】解：（+1）2﹣（3﹣）÷＝3+2+1﹣3+1＝3+2+1﹣+1＝5+．【點評】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，能正確根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行計算是解此題的關(guān)鍵，注意運(yùn)算順序．16．（8分）如圖，在?ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，BD⊥AD，AB＝10，AD＝8，求OB的長．【分析】直接利用勾股定理得出BD的長，再由平行四邊形的性質(zhì)即可得出答案．【解答】解：在平行四邊形ABCD中，BC＝AD＝8，AD∥BC，AD＝8，因為BD⊥AD，AB＝10，所以BD＝＝6．因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以O(shè)B＝BD＝3．【點評】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理，正確得出BD的長是解題關(guān)鍵．四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17．（8分）將兩個全等的直角三角形按如圖所示擺放，使點A、E、D在同一條直線上．利用此圖的面積表示式證明勾股定理．【分析】先推出△BEC是直角三角形，然后根據(jù)S梯形ABCD＝S△ABE+S△BEC+S△DEC，代入字母整理化簡，即可證明結(jié)論成立．【解答】證明：由已知可得，Rt△BAE≌Rt△EDC，所以∠ABE＝∠DEC，因為∠ABE+∠AEB＝90°，所以∠DEC+∠AEB＝90°，所以∠BEC＝90°，所以△BEC是直角三角形，所以S梯形ABCD＝S△ABE+S△BEC+S△DEC，所以＝，所以＝，所以a2+b2＝c2．【點評】本題考查勾股定理的證明，解答本題的關(guān)鍵是推出△BEC是直角三角形．18．（8分）觀察下列等式：第1個等式：＝3；第2個等式：＝4；第3個等式：＝5；第4個等式：＝6；…按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）填空：＝10；（2）填空：＝n（n≥3且n為正整數(shù)），并證明這個等式．【分析】（1）根據(jù)四個等式總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答；（2）根據(jù)規(guī)律解答即可．【解答】解：（1）根據(jù)規(guī)律可知：＝10，故答案為：；（2）＝n，故答案為：．【點評】本題考查的是數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)題意找出數(shù)字的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）19．（10分）如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都是1．（1）線段AB的長度是；（2）請在網(wǎng)格中畫出線段AC＝，BD＝2，且C，D為AB右側(cè)的格點（網(wǎng)格線的交點）；（3）以AB、AC、BD三條線段為邊能否構(gòu)成直角三角形，并說明理由．【分析】（1）利用勾股定理求解即可；（2）利用數(shù)形結(jié)合的思想畫出圖形即可；（3）利用勾股定理的逆定理判斷即可．【解答】解：（1）AB＝＝．故答案為：；（2）如圖，線段AC，BD即為所求；（3）以AB、AC、BD三條線段為邊能構(gòu)成直角三角形．理由：因為AB＝，AC＝，BD＝2，所以（）2＝（）2+（2）2，所以以AB、AC、BD三條線段為邊能構(gòu)成直角三角形．【點評】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計作圖，勾股定理，勾股定理的逆定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．20．（10分）如圖，△ABC中，D，E分別是AC，AB的中點，DE＝CE，過點B作BF∥CE，交DE的延長線于點F．（1）求證：四邊形BCEF是菱形．（2）若BC＝2，∠BCE＝60°，求菱形BCEF的面積．【分析】（1）先證四邊形BCFE是平行四邊形．再證BC＝CE，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)解答即可．【解答】（1）證明：因為D、E分別是AC、AB的中點，所以DE是△ABC的中位線，所以DE∥BC，DE＝BC，所以EF∥BC，因為BF∥CE，所以四邊形BCEF是平行四邊形，因為DE＝CE，所以BC＝CE，所以平行四邊形BCEF是菱形；（2）解：如圖，過點E作EG⊥BC于點G，由（1）知BC＝CE，因為∠BCE＝60°，所以△BCE是等邊三角形，所以BE＝CE＝BC＝2，因為EG⊥BC，所以BG＝BC＝1，在Rt△BGE中，由勾股定理得：EG＝＝＝，所以S菱形BCEF＝BC?EG＝2×＝2．【點評】此題主要考查菱形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．六、（本題滿分12分）21．（12分）為推進(jìn)鄉(xiāng)村振興，把家鄉(xiāng)建設(shè)成為生態(tài)宜居、交通便利的美麗家園，某地大力修建嶄新的公路．如圖所示，現(xiàn)從A地分別向C、D、B三地修了三條筆直的公路AC、AD和AB，C地、D地、B地在同一筆直公路上，公路AC和公路CB互相垂直，又從D地修了一條筆直的公路DH與公路AB在H處連接，且公路DH和公路AB互相垂直，已知AC＝9千米，AB＝15千米，BD＝5千米．（1）求公路CD的長度；（2）若修公路DH每千米的費用是2000萬元，請求出修建公路DH的總費用．【分析】（1）根據(jù)勾股定理得到BC＝＝＝12（千米），根據(jù)線段的弧長即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理得到AD＝＝（千米），求得DH＝＝3，于是得到結(jié)論．【解答】解：（1）因為∠C＝90°，AC＝9千米，AB＝15千米，所以BC＝＝＝12（千米），因為BD＝5千米，所以CD＝12﹣5＝7（千米），答：公路CD的長度為7千米；（2）因為AC＝9千米，CD＝7千米，所以AD＝＝（千米），因為DH⊥AB，所以AD2﹣AH2＝BD2﹣BH2，所以130﹣（15﹣BH）2＝52﹣BH2，所以BH＝4，所以DH＝＝3，所以修建公路DH的總費用為3×2000＝6000（萬元）．【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．七、（本題滿分12分）22．（12分）我們規(guī)定用（a，b）表示一對數(shù)對，給出如下定義：記m＝，n＝（a＞0，b＞0），將（m，n）與（n，m）稱為數(shù)對（a，b）的對“對稱數(shù)對”．例如：（4，1）的一對“對稱數(shù)對”為（，1）與（1，）．（1）數(shù)對（25，4）的一對“對稱數(shù)對”是（，2）和（2，）；（2）若數(shù)對（x，2）的一對“對稱數(shù)對”的一個數(shù)對是（，1），求x的值；（3）若數(shù)對（a，b）的一對“對稱數(shù)對”的一個數(shù)對是（，3），求ab的值．【分析】（1）根據(jù)新定義即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)新定義，列等式＝1，解方程進(jìn)而得出結(jié)論；（4）根據(jù)新定義，列方程組，解出進(jìn)而得出結(jié)論．【解答】解：（1）因為＝，＝2，所以數(shù)對（25，3）的一對“對稱數(shù)對”是（，2）與（2，），故答案為：（，2）與（2，）；（2）因為數(shù)對（x，2）的一個“對稱數(shù)對”是（，1），所以＝1，所以x＝1；（3）因為數(shù)對（a，b）的一個“對稱數(shù)對”是（，3），所以或，解得或，所以ab＝9或．【點評】此題主要考查了新定義，解方程組，解方程，理解和應(yīng)用新定義是解本題的關(guān)鍵．八、（本題滿分14分）23．（14分）如圖，把一個等腰直角三角板AEM放置于矩形ABCD上，AE＝BC＝13，AB＝24．三角板的一個銳角的頂點放在A處，且直角邊AE在矩形內(nèi)部繞點A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中EM與CD交于點F．（1）如圖1，①旋轉(zhuǎn)過程中線段DF與EF有何數(shù)量關(guān)系？并給出證明；②連接EC，EB，若△ECB為等腰三角形，求DF的長；（2）如圖2，以AD為邊在矩形內(nèi)部作正方形ADHI，直角邊EM所在的直線交HI于O，交AB于G．設(shè)DF＝m，請你用m的代數(shù)式表示OH的長．【分析】（1）①連接AF，根據(jù)HL證直角三角形ADF≌直角三角形AEF，即可得出結(jié)論；②分三種情況進(jìn)行討論求值即可；（2）同理（1）得出OE＝OI，即OI＝HI﹣OH，再利用勾股定理得出OH即可．【解答】解：（1）①DF＝EF，理由如下：連接AF，因為四邊形ABCD是矩形，所以AD＝BC＝13，∠D＝90°，因為AE＝BC＝13，所以AD＝AE＝13，在Rt△ADF和Rt△AEF中，，所以Rt△ADF≌Rt△AEF（HL），所以DF＝EF；②分三種情況：（Ⅰ）如圖2，連接BE，BC，當(dāng)B