連云港灌南縣2022年八年級上學期《數(shù)學》期中試題與參考答案

9/31連云港市灌南縣2022年八年級上學期《數(shù)學》期中試題與參考答案一、選擇題本大題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題所給出的四個選項中，只有一項是正確的，請把正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應位置上。1．改革開放以來，我國眾多科技實體在各自行業(yè)取得了舉世矚目的成就，大疆科技、華為集團、太極股份和鳳凰光學等就是其中的杰出代表．上述四個企業(yè)的標志是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解．解：A、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；B、是軸對稱圖形，故本選項正確；C、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；D、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤．故選：B．2．如圖，點C、D分別在BO、AO上，AC、BD相交于點E，若CO＝DO，則再添加一個條件，仍不能證明△AOC≌△BOD的是（）A．∠A＝∠B B．AC＝BD C．∠ADE＝∠BCE D．AD＝BC【分析】根據(jù)題目給出的條件結合全等三角形的判定定理分別分析即可．解：A、可利用AAS證明△AOC≌△BOD，故此選項不合題意；B、不可利用SSA證明△AOC≌△BOD，故此選項符合題意；C、根據(jù)三角形外角的性質可得∠A＝∠B，再利用AAS證明△AOC≌△BOD，故此選項不合題意；D、根據(jù)線段的和差關系可得OA＝OB，再利用SAS證明△AOC≌△BOD，故此選項不合題意．故選：B．3．已知等腰三角形的一邊長為3，周長為12，那么它的腰長為（）A．4.5 B．6 C．4.5或6 D．不能確定【分析】分3是腰長與底邊兩種，根據(jù)等腰三角形兩腰相等列式求解即可．解：①3是腰長時，三邊分別為3、3、6，不能組成三角形；②3是底邊時，腰長為（12﹣3）＝4.5，三邊分別為4.5、4.5、3，能組成三角形．綜上所述，腰長為4.5．故選：A．4．如圖所示，三個居民小區(qū)分別座落在地圖中的△ABC三個頂點A，B，C處，現(xiàn)要建一個牛奶供應站P，且該供奶站P到三小區(qū)A，B，C的距離相等，則該供奶站P的位置應選在（）A．△ABC三邊的垂直平分線的交點 B．△ABC三個內角平分線的交點 C．△ABC三條中線的交點 D．△ABC三條高所在直線的交點【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質確定P點的位置．解：因為點P到點A，B，C的距離相等，所以點P為AB、BC、AC的垂直平分線的交點．故選：A．5．△ABC在下列條件下不是直角三角形的是（）A．b2＝a2﹣c2 B．a2：b2：c2＝1：2：3 C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A＝∠B﹣∠C【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷選項A，選項B；根據(jù)三角形的內角和定理求出最大角的度數(shù)，即可判斷選項C和選項D．解：A．因為b2＝a2﹣c2，所以b2+c2＝a2，即△ABC是直角三角形，故本選項不符合題意；B．因為a2：b2：c2＝1：2：3，所以a2+b2＝c2，即△ABC是直角三角形，故本選項不符合題意；C．因為∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，所以最大角∠C＝×180°＝75°＜90°，所以△ABC不是直角三角形，故本選項符合題意；D．因為∠A＝∠B﹣∠C，所以∠A+∠C＝∠B，又因為∠A+∠B+∠C＝180°，所以2∠B＝180°，所以∠B＝90°，所以△ABC是直角三角形，故本選項不符合題意；故選：C．6．在《九章算術》中有一個問題（如圖）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面（）尺．A．4 B．3.6C．4.5 D．4.55【分析】畫出圖形，設折斷處離地面x尺，則AB＝（10﹣x）尺，由勾股定理得出方程，解方程即可．解：如圖，由題意得：∠ACB＝90°，BC＝3尺，AC+AB＝10尺，設折斷處離地面x尺，則AB＝（10﹣x）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝4.55，即折斷處離地面4.55尺．故選：D．7．如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝70°，點P是∠BAC的平分線AP和∠CBD的平分線BP的交點，射線CP交AB的延長線于點D，則∠D的度數(shù)為（）A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°【分析】由AB＝AC，根據(jù)等腰三角形的性質推出∠ABC＝∠ACB＝70°，由角平分線的定義推出∠APB＝∠ACB＝35°，最后用三角形外角的性質即可得出結論．解：如圖，AP與BC相交于點O，因為AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB＝70°，所以∠CAB＝40°，因為點P是△ABC內角和外角角平分線的交點，所以∠APB＝∠ACB＝35°，因為AB＝AC，AP是∠BAC的平分線，所以AP⊥BC，OB＝OC，所以CP＝BP，所以∠APC＝∠APB＝35°，所以∠BPC＝70°，因為BP是△ABC的外角的平分線，所以∠PBD＝∠CBD＝55°，所以∠D＝∠BPC﹣∠PBD＝70°﹣55°＝15°．故選：A．8．如圖，△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，AD＝BC，點P為直線BC上方的一個動點，△PBC的面積等于△ABC的面積的，則當PB+PC最小時，∠PBD的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．90°【分析】由三角形面積關系得出P在與BC平行，且到BC的距離為AD的直線l上，l∥BC，作點B關于直線l的對稱點B'，連接B'C交l于P，則BB'⊥l，PB＝PB'，此時點P到B、C兩點距離之和最小，作PM⊥BC于M，則BB'＝2PM＝AD，證明△BB'C是等腰直角三角形，得出∠B'＝45°，求出∠PBB'＝∠B'＝45°，即可得出答案．解：因為△PBC的面積等于△ABC的面積的，所以P在與BC平行，且到BC的距離為AD的直線l上，所以l∥BC，作點B關于直線l的對稱點B'，連接B'C交l于P，如圖所示：則BB'⊥l，PB＝PB'，此時點P到B、C兩點距離之和最小，作PM⊥BC于M，則BB'＝2PM＝AD，因為AD⊥BC，AD＝BC，所以BB'＝BC，BB'⊥BC，所以△BB'C是等腰直角三角形，所以∠B'＝45°，因為PB＝PB'，所以∠PBB'＝∠B'＝45°，所以∠PBC＝90°﹣45°＝45°；故選：B．二、填空題本大題共8小題，每小題3分，本大題共24分.不需要寫出解答過程，只需把答案直接填寫在答題卡相應位置上。9．如圖，△ABC≌△EDF，DF＝BC，AB＝ED，AF＝20，EC＝10，則AE的長是5．【分析】根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AC＝EF，然后求出AE＝CF，代入數(shù)據(jù)計算即可得解．解：因為△ABC≌△EDF，所以AC＝EF，所以AC﹣CE＝EF﹣CE，即AE＝CF，因為AF＝20，EC＝10，所以AE＝×（20﹣10）＝5．故答案為：5．10．如圖，點D在BC上，DE⊥AB于點E，DF⊥BC交AC于點F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝145°，則∠EDF＝55°．【分析】由圖示知：∠DFC+∠AFD＝180°，則∠DFC＝35°．通過全等三角形Rt△BDE≌△Rt△CFD（HL）的對應角相等推知∠BDE＝∠CFD．解：如圖，因為∠DFC+∠AFD＝180°，∠AFD＝145°，所以∠CFD＝35°．又因為DE⊥AB，DF⊥BC，所以∠BED＝∠CDF＝90°，在Rt△BDE與△Rt△CFD中，，所以Rt△BDE≌△Rt△CFD（HL），所以∠BDE＝∠CFD＝35°，所以∠EDF+∠BDE＝∠EDF+∠CFD＝90°，所以∠EDF＝55°．故答案是：55°．11．如圖，在△ABC中，若AB＝9，AC＝12，BC＝15，則BC邊上的高AD的長為1.2．【分析】設BD＝x，則CD＝15﹣x，根據(jù)高的定義得出∠ADB＝∠ADC＝90°，根據(jù)勾股定理得出AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，求出x，再求出高AD即可．解：設BD＝x，則CD＝15﹣x，因為AD是高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，因為AB＝9，AC＝12，BC＝15，BD＝x，所以92﹣x2＝122﹣（15﹣x）2，解得：x＝，即BD＝，所以AD＝＝＝1.2，故答案為：1.2．12．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分線AD交BC于點D，E為AB的中點，若BC＝6，AD＝4，則DE的長為．【分析】利用勾股定理求出AB，再利用直角三角形斜邊中線的性質求解即可．解：因為AB＝AC，AD平分∠BAC，所以AD⊥BC，BD＝CD＝3，所以∠ADB＝90°，所以AB＝＝＝5，因為AE＝EB，所以DE＝AB＝，故答案為．13．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝22°，PQ垂直平分AB，垂足為Q，交BC于點P．按以下步驟作圖：以點A為圓心，以適當?shù)拈L為半徑作弧，分別交邊AC，AB于點D，E；分別以點D，E為圓心，以大于DE的長為半徑作弧，兩弧相交于點F；作射線AF．射線AF與直線PQ相交于點G，則∠AGQ的度數(shù)為56度．【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余得∠BAC＝68°，由角平分線的定義得∠BAG＝34°，由線段垂直平分線可得△AQG是直角三角形，根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可求出∠AGQ．解：如圖，因為△ABC是直角三角形，∠C＝90°，所以∠B+∠BAC＝90°，因為∠B＝22°，所以∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣22°＝68°，由作法可知，AG是∠BAC的平分線，所以∠BAG＝BAC＝34°，因為PQ是AB的垂直平分線，所以△AGQ是直角三角形，所以∠AGQ+∠BAG＝90°，所以∠AGQ＝90°﹣∠BAG＝90°﹣34°＝56°，故答案為：56．14．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝12cm，AB的垂直平分線交BC于點M，交AB于點E，AC的垂直平分線交BC于點N，交AC于點F，則MN的長為4cm．【分析】根據(jù)等邊對等角的性質可得∠B＝∠C，再根據(jù)三角形內角和定理求出∠B＝∠C＝30°，連接AN，AM，根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AM＝BM，根據(jù)軸對稱性可得∠BAM＝30°，從而得到∠CAM＝90°，然后利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出BM長，同理可得出CN的長，根據(jù)MN＝BC﹣CN﹣BM即可得出結論．解：因為AB＝AC，所以∠B＝∠C，因為∠A＝120°，所以∠B＝∠C＝30°，連接AM，AN，因為ME是AB的垂直平分線，所以AM＝BM，∠BAM＝∠B＝30°，所以∠CAM＝∠BAC﹣∠BAM＝120°﹣30°＝90°，所以CM＝2AM＝2BM，所以3BM＝BC＝12cm，因為BM＝4cm，同理可得，CN＝4，所以MN＝BC﹣CN﹣BM＝12﹣4﹣4＝4（cm）．故答案為：4cm．15．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點D在邊AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足為F，與BC交于點E，則BE的長是．【分析】連接DE，利用等腰三角形的性質可知AE是CD的垂直平分線，利用勾股定理求出AB的長，再利用等積法求出DE的長，再利用勾股定理求BE即可．解：連接DE，因為AD＝AC，AE⊥CD，所以AE是CD的垂直平分線，所以CE＝DE，所以∠ADE＝∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝，所以BD＝AB﹣AD＝2，所以S△ABC＝S△ACE+S△ABE，所以AC×BC＝AC×CE+AB×DE，所以3×4＝3CE+5DE，所以DE＝，在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE＝＝＝，故答案為：．16．如圖在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，點C，D，E三點在同一條直線上，連接BD，BE．以下四個結論：①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC＝45°；④BE2＝2（AD2+AB2），其中結論正確的是①②③．【分析】①由條件證明△ABD≌△ACE，就可以得到結論；②由△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD＝∠ACE，就可以得出∠BDC＝90°而得出結論；③由條件知∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝45°，由∠ABD＝∠ACE就可以得出結論；④△BDE為直角三角形就可以得出BE2＝BD2+DE2，由△DAE和△BAC是等腰直角三角形就有DE2＝2AD2，BC2＝2AB2，就有BC2＝BD2+CD2≠BD2就可以得出結論．解：①因為∠BAC＝∠DAE，所以∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．在△ABD和△ACE中，所以△ABD≌△ACE（SAS），所以BD＝CE．故①正確；因為△ABD≌△ACE，所以∠ABD＝∠ACE．因為∠CAB＝90°，所以∠ABD+∠AFB＝90°，所以∠ACE+∠AFB＝90°．因為∠DFC＝∠AFB，所以∠ACE+∠DFC＝90°，所以∠FDC＝90°．所以BD⊥CE；故②正確；③因為∠BAC＝90°，AB＝AC，所以∠ABC＝45°，所以∠ABD+∠DBC＝45°．所以∠ACE+∠DBC＝45°，故③正確；④因為BD⊥CE，所以BE2＝BD2+DE2．因為∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，所以DE2＝2AD2，BC2＝2AB2．因為BC2＝BD2+CD2≠BD2，所以2AB2＝BD2+CD2≠BD2，所以BE2≠2（AD2+AB2）．故④錯誤．故答案為：①②③．三、解答題本大題共10小題，共102分.請在答題卡上指定區(qū)域內作答.解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，已知AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠D．求證：AF＝DE．【分析】由“ASA”可證△ABF≌△DCE，可AF＝DE．【解答】證明：因為AB∥CD，所以∠B＝∠C，在△ABF和△DCE中，，所以△ABF≌△DCE（ASA），所以AF＝DE．18．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分線AD交BC于點D，E為AB的中點，若BC＝6，AD＝4，求DE的長．【分析】利用勾股定理求出AB，再利用直角三角形斜邊中線的性質求解即可．解：因為AB＝AC，AD平分∠BAC，所以AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝3，所以∠ADB＝90°，所以AB＝＝＝5，因為AE＝EB，所以DE＝AB＝．19．如圖，點B、F、C、E在一條直線上（點F，C之間不能直接測量），點A，D在直線l的異側，測得AB＝DE，AB∥DE，AC∥DF．（1）求證：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝13m，BF＝4m，求FC的長度．【分析】（1）先證明∠ABC＝∠DEF，再根據(jù)ASA即可證明．（2）根據(jù)全等三角形的性質即可解答．【解答】（1）證明：因為AB∥DE，所以∠ABC＝∠DEF，所以AC∥DF，所以∠ACB＝∠DFE，在△ABC與△DEF中，，所以△ABC≌△DEF（AAS）；（2）解：因為△ABC≌△DEF，所以BC＝EF，所以BF+FC＝EC+FC，所以BF＝EC，因為BE＝13m，BF＝4m，所以FC＝13﹣4﹣4＝5m．20．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，AD為∠BAC的平分線，F(xiàn)為AC上的點，DE⊥AB，垂足為E，DF＝DB．（1）求證：DC＝DE；（本小題要求寫出每一步的推理依據(jù)）（2）求證：△CDF≌△EDB；（3）求∠ADF的度數(shù)．【分析】（1）利用角平分線的性質定理證明即可；（2）根據(jù)HL證明三角形全等即可；（3）求出∠CDF＝50°，∠CAD＝20°，再利用三角形的外角的性質，可得結論．【解答】（1）證明：因為AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，DC⊥AC（已知），所以DC＝DE（角平分線上的點到角的兩邊距離相等）；（2）在Rt△DCF和Rt△DEB中，，所以Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）．（3）解：因為∠C＝90°，∠B＝50°，所以∠CAB＝90°﹣50°＝40°，因為AD平分∠CAB，所以∠CAD＝∠BAD＝20°，因為△CDF≌△EDB，所以∠CFD＝∠B＝50°，因為∠CFD＝∠ADF+∠CAD，所以∠ADF＝50°﹣20°＝30°．21．如圖，在△ABC中，邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于E、F．（1）若BC＝10，求△AEF周長．（2）若∠BAC＝128°，求∠FAE的度數(shù)．【分析】（1）由在△ABC中，邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于E、F，易得AE＝BE，AF＝CF，即可得△AEF周長＝BC；（2）由∠BAC＝128°，可求得∠B+∠C的值，即可得∠BAE+∠CAF的值，繼而求得答案．解：（1）因為在△ABC中，邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于E、F，所以AE＝BE，AF＝CF，因為BC＝10，所以△AEF周長為：AE+EF+AF＝BE+EF+CF＝BC＝10；（2）因為AE＝BE，AF＝CF，所以∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAF，因為∠BAC＝128°，所以∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝52°，所以∠BAE+∠CAF＝∠B+∠C＝52°，所以∠FAE＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAF）＝76°．22．如圖，在長度為1個單位長度的小正方形組成的正方形網格中，△ABC的三個頂點A、B、C都在格點上．（1）在圖1中畫出與△ABC關于直線l成軸對稱的△A1B1C1；（2）在圖2中畫出∠ABC的角平分線；（3）在正方形網格中存在8個格點，使得該格點與A、C兩點構成以AC為腰的等腰三角形．【分析】（1）分別作出A，B，C的對應點A1，B1，C1即可．（2）取格點G，H，R，連接AR，GH，交于點P，作射線BP，射線BP即為所求．（3）畫出滿足條件的點即可判斷．解：（1）如圖1中，△A1B1C1即為所求．（2）如圖2中，射線BP即為所求．（3）如圖2中，使得該格點與A、C兩點構成以AC為腰的等腰三角形的格點有8個，故答案為：8．23．如圖，在三角形ABC中，AB＝10，BC＝12，AD為BC邊上的中線，且AD＝8，過點D作DE⊥AC于點E．（1）求證：AD⊥BC；（2）求DE的長．【分析】（1）求出BD，求出AD2+BD2＝AB2，根據(jù)勾股定理的逆定理得出∠ADB＝90°即可；（2）求出AC＝AB＝10，根據(jù)三角形的面積公式求出DE即可．【解答】（1）證明：因為BC＝12，AD為BC邊上的中線，所以BD＝DC＝BC＝6，因為AD＝8，AB＝10，所以BD2+AD2＝AB2，所以∠ADB＝90°，即AD⊥BC；（2）解：因為AD⊥BC，AD為BC邊上的中線，所以AB＝AC，因為AB＝10，所以AC＝10，因為△ADC的面積S＝＝，所以＝，解得：DE＝4.8．24．在△ABC中，AB＝AC，點D、E、F分別在AB、BC、AC上，BD＝CE，BE＝CF，（1）求證：∠B＝∠DEF；（2）連接DF，當∠A的度數(shù)是多少時，△DEF是等邊三角形．【分析】（1）首先證明△DBE≌△ECF，推出∠BDE＝∠CEF，由在△DBE中，∠B+∠BDE+∠DEB＝180°推出∠B＝180°﹣∠BDE﹣∠DEB由∠CEF+∠DEF+∠DEB＝180°推出∠DEF＝180°﹣∠CEF﹣∠DEB可得∠B＝∠DEF；（2）當∠A＝60°時，△DEF是等邊三角形，利用全等三角形的性質即可解決問題；【解答】（1）證明：因為AB＝AC，所以∠B＝∠C，在△DBE與△ECF中，因為BD＝CE，∠B＝∠C，BE＝CF，所以△DBE≌△ECF，所以∠BDE＝∠CEF，因為在△DBE中，∠B+∠BDE+∠DEB＝180°所以∠B＝180°﹣∠BDE﹣∠DEB因為∠CEF+∠DEF+∠DEB＝180°所以∠DEF＝180°﹣∠CEF﹣∠DEB所以∠B＝∠DEF．（2）當∠A＝60°時，△DEF是等邊三角形，理由如下因為AB＝AC，∠A＝60°，所以△ABC是等邊三角形，所以∠B＝60°，即∠DEF＝60°，因為△DBE≌△ECF所以ED＝EF，因為ED＝EF，∠DEF＝60°，所以△DEF是等邊三角形．25．如圖1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：CD：AD＝1：3：4．（1）試說明△ABC是等腰三角形；（2）已知S△ABC＝30cm2，如圖2，動點M從點B出發(fā)以每秒1cm的速度沿線段BA向點A運動，同時動點N從點A出發(fā)以相同速度沿線段AC向點C運動，當其中一點到達終點時整個運動都停止．設點M運動的時間為t（秒），①若△DMN的邊與BC平行，求t的值；②若點E是邊AC的中點，問在點M運動的過程中，△MDE能否成為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．【分析】（1）設BD＝x，AD＝4x，CD＝4x，則AB＝5x，由勾股定理求出AC，即可得出結論；（2）①當MN∥BC時，當DN∥BC時，根據(jù)等腰三角形的性質得出方程，解方程即可；②若△MDE為等腰三角形，有3種可能：如果DE＝DM；如果ED＝EM；如果MD＝ME＝t﹣2；分別得出方程，解方程即可．解：（1）設BD＝x，AD＝4x，CD＝3x（x＞0），在Rt△ACD，因為AC2＝CD2+AD2，所以AC2＝（3x）2+（4x）2，所以AC＝5x，因為AB＝BD+AD＝5x，所以AB＝AC，所以△ABC是等腰三角形；（2）S△ABC＝×5x×3x＝30cm2，而x＞0，所以x＝2cm，則BD＝2cm，AD＝8cm，CD＝6cm，AC＝10cm．①當MN∥BC時，AM＝AN，即10﹣t＝t，所以t＝5，當DN∥BC時，AD＝AN，有t＝8，故若△DMN的邊與BC平行時，t的值為5或8．②當點M在BD上，即0≤t＜2時，△MDE為鈍角三角形，但DM≠DE，當t＝2時，點M運動到點D，不構成三角形，當點M在DA上，即2＜t≤10時，△MDE為等腰三角形，有3種可能．如果DE＝DM，則t﹣2＝5，所以t＝7；如果ED＝EM，則點M運動到點A，所以t＝10；如果MD＝ME＝t﹣2，如圖，過點E作EF⊥AD于F，因為DE＝AE，EF⊥AD，所以AF＝DF＝4，在Rt△AEF中，因為EF2＝AE2﹣AF2，所以EF＝＝3，因為BM＝t，BF＝6，所以MF＝t﹣6，在Rt△EMF中，因為EF2+MF2＝EM2，所以32+（t﹣6）2＝（t﹣2）2，所以t＝．綜上所述，符合要求的t值為7或10或．26．（1）閱讀理解：如圖1，等邊△ABC內有一點P，若點P到頂點A，B，C的距離分別為3，4，5，求∠APB的大?。悸伏c撥：考慮到PA，PB，PC不在一個三角形中，采用轉化與化歸的數(shù)學思想，可以將△ABP繞頂點A逆時針旋轉60°到△ACP'處，此時△ACP'≌△ABP，這樣，就可以利用全等三角形知識，結合已知條件，將三條線段的長度轉化到一個三角形中，從而求出∠APB的度數(shù)．請你寫出完整的解答過程．（2）變式拓展：請你利用第（1）問的解答思想方法，解答下面問題：如圖2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F為BC上的點且∠EAF＝45°，BE＝8，CF＝6，求EF的大小．（3）能力提升：如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，點O為Rt△ABC內一點，連接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，請直接寫出（OA+OB+OC）2＝7．【分析】（1）根據(jù)旋轉變換前后的兩個三角形全等，全等三角形對應邊相等，全等三角形對應角相等以及等邊三角形的判定和勾股定理逆定理解答．（2）把△ABE繞點A逆時針旋轉90°得到△ACE′，根據(jù)旋轉的性質可得AE′＝AE，CE′＝CE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，再求出∠E′AF＝45°，從而得到∠EAF＝∠E′AF，然后利用“邊角邊”證明△EAF和△E′AF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得E′F＝EF，再利用勾股定理列式即可解決問題．（3）將△AOB繞點B順時針旋轉60°至△A′O′B處，連