《電路分析》課件第3章

第3章電阻電路的一般分析方法

3.1支路電流法3.2網(wǎng)孔電流法3.3節(jié)點(diǎn)電壓法習(xí)題3【本章要點(diǎn)】本章主要介紹線性電阻電路的分析方法，即支路電流法、網(wǎng)孔電流法及節(jié)點(diǎn)電壓法。通過本章的學(xué)習(xí)，要求能夠列寫電路方程，并能應(yīng)用這些方法分析、計算電阻電路。3.1支路電流法支路電流法是以支路電流為獨(dú)立變量，應(yīng)用基爾霍夫電壓和電流兩條定律建立電路方程的一種方法。對于有n個節(jié)點(diǎn)、b條支路的電路,由KCL可以列出n個節(jié)點(diǎn)電流方程，但這些方程并非彼此獨(dú)立。同樣，應(yīng)用KVL列寫回路的電壓方程也存在類似的問題。如圖3－1所示，該電路含有2個節(jié)點(diǎn)，3條支路。設(shè)電路中各元件電阻參數(shù)已知，以支路電流為電路變量，根據(jù)圖中參考方向，列寫KCL方程為

-i1+i2+i3=0

(節(jié)點(diǎn)a)（3－1）

i1-i2-i3=0

(節(jié)點(diǎn)b) （3－2）式（3－1）和式(3－2）只差一個負(fù)號，顯然它們彼此也是不獨(dú)立的，只能取其中之一為獨(dú)立方程。因此，對于具有n個節(jié)點(diǎn)的電路，電路的獨(dú)立方程數(shù)為n-1個。如圖3－1所示電路中，共有3個回路。為了使所列方程為獨(dú)立方程，應(yīng)使所選回路中至少有一條未被其他回路所包含的新支路。對于平面電路，網(wǎng)孔恰好滿足上述獨(dú)立回路的規(guī)律，所以選擇網(wǎng)孔作為獨(dú)立回路是最好的方法。按圖示的繞行方向，列寫KVL方程為

R1i1+R2i2-us1+us2=0

(回路Ⅰ)

-R2i2+R3i3-us2+us3=0

(回路Ⅱ)整理后得

R1i1+R2i2=us1-us2

（3－3）

-R2i2+R3i3=us2-us3

（3－4）式（3－3）和式（3－4）兩個方程相互獨(dú)立，聯(lián)立求解可得到各支路電流。由此可見，對于具有n個節(jié)點(diǎn)的電路，當(dāng)支路的數(shù)目為b時，獨(dú)立回路數(shù)l為l=b-(n-1)在平面電路中，取網(wǎng)孔作為獨(dú)立回路時，網(wǎng)孔的數(shù)目就等于獨(dú)立回路中電壓方程的個數(shù)。由以上分析可知，支路電流法是以支路電流為變量，對含有b條支路，n個節(jié)點(diǎn)的電路，應(yīng)用KCL建立n-1個獨(dú)立電流方程，應(yīng)用KVL建立b-(n-1)個獨(dú)立電壓方程，從而求解b個未知的支路電流方程。

例3－1電路如圖3－2所示，求解各支路電流。圖3－2例3－1用圖

解該電路有2個節(jié)點(diǎn)，故有一個獨(dú)立節(jié)點(diǎn)電流方程為－i1+i2+i3=0網(wǎng)孔為獨(dú)立回路，并設(shè)理想電流源兩端電壓為u，列寫KVL方程為

2i1+2i2－8=0

(網(wǎng)孔Ⅰ)－2i2+6i3+u=0

(網(wǎng)孔Ⅱ)

從圖3－2中可以看出，理想電流源的端電壓u也為未知量，所以必須補(bǔ)充i3=－is=－1A方程，聯(lián)立以上方程得

i1=1.5A，i2=2.5A

例3－1支路Ⅱ中只含一個理想電流源而不存在與之并聯(lián)的電阻，把這種無并聯(lián)電阻的電流源稱為無伴電流源，電路中存在這類支路時，需要加一個補(bǔ)充方程。支路電流法的優(yōu)點(diǎn)是可以直接求出各支路電流，缺點(diǎn)是必須求解b個方程，若支路b較多，那么計算起來就很麻煩。3.2網(wǎng)孔電流法

網(wǎng)孔電流法是以網(wǎng)孔電流作為電路獨(dú)立變量，應(yīng)用KVL建立電路方程來求解電路中網(wǎng)孔電流的方法，該方法僅適用于平面電路。如圖3－3所示電路中，有3個網(wǎng)孔。網(wǎng)孔電流是人們假想的只在網(wǎng)孔邊界流動的電流。如圖3－3中，im1、im2為網(wǎng)孔電流，其參考方向是任意假定的，常將網(wǎng)孔電流的繞行方向選順時針或逆時針方向。如圖3－3所示電路中，由KCL得

i2=i1－i3

（3－5）節(jié)點(diǎn)電流可用網(wǎng)孔電流表示，當(dāng)支路中只有一個網(wǎng)孔時，該支路電流就等于該網(wǎng)孔電流；當(dāng)某支路中同時有幾個網(wǎng)孔電流通過時，則該支路電流就等于這幾個網(wǎng)孔電流的代數(shù)和。網(wǎng)孔電流是從網(wǎng)孔中某一個節(jié)點(diǎn)流進(jìn)，同時又從該節(jié)點(diǎn)流出，網(wǎng)孔電流自動滿足KCL。所以，我們只列寫KVL方程就可以了，對于平面電路，網(wǎng)孔就是獨(dú)立回路。圖3－3網(wǎng)孔電流法節(jié)點(diǎn)電流可用網(wǎng)孔電流表示，當(dāng)支路中只有一個網(wǎng)孔時，該支路電流就等于該網(wǎng)孔電流；當(dāng)某支路中同時有幾個網(wǎng)孔電流通過時，則該支路電流就等于這幾個網(wǎng)孔電流的代數(shù)和。網(wǎng)孔電流是從網(wǎng)孔中某一個節(jié)點(diǎn)流進(jìn)，同時又從該節(jié)點(diǎn)流出，網(wǎng)孔電流自動滿足KCL。所以，我們只列寫KVL方程就可以了，對于平面電路，網(wǎng)孔就是獨(dú)立回路。式（3－5）用網(wǎng)孔電流表示為i1=im1

i3=im2

i2=im1－im2

列寫KVL回路方程得R1im1+R2(im1－im2)＝us1－us2(網(wǎng)孔Ⅰ)R3im2+R2(im2－im1)=us2－us3(網(wǎng)孔Ⅱ)

整理后得(R1+R2)im1－R2im2=us1－us2

－R2im1+(R2+R3)im2=us2－us3

寫成一般形式為式（3－6）中：R11、R22分別是網(wǎng)孔Ⅰ和網(wǎng)孔Ⅱ的電阻之和，稱為自電阻，簡稱自阻；R12、R21分別是網(wǎng)孔Ⅰ和網(wǎng)孔Ⅱ的公共支路電阻，稱為互電阻，簡稱互阻；us11、us22分別是網(wǎng)孔Ⅰ和網(wǎng)孔Ⅱ的電壓源的代數(shù)和。通過互阻的兩個網(wǎng)孔電流參考方向相同時，互阻取正值；如果兩個網(wǎng)孔之間沒有公共電阻，則相應(yīng)的互阻為零；自阻恒為正值，各電壓源的方向與網(wǎng)孔電流方向一致時，前面取負(fù)號，反之取正號。以上規(guī)律推廣到含有m個網(wǎng)孔的電路，其網(wǎng)孔電流的一般形式為R11im1+R12im2+…+R1mimm=us11

R21im1+R22im2+…+R2mimm=us22

R31im1+R32im2+…+R3mimm=us33

Rm1im1+Rm2im2+…+Rmmimm=usmm

網(wǎng)孔分析法的計算步驟如下：

(1)在電路圖上標(biāo)明網(wǎng)孔電流及其參考方向。若全部網(wǎng)孔電流均選為順時針（或逆時針）方向，網(wǎng)孔方程的全部互阻前均取負(fù)號。

(2)列寫網(wǎng)孔方程。

(3)求解網(wǎng)孔方程，得到各網(wǎng)孔電流。

(4)假設(shè)支路電流的參考方向，根據(jù)支路電流與網(wǎng)孔電流的線性組合關(guān)系，求得各支路電流。

例3－2

用網(wǎng)孔分析法求如圖3－4所示電路中各支路電流。圖3－4例3－2用圖解電路共有3個網(wǎng)孔，選取網(wǎng)孔電流為im1、im2、im3，所以有

R11=2+1+2=5Ω

R22=2+6+3=11Ω

R33=1+6+3=10Ω

R12=R21=－2Ω

R23=R32=－6Ω

R31=R13=－1Ω

us11=－12V

us22=6V

us33=19V網(wǎng)孔電流方程為5im1－2im2－im3=－12V－2im1+11im2－6im3=6V－im1－6im2+10im3=19V用消去法或行列式法解得im1=－1Aim2=2Aim3=3A

進(jìn)而求得各支路電流為

i1=im1=－1A

i2=－im2=－2A

i3=im3=3A

i4=i3－i1=4A

i5=i1－i2=1A

i6=i3－i2=5A

例3－3電路中的網(wǎng)孔電流im1、im2、im3

如圖3－5所示,求各支路電流。圖3－5例3－3用圖

解由于8A電流源可以確定網(wǎng)孔電流im3=8A，因此只列寫另外兩個方程:4i1+2i2=12V2i1+6i2+3i3=20Vi3=8A

解得i1=4A,i2=－2A網(wǎng)孔電流法雖然僅適用于平面電路，但實(shí)際中的大多數(shù)電路都屬于平面電路，所以網(wǎng)孔電流法仍不失使用的廣泛性。對于非平面電路，我們采用回路電流法來求解電路中的回路電流。顯然，回路電流法不僅適用于非平面電路，更適用于平面電路。回路電流法列寫方程的方法與網(wǎng)孔電流法類似，im1、im2、im3…分別表示為回路電流。3.3節(jié)點(diǎn)電壓法節(jié)點(diǎn)電壓法是以電路中節(jié)點(diǎn)電壓為獨(dú)立變量，對n-1個獨(dú)立節(jié)點(diǎn)用KCL列寫節(jié)點(diǎn)電壓方程，從而求解電路中其他各電量的方法。下面以圖3－6為例，推導(dǎo)節(jié)點(diǎn)電壓方程。選取節(jié)點(diǎn)0為參考點(diǎn)，那么1、2、3的節(jié)點(diǎn)電壓分別設(shè)為un1、un2、un3，對節(jié)點(diǎn)1、2、3列寫KCL方程

由歐姆定律，得將上式代入式（3－7）中，整理后得(G1+G5)un1－G1un2－G5un3=G5us5+is

－G1un1+(G1+G2+G3)un2－G3un3=0－G5un1－G3un2+(G3+G4+G5)un3=－G4us4－G5us5

方程進(jìn)一步寫成式（3－8）中：G11、G22、G33分別是與節(jié)點(diǎn)1、2、3相關(guān)聯(lián)的各電導(dǎo)之和，稱為自電導(dǎo)；G12、G21分別是連接在節(jié)點(diǎn)1、2之間的電導(dǎo)之和，并取負(fù)號，稱為互電導(dǎo)；G23、G32分別是連接在節(jié)點(diǎn)2、3之間的電導(dǎo)之和,并取負(fù)號，稱為互電導(dǎo)；G13、G31分別是連接在節(jié)點(diǎn)1、3之間的電導(dǎo)之和,并取負(fù)號，稱為互電導(dǎo)；is11、is22、is33分別表示節(jié)點(diǎn)1、2、的注入電流。注入電流等于流向節(jié)點(diǎn)的電流源的代數(shù)和，流入節(jié)點(diǎn)者前取正號，流出節(jié)點(diǎn)者前取負(fù)號。注入電流源也包括圖3－6中電壓源和電阻串聯(lián)組合經(jīng)等效變換形成的電流源。自電導(dǎo)恒為正，互電導(dǎo)恒為負(fù)。

例3－4

電路如圖3－7所示，已知Us1=16V，Is3=2A，Us6=40V，R1=4Ω，R2=10Ω，R3=R4=R5=20Ω，R6=10Ω，設(shè)地為參考節(jié)點(diǎn)，求節(jié)點(diǎn)1、2的電壓un1和un2。圖3－7例3－4用圖

解電路參考方向如圖3－7所示，由已知條件可得列寫節(jié)點(diǎn)電壓方程:0.4un1－0.1un2=1.2－0.1un1＋0.25un2=6以上兩個方程聯(lián)立求得un1＝10Vun2＝28V習(xí)題3

3－1電路如圖（a）、（b）所示，在兩種情況下KCL、VL獨(dú)立方程各為多少？習(xí)題3－1圖

3－2用支路法計算如圖所示的各支路電流。習(xí)題3－2圖

3－3電路如圖所示，已知R1=R2=10Ω,R