《電路與線性系統(tǒng)分析》課件第3章

3.1線性電路基本分析概述3.2網(wǎng)孔分析法3.3節(jié)點(diǎn)分析法

3.4網(wǎng)孔法與節(jié)點(diǎn)法的比較習(xí)題三基本分析法適合分析復(fù)雜的線性電路，尤其是大規(guī)模電路。它采用規(guī)范的、程式化的解題步驟，因此，便于編程，借助計(jì)算機(jī)完成電路分析。3.1線性電路基本分析概述

用基本分析法時(shí)，一般不用變動(dòng)和簡(jiǎn)化電路結(jié)構(gòu)。無(wú)論求什么電量(電流、電壓或功率)，先選擇一組至少具有完備性的輔助電路變量；所謂完備性指：電路中的任何其它電量都能用該組輔助變量求出。再按照規(guī)范的步驟和統(tǒng)一的格式列出解輔助電量的方程組，并解之；然后通過(guò)這組輔助電量去求任何其它我們感興趣的電路電量。利用完備輔助電量的分析方法有：支路電流法和支路電壓法(統(tǒng)稱(chēng)為支路法)。前者選擇所有的支路電流為這組完備的輔助電量(請(qǐng)看1.5.2節(jié)的例1.5-4)；后者選擇全部支路電壓為完備的輔助電量。支路法的優(yōu)點(diǎn)是：輔助電量的物理概念明確，可直接測(cè)量；缺點(diǎn)是輔助電量的數(shù)目多，列、解方程的工作量大(手工計(jì)算時(shí)，是大問(wèn)題；對(duì)計(jì)算機(jī)不成問(wèn)題)。改進(jìn)方法就是減少輔助電量的數(shù)目，使輔助電量不僅具有完備性，而且要具有獨(dú)立性。所謂獨(dú)立性指：這組變量之間不能相互表示；比如，如果一組電流變量是獨(dú)立的，則其中各電流變量不受KCL的約束；如果一組電壓變量是獨(dú)立的，則各電壓變量之間不受KVL的約束。獨(dú)立性保證這組輔助電量的數(shù)目最少；完備性則保證能用這組輔助變量無(wú)一遺漏地求出電路中的任何其它電量。對(duì)于一個(gè)給定電路而言，獨(dú)立的、完備的電路變量數(shù)目是多少呢？可以論證：一個(gè)有b條支路、n個(gè)節(jié)點(diǎn)的電路，具有完備性和獨(dú)立性的電壓變量有n-1個(gè)；具有獨(dú)立性和完備性的電流變量有b-(n-1)個(gè)。利用獨(dú)立完備輔助電量的常見(jiàn)基本分析方法有：網(wǎng)孔分析法、節(jié)點(diǎn)分析法、回路分析法和割集分析法。本書(shū)只介紹網(wǎng)孔分析法和節(jié)點(diǎn)分析法，并且重點(diǎn)放在如何建立與未知變量個(gè)數(shù)相等、且相互獨(dú)立的方程組上。3.2網(wǎng)孔分析法

3.2.1網(wǎng)孔電流及網(wǎng)孔電流方程網(wǎng)孔電流是一種假想的、僅在構(gòu)成網(wǎng)孔的各條支路上流動(dòng)的電流。比如，圖3.2-1所示電路有三個(gè)網(wǎng)孔，三個(gè)網(wǎng)孔電流分別為ia、ib和ic。網(wǎng)孔電流的參考方向如虛線所示，可以任意假設(shè)。圖3.2-1網(wǎng)孔法示意圖選擇網(wǎng)孔電流作為一組獨(dú)立、完備的輔助電路變量，通過(guò)先列、解網(wǎng)孔電流方程組，求出網(wǎng)孔電流，再利用已知的網(wǎng)孔電流求其他電路電量的方法被稱(chēng)為網(wǎng)孔分析法。由網(wǎng)孔電流的含義可知，網(wǎng)孔電流流經(jīng)節(jié)點(diǎn)時(shí)，必定是一進(jìn)一出，自動(dòng)滿(mǎn)足KCL，所以，不可能通過(guò)節(jié)點(diǎn)的KCL方程建立網(wǎng)孔電流之間的約束關(guān)系。這就是說(shuō)，網(wǎng)孔電流之間線性無(wú)關(guān)，任何一個(gè)網(wǎng)孔電流都不可能通過(guò)其他網(wǎng)孔電流求出，因此，網(wǎng)孔電流是一組相互獨(dú)立的電路變量。假如已知圖3.2-1電路中的三個(gè)網(wǎng)孔電流ia、ib和ic，能否用網(wǎng)孔電流表示所有支路電流呢？請(qǐng)考慮片刻再往下看。從網(wǎng)孔與支路的關(guān)系上看，可把支路歸為兩類(lèi)：一類(lèi)支路被兩個(gè)相鄰網(wǎng)孔共同擁有，我們稱(chēng)之為公用支路。比如，圖3.2-1中的R3、R4和R2三條支路都屬公用支路。另一類(lèi)支路是僅被一個(gè)網(wǎng)孔單獨(dú)擁有，稱(chēng)之為獨(dú)享支路，比如圖3.2-1中的R5支路、R1支路和R6支路。公用支路電流為兩相鄰網(wǎng)孔電流的代數(shù)和，比如，i3=ia+ic，i2=ia-ib；獨(dú)享支路電流的大小為網(wǎng)孔電流，比如，i1=ia，i6=-ic。可見(jiàn)，所有支路電流都能用網(wǎng)孔電流表示，或者說(shuō)，支路電流都能通過(guò)網(wǎng)孔電流求出。又因?yàn)橹冯娏魇峭陚涞?，所以，網(wǎng)孔電流也具有完備性。網(wǎng)孔電流的個(gè)數(shù)等于網(wǎng)孔數(shù)，為b-(n-1)(論證見(jiàn)參考書(shū))。在圖3.2-1所示電路中，支路數(shù)b=6，節(jié)點(diǎn)數(shù)n=4，網(wǎng)孔電流數(shù)為6-(4-1)=3。要使b-(n-1)個(gè)未知網(wǎng)孔電流有唯一解，必須建立b-(n-1)個(gè)獨(dú)立的網(wǎng)孔電流方程。以下將側(cè)重討論列寫(xiě)網(wǎng)孔電流方程的方法，找出網(wǎng)孔電流方程的一般格式以便快速列寫(xiě)網(wǎng)孔電流方程。

由于網(wǎng)孔電流不受KCL的約束，因此，要根據(jù)KVL和元件的VAR列寫(xiě)網(wǎng)孔電流方程。以圖3.2-1電路為例，沿網(wǎng)孔電流繞行方向列網(wǎng)孔a的KVL方程，有R3i3+R2i2+us2+R1i1-us1=0用網(wǎng)孔電流表示支路電流，并代入上式，得R3(ia+ic)+R2(ia-ib)+us2+R1ia-us1=0整理為(R3+R2+R1)ia-R2ib+R3ic=us1-us2

(3.2-1)在式(3.2-1)中，蘊(yùn)含著網(wǎng)孔電流方程的一般規(guī)律，請(qǐng)觀察并嘗試尋找一下。為了下面敘述方便，引入兩個(gè)名詞：把構(gòu)成某個(gè)網(wǎng)孔的所有支路電阻之和稱(chēng)為該網(wǎng)孔的自電阻，比如，構(gòu)成網(wǎng)孔a的三條支路電阻分別為R3、R2和R1，則網(wǎng)孔a的自電阻為R3+R2+R1；把公用支路上的電阻稱(chēng)為互電阻，例如，支路電阻R2是網(wǎng)孔a與網(wǎng)孔b的互電阻，R3是網(wǎng)孔a與網(wǎng)孔c的互電阻。由式(3.2-1)這一特例，可歸納出網(wǎng)孔電流方程有如下格式：(3.2-2)在等式左邊，是構(gòu)成該網(wǎng)孔的所有電阻電壓的代數(shù)和，由一個(gè)自電阻電壓項(xiàng)和多個(gè)互電阻電壓項(xiàng)組成；互電阻電壓項(xiàng)個(gè)數(shù)等于與該網(wǎng)孔相鄰的網(wǎng)孔數(shù)。自電阻電壓項(xiàng)取“+”號(hào)，互電阻電壓項(xiàng)可“+”，可“-”。比如，在式(3.2-1)中，第一項(xiàng)(R3+R2+R1)ia是自電阻電壓項(xiàng)。因?yàn)榕c網(wǎng)孔a相鄰的有網(wǎng)孔b和網(wǎng)孔c，所以式(3.2-1)中的互電阻電壓項(xiàng)是兩個(gè)：-R2ib是相鄰網(wǎng)孔電流ib在公用互電阻R2上產(chǎn)生的電壓；R3ic是相鄰網(wǎng)孔電流ic在公用互電阻R3上產(chǎn)生的電壓。要特別注意互電阻電壓項(xiàng)的“±”取值。若流過(guò)互電阻的兩網(wǎng)孔電流方向相反，對(duì)應(yīng)的互電阻電壓項(xiàng)取“-”，如式(3.2-1)中的-R2ib項(xiàng)。若流過(guò)互電阻的兩網(wǎng)孔電流方向一致，則對(duì)應(yīng)的互電阻電壓項(xiàng)取“+”，如式(3.2-1)中的R3ic項(xiàng)。等式右邊為電壓源的代數(shù)和。沿網(wǎng)孔電流繞行方向，若電壓源是電位升，該電壓源取“+”號(hào)，如式(3.2-1)中的us1；反之，若是電位降，取“-”號(hào)，如式(3.2-1)中的-us2。

掌握了網(wǎng)孔電流方程的規(guī)律，則可走捷徑，跳過(guò)前述列KVL方程、代入、整理等一系列步驟，直接按一般格式列出網(wǎng)孔電流方程。觀察圖3.2-1電路，根據(jù)方程格式(3.2-2)，另外兩個(gè)網(wǎng)孔電流方程分別為網(wǎng)孔b(R2+R4+R5)ib-R2ia+R4ic=us2(3.2-3)網(wǎng)孔c

(R3+R4+R6)ic+R3ia+R4ib=0(3.2-4)

聯(lián)立式(3.2-1)、式(3.2-3)和式(3.2-4)，能解出網(wǎng)孔電流ia、ib、ic。

例3.2-1電路如圖3.2-2(a)所示，求電流Ig和電壓源提供的功率。圖3.2-2例3.2-1電路請(qǐng)考慮，能用等效變換法分析此題嗎？這是一個(gè)非平衡電橋電路，電阻元件非串并連接，不能用串并聯(lián)等效化簡(jiǎn)；其次，求兩條支路的電量問(wèn)題，用等效分析法要做兩次等效，比較繁雜，故該題采用等效變換法不如網(wǎng)孔分析法好。解：第一步，設(shè)網(wǎng)孔電流的參考方向均順時(shí)針繞行，如圖3.2-2(b)虛線所示。第二步，列寫(xiě)網(wǎng)孔電流方程。網(wǎng)孔1

(10+20+30)I1-20I2-30I3=0網(wǎng)孔2

(20+20+25)I2-20I1-25I3=0網(wǎng)孔3

(30+25+30)I3-30I1-25I2=11整理得6I1-2I2-3I3=0

(1)

-4I1+13I2-5I3=0

(2)

-30I1-25I2+85I3=11(3)第三步，用消元法求三個(gè)網(wǎng)孔電流。式(1)×2+式(2)×3，消去I1，得35I2-21I3=0

(4)式(1)×5+式(3)，消去I1，得

-35I2+70I3=11

(5)式(4)+式(5)，得把I3代入式(4)，得把I3與I2代入式(1)，得第四步，利用網(wǎng)孔電流求Ig和電壓源的功率。(提供功率)用網(wǎng)孔法分析電路的步驟概括如下：

(1)選取并在電路中標(biāo)出網(wǎng)孔電流及參考方向。為避免互電阻電壓項(xiàng)“±”取值的復(fù)雜性，一般設(shè)網(wǎng)孔電流都順時(shí)針或逆時(shí)針繞行。在這種情況下，流過(guò)互電阻的兩個(gè)網(wǎng)孔電流反方向，互電阻電壓項(xiàng)都取“-”號(hào),見(jiàn)例3.2-1。

(2)找出各網(wǎng)孔的互電阻和自電阻，按式(3.2-2)的格式列寫(xiě)所需的網(wǎng)孔電流方程組。

(3)解方程組，求出網(wǎng)孔電流。

(4)利用已知的網(wǎng)孔電流，再求其他感興趣的電量。

在本小節(jié)結(jié)尾，我們?cè)倩仡^觀察一下本節(jié)分析的兩個(gè)電路，圖3.2-1和圖3.2-2。電路中除電阻和電壓源外，沒(méi)有其他類(lèi)型的元件。與此對(duì)應(yīng)，通式(3.2-2)含義是：網(wǎng)孔中所有電阻電壓的代數(shù)和等于網(wǎng)孔中所有電壓源電壓的代數(shù)和。如果電路中有電流源、受控源，該怎么處理？又該怎么利用通式？在以下幾小節(jié)，將進(jìn)一步討論各種情況下的列方程問(wèn)題。3.2.2含電流源電路的網(wǎng)孔分析在列寫(xiě)網(wǎng)孔電流方程時(shí)，如果遇到電流源，要根據(jù)電流源的不同情況做不同的處理。下面舉例說(shuō)明。例3.2-2電路如圖3.2-3(a)所示，請(qǐng)列出所需的網(wǎng)孔電流方程。圖3.2-3例3.2-2電路解：題中出現(xiàn)了實(shí)際電流源，先把它轉(zhuǎn)換為實(shí)際電壓源，見(jiàn)圖3.2-3(b)，再設(shè)網(wǎng)孔電流。圖3.2-3(b)中兩個(gè)網(wǎng)孔電流方程分別為網(wǎng)孔1

(R1+Rs+R2)i1-Rsi2=-Rsis

網(wǎng)孔2

(R3+R4+Rs)i2-Rsi1=Rsis

例3.2-3電路如圖3.2-4所示，請(qǐng)列出所需的網(wǎng)孔電流方程。分析：在網(wǎng)孔3獨(dú)享支路上出現(xiàn)了電流源，該電流源不能轉(zhuǎn)換為電壓源，但可以作為網(wǎng)孔電流i3。設(shè)網(wǎng)孔電流如圖所示。網(wǎng)孔3的網(wǎng)孔電流i3等于已知電流源電流is。在此情況下，只有兩個(gè)未知網(wǎng)孔電流，故只需列兩個(gè)網(wǎng)孔電流方程。圖3.2-4例3.2-3電路

解：網(wǎng)孔3

i3=is

網(wǎng)孔1(R1+R2+R3)i1-R2is-R3i2=-us

(1)網(wǎng)孔2(R3+R4+R5)i2-R3i1-R4is=us(2)通過(guò)聯(lián)立式(1)和式(2)可求出未知網(wǎng)孔電流i1、i2。告誡：不要列網(wǎng)孔3的KVL方程，請(qǐng)考慮為什么。

例3.2-4電路如圖3.2-5(a)所示，請(qǐng)列出所需的網(wǎng)孔電流方程。圖3.2-5例3.2-4電路分析：題中電流源出現(xiàn)在公用支路上，它既不能轉(zhuǎn)換為電壓源，又不能作為網(wǎng)孔電流。在列網(wǎng)孔電流方程前設(shè)電流源的端電壓，它是未知量；列網(wǎng)孔電流方程時(shí)，把未知的電流源電壓作為電壓源處理。解：設(shè)網(wǎng)孔電流、電流源電壓ux，見(jiàn)圖3.2-5(b)。三個(gè)網(wǎng)孔電流方程分別為網(wǎng)孔1

(R1+R2+R3)i1-R2i3-R3i2=-us

(1)網(wǎng)孔2

(R3+R4)i2-R3i1=us-ux

(2)網(wǎng)孔3

(R2+R5)i3-R2i1=ux

(3)

在以上三個(gè)獨(dú)立的網(wǎng)孔電流方程中有四個(gè)未知量，要得到唯一解，還需補(bǔ)充一個(gè)獨(dú)立方程。增加電流源支路電流與網(wǎng)孔電流的關(guān)系式i2-i3=is

(4)聯(lián)立這四個(gè)獨(dú)立方程，可唯一解得四個(gè)網(wǎng)孔電流。處理電流源的方法歸納如下：如果是實(shí)際電流源，先等效變換為實(shí)際電壓源，再列網(wǎng)孔電流方程；如果不是在公用支路上的電流源，則把該電流源電流作為網(wǎng)孔電流，由于未知網(wǎng)孔電流數(shù)減少，網(wǎng)孔電流方程數(shù)也減少，已知網(wǎng)孔電流的網(wǎng)孔KVL方程不用列寫(xiě)；如果電流源在公用支路上，設(shè)電流源電壓為未知電路變量，由于待求電路變量數(shù)增加，除了列寫(xiě)網(wǎng)孔電流方程外，還要補(bǔ)充電流源電流與網(wǎng)孔電流關(guān)系的輔助方程。

例3.2-5電路如圖3.2-6(a)所示，求5Ω電阻和2V電壓源的功率。圖3.2-6例3.2-5電路

用網(wǎng)孔分析法的思路：見(jiàn)圖3.2-6(b)。先求網(wǎng)孔電流I1，通過(guò)I1可求出2V電壓源的功率和流過(guò)5Ω電阻的電流I，再求5Ω電阻消耗的功率。解：設(shè)以下分析所用電量及其參考方向如圖3.2-6(b)所示，已知網(wǎng)孔3的網(wǎng)孔電流為2A。網(wǎng)孔1的KVL方程為6I1-5×2=2-Ux

(1)網(wǎng)孔2的KVL方程為6I2-3×2=Ux

(2)補(bǔ)充方程

I2-I1=5A

(3)用式(1)+式(2)，消去Ux，得

I1+I2=3A

(4)用式(4)-式(3)，得

I1=-1A流過(guò)5Ω電阻的電流I=I1-2=-3A5Ω電阻的功率

P=5I2=5×(-3)2=45W2V電壓源的功率

P=-2×I1=-2×(-1)=2W3.2.3含受控源電路的網(wǎng)孔分析在基本分析法中，無(wú)論是網(wǎng)孔法還是將要學(xué)習(xí)的節(jié)點(diǎn)法，受控源的處理方法與獨(dú)立源相同。在網(wǎng)孔法中，把不在公用支路上的受控電流源的電流作為網(wǎng)孔電流；若受控電流源在公用支路上，設(shè)其端電壓為未知量，再列方程。對(duì)于實(shí)際受控電流源，在不丟失控制量的條件下，轉(zhuǎn)換為實(shí)際受控電壓源。需要特別注意的是，當(dāng)受控源的控制量不是網(wǎng)孔電流時(shí)，未知電量的數(shù)目要增加，除了未知網(wǎng)孔電流外，還有未知控制量。因此，除了列網(wǎng)孔的KVL方程外，還需要補(bǔ)充輔助方程，一般是補(bǔ)充控制量與網(wǎng)孔電流的關(guān)系式。例3.2-6請(qǐng)列出圖3.2-7(a)所示電路的網(wǎng)孔電流方程。圖3.2-7例3.2-6電路

解：把實(shí)際受控電流源轉(zhuǎn)換為實(shí)際受控電壓源，并設(shè)網(wǎng)孔電流，見(jiàn)圖(b)。在該題中，受控源的控制量i正好是左網(wǎng)孔的網(wǎng)孔電流。左網(wǎng)孔的KVL方程(R1+R2)i-R2i1=us

(1)右網(wǎng)孔的KVL方程(R2+R3+R4)i1-R2i=-2R3i

整理得

(R2+R3+R4)i1+(2R3-R2)i=0

(2)式(1)和式(2)是該電路的網(wǎng)孔電流方程。在這個(gè)例子中，未知電量數(shù)目與網(wǎng)孔數(shù)目相等，故不用補(bǔ)充方程。例3.2-7請(qǐng)列出圖3.2-8所示電路的網(wǎng)孔電流方程。圖3.2-8例3.2-7電路

分析：受控電流源不在公用支路上，其值可作為網(wǎng)孔3的網(wǎng)孔電流；由于兩個(gè)受控源的控制量I、U都不是網(wǎng)孔電流，故電路中的未知電量除了兩個(gè)網(wǎng)孔電流外，還有兩個(gè)控制量，需要列4個(gè)獨(dú)立方程。

解：設(shè)網(wǎng)孔電流如圖所示。網(wǎng)孔1和網(wǎng)孔2的KVL方程如下：網(wǎng)孔1(R2+R3+R1)I1-R3I2-R2αI=Us

網(wǎng)孔2(R4+R5+R3)I2-R3I1-R4αI=-μU

以上2個(gè)方程中有4個(gè)未知數(shù)，還需要補(bǔ)充2個(gè)控制量與網(wǎng)孔電流的關(guān)系式：

I=I1-I2

U=-R1I1聯(lián)立以上四個(gè)式子，可解出I1、I2、I和U。3.3節(jié)點(diǎn)分析法3.3.1節(jié)點(diǎn)電壓及節(jié)點(diǎn)電壓方程

在電路中，任選一個(gè)節(jié)點(diǎn)為參考節(jié)點(diǎn)，用符號(hào)“⊥”表示，把其他各節(jié)點(diǎn)與參考節(jié)點(diǎn)之間的電壓稱(chēng)為該節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)電壓或該節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)電位。顯然，在有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的電路中，共有n-1個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓。比如，圖3.3-1所示電路有4個(gè)節(jié)點(diǎn)，若選節(jié)點(diǎn)④為參考節(jié)點(diǎn)，則其余三個(gè)節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)電壓分別為u1、u2和u3。節(jié)點(diǎn)電壓的參考極性可以任意假設(shè)，當(dāng)假設(shè)節(jié)點(diǎn)處為節(jié)點(diǎn)電壓的“+”極性，參考節(jié)點(diǎn)為“-”極性時(shí)，可以省略標(biāo)注節(jié)點(diǎn)電壓的參考方向。比如，圖3.3-1中三個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓的參考極性都可省略不標(biāo)。圖3.3-1節(jié)點(diǎn)電壓示意圖所謂節(jié)點(diǎn)分析法是指選擇節(jié)點(diǎn)電壓為一組輔助變量，通過(guò)列、解節(jié)點(diǎn)電壓方程組，求出節(jié)點(diǎn)電壓，再利用節(jié)點(diǎn)電壓去求其他電路電量的方法。

已知節(jié)點(diǎn)電壓，可以求出所有的支路電壓。節(jié)點(diǎn)電壓與支路電壓的關(guān)系與支路的接法有關(guān)。電路中的支路有兩種接法：一種是接在兩個(gè)非參考節(jié)點(diǎn)之間的支路，這類(lèi)支路電壓等于兩節(jié)點(diǎn)電壓的代數(shù)和。比如，圖3.3-1中G1支路接在非參考節(jié)點(diǎn)①和節(jié)點(diǎn)②之間，該支路電壓與節(jié)點(diǎn)電壓的關(guān)系為u=u1-u2。另一種支路是接在節(jié)點(diǎn)與參考節(jié)點(diǎn)之間，這類(lèi)支路電壓的大小等于節(jié)點(diǎn)電壓。圖3.3-1中的is1、G2和G4三條支路都屬于這類(lèi)支路。比如，is1支路電壓的大小等于節(jié)點(diǎn)電壓u1；G2支路電壓大小等于節(jié)點(diǎn)電壓u2。節(jié)點(diǎn)電壓不受KVL的約束，因此，建立節(jié)點(diǎn)電壓方程時(shí)，只能通過(guò)KCL和元件的伏安關(guān)系來(lái)完成。下面以圖3.3-2所示電路為例，找出節(jié)點(diǎn)電壓方程的一般格式。圖3.3-2節(jié)點(diǎn)電壓法示意圖圖3.3-2所示電路有4個(gè)節(jié)點(diǎn)，選擇節(jié)點(diǎn)④為參考節(jié)點(diǎn)，3個(gè)未知節(jié)點(diǎn)電壓分別為u1、u2和u3。要得到節(jié)點(diǎn)電壓的唯一解，需要列寫(xiě)3個(gè)獨(dú)立的節(jié)點(diǎn)電壓方程。在圖示參考方向下，節(jié)點(diǎn)①的電流方程為把各電阻元件的伏安關(guān)系代入上式，有整理得(3.3-1)式(3.3-1)與網(wǎng)孔電流方程有相似的格式。如果把與某個(gè)節(jié)點(diǎn)相連的所有支路電導(dǎo)之和稱(chēng)為自電導(dǎo)，那么，式(3.3-1)中u1前的系數(shù)G1+G3+G2是節(jié)點(diǎn)①的自電導(dǎo)；若把公用支路上的電導(dǎo)稱(chēng)為互電導(dǎo)，在式(3.3-1)中，G3是連接節(jié)點(diǎn)①與節(jié)點(diǎn)②的互電導(dǎo)，G2是連接節(jié)點(diǎn)①與節(jié)點(diǎn)③的互電導(dǎo)。式(3.3-1)節(jié)點(diǎn)電壓方程有如下格式：(3.3-2)對(duì)通式(3.3-2)作幾點(diǎn)說(shuō)明：

(1)在通式(3.3-2)中，等式左邊是與本節(jié)點(diǎn)相連的所有電導(dǎo)支路電流的代數(shù)和，等式右邊是與本節(jié)點(diǎn)相連的所有電流源電流的代數(shù)和。

(2)自電導(dǎo)電流項(xiàng)的“±”號(hào)取值與本節(jié)點(diǎn)電壓的參考方向有關(guān)。若本節(jié)點(diǎn)處是節(jié)點(diǎn)電壓的“+”極性，則自電導(dǎo)電流項(xiàng)前取“+”；反之，若本節(jié)點(diǎn)處是節(jié)點(diǎn)電壓的“-”極性，自電導(dǎo)電流項(xiàng)前則取“-”。比如在圖(3.3-2)中，u1的“+”極性設(shè)在節(jié)點(diǎn)①，所以，自電導(dǎo)電流項(xiàng)(G1+G3+G2)u1取“+”號(hào)。

(3)互電導(dǎo)電流項(xiàng)的“±”取值與相鄰節(jié)點(diǎn)電壓的參考方向有關(guān)。若相鄰節(jié)點(diǎn)設(shè)為節(jié)點(diǎn)電壓的“+”極性，互電導(dǎo)電流項(xiàng)則取“-”；反之，則取“+”。比如，在圖(3.3-2)中，節(jié)點(diǎn)②為u2的“+”極性，所以，式(3.3-2)中的互電導(dǎo)電流項(xiàng)G3u2取“-”。

(4)在等式右邊電流源電流的代數(shù)和中，流入節(jié)點(diǎn)的電流源取“+”；反之，流出取“-”。觀察圖(3.3-2)所示電路，找出節(jié)點(diǎn)②和節(jié)點(diǎn)③的自電導(dǎo)、互電導(dǎo)及相關(guān)電流源，代入通式(3.3-2)，可得電路的另外兩個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓方程：節(jié)點(diǎn)②的KCL方程

(G3+G4+G5)u2-G3u1-G5u3=0(3.3-3)節(jié)點(diǎn)③的KCL方程(G2+G5+G6)u3-G2u1-G5u2=is2(3.3-4)式(3.3-2)、式(3.3-3)、式(3.3-4)為圖(3.3-2)所示電路的節(jié)點(diǎn)電壓方程組，聯(lián)立這三個(gè)方程，可獲得u1、u2、u3的唯一解。

例3.3-1電路如圖3.3-3(a)所示，求電流源功率和6Ω電阻支路的電流I。圖3.3-3例3.3-1電路分析：本題求三條支路的電量，如果用等效變換法，要做三個(gè)不同端口的三次等效，運(yùn)算量較大。若選網(wǎng)孔法，可以只列一個(gè)網(wǎng)孔電流方程，運(yùn)算量小，是一種較好的選擇，請(qǐng)讀者自己練習(xí)。為了熟悉節(jié)點(diǎn)分析法的解題過(guò)程，此題選擇節(jié)點(diǎn)分析法。解：第一步，選擇參考節(jié)點(diǎn)、設(shè)節(jié)點(diǎn)電壓及參考方向如圖3.3-3(b)所示。第二步，按式(3.3-2)的格式，列寫(xiě)圖3.3-3(b)的節(jié)點(diǎn)電壓方程。節(jié)點(diǎn)1整理得4U1-U2=6

(1)節(jié)點(diǎn)2

整理得-7U1+13U2=-168

(2)第三步，解方程，求節(jié)點(diǎn)電壓U1和U2。式(1)×13+式(2)，得U1=-2V把U1值代入式(1)，得U2=-14V第四步，根據(jù)已知節(jié)點(diǎn)電壓，求題目指定的電量。

1A電流源的功率P1A=-1×U1=-1×(-2)=2W(吸收功率)

4A電流源的功率

P4A=4×U2=4×(-14)=-56W(提供功率)支路電流I

用節(jié)點(diǎn)法分析電路的步驟概括如下：

(1)選取并在電路中標(biāo)出參考節(jié)點(diǎn)及節(jié)點(diǎn)電壓的參考方向。為避免麻煩，一般均設(shè)參考節(jié)點(diǎn)為“-”極性，其他各節(jié)點(diǎn)電壓為“+”極性。在此情況下，互電導(dǎo)電流項(xiàng)前都取“-”號(hào)。

(2)按式(3.3-2)的格式列寫(xiě)出所需的節(jié)點(diǎn)電壓方程組。

(3)解方程組，求出節(jié)點(diǎn)電壓。

(4)利用已知的節(jié)點(diǎn)電壓，再求其他感興趣的電量。以上只討論了由電流源和電阻構(gòu)成的電路，下面要進(jìn)一步地討論：電路中有電壓源和受控源時(shí)，怎樣列寫(xiě)節(jié)點(diǎn)電壓方程。3.3.2含電壓源電路的節(jié)點(diǎn)分析

列節(jié)點(diǎn)電壓方程時(shí)若遇到電壓源，要根據(jù)不同情況做不同的處理。如果是實(shí)際電壓源，先轉(zhuǎn)換成實(shí)際電流源再列方程；如果是電壓源，不能轉(zhuǎn)換為電流源，分兩種情況處理。第一種情況，電壓源的一端接參考節(jié)點(diǎn)，則接電壓源另一端的節(jié)點(diǎn)電壓是已知的，其值等于電壓源電壓。在此情況下，電路的未知節(jié)點(diǎn)電壓數(shù)減少，需要列寫(xiě)的方程數(shù)也隨之減少。

例3.3-2請(qǐng)列出圖3.3-4(a)所示電路的節(jié)點(diǎn)電壓方程。圖3.3-4例3.3-2電路解：第一步，把2V實(shí)際電壓源轉(zhuǎn)換為實(shí)際電流源(熟練后可以省略這步)；選擇參考節(jié)點(diǎn)和標(biāo)注各節(jié)點(diǎn)電壓，見(jiàn)圖3.3-4(b)。為減少節(jié)點(diǎn)電壓的數(shù)目，把參考節(jié)點(diǎn)選在節(jié)點(diǎn)④，則節(jié)點(diǎn)①的節(jié)點(diǎn)電壓U1=4V，為已知節(jié)點(diǎn)電壓。因此，未知節(jié)點(diǎn)電壓只有2個(gè)，僅需列兩個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓方程。第二步，按照式(3.3-2)的格式，列圖3.3-4(b)的節(jié)點(diǎn)電壓方程。節(jié)點(diǎn)②的KCL方程(2+2+3)U2-2×4-2U3=4節(jié)點(diǎn)③的KCL方程(4+2+5)U3-4×4-2U2=-4請(qǐng)考慮：為什么不列節(jié)點(diǎn)①的KCL方程？第二種情況：電壓源跨接在非參考節(jié)點(diǎn)之間。比如，圖3.3-5電路中的電壓源us2就屬這種情況。在列方程之前，先設(shè)us2

支路電流；列寫(xiě)方程時(shí)，把該未知電流作為電流源寫(xiě)在等式右邊。在這種情況下，未知電量數(shù)目增加，因此方程數(shù)也要相應(yīng)地增加，除了列節(jié)點(diǎn)電壓方程外，還需要補(bǔ)充輔助方程，通常，補(bǔ)充電壓源電壓與節(jié)點(diǎn)電壓的關(guān)系式。

例3.3-3請(qǐng)列出圖3.3-5所示電路的節(jié)點(diǎn)電壓方程。圖3.3-5含電壓源的電路示例解：設(shè)us2電壓源支路的電流為ix，如圖所示。節(jié)點(diǎn)①的電壓已知，u1=us1，該節(jié)點(diǎn)方程不必再列。節(jié)點(diǎn)②和節(jié)點(diǎn)③的KCL方程分別為節(jié)點(diǎn)②

(G1+G3)u2-G1us1=-ix

(1)節(jié)點(diǎn)③

(G4+G5)u3-G4us1=ix

(2)以上兩個(gè)方程中有三個(gè)未知數(shù)，少一個(gè)方程，補(bǔ)充電壓源us2與節(jié)點(diǎn)電壓的關(guān)系式，為u2-u3=us2

(3)3.3.3含受控源電路的節(jié)點(diǎn)分析在列節(jié)點(diǎn)電壓方程時(shí)，受控源仿照獨(dú)立源的方法處理。與獨(dú)立源不同的是，當(dāng)受控源的控制量不是節(jié)點(diǎn)電壓時(shí)，未知電量數(shù)目增加，除了節(jié)點(diǎn)電壓外，還有控制量。因此，在列方程時(shí)，除了列節(jié)點(diǎn)的KCL方程外，還要補(bǔ)充方程，一般是補(bǔ)充控制量與節(jié)點(diǎn)電壓的關(guān)系式。

例3.3-4電路如圖3.3-6(a)所示，請(qǐng)列出所需要的節(jié)點(diǎn)電壓方程。圖3.3-6例3.3-4電路你可能會(huì)立刻把參考節(jié)點(diǎn)選在節(jié)點(diǎn)③。用節(jié)點(diǎn)法時(shí)，特別對(duì)于有受控源和電壓源的電路，不可輕視參考節(jié)點(diǎn)的選擇。參考節(jié)點(diǎn)選擇在不同的位置，直接影響列、解方程的數(shù)目。下面采用兩種不同的參考節(jié)點(diǎn)選擇方案，從中幫助你了解參考節(jié)點(diǎn)的位置對(duì)分析難易程度的影響，以及如何建立受控源電路的節(jié)點(diǎn)電壓方程。

解：方法一，把參考節(jié)點(diǎn)選在節(jié)點(diǎn)③，見(jiàn)圖3.3-6(b)。未知電量除了兩個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓外，還有一個(gè)控制量u，需要列三個(gè)獨(dú)立的方程。節(jié)點(diǎn)1(1)節(jié)點(diǎn)2(2)輔助方程(3)方法二，把參考節(jié)點(diǎn)選在節(jié)點(diǎn)②，如圖3.3-6(c)所示。這時(shí)，節(jié)點(diǎn)①的節(jié)點(diǎn)電壓就是受控源的控制量u，未知電量為兩個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓，只需列兩個(gè)獨(dú)立的方程。節(jié)點(diǎn)1(2)(1)節(jié)點(diǎn)3合并u項(xiàng)，整理得可見(jiàn)，合理地選擇參考節(jié)點(diǎn)可以減少未知量的數(shù)目，減少列、解方程的工作量。在手工計(jì)算時(shí)，最大限度地減少方程數(shù)是人們追求的目標(biāo)，所以，要認(rèn)真審題，選擇參考節(jié)點(diǎn)的最佳位置。隨著計(jì)算機(jī)性能的提高和算法的不斷完善，列、解方程的工作能由計(jì)算機(jī)輕松地完成。

例3.3-5電路如圖3.3-7(a)所示，求電源的功率。圖3.3-7例3.3-5電路

解：采用節(jié)點(diǎn)分析法。把參考節(jié)點(diǎn)選在節(jié)點(diǎn)③，設(shè)節(jié)點(diǎn)電壓、流過(guò)電壓源的電流如圖(b)所示。2個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓加1個(gè)控制量，共3個(gè)待求電量，需要列3個(gè)獨(dú)立方程。節(jié)點(diǎn)1(1)節(jié)點(diǎn)2(2)輔助方程(3)把式(3)代入式(2)，消去I1，得U1=2U2

(4)把式(4)代入式(1)，消去U1，求得U2=6.25V再把U2值代入式(3)與式(4)，求得U1=12.5VI1=0.625A

根據(jù)已知的U1、U2和I1值，計(jì)算出20V電壓源的功率為受控源的功率為3.4網(wǎng)孔法與節(jié)點(diǎn)法的比較

當(dāng)我們掌握了多種電路分析方法后，在分析具體的電路問(wèn)題時(shí)，又會(huì)產(chǎn)生選用哪種方法好的困惑。比如，在什么情況下用節(jié)點(diǎn)法比用網(wǎng)孔法好，反之亦然？要做出比較恰當(dāng)?shù)倪x擇，首先要對(duì)各種方法以及分析對(duì)象的特點(diǎn)有所了解，然后再綜合考慮，做出取舍。一般可從以下三個(gè)方面考慮。

1.電路結(jié)構(gòu)

(1)觀察電路是平面結(jié)構(gòu)還是非平面結(jié)構(gòu)？如果一個(gè)電路無(wú)論怎樣畫(huà)都會(huì)在平面上出現(xiàn)交叉支路，則稱(chēng)之為非平面電路，否則，就是平面電路。若電路非平面，選節(jié)點(diǎn)法，網(wǎng)孔法不能用于分析非平面電路。

(2)看電路中網(wǎng)孔數(shù)多還是節(jié)點(diǎn)數(shù)多。若網(wǎng)孔數(shù)多于節(jié)點(diǎn)數(shù)，選節(jié)點(diǎn)法更合適，反之，若節(jié)點(diǎn)數(shù)多于網(wǎng)孔數(shù)，選網(wǎng)孔法則更好。

(3)電路中是串聯(lián)元件多還是并聯(lián)元件多。當(dāng)串聯(lián)元件多時(shí)，可能選網(wǎng)孔法較好，反之，選節(jié)點(diǎn)法。

2.元件類(lèi)型網(wǎng)孔法善于處理電壓源，節(jié)點(diǎn)法則偏愛(ài)電流源，所以，在選擇方法時(shí)，要盡可能地充分利用其長(zhǎng)處。若電路中電壓源多，或非公用支路上的電流源多，選網(wǎng)孔法較好；若電路中電流源多，或接參考節(jié)點(diǎn)的電壓源多，一般選節(jié)點(diǎn)法更合適。在選擇方法時(shí)，要綜合考慮以上各種因素，使方程數(shù)目最少。

3.關(guān)注的電量

選擇方法的另一個(gè)角度是從你關(guān)注的電量去考慮，即需要求解什么電量。如果需要求解若干支路電壓，最好選節(jié)點(diǎn)法；若是需要求解若干支路電流，就可以選擇網(wǎng)孔法。例3.4-1電路如圖3.4-1(a)所示，請(qǐng)選擇一種方程數(shù)少的方法求電壓U。圖3.4-1例3.4-1電路分析：若選擇網(wǎng)孔法，5A電流源可作為網(wǎng)孔電流；由于網(wǎng)孔1與網(wǎng)孔2之間無(wú)互電阻，所以列一個(gè)網(wǎng)孔1的KVL方程就可求出電流I1；然后，再根據(jù)歐姆定律U=20(5-I1)，求電壓U。如果選擇節(jié)點(diǎn)法，把參考節(jié)點(diǎn)選在圖(b)所示位置，則節(jié)點(diǎn)①和節(jié)點(diǎn)②都是已知電壓，節(jié)點(diǎn)③電壓為-U，只要列節(jié)點(diǎn)③的KCL方程，便可求出電壓U。因而，節(jié)點(diǎn)法簡(jiǎn)單，選用節(jié)點(diǎn)法。

解：節(jié)點(diǎn)③的KCL方程為