《電路與線性系統(tǒng)分析》課件第3章

3.1線性電路基本分析概述3.2網(wǎng)孔分析法3.3節(jié)點分析法

3.4網(wǎng)孔法與節(jié)點法的比較習題三基本分析法適合分析復雜的線性電路，尤其是大規(guī)模電路。它采用規(guī)范的、程式化的解題步驟，因此，便于編程，借助計算機完成電路分析。3.1線性電路基本分析概述

用基本分析法時，一般不用變動和簡化電路結構。無論求什么電量(電流、電壓或功率)，先選擇一組至少具有完備性的輔助電路變量；所謂完備性指：電路中的任何其它電量都能用該組輔助變量求出。再按照規(guī)范的步驟和統(tǒng)一的格式列出解輔助電量的方程組，并解之；然后通過這組輔助電量去求任何其它我們感興趣的電路電量。利用完備輔助電量的分析方法有：支路電流法和支路電壓法(統(tǒng)稱為支路法)。前者選擇所有的支路電流為這組完備的輔助電量(請看1.5.2節(jié)的例1.5-4)；后者選擇全部支路電壓為完備的輔助電量。支路法的優(yōu)點是：輔助電量的物理概念明確，可直接測量；缺點是輔助電量的數(shù)目多，列、解方程的工作量大(手工計算時，是大問題；對計算機不成問題)。改進方法就是減少輔助電量的數(shù)目，使輔助電量不僅具有完備性，而且要具有獨立性。所謂獨立性指：這組變量之間不能相互表示；比如，如果一組電流變量是獨立的，則其中各電流變量不受KCL的約束；如果一組電壓變量是獨立的，則各電壓變量之間不受KVL的約束。獨立性保證這組輔助電量的數(shù)目最少；完備性則保證能用這組輔助變量無一遺漏地求出電路中的任何其它電量。對于一個給定電路而言，獨立的、完備的電路變量數(shù)目是多少呢？可以論證：一個有b條支路、n個節(jié)點的電路，具有完備性和獨立性的電壓變量有n-1個；具有獨立性和完備性的電流變量有b-(n-1)個。利用獨立完備輔助電量的常見基本分析方法有：網(wǎng)孔分析法、節(jié)點分析法、回路分析法和割集分析法。本書只介紹網(wǎng)孔分析法和節(jié)點分析法，并且重點放在如何建立與未知變量個數(shù)相等、且相互獨立的方程組上。3.2網(wǎng)孔分析法

3.2.1網(wǎng)孔電流及網(wǎng)孔電流方程網(wǎng)孔電流是一種假想的、僅在構成網(wǎng)孔的各條支路上流動的電流。比如，圖3.2-1所示電路有三個網(wǎng)孔，三個網(wǎng)孔電流分別為ia、ib和ic。網(wǎng)孔電流的參考方向如虛線所示，可以任意假設。圖3.2-1網(wǎng)孔法示意圖選擇網(wǎng)孔電流作為一組獨立、完備的輔助電路變量，通過先列、解網(wǎng)孔電流方程組，求出網(wǎng)孔電流，再利用已知的網(wǎng)孔電流求其他電路電量的方法被稱為網(wǎng)孔分析法。由網(wǎng)孔電流的含義可知，網(wǎng)孔電流流經(jīng)節(jié)點時，必定是一進一出，自動滿足KCL，所以，不可能通過節(jié)點的KCL方程建立網(wǎng)孔電流之間的約束關系。這就是說，網(wǎng)孔電流之間線性無關，任何一個網(wǎng)孔電流都不可能通過其他網(wǎng)孔電流求出，因此，網(wǎng)孔電流是一組相互獨立的電路變量。假如已知圖3.2-1電路中的三個網(wǎng)孔電流ia、ib和ic，能否用網(wǎng)孔電流表示所有支路電流呢？請考慮片刻再往下看。從網(wǎng)孔與支路的關系上看，可把支路歸為兩類：一類支路被兩個相鄰網(wǎng)孔共同擁有，我們稱之為公用支路。比如，圖3.2-1中的R3、R4和R2三條支路都屬公用支路。另一類支路是僅被一個網(wǎng)孔單獨擁有，稱之為獨享支路，比如圖3.2-1中的R5支路、R1支路和R6支路。公用支路電流為兩相鄰網(wǎng)孔電流的代數(shù)和，比如，i3=ia+ic，i2=ia-ib；獨享支路電流的大小為網(wǎng)孔電流，比如，i1=ia，i6=-ic?？梢?，所有支路電流都能用網(wǎng)孔電流表示，或者說，支路電流都能通過網(wǎng)孔電流求出。又因為支路電流是完備的，所以，網(wǎng)孔電流也具有完備性。網(wǎng)孔電流的個數(shù)等于網(wǎng)孔數(shù)，為b-(n-1)(論證見參考書)。在圖3.2-1所示電路中，支路數(shù)b=6，節(jié)點數(shù)n=4，網(wǎng)孔電流數(shù)為6-(4-1)=3。要使b-(n-1)個未知網(wǎng)孔電流有唯一解，必須建立b-(n-1)個獨立的網(wǎng)孔電流方程。以下將側重討論列寫網(wǎng)孔電流方程的方法，找出網(wǎng)孔電流方程的一般格式以便快速列寫網(wǎng)孔電流方程。

由于網(wǎng)孔電流不受KCL的約束，因此，要根據(jù)KVL和元件的VAR列寫網(wǎng)孔電流方程。以圖3.2-1電路為例，沿網(wǎng)孔電流繞行方向列網(wǎng)孔a的KVL方程，有R3i3+R2i2+us2+R1i1-us1=0用網(wǎng)孔電流表示支路電流，并代入上式，得R3(ia+ic)+R2(ia-ib)+us2+R1ia-us1=0整理為(R3+R2+R1)ia-R2ib+R3ic=us1-us2

(3.2-1)在式(3.2-1)中，蘊含著網(wǎng)孔電流方程的一般規(guī)律，請觀察并嘗試尋找一下。為了下面敘述方便，引入兩個名詞：把構成某個網(wǎng)孔的所有支路電阻之和稱為該網(wǎng)孔的自電阻，比如，構成網(wǎng)孔a的三條支路電阻分別為R3、R2和R1，則網(wǎng)孔a的自電阻為R3+R2+R1；把公用支路上的電阻稱為互電阻，例如，支路電阻R2是網(wǎng)孔a與網(wǎng)孔b的互電阻，R3是網(wǎng)孔a與網(wǎng)孔c的互電阻。由式(3.2-1)這一特例，可歸納出網(wǎng)孔電流方程有如下格式：(3.2-2)在等式左邊，是構成該網(wǎng)孔的所有電阻電壓的代數(shù)和，由一個自電阻電壓項和多個互電阻電壓項組成；互電阻電壓項個數(shù)等于與該網(wǎng)孔相鄰的網(wǎng)孔數(shù)。自電阻電壓項取“+”號，互電阻電壓項可“+”，可“-”。比如，在式(3.2-1)中，第一項(R3+R2+R1)ia是自電阻電壓項。因為與網(wǎng)孔a相鄰的有網(wǎng)孔b和網(wǎng)孔c，所以式(3.2-1)中的互電阻電壓項是兩個：-R2ib是相鄰網(wǎng)孔電流ib在公用互電阻R2上產(chǎn)生的電壓；R3ic是相鄰網(wǎng)孔電流ic在公用互電阻R3上產(chǎn)生的電壓。要特別注意互電阻電壓項的“±”取值。若流過互電阻的兩網(wǎng)孔電流方向相反，對應的互電阻電壓項取“-”，如式(3.2-1)中的-R2ib項。若流過互電阻的兩網(wǎng)孔電流方向一致，則對應的互電阻電壓項取“+”，如式(3.2-1)中的R3ic項。等式右邊為電壓源的代數(shù)和。沿網(wǎng)孔電流繞行方向，若電壓源是電位升，該電壓源取“+”號，如式(3.2-1)中的us1；反之，若是電位降，取“-”號，如式(3.2-1)中的-us2。

掌握了網(wǎng)孔電流方程的規(guī)律，則可走捷徑，跳過前述列KVL方程、代入、整理等一系列步驟，直接按一般格式列出網(wǎng)孔電流方程。觀察圖3.2-1電路，根據(jù)方程格式(3.2-2)，另外兩個網(wǎng)孔電流方程分別為網(wǎng)孔b(R2+R4+R5)ib-R2ia+R4ic=us2(3.2-3)網(wǎng)孔c

(R3+R4+R6)ic+R3ia+R4ib=0(3.2-4)

聯(lián)立式(3.2-1)、式(3.2-3)和式(3.2-4)，能解出網(wǎng)孔電流ia、ib、ic。

例3.2-1電路如圖3.2-2(a)所示，求電流Ig和電壓源提供的功率。圖3.2-2例3.2-1電路請考慮，能用等效變換法分析此題嗎？這是一個非平衡電橋電路，電阻元件非串并連接，不能用串并聯(lián)等效化簡；其次，求兩條支路的電量問題，用等效分析法要做兩次等效，比較繁雜，故該題采用等效變換法不如網(wǎng)孔分析法好。解：第一步，設網(wǎng)孔電流的參考方向均順時針繞行，如圖3.2-2(b)虛線所示。第二步，列寫網(wǎng)孔電流方程。網(wǎng)孔1

(10+20+30)I1-20I2-30I3=0網(wǎng)孔2

(20+20+25)I2-20I1-25I3=0網(wǎng)孔3

(30+25+30)I3-30I1-25I2=11整理得6I1-2I2-3I3=0

(1)

-4I1+13I2-5I3=0

(2)

-30I1-25I2+85I3=11(3)第三步，用消元法求三個網(wǎng)孔電流。式(1)×2+式(2)×3，消去I1，得35I2-21I3=0

(4)式(1)×5+式(3)，消去I1，得

-35I2+70I3=11

(5)式(4)+式(5)，得把I3代入式(4)，得把I3與I2代入式(1)，得第四步，利用網(wǎng)孔電流求Ig和電壓源的功率。(提供功率)用網(wǎng)孔法分析電路的步驟概括如下：

(1)選取并在電路中標出網(wǎng)孔電流及參考方向。為避免互電阻電壓項“±”取值的復雜性，一般設網(wǎng)孔電流都順時針或逆時針繞行。在這種情況下，流過互電阻的兩個網(wǎng)孔電流反方向，互電阻電壓項都取“-”號,見例3.2-1。

(2)找出各網(wǎng)孔的互電阻和自電阻，按式(3.2-2)的格式列寫所需的網(wǎng)孔電流方程組。

(3)解方程組，求出網(wǎng)孔電流。

(4)利用已知的網(wǎng)孔電流，再求其他感興趣的電量。

在本小節(jié)結尾，我們再回頭觀察一下本節(jié)分析的兩個電路，圖3.2-1和圖3.2-2。電路中除電阻和電壓源外，沒有其他類型的元件。與此對應，通式(3.2-2)含義是：網(wǎng)孔中所有電阻電壓的代數(shù)和等于網(wǎng)孔中所有電壓源電壓的代數(shù)和。如果電路中有電流源、受控源，該怎么處理？又該怎么利用通式？在以下幾小節(jié)，將進一步討論各種情況下的列方程問題。3.2.2含電流源電路的網(wǎng)孔分析在列寫網(wǎng)孔電流方程時，如果遇到電流源，要根據(jù)電流源的不同情況做不同的處理。下面舉例說明。例3.2-2電路如圖3.2-3(a)所示，請列出所需的網(wǎng)孔電流方程。圖3.2-3例3.2-2電路解：題中出現(xiàn)了實際電流源，先把它轉換為實際電壓源，見圖3.2-3(b)，再設網(wǎng)孔電流。圖3.2-3(b)中兩個網(wǎng)孔電流方程分別為網(wǎng)孔1

(R1+Rs+R2)i1-Rsi2=-Rsis

網(wǎng)孔2

(R3+R4+Rs)i2-Rsi1=Rsis

例3.2-3電路如圖3.2-4所示，請列出所需的網(wǎng)孔電流方程。分析：在網(wǎng)孔3獨享支路上出現(xiàn)了電流源，該電流源不能轉換為電壓源，但可以作為網(wǎng)孔電流i3。設網(wǎng)孔電流如圖所示。網(wǎng)孔3的網(wǎng)孔電流i3等于已知電流源電流is。在此情況下，只有兩個未知網(wǎng)孔電流，故只需列兩個網(wǎng)孔電流方程。圖3.2-4例3.2-3電路

解：網(wǎng)孔3

i3=is

網(wǎng)孔1(R1+R2+R3)i1-R2is-R3i2=-us

(1)網(wǎng)孔2(R3+R4+R5)i2-R3i1-R4is=us(2)通過聯(lián)立式(1)和式(2)可求出未知網(wǎng)孔電流i1、i2。告誡：不要列網(wǎng)孔3的KVL方程，請考慮為什么。

例3.2-4電路如圖3.2-5(a)所示，請列出所需的網(wǎng)孔電流方程。圖3.2-5例3.2-4電路分析：題中電流源出現(xiàn)在公用支路上，它既不能轉換為電壓源，又不能作為網(wǎng)孔電流。在列網(wǎng)孔電流方程前設電流源的端電壓，它是未知量；列網(wǎng)孔電流方程時，把未知的電流源電壓作為電壓源處理。解：設網(wǎng)孔電流、電流源電壓ux，見圖3.2-5(b)。三個網(wǎng)孔電流方程分別為網(wǎng)孔1

(R1+R2+R3)i1-R2i3-R3i2=-us

(1)網(wǎng)孔2

(R3+R4)i2-R3i1=us-ux

(2)網(wǎng)孔3

(R2+R5)i3-R2i1=ux

(3)

在以上三個獨立的網(wǎng)孔電流方程中有四個未知量，要得到唯一解，還需補充一個獨立方程。增加電流源支路電流與網(wǎng)孔電流的關系式i2-i3=is

(4)聯(lián)立這四個獨立方程，可唯一解得四個網(wǎng)孔電流。處理電流源的方法歸納如下：如果是實際電流源，先等效變換為實際電壓源，再列網(wǎng)孔電流方程；如果不是在公用支路上的電流源，則把該電流源電流作為網(wǎng)孔電流，由于未知網(wǎng)孔電流數(shù)減少，網(wǎng)孔電流方程數(shù)也減少，已知網(wǎng)孔電流的網(wǎng)孔KVL方程不用列寫；如果電流源在公用支路上，設電流源電壓為未知電路變量，由于待求電路變量數(shù)增加，除了列寫網(wǎng)孔電流方程外，還要補充電流源電流與網(wǎng)孔電流關系的輔助方程。

例3.2-5電路如圖3.2-6(a)所示，求5Ω電阻和2V電壓源的功率。圖3.2-6例3.2-5電路

用網(wǎng)孔分析法的思路：見圖3.2-6(b)。先求網(wǎng)孔電流I1，通過I1可求出2V電壓源的功率和流過5Ω電阻的電流I，再求5Ω電阻消耗的功率。解：設以下分析所用電量及其參考方向如圖3.2-6(b)所示，已知網(wǎng)孔3的網(wǎng)孔電流為2A。網(wǎng)孔1的KVL方程為6I1-5×2=2-Ux

(1)網(wǎng)孔2的KVL方程為6I2-3×2=Ux

(2)補充方程

I2-I1=5A

(3)用式(1)+式(2)，消去Ux，得

I1+I2=3A

(4)用式(4)-式(3)，得

I1=-1A流過5Ω電阻的電流I=I1-2=-3A5Ω電阻的功率

P=5I2=5×(-3)2=45W2V電壓源的功率

P=-2×I1=-2×(-1)=2W3.2.3含受控源電路的網(wǎng)孔分析在基本分析法中，無論是網(wǎng)孔法還是將要學習的節(jié)點法，受控源的處理方法與獨立源相同。在網(wǎng)孔法中，把不在公用支路上的受控電流源的電流作為網(wǎng)孔電流；若受控電流源在公用支路上，設其端電壓為未知量，再列方程。對于實際受控電流源，在不丟失控制量的條件下，轉換為實際受控電壓源。需要特別注意的是，當受控源的控制量不是網(wǎng)孔電流時，未知電量的數(shù)目要增加，除了未知網(wǎng)孔電流外，還有未知控制量。因此，除了列網(wǎng)孔的KVL方程外，還需要補充輔助方程，一般是補充控制量與網(wǎng)孔電流的關系式。例3.2-6請列出圖3.2-7(a)所示電路的網(wǎng)孔電流方程。圖3.2-7例3.2-6電路

解：把實際受控電流源轉換為實際受控電壓源，并設網(wǎng)孔電流，見圖(b)。在該題中，受控源的控制量i正好是左網(wǎng)孔的網(wǎng)孔電流。左網(wǎng)孔的KVL方程(R1+R2)i-R2i1=us

(1)右網(wǎng)孔的KVL方程(R2+R3+R4)i1-R2i=-2R3i

整理得

(R2+R3+R4)i1+(2R3-R2)i=0

(2)式(1)和式(2)是該電路的網(wǎng)孔電流方程。在這個例子中，未知電量數(shù)目與網(wǎng)孔數(shù)目相等，故不用補充方程。例3.2-7請列出圖3.2-8所示電路的網(wǎng)孔電流方程。圖3.2-8例3.2-7電路

分析：受控電流源不在公用支路上，其值可作為網(wǎng)孔3的網(wǎng)孔電流；由于兩個受控源的控制量I、U都不是網(wǎng)孔電流，故電路中的未知電量除了兩個網(wǎng)孔電流外，還有兩個控制量，需要列4個獨立方程。

解：設網(wǎng)孔電流如圖所示。網(wǎng)孔1和網(wǎng)孔2的KVL方程如下：網(wǎng)孔1(R2+R3+R1)I1-R3I2-R2αI=Us

網(wǎng)孔2(R4+R5+R3)I2-R3I1-R4αI=-μU

以上2個方程中有4個未知數(shù)，還需要補充2個控制量與網(wǎng)孔電流的關系式：

I=I1-I2

U=-R1I1聯(lián)立以上四個式子，可解出I1、I2、I和U。3.3節(jié)點分析法3.3.1節(jié)點電壓及節(jié)點電壓方程

在電路中，任選一個節(jié)點為參考節(jié)點，用符號“⊥”表示，把其他各節(jié)點與參考節(jié)點之間的電壓稱為該節(jié)點的節(jié)點電壓或該節(jié)點的節(jié)點電位。顯然，在有n個節(jié)點的電路中，共有n-1個節(jié)點電壓。比如，圖3.3-1所示電路有4個節(jié)點，若選節(jié)點④為參考節(jié)點，則其余三個節(jié)點的節(jié)點電壓分別為u1、u2和u3。節(jié)點電壓的參考極性可以任意假設，當假設節(jié)點處為節(jié)點電壓的“+”極性，參考節(jié)點為“-”極性時，可以省略標注節(jié)點電壓的參考方向。比如，圖3.3-1中三個節(jié)點電壓的參考極性都可省略不標。圖3.3-1節(jié)點電壓示意圖所謂節(jié)點分析法是指選擇節(jié)點電壓為一組輔助變量，通過列、解節(jié)點電壓方程組，求出節(jié)點電壓，再利用節(jié)點電壓去求其他電路電量的方法。

已知節(jié)點電壓，可以求出所有的支路電壓。節(jié)點電壓與支路電壓的關系與支路的接法有關。電路中的支路有兩種接法：一種是接在兩個非參考節(jié)點之間的支路，這類支路電壓等于兩節(jié)點電壓的代數(shù)和。比如，圖3.3-1中G1支路接在非參考節(jié)點①和節(jié)點②之間，該支路電壓與節(jié)點電壓的關系為u=u1-u2。另一種支路是接在節(jié)點與參考節(jié)點之間，這類支路電壓的大小等于節(jié)點電壓。圖3.3-1中的is1、G2和G4三條支路都屬于這類支路。比如，is1支路電壓的大小等于節(jié)點電壓u1；G2支路電壓大小等于節(jié)點電壓u2。節(jié)點電壓不受KVL的約束，因此，建立節(jié)點電壓方程時，只能通過KCL和元件的伏安關系來完成。下面以圖3.3-2所示電路為例，找出節(jié)點電壓方程的一般格式。圖3.3-2節(jié)點電壓法示意圖圖3.3-2所示電路有4個節(jié)點，選擇節(jié)點④為參考節(jié)點，3個未知節(jié)點電壓分別為u1、u2和u3。要得到節(jié)點電壓的唯一解，需要列寫3個獨立的節(jié)點電壓方程。在圖示參考方向下，節(jié)點①的電流方程為把各電阻元件的伏安關系代入上式，有整理得(3.3-1)式(3.3-1)與網(wǎng)孔電流方程有相似的格式。如果把與某個節(jié)點相連的所有支路電導之和稱為自電導，那么，式(3.3-1)中u1前的系數(shù)G1+G3+G2是節(jié)點①的自電導；若把公用支路上的電導稱為互電導，在式(3.3-1)中，G3是連接節(jié)點①與節(jié)點②的互電導，G2是連接節(jié)點①與節(jié)點③的互電導。式(3.3-1)節(jié)點電壓方程有如下格式：(3.3-2)對通式(3.3-2)作幾點說明：

(1)在通式(3.3-2)中，等式左邊是與本節(jié)點相連的所有電導支路電流的代數(shù)和，等式右邊是與本節(jié)點相連的所有電流源電流的代數(shù)和。

(2)自電導電流項的“±”號取值與本節(jié)點電壓的參考方向有關。若本節(jié)點處是節(jié)點電壓的“+”極性，則自電導電流項前取“+”；反之，若本節(jié)點處是節(jié)點電壓的“-”極性，自電導電流項前則取“-”。比如在圖(3.3-2)中，u1的“+”極性設在節(jié)點①，所以，自電導電流項(G1+G3+G2)u1取“+”號。

(3)互電導電流項的“±”取值與相鄰節(jié)點電壓的參考方向有關。若相鄰節(jié)點設為節(jié)點電壓的“+”極性，互電導電流項則取“-”；反之，則取“+”。比如，在圖(3.3-2)中，節(jié)點②為u2的“+”極性，所以，式(3.3-2)中的互電導電流項G3u2取“-”。

(4)在等式右邊電流源電流的代數(shù)和中，流入節(jié)點的電流源取“+”；反之，流出取“-”。觀察圖(3.3-2)所示電路，找出節(jié)點②和節(jié)點③的自電導、互電導及相關電流源，代入通式(3.3-2)，可得電路的另外兩個節(jié)點電壓方程：節(jié)點②的KCL方程

(G3+G4+G5)u2-G3u1-G5u3=0(3.3-3)節(jié)點③的KCL方程(G2+G5+G6)u3-G2u1-G5u2=is2(3.3-4)式(3.3-2)、式(3.3-3)、式(3.3-4)為圖(3.3-2)所示電路的節(jié)點電壓方程組，聯(lián)立這三個方程，可獲得u1、u2、u3的唯一解。

例3.3-1電路如圖3.3-3(a)所示，求電流源功率和6Ω電阻支路的電流I。圖3.3-3例3.3-1電路分析：本題求三條支路的電量，如果用等效變換法，要做三個不同端口的三次等效，運算量較大。若選網(wǎng)孔法，可以只列一個網(wǎng)孔電流方程，運算量小，是一種較好的選擇，請讀者自己練習。為了熟悉節(jié)點分析法的解題過程，此題選擇節(jié)點分析法。解：第一步，選擇參考節(jié)點、設節(jié)點電壓及參考方向如圖3.3-3(b)所示。第二步，按式(3.3-2)的格式，列寫圖3.3-3(b)的節(jié)點電壓方程。節(jié)點1整理得4U1-U2=6

(1)節(jié)點2

整理得-7U1+13U2=-168

(2)第三步，解方程，求節(jié)點電壓U1和U2。式(1)×13+式(2)，得U1=-2V把U1值代入式(1)，得U2=-14V第四步，根據(jù)已知節(jié)點電壓，求題目指定的電量。

1A電流源的功率P1A=-1×U1=-1×(-2)=2W(吸收功率)

4A電流源的功率

P4A=4×U2=4×(-14)=-56W(提供功率)支路電流I

用節(jié)點法分析電路的步驟概括如下：

(1)選取并在電路中標出參考節(jié)點及節(jié)點電壓的參考方向。為避免麻煩，一般均設參考節(jié)點為“-”極性，其他各節(jié)點電壓為“+”極性。在此情況下，互電導電流項前都取“-”號。

(2)按式(3.3-2)的格式列寫出所需的節(jié)點電壓方程組。

(3)解方程組，求出節(jié)點電壓。

(4)利用已知的節(jié)點電壓，再求其他感興趣的電量。以上只討論了由電流源和電阻構成的電路，下面要進一步地討論：電路中有電壓源和受控源時，怎樣列寫節(jié)點電壓方程。3.3.2含電壓源電路的節(jié)點分析

列節(jié)點電壓方程時若遇到電壓源，要根據(jù)不同情況做不同的處理。如果是實際電壓源，先轉換成實際電流源再列方程；如果是電壓源，不能轉換為電流源，分兩種情況處理。第一種情況，電壓源的一端接參考節(jié)點，則接電壓源另一端的節(jié)點電壓是已知的，其值等于電壓源電壓。在此情況下，電路的未知節(jié)點電壓數(shù)減少，需要列寫的方程數(shù)也隨之減少。

例3.3-2請列出圖3.3-4(a)所示電路的節(jié)點電壓方程。圖3.3-4例3.3-2電路解：第一步，把2V實際電壓源轉換為實際電流源(熟練后可以省略這步)；選擇參考節(jié)點和標注各節(jié)點電壓，見圖3.3-4(b)。為減少節(jié)點電壓的數(shù)目，把參考節(jié)點選在節(jié)點④，則節(jié)點①的節(jié)點電壓U1=4V，為已知節(jié)點電壓。因此，未知節(jié)點電壓只有2個，僅需列兩個節(jié)點電壓方程。第二步，按照式(3.3-2)的格式，列圖3.3-4(b)的節(jié)點電壓方程。節(jié)點②的KCL方程(2+2+3)U2-2×4-2U3=4節(jié)點③的KCL方程(4+2+5)U3-4×4-2U2=-4請考慮：為什么不列節(jié)點①的KCL方程？第二種情況：電壓源跨接在非參考節(jié)點之間。比如，圖3.3-5電路中的電壓源us2就屬這種情況。在列方程之前，先設us2

支路電流；列寫方程時，把該未知電流作為電流源寫在等式右邊。在這種情況下，未知電量數(shù)目增加，因此方程數(shù)也要相應地增加，除了列節(jié)點電壓方程外，還需要補充輔助方程，通常，補充電壓源電壓與節(jié)點電壓的關系式。

例3.3-3請列出圖3.3-5所示電路的節(jié)點電壓方程。圖3.3-5含電壓源的電路示例解：設us2電壓源支路的電流為ix，如圖所示。節(jié)點①的電壓已知，u1=us1，該節(jié)點方程不必再列。節(jié)點②和節(jié)點③的KCL方程分別為節(jié)點②

(G1+G3)u2-G1us1=-ix

(1)節(jié)點③

(G4+G5)u3-G4us1=ix

(2)以上兩個方程中有三個未知數(shù)，少一個方程，補充電壓源us2與節(jié)點電壓的關系式，為u2-u3=us2

(3)3.3.3含受控源電路的節(jié)點分析在列節(jié)點電壓方程時，受控源仿照獨立源的方法處理。與獨立源不同的是，當受控源的控制量不是節(jié)點電壓時，未知電量數(shù)目增加，除了節(jié)點電壓外，還有控制量。因此，在列方程時，除了列節(jié)點的KCL方程外，還要補充方程，一般是補充控制量與節(jié)點電壓的關系式。

例3.3-4電路如圖3.3-6(a)所示，請列出所需要的節(jié)點電壓方程。圖3.3-6例3.3-4電路你可能會立刻把參考節(jié)點選在節(jié)點③。用節(jié)點法時，特別對于有受控源和電壓源的電路，不可輕視參考節(jié)點的選擇。參考節(jié)點選擇在不同的位置，直接影響列、解方程的數(shù)目。下面采用兩種不同的參考節(jié)點選擇方案，從中幫助你了解參考節(jié)點的位置對分析難易程度的影響，以及如何建立受控源電路的節(jié)點電壓方程。

解：方法一，把參考節(jié)點選在節(jié)點③，見圖3.3-6(b)。未知電量除了兩個節(jié)點電壓外，還有一個控制量u，需要列三個獨立的方程。節(jié)點1(1)節(jié)點2(2)輔助方程(3)方法二，把參考節(jié)點選在節(jié)點②，如圖3.3-6(c)所示。這時，節(jié)點①的節(jié)點電壓就是受控源的控制量u，未知電量為兩個節(jié)點電壓，只需列兩個獨立的方程。節(jié)點1(2)(1)節(jié)點3合并u項，整理得可見，合理地選擇參考節(jié)點可以減少未知量的數(shù)目，減少列、解方程的工作量。在手工計算時，最大限度地減少方程數(shù)是人們追求的目標，所以，要認真審題，選擇參考節(jié)點的最佳位置。隨著計算機性能的提高和算法的不斷完善，列、解方程的工作能由計算機輕松地完成。

例3.3-5電路如圖3.3-7(a)所示，求電源的功率。圖3.3-7例3.3-5電路

解：采用節(jié)點分析法。把參考節(jié)點選在節(jié)點③，設節(jié)點電壓、流過電壓源的電流如圖(b)所示。2個節(jié)點電壓加1個控制量，共3個待求電量，需要列3個獨立方程。節(jié)點1(1)節(jié)點2(2)輔助方程(3)把式(3)代入式(2)，消去I1，得U1=2U2

(4)把式(4)代入式(1)，消去U1，求得U2=6.25V再把U2值代入式(3)與式(4)，求得U1=12.5VI1=0.625A

根據(jù)已知的U1、U2和I1值，計算出20V電壓源的功率為受控源的功率為3.4網(wǎng)孔法與節(jié)點法的比較

當我們掌握了多種電路分析方法后，在分析具體的電路問題時，又會產(chǎn)生選用哪種方法好的困惑。比如，在什么情況下用節(jié)點法比用網(wǎng)孔法好，反之亦然？要做出比較恰當?shù)倪x擇，首先要對各種方法以及分析對象的特點有所了解，然后再綜合考慮，做出取舍。一般可從以下三個方面考慮。

1.電路結構

(1)觀察電路是平面結構還是非平面結構？如果一個電路無論怎樣畫都會在平面上出現(xiàn)交叉支路，則稱之為非平面電路，否則，就是平面電路。若電路非平面，選節(jié)點法，網(wǎng)孔法不能用于分析非平面電路。

(2)看電路中網(wǎng)孔數(shù)多還是節(jié)點數(shù)多。若網(wǎng)孔數(shù)多于節(jié)點數(shù)，選節(jié)點法更合適，反之，若節(jié)點數(shù)多于網(wǎng)孔數(shù)，選網(wǎng)孔法則更好。

(3)電路中是串聯(lián)元件多還是并聯(lián)元件多。當串聯(lián)元件多時，可能選網(wǎng)孔法較好，反之，選節(jié)點法。

2.元件類型網(wǎng)孔法善于處理電壓源，節(jié)點法則偏愛電流源，所以，在選擇方法時，要盡可能地充分利用其長處。若電路中電壓源多，或非公用支路上的電流源多，選網(wǎng)孔法較好；若電路中電流源多，或接參考節(jié)點的電壓源多，一般選節(jié)點法更合適。在選擇方法時，要綜合考慮以上各種因素，使方程數(shù)目最少。

3.關注的電量

選擇方法的另一個角度是從你關注的電量去考慮，即需要求解什么電量。如果需要求解若干支路電壓，最好選節(jié)點法；若是需要求解若干支路電流，就可以選擇網(wǎng)孔法。例3.4-1電路如圖3.4-1(a)所示，請選擇一種方程數(shù)少的方法求電壓U。圖3.4-1例3.4-1電路分析：若選擇網(wǎng)孔法，5A電流源可作為網(wǎng)孔電流；由于網(wǎng)孔1與網(wǎng)孔2之間無互電阻，所以列一個網(wǎng)孔1的KVL方程就可求出電流I1；然后，再根據(jù)歐姆定律U=20(5-I1)，求電壓U。如果選擇節(jié)點法，把參考節(jié)點選在圖(b)所示位置，則節(jié)點①和節(jié)點②都是已知電壓，節(jié)點③電壓為-U，只要列節(jié)點③的KCL方程，便可求出電壓U。因而，節(jié)點法簡單，選用節(jié)點法。

解：節(jié)點③的KCL方程為