江西省吉安市2023屆高三上學(xué)期1月期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（理）試題

江西省吉安市2023屆高三上學(xué)期1月期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（理）試題姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三總分評分一、單選題1．設(shè)集合A={1，3，A．5∈A∩B B．5?A∪B C．A?B D．{7}?A∪B2．已知z(1?2i)=z+2，則A．1+i B．1?i C．?1+i D．?1?i3．在△ABC中，AD=λDB，E為CD的中點，AE=?A．2 B．1 C．12 D．4．某城市有一個面積為1km2的矩形廣場，該廣場為黃金矩形（它的寬與長的比為A．步行道的寬度10m B．步行道的寬度20mC．步行道的寬度30m D．草坪不可能為黃金矩形5．若x，y滿足約束條件x+y?1≥0x?y+1≥02x?y?2≤0，則A．[10，25] B．[5，16] C．6．一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和俯視圖是直角邊長分別為2和4的兩個全等的直角三角形.則這個幾何體的外接球的體積為（）A．43π B．86π C．7．已知點A(?1，?2)，B(0，a)，若直線AB關(guān)于y=a的對稱直線l與圓C：(x?3)2+yA．22 B．32 C．2108．中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會于2022年10月16日在北京召開，10月17日各代表團分組討論黨的二十大報告．某媒體5名記者到甲、乙、丙3個小組進行宣傳報道，每名記者只去1個小組，每個小組最多兩名記者，若記者A不去甲組，則不同的安排方法共有（）A．15種 B．30種 C．60種 D．90種9．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2bsinB=(2c+a)sinC+(2a+c)?sinA.則A．13 B．12 C．110．已知實數(shù)x，y滿足x>0，y>0，且x+y2+A．10 B．8 C．4 D．211．已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f'(x)的定義域均為R都為連續(xù)函數(shù)，記g(x)=f'(x)，若f(1?x)，g(x)均為奇函數(shù)，設(shè)A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))為f(x)圖象上的不同兩點.C(x3，g(A．0 B．5 C．10 D．2012．橢圓C的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，以C的短軸為直徑的圓記為O，過F1作圓O的切線與C交于M，N兩點，且cosA．53 B．23 C．45二、填空題13．某校第一次模擬考試的數(shù)學(xué)成績X近似地服從正態(tài)分布N(90，σ2)，若P(X<100)=014．記函數(shù)f(x)=cos(ωx+π3)（ω>0）的最小正周期為T，且y=f(x)的圖象關(guān)于x=π6對稱，當(dāng)15．過拋物線C：y=2x2準(zhǔn)線上的點P作C的兩條切線，切點分別為A，B，則k16．已知函數(shù)f(x)=|ex?1|，x1≤0≤x2≤2，函數(shù)f(x)的圖象在點A(x1，f(x三、解答題17．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a2=1，數(shù)列bn（1）求{an}（2）若b3≠a3，求{S18．如圖，在四棱錐P?ABCD中，AB∥CD，AD=CD=BC=PA=PC=12AB（1）證明：平面PBC⊥平面PAC；（2）若PB=22，求點B到平面PAD19．為了調(diào)查抖音平臺某直播間帶貨服務(wù)的滿意程度，現(xiàn)隨機調(diào)查了年齡在20歲至70歲的100人，他們年齡的頻數(shù)分布和“滿意”的人數(shù)如下表：年齡/歲[20[30[40[50[60頻數(shù)1525302010滿意132027164（1）根據(jù)上述統(tǒng)計數(shù)據(jù)填下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為年齡低于50歲的人和年齡不低于50歲的人對服務(wù)態(tài)度有差異；

年齡低于50歲的人數(shù)年齡不低于50歲的人數(shù)合計滿意不滿意合計（2）若以頻率估計概率，以100人的樣本數(shù)據(jù)來估計全國玩抖音的市民（假設(shè)年齡均在20歲至70歲）的總體數(shù)據(jù)，若從在全國范圍內(nèi)任選5人，記X表示抽到“滿意”的人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：K2=nP(0.100.050.010.001k2.7063.8416.63510.82820．已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）與雙曲線x（1）求C的方程；（2）已知M是直線l：x=t上的任意一點，是否存在這樣的直線l，使得過點M的直線與C相切于點N，且以MN為直徑的圓過點F2？若存在，求出直線l21．已知函數(shù)f(x)=3alnx?(a?3)x，a∈R.（1）當(dāng)a=1時，求曲線g(x)=f(x)?3lnx?sinx在x=π（2）設(shè)x1，x2是h(x)=f(x)?(3a?2)lnx?3x的兩個不同零點，證明：22．?dāng)?shù)學(xué)上有很多美麗的曲線令人賞心悅目，例如，極坐標(biāo)方程ρ=a(1+cosθ)（a>0）表示的曲線為心形線，它對稱優(yōu)美，形狀接近心目中的愛心圖形.以極點O為原點，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為x=12t（1）求直線l的極坐標(biāo)方程和心形線的直角坐標(biāo)方程；（2）已知點P的極坐標(biāo)為(2，0)，若P為心形線上的點，直線l與心形線交于A，B兩點（異于O點），求23．已知a，b均為正數(shù)，且a2（1）a+2b≤32（2）1a

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】由B={x||x?2|<3}={x|?1<x<5}，則A∩B={1，3}，對比選項知，D正確，ABC錯誤．故選：D．

【分析】求出集合B={x|?1<x<5}，根據(jù)集合的交集、并集運算，逐項判斷即可.2．【答案】A【解析】【解答】設(shè)z=a+bi，則(a+bi)(1?2i)=(a?bi)+2，即(a+2b)+(b?2a)i=(a+2)?bi，得a+2b=a+2b?2a=?b，即∴z=1+i故選：A.

【分析】設(shè)z=a+bi，則(a+bi)(1?2i)=(a?bi)+2，根據(jù)復(fù)數(shù)的混合運算及復(fù)數(shù)相等的條件，即可得解.3．【答案】A【解析】【解答】如圖，AE=?1由2λ+12(λ+1)=56，且故選：A.

【分析】根據(jù)向量的線性運算AE→=12(4．【答案】D【解析】【解答】設(shè)草坪的長、寬分別為a，b（b<a），步行道的寬度為m(m>0)，ba則ba<b+2m故選：D.

【分析】設(shè)草坪的長、寬分別為a，b（b<a），步行道的寬度為m(m>0)，由ba?b+2m5．【答案】B【解析】【解答】作出不等式組x+y?1≥0x?y+1≥02x?y?2≤0表示的可行域，如圖中陰影△ABC（含邊界），其中目標(biāo)函數(shù)z=(x?4)2+(y?1)2顯然|PA|=4則|PQ|=|2×4?1?2|22+所以z=(x?4)2+故選：B

【分析】作出不等式組表示的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，進行求解即可.6．【答案】B【解析】【解答】解：該幾何體的直觀圖為如圖所示的四棱錐P?ABCD，其中PA⊥平面ABCD，且ABCD是邊長為2的正方形，PA=4，設(shè)四棱錐的外接球的球心為O，半徑為R，正方形ABCD的外接圓的圓心為O1作OE⊥PA，連接OO1，AO1，易知O1OEA是矩形，則∴V=4故選：B.

【分析】該幾何體的直觀圖為如圖所示的四棱錐P?ABCD，設(shè)四棱錐的外接球的球心為O，半徑為R，正方形ABCD的外接圓的圓心為O1，半徑為r，由題意得R=OA=7．【答案】C【解析】【解答】∵kAB=2+a，∴直線AB關(guān)于直線y=a的對稱直線l為可得2x+y+a(x?1)=0，即直線l恒過點P(1，由(1?3)2+22<18圓C：(x?3)2+y2=18的圓心C(3當(dāng)且僅當(dāng)CP⊥l時，圓心C到直線l的距離最大，|MN|取最小值，由?(a+2)×1=?1，得a=?1，所以l：x+y+1=0，圓心到直線l的距離d=|3+1|2=2故選：C.

【分析】易知kAB=2+a，所以直線AB關(guān)于直線y=a的對稱直線l為y=?(2+a)x+a，可知直線l恒過點P(1，?2)，由(1?3)2+22<18得點P在圓C內(nèi)，所以當(dāng)且僅當(dāng)CP⊥l時，圓心C到直線l的距離最大，|MN|取最小值，由?(a+2)×1=?18．【答案】C【解析】【解答】解法1：若A去乙組（或丙組），且該組只安排1人，剩下4名記者按2，2分組，再分配到另兩個小組，不同的安排方法共有2×C42?C222!解法2：若甲組安排1人，不同的安排方法共有C41×C42?故選：C．

【分析】解法1：分A去乙組（或丙組），且該組只安排1人，剩下4名記者按2，2分組；A去乙組（或丙組），且該組安排2人，從4人選1人在該組，剩下3人按2，1分組，先分組再分配，最后根據(jù)分類加法計算原理計算即可；

解法2：分甲組安排1人；甲組安排2人計算即可.9．【答案】C【解析】【解答】由已知，根據(jù)正弦定理得，2b2=(2c+a)c+(2a+c)a∴cosB=a2+c2?∴sinA+sinC=sinA+sin(∵0<A<π3，∴∴當(dāng)A+π3=π2，即A=故選：C．

【分析】由已知，根據(jù)正弦定理得a2+c2?b2=?ac，再根據(jù)余弦定理即可求得B=2π10．【答案】B【解析】【解答】解：由x+y2+1x∵2x+y≥22xy，當(dāng)且僅當(dāng)2x=y時，取等號，即t≥2∴1xy≥8t即t2?10t+16≤0，∴2≤t≤8，∴tmax此時，2x=y=4，即x=2，y=4時，2x+y的最大值為8.故選：B.

【分析】由x+y2+1x+2y=5變形為(2x+y)?(1211．【答案】C【解析】【解答】定理1：若函數(shù)f(x)連續(xù)且可導(dǎo)，則f(x)圖象關(guān)于直線x=a對稱?導(dǎo)函數(shù)f'(x)圖象關(guān)于點定理2：若函數(shù)f(x)連續(xù)且可導(dǎo)，則f(x)圖象關(guān)于點(a，f(a))對稱?導(dǎo)函數(shù)f'以下證明定理1，定理2：證明：若函數(shù)f(x)圖象關(guān)于直線x=a對稱，則f(x)=f(2a?x)，則f'(x)=?f'(2a?x)若導(dǎo)函數(shù)f'(x)圖象關(guān)于點(a，令F(x)=f(x)?f(2a?x)，則F'(x)=f又F(a)=f(a)?f(2a?a)=0，所以F(x)=0，則f(x)=f(2a?x)，所以f(x)圖象關(guān)于直線x=a對稱．若函數(shù)f(x)圖象關(guān)于點(a，f(a))對稱，則則f'(x)=f'(2a?x)若導(dǎo)函數(shù)f'(x)圖象關(guān)于直線x=a對稱，則令F(x)=f(x)+f(2a?x)，則F'(x)=f又F(a)=2f(a)，所以F(x)=2f(a)，則f(x)+f(2a?x)=2f(a)，所以f(x)圖象關(guān)于點(a，故下面可以直接引用以上定理．∵f(1?x)，g(x)均為奇函數(shù)，∴f(1?x)=?f(1+x)，g(?x)=?g(x)，則函數(shù)f(x)，g(x)的圖象分別關(guān)于(1，0)，又g(x)=f'(x)，則f(x)的圖象關(guān)于x=0對稱，g(x)即f(?x)=f(x)，g(1?x)=g(1+x)，∴f(x)與g(x)都是周期為4的周期函數(shù)，∴f(x)的圖象關(guān)于(5，0)對稱，g(x)的圖象關(guān)于由x1+x2=10，知由g(x3)=g(x4)∴f(x故選：C．

【分析】由f(1?x)，g(x)均為奇函數(shù)可知函數(shù)f(x)，g(x)的圖象分別關(guān)于(1，0)，(0，0)對稱，再由g(x)=f'(x)，可知g(x)的圖象關(guān)于x=1對稱，即f(?x)=f(x)，g(1?x)=g(1+x)，從而推出f(x)與g(x)都是周期為4的周期函數(shù)，f(x)的圖象關(guān)于(5，0)對稱，g(x)的圖象關(guān)于x=5對稱，由x1+x212．【答案】D【解析】【解答】設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1∴OG⊥NF1，∴|OG|=b，|OF1|=c，|G由cos∠F1NF2=?35在△F2=4由正弦定理得2csin∴|NF1|+|N化簡，得c2?b∴4a=9b，即ba∴橢圓的離心率e=c故選：D．

【分析】設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1（a>b>0），設(shè)過F1作圓O的切線切點為G，從而可求得|GF1|=c2?b2，設(shè)13．【答案】0.84【解析】【解答】隨機變量X服從正態(tài)分布N(90，σ2)，∴正態(tài)曲線關(guān)于得P(X≥100)=1?0.92=0.08故答案為：0.84.

【分析】隨機變量X服從正態(tài)分布N(90，σ2)，得到正態(tài)曲線關(guān)于X=90對稱，由14．【答案】?【解析】【解答】由y=f(x)的圖象關(guān)于x=π6對稱，則ω×π∴ω=6k?2（k∈Z），又∵ω>0，∴當(dāng)k=1，ω的最小值為4，此時f(x)=cos(4x+π3)∴f(T故答案為：?1

【分析】由題意得ω=6k?2（k∈Z），ω的最小值為4，得f(x)=cos(4x+π3)，T=15．【答案】-1【解析】【解答】解：拋物線C：y=2x2，即x2=12y，準(zhǔn)線方程為y=?由y=2x2y+由Δ=k2?4×2(km+依題意，kPA，kPB為上述方程的兩根，則故答案為：-1

【分析】根據(jù)已知條件設(shè)過點P的切線方程為y+18=k(x?m)，與拋物線方程聯(lián)立，得2x2?kx+km+116．【答案】(0【解析】【解答】解：由題意，f(x)=|ex∴A(x1，1?ex1由?ex1∴AM：y?(1?ex1BN：y?(ex2∴|MN|=|x=|?x令g(x)=?xe?x+xg'∴g(x)在(0，2]上遞增，又g(0)=0，∴|MN|的取值范圍是(0，故答案為：(0

【分析】由題意f(x)=|ex?1|=1?ex，x<0ex?1，x≥0，先求導(dǎo)確定f(x)在A，B處切線的斜率，由兩條切線互相垂直，得x1+x17．【答案】（1）解：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則b1=1由b22=b1b3得，當(dāng)d=2時，an=1+(n?2)×2=2n?3，當(dāng)d=0時，an=1，所以當(dāng)d=2時，an=2n?3，當(dāng)d=0時，an=1，（2）解：若b3≠a∴an=2n?3，Sn∴Sn∴Tn【解析】【分析】（1）設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由已知條件得(1+d)2=1×(1+4d)，解得d=2，或d=0，當(dāng)d=2時，an=2n?3，bn=3n?1；當(dāng)d=0時，a18．【答案】（1）證明：取AB的中點為E，連接CE，可知四邊形ADCE是平行四邊形，∴CE=1∴點C在以AB為直徑的圓上，∴AC⊥BC.又BC⊥PA，PA∩AC=A，且PA，AC?平面PAC，∴BC⊥平面PAC，又BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC．（2）∵BC⊥平面PAC，PC?平面PAC，∴BC⊥PC，由PB=22，BC=PC，得BC=2，AC=2∵BC⊥平面PAC，又BC?平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAC，連接DE交AC于點O，則O為AC的中點，連接PO，則PO⊥AC，且PO=1，∵平面ABCD⊥平面PAC，平面ABCD∩平面PAC=AC，∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥OE，由題意可知，OE∥BC，∴OE⊥AC，故以點O為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，A(3，0，0)，則AD=(?3，?1，設(shè)平面PAD的法向量為n=(x，y，z)令x=1，則n=(1點B到平面PAD的距離為|n【解析】【分析】（1）取AB的中點為E，連接CE，由已知得AC⊥BC，結(jié)合BC⊥PA，可證BC⊥平面PAC，所以平面PBC⊥平面PAC；

（2）先證明PO，OE，OA兩兩垂直，點O為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PAD的法向量為n=(1，?19．【答案】（1）解：2×2列聯(lián)表

年齡低于50歲的人數(shù)年齡不低于50歲的人數(shù)合計滿意602080不滿意101020合計7030100K2的觀測值k=∴有95%的把握認(rèn)為年齡低于50歲的人和年齡不低于50歲的人對服務(wù)態(tài)度有差異.（2）解：100人中滿意有80人，從100人隨機抽取一人是“滿意”的概率為80100易知，X～B(5，X的分布列為P(X=k)=C5kX012345P14321282561024∴X的數(shù)學(xué)期望E(X)=5×4【解析】【分析】（1）由已知數(shù)據(jù)即可得出2×2列聯(lián)表，利用計算公式可得K2的觀測值，進而得出結(jié)論；

（2）由題意得X～B(520．【答案】（1）解：依題意可設(shè)雙曲線C的方程為x22?y2∴λ=3，∴雙曲線C：x2（2）解：顯然直線MN的斜率存在，設(shè)直線MN的方程為y=kx+m，聯(lián)立x26?y2由Δ=(?4km)2+4×2(1?2k∴xN=4km即切點N的坐標(biāo)為(?6k以MN為直徑的圓恒過點F2，則∠M又M的坐標(biāo)為(t，tk+m)，F(xiàn)2N=(?∴F2化簡，得(t?2)(3k+m)=0，上式對滿足①式任意的k，m成立，則t=2．故存在直線x=2滿足題設(shè)條件．【解析】【分析】（1）依題意設(shè)雙曲線C的方程為x22?y2=λ，將點A(22，1)的坐標(biāo)代入求解λ，從而可得雙曲線的方程；

（2）顯然直線MN的斜率存在，設(shè)直線MN的方程為y=kx+m，聯(lián)立方程組消去y得(1?2k2)x2?4kmx?2(m221．【答案】（1）解：當(dāng)a=1時，g(x)=f(x)?3lnx?sinx=2x?sinx，g'(x)=2?cosx，g'曲線g(x)在x=π2處的切線方程為y?(π?1)=2(x?π（2）證明：令h(x)=f(x)?(3a?2)lnx?3x=2lnx?ax=0，可得2lnx=ax(x>0)，令t(x)=2lnx(x>0)，n(x)=ax(x>0)，設(shè)函數(shù)n(x)與t(x)相切于(x由a=t'(x0)=2x0、2lnt(x)=2lnx(x>0)，n(x)=ax(x>0)的大致圖象如下，當(dāng)0<a<2e時，t(x)=2lnx(x>0)與即h(x)有兩個零點，所以a的取值范圍為(0，h'(x)=2x?a