22.1 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)(提升訓(xùn)練)(解析版)

22.1二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)【提升訓(xùn)練】一、單選題1．二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，對稱軸為，且經(jīng)過點．下列說法：①；②；③；④若，是拋物線上的兩點，則；⑤（其中）．正確的結(jié)論有（）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】先根據(jù)拋物線開口向下、與軸的交點位于軸正半軸，再根據(jù)對稱軸可得，由此可判斷結(jié)論①；將點代入二次函數(shù)的解析式可判斷結(jié)論②③；根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸可得其增減性，由此可判斷結(jié)論④；利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出其最大值，由此即可得判斷結(jié)論⑤．【詳解】解：拋物線的開口向下，與軸的交點位于軸正半軸，，拋物線的對稱軸為，，，則結(jié)論①正確；將點代入二次函數(shù)的解析式得：，則結(jié)論③錯誤；將代入得：，則結(jié)論②正確；拋物線的對稱軸為，和時的函數(shù)值相等，即都為，又當(dāng)時，隨的增大而減小，且，，則結(jié)論④錯誤；由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時，取得最大值，最大值為，，，即，結(jié)論⑤正確；綜上，正確的結(jié)論有①②⑤，共3個，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．如圖，拋物線與y軸交于點C，與x軸交于點、點．下列結(jié)論：①；②；③；④．正確的有（）

A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】把A、B兩個點的坐標(biāo)分別代入中，求得b=-2a及c=-3a，由圖象知a<0，從而可分別對前3個結(jié)論作出判斷；根據(jù)拋物線在頂點處取得最大值，從而可對最后一個結(jié)論作出判斷．【詳解】∵拋物線分別過點A、B∴解得：由圖象知：a<0∴b>0，c>0∴abc<0故①錯誤b-2a=-2a-2a=-4a>0，故②③均正確∵，且a<0∴當(dāng)x=1時，函數(shù)取得最大值，且最大值為a+b+c=-4a對于任意x=n，當(dāng)n≠1時，則必有即故④正確所以正確的結(jié)論有②③④故選：B．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了二次函數(shù)的開口方向、最值、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，關(guān)鍵是根據(jù)拋物線過點A、B得到b、c關(guān)于a的表達式，本題涉及到數(shù)形結(jié)合思想．3．如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點，與軸正半軸交于點，它的對稱軸為直線．則下列選項中①；②；③；④：⑤當(dāng)（為實數(shù)）時，，其中正確的有（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】由圖象開口向上，可知a＞0，與y軸的交點在x軸的上方，可知c＞0，根據(jù)對稱軸方程得到b＞0，于是得到abc＞0，故①錯誤；根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a＞0）的圖象與x軸的交點，得到b2-4ac＞0，求得4ac-b2＜0，故②錯誤；根據(jù)對稱軸方程得到b=2a，當(dāng)x=-1時，y=a-b+c＜0，于是得到c-a＜0，故③錯誤；當(dāng)x=1時，y=a+b+c>0，故④正確；當(dāng)x=-n2-2（n為實數(shù)）時，代入解析式得到y(tǒng)=ax2+bx+c=a（-n2-2）2+b（-n2-2）+c=an2（n2+2）+c，于是得到y(tǒng)=an2（n2+2）+c≥c，故⑤正確．【詳解】解：①由圖象與y軸的交點在x軸的上方，可知c＞0，又對稱軸方程為x=-1，所以-=-1，所以b=2a，∵∴∴abc＞0，故①錯誤；②∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a＞0）的圖象與x軸交于A，B兩點，∴b2-4ac＞0，∴4ac-b2＜0，故②錯誤；③∵-=-1，∴b=2a，∵當(dāng)x=-1時，y=a-b+c＜0，∴a-2a+c＜0，∴c-a＜0，故③錯誤；④當(dāng)x=1時，y=a+b+c>0，故④正確；⑤當(dāng)x=-n2-2（n為實數(shù)）時，y=ax2+bx+c=a（-n2-2）2+b（-n2-2）+c=an2（n2+2）+c，∵a＞0，n2≥0，n2+2＞0，∴y=an2（n2+2）+c≥c，故⑤正確，∴正確的結(jié)論有：④⑤，共2個故選：A．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．熟練掌握圖象與系數(shù)的關(guān)系以及二次函數(shù)與方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．已知二次函數(shù)（、是常數(shù)，）的圖象經(jīng)過點和，且當(dāng)時，函數(shù)的最小值為，最大值為1，則的取值范圍是（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】求出二次函數(shù)的解析式，確定函數(shù)取得最大值時，的值；再解出函數(shù)值為時，的值，即可得出答案．【詳解】解二次函數(shù)（、是常數(shù)，）的圖象經(jīng)過點和，，解得：，，當(dāng)時，函數(shù)的最小值為，最大值為1，當(dāng)時，；時，，解得：，，故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)，解題的關(guān)鍵是：理解題意，求出函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的對稱性、開口方向，研究最值．5．將二次函數(shù)位于x軸下方的圖像沿x軸向上翻折，與原二次函數(shù)位于x軸上方的部分組成一個新圖像，這個新圖像對應(yīng)的函數(shù)最大值與最小值之差為（）A．1 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根據(jù)題意作出圖形，最大值為新函數(shù)時的函數(shù)值，最小值為0．【詳解】如圖，根據(jù)題意：位于x軸下方的圖像沿x軸向上翻折后的圖像為：的圖像則新函數(shù)的最大值為時的函數(shù)值最小值為0．函數(shù)最大值與最小值之差為：故選D【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，對稱，注意函數(shù)圖像的取值范圍，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．6．在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A．b＞0 B．b2-4ac＜0 C．a(chǎn)+b+c＞0 D．點A的坐標(biāo)為（﹣2，0）【答案】D【分析】拋物線的開口向下，對稱軸在y軸的左側(cè)（左同右異），可得到a，b的取值范圍，可對A作出判斷；拋物線與x軸有兩個不同的交點，可得到b2-4ac＞0，可對B作出判斷；拋物線的對稱軸為直線x=-1，圖象經(jīng)過點（0，0），可確定a+b+c的取值范圍，可對C作出判斷；利用二次函數(shù)的對稱性，可得到點A的坐標(biāo)，可對D作出判斷．【詳解】解：A、∵拋物線的開口向下，對稱軸在y軸的左側(cè)，∴a＜0，，∴b＜0，故A不符合題意；B、∵拋物線與x軸有兩個不同的交點，∴b2-4ac＞0，故B不符合題意；C、拋物線的對稱軸為直線x=-1，圖象經(jīng)過點（0，0），∴當(dāng)x=1時y＜0即a+b+c＜0，故C不符合題意；D、∵拋物線的對稱軸為直線x=-1，圖象經(jīng)過點（0，0），∴點A和點O關(guān)于對稱軸對稱，∴點A（-2，0），故D符合題意；故答案為：D．【點睛】此題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點問題，二次函數(shù)與不等式（組）的綜合應(yīng)用．7．如圖，小聰要在拋物線y＝x（2-x）上找一點M（a，b），針對b的不同取值，所找點M的個數(shù)，三個同學(xué)的說法如下，小明：若b＝-3，則點M的個數(shù)為0；小云：若b＝1，則點M的個數(shù)為1；小朵：若b＝3，則點M的個數(shù)為2．下列判斷正確的是（）．A．小云錯，小朵對 B．小明，小云都錯 C．小云對，小朵錯 D．小明錯，小朵對【答案】C【分析】根據(jù)題意，分、、三種情況，結(jié)合二次函數(shù)、一元二次方程判別式的性質(zhì)計算，即可得到答案．【詳解】∵點，當(dāng)時，則，整理得，∵，∴有兩個不相等的值，∴點的個數(shù)為2；當(dāng)時，則，整理得，∵，∴有兩個相同的值，∴點的個數(shù)為1；當(dāng)時，則，整理得，∵，∴點的個數(shù)為0；∴小明錯，小云對，小朵錯故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)、一元二次方程的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)、一元二次方程判別式的性質(zhì)，從而完成求解．8．二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：①，②，③，④，正確的有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的開口方向，對稱軸，與y軸交點可得a，b，c的符號，從而判斷①；再根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，與x軸的交點可得當(dāng)x=-2時，y＞0，可判斷②；再根據(jù)x=-1時，y取最大值可得a-b+c≥ax2+bx+c，從而判斷③；最后根據(jù)x=1時，y=a+b+c，結(jié)合b=2a，可判斷④．【詳解】解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵對稱軸為直線x=-1，即，∴b=2a，則b＜0，∵拋物線與y軸交于正半軸，∴c＞0，∴abc＞0，故①正確；∵拋物線對稱軸為直線x=-1，與x軸的一個交點橫坐標(biāo)在0和1之間，則與x軸的另一個交點在-2和-3之間，∴當(dāng)x=-2時，y=4a-2b+c＞0，故②錯誤；∵x=-1時，y=ax2+bx+c的最大值是a-b+c，∴a-b+c≥ax2+bx+c，∴a-b≥ax2+bx，即a-b≥x（ax+b），故③正確；∵當(dāng)x=1時，y=a+b+c＜0，b=2a，∴a+2a+c=3a+c＜0，故④正確；故選：C．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。寒?dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口；②一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）③常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點．拋物線與y軸交于（0，c）．9．在“探索函數(shù)的系數(shù)，，與圖象的關(guān)系”活動中，老師給出了直角坐標(biāo)系中的四個點：，，，，同學(xué)們探索了經(jīng)過這四個點中的三個點的二次函數(shù)的圖象，發(fā)現(xiàn)這些圖象對應(yīng)的函數(shù)表達式各不相同，其中的值最大為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】分四種情況討論，利用待定系數(shù)法，求過，，，中的三個點的二次函數(shù)解析式，繼而解題．【詳解】解：設(shè)過三個點，，的拋物線解析式為：分別代入，，得解得；設(shè)過三個點，，的拋物線解析式為：分別代入，，得解得；設(shè)過三個點，，的拋物線解析式為：分別代入，，得解得；設(shè)過三個點，，的拋物線解析式為：分別代入，，得解得；最大為，故選：A．【點睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，是基礎(chǔ)考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．10．二次函數(shù)的圖像如圖所示，點在軸的正半軸上，且，設(shè)，則的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由圖像可得，，當(dāng)，，并與軸交于之間，得，據(jù)悉可得，據(jù)此求解即可．【詳解】解：由圖像可知，圖像開口向下，并與軸相交于正半軸，∴，，當(dāng)，，∵，并由圖像可得，二次函數(shù)與軸交于之間，∴∴，故選：D．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為a，b，c，記，則其面積．這個公式也被稱為海倫-秦九韶公式．若，則此三角形面積的最大值為（）A． B．4 C． D．5【答案】C【分析】由已知可得a+b=6，，把b=6-a代入S的表達式中得：，由被開方數(shù)是二次函數(shù)可得其最大值，從而可求得S的最大值．【詳解】∵p=5，c=4，∴a+b=2p-c=6∴由a+b=6，得b=6-a，代入上式，得：設(shè)，當(dāng)取得最大值時，S也取得最大值∵∴當(dāng)a=3時，取得最大值4∴S的最大值為故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是由已知得出a+b=6，把面積最大值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最大值問題．12．如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）交x軸于點A（﹣1，0），對稱軸為x＝1，與x軸的另一個交點為B，點C為拋物線頂點．下列結(jié)論：①abc＜0；②4a＋2b＋c＞0；③a＋b＞0；④c＜4b；⑤若△ABC是等腰三角形時，a＝．其中結(jié)論正確的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象分析出基本信息，然后逐項判斷即可．【詳解】由函數(shù)圖象可知，，，，∴abc＜0，故①正確；∵拋物線對稱軸為直線x＝1，A（-1，0）、B關(guān)于對稱軸對稱，∴B的坐標(biāo)為（3，0），∴當(dāng)時，函數(shù)值，即：4a＋2b＋c＞0，故②正確；∵對稱軸為直線x＝1，∴，，，∵，∴，故③正確；由A點坐標(biāo)可得：，將代入可得：，∴，即：，故④正確；由題意，A、B是關(guān)于對稱軸對稱的，C為頂點，∴△ABC始終為等腰三角形，無論取何值，也不會影響△ABC是等腰三角形的結(jié)論，∴△ABC為等腰三角形時，不一定只能推出，也可能是其他結(jié)果，故⑤錯誤；∴正確的有：①②③④，故選：C．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，能夠準(zhǔn)確根據(jù)圖像信息分析出基本式子的結(jié)果，并靈活變形是解題關(guān)鍵．13．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一象限的點，則一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根據(jù)直角坐標(biāo)系和象限的性質(zhì)，得；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，得，從而得，通過計算即可得到答案．【詳解】∵點在第一象限∴∴∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一象限的點∴∴∴當(dāng)時，，即和y軸交點為：當(dāng)時，，即和x軸交點為：∵，∴一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)、直角坐標(biāo)系的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)、一次函數(shù)、直角坐標(biāo)系的性質(zhì)，從而完成求解．14．設(shè)，分別是函數(shù)，圖象上的點，當(dāng)時，總有恒成立，則稱函數(shù)，在上是“逼近函數(shù)”，為“逼近區(qū)間”．則下列結(jié)論：①函數(shù)，在上是“逼近函數(shù)”；②函數(shù)，在上是“逼近函數(shù)”；③是函數(shù)，的“逼近區(qū)間”；④是函數(shù)，的“逼近區(qū)間”．其中，正確的有（）A．②③ B．①④ C．①③ D．②④【答案】A【分析】分別求出的函數(shù)表達式，再在各個x所在的范圍內(nèi)，求出的范圍，逐一判斷各個選項，即可求解．【詳解】解：①∵，，∴，當(dāng)時，，∴函數(shù)，在上不是“逼近函數(shù)”；②∵，，∴，當(dāng)時，，函數(shù)，在上是“逼近函數(shù)”；③∵，，∴，當(dāng)時，，∴是函數(shù)，的“逼近區(qū)間”；④∵，，∴，當(dāng)時，，∴不是函數(shù)，的“逼近區(qū)間”．故選A【點睛】本題主要考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握一次函數(shù)與二次函數(shù)的增減性，是解題的關(guān)鍵．15．一次函數(shù)與二次函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】逐一分析四個選項，根據(jù)二次函數(shù)圖象的開口方向以及對稱軸與y軸的位置關(guān)系，即可得出a、b的正負(fù)性，由此即可得出一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限，即可得出結(jié)論．【詳解】A.∵二次函數(shù)圖象開口向下，對稱軸在y軸左側(cè)，∴a<0，b<0，∴一次函數(shù)圖象應(yīng)該過第二、三、四象限，故本選項錯誤；B.∵二次函數(shù)圖象開口向上，對稱軸在y軸右側(cè)，∴a>0，b<0，∴一次函數(shù)圖象應(yīng)該過第一、三、四象限，故本選項錯誤；C.∵二次函數(shù)圖象開口向下，對稱軸在y軸左側(cè)，∴a<0，b<0，∴一次函數(shù)圖象應(yīng)該過第二、三、四象限，故本選項正確；D.∵二次函數(shù)圖象開口向下，對稱軸在y軸左側(cè)，∴a<0，b<0，∴一次函數(shù)圖象應(yīng)該過第二、三、四象限，故本選項錯誤．故選C．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的綜合，掌握二次函數(shù)與一次函數(shù)系數(shù)與圖象的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．16．二次函數(shù)的圖象過四個點，下列說法一定正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】求出拋物線的對稱軸，根據(jù)拋物線的開口方向和增減性，根據(jù)橫坐標(biāo)的值，可判斷出各點縱坐標(biāo)值的大小關(guān)系，從而可以求解．【詳解】解：二次函數(shù)的對稱軸為：，且開口向上，距離對稱軸越近，函數(shù)值越小，，A，若，則不一定成立，故選項錯誤，不符合題意；B,若，則不一定成立，故選項錯誤，不符合題意；C，若，所以，則一定成立，故選項正確，符合題意；D，若，則不一定成立，故選項錯誤，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及不等式，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸及開口方向，確定各點縱坐標(biāo)值的大小關(guān)系，再進行分論討論判斷即可．17．若關(guān)于x的二次函數(shù)y＝ax2+bx的圖象經(jīng)過定點（1，1），且當(dāng)x＜﹣1時y隨x的增大而減小，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意開口向上，且對稱軸?≥?1，a＋b＝1，即可得到?≥?1，從而求解．【詳解】由二次函數(shù)y＝ax2+bx可知拋物線過原點，∵拋物線定點（1，1），且當(dāng)x＜-1時，y隨x的增大而減小，∴拋物線開口向上，且對稱軸?≥?1，a＋b＝1，∴a＞0，b＝1﹣a，∴﹣≥﹣1，∴，故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，根據(jù)題意得關(guān)于a的不等式組是解題的關(guān)鍵．18．我們定義一種新函數(shù)：形如y＝|ax2＋bx＋c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函數(shù)叫做“鵲橋”函數(shù)．小麗同學(xué)畫出了“鵲橋”函數(shù)y＝|x2﹣2x﹣3|的圖象（如圖所示），并寫出下列四個結(jié)論：其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）①圖象具有對稱性，對稱軸是直線x＝1；②當(dāng)﹣1＜x＜1或x＞3時，函數(shù)值隨x值的增大而增大；③當(dāng)x＝﹣1或x＝3時，函數(shù)的最小值是0；④當(dāng)x＝1時，函數(shù)的最大值是4A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】觀察圖象，分別計算出對稱軸、函數(shù)圖象與x軸的交點坐標(biāo)，結(jié)合圖象逐個分析判斷即可．【詳解】解：觀察圖象可知，圖象具有對稱性，對稱軸是直線，故①正確；令|x2-2x-3|=0可得x2-2x-3=0，∴（x+1）（x-3）=0，∴x1=-1，x2=3，∴（-1，0）和（3，0）是函數(shù)圖象與x軸的交點坐標(biāo)，又對稱軸是直線x=1，∴當(dāng)-1＜x＜1或x＞3時，函數(shù)值y隨x值的增大而增大，故②正確；由圖象可知（-1，0）和（3，0）是函數(shù)圖象的最低點，則當(dāng)x=-1或x=3時，函數(shù)最小值是0，故③正確；由圖象可知，當(dāng)x＜-1時，函數(shù)值隨x的減小而增大，當(dāng)x＞3時，函數(shù)值隨x的增大而增大，均存在大于頂點縱坐標(biāo)的函數(shù)值，故當(dāng)x=1時的函數(shù)值4并非最大值，故④錯誤．綜上，只有④錯誤．故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)在新定義函數(shù)中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列選項錯誤的是（）A．若，是圖象上的兩點，則B．C．方程有兩個不相等的實數(shù)根D．當(dāng)時，隨的增大而減小【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)分別對各個選項進行判斷即可．【詳解】解：∵拋物線的對稱軸為直線x=1，a＜0，∴點（-1，0）關(guān)于直線x=1的對稱點為（3，0），則拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo)為（3，0），點（-2，y1）與（4，y1）是對稱點，當(dāng)x＞1時，函數(shù)y隨x增大而減小，故A選項不符合題意；把點（-1，0），（3，0）代入y=ax2+bx+c得：a-b+c=0①，9a+3b+c=0②，①×3+②得：12a+4c=0，∴3a+c=0，故B選項不符合題意；當(dāng)y=-2時，y=ax2+bx+c=-2，由圖象得：縱坐標(biāo)為-2的點有2個，∴方程ax2+bx+c=-2有兩個不相等的實數(shù)根，故C選項不符合題意；∵二次函數(shù)圖象的對稱軸為x=1，a＜0，∴當(dāng)x≤1時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x≥1時，y隨x的增大而減??；故D選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征等知識；熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．如圖，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）與x軸交于點A，B．與y軸交于點C．連接AC、BC．已知△ABC的面積為3．將拋物線向左平移h（h＞0）個單位，記平移后拋物線中y隨著x的增大而增大的部分為H．當(dāng)直線BC與H沒有公共點時，h的取值范圍是（）A．h＞ B．0＜h≤ C．h＞2 D．0＜h＜2【答案】C【分析】先根據(jù)拋物線的解析式可得點的坐標(biāo)，從而可得長，再利用三角形的面積公式可得的長，從而可得點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式和一次函數(shù)的解析式，然后根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律、增減性求解即可得．【詳解】解：對于拋物線，當(dāng)時，，解得或，則，的面積為3，，即，解得，，將點代入拋物線解析式得：，解得，則拋物線的解析式為，將拋物線向左平移個單位所得拋物線為，當(dāng)時，隨的增大而增大，設(shè)直線的函數(shù)解析式，將點代入得：，解得，則直線的函數(shù)解析式，當(dāng)直線與沒有公共點時，則只需時，直線的函數(shù)值大于拋物線的函數(shù)值，即，解得，故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合等知識點，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．21．已知二次函數(shù)，其中，當(dāng)時，y的最大值與最小值的差為16，則m的值為（）A． B． C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)題意和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以求得m的值．【詳解】解：∵二次函數(shù)，∴該函數(shù)圖象開口向下，∵∴當(dāng)x＝1時，y取得最大值=，當(dāng)x＝3時，y取得最小值=，∵y的最大值與最小值的差為16∴解得：，故選：C．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．22．已知函數(shù)，若函數(shù)在0≤x≤1上的最大值是2，則a的值為（）A．﹣2 B．﹣6 C．﹣2或3 D．﹣6或【答案】D【分析】先求得其對稱軸為x＝a，再分a＜0、0≤a≤1和a＞1根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性分別求得其最大值，由最大值為2，可求得a的值．【詳解】∵，∴其對稱軸為x＝a，開口向下，當(dāng)a＜0即a＜0時，在0≤x≤1上y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝0時有最大值，最大值＝﹣a+＝2，解得a＝﹣6＜0，符合題意；當(dāng)0≤a≤1即0≤a≤2時，y的最大值＝﹣a2+a2﹣a+＝2，∴a＝3（不合題意，舍去），或a＝﹣2（舍去）；當(dāng)a＞1即a＞2時，在0≤x≤1上y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝1時，有最大值＝﹣1+a﹣a+＝2，∴a＝，綜上可知a的值為﹣6或．故選：D．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵.23．已知拋物線經(jīng)過點A（1，0），B（5，0）兩點，，是關(guān)于x的一元二次方程的兩根，則的值為（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】先把整理成一元二次方程的一般形式，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=+2，再根據(jù)對稱軸公式求出代入即可．【詳解】解：拋物線經(jīng)過點A（1，0），B（5，0）兩點，∵，是關(guān)于x的一元二次方程的兩根，∴，∴x1+x2=+2，∵拋物線經(jīng)過點、兩點，∴，∴=6，∴x1+x2=6+2=8．故選C．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握各知識點是解答本題的關(guān)鍵．24．如圖，正三角形和正三角形的邊，在同一條直線上，將向右平移，直到點與點重合為止，設(shè)點平移的距離為，，．兩個三角形重合部分的面積為，現(xiàn)有一個正方形的面積為，已知，則S關(guān)于的函數(shù)圖像大致為（）A．B．C．D．【答案】A【分析】分0≤x≤2、2＜x＜4、4≤x≤6三種情況，分別求出函數(shù)表達式，即可求解．【詳解】解：∵，∴，①當(dāng)0≤x≤2時，則兩個三角形重合部分為邊長x的正三角形，則：，故，為二次函數(shù)，圖象開口向上，當(dāng)x=2時，S=2；②當(dāng)2＜x＜4時，兩個三角形重合部分為邊長為2的正三角形，故S=2；③當(dāng)4≤x≤6時，同理可得：，圖象開口向上，當(dāng)x=4時，S=2；當(dāng)x=6時，S=0；故選：A．【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，分類求出函數(shù)表達式，是解決本題的關(guān)鍵．25．如圖，已知拋物線（，，為常數(shù)，）經(jīng)過點，且對稱軸為直線，有下列結(jié)論：①；②；③；④無論，，取何值，拋物線一定經(jīng)過；⑤．其中正確結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】①根據(jù)圖像開口向上，對稱軸位置，與y軸交點分別判斷出a,b,c的正負(fù)②根據(jù)對稱軸公式，判斷的大小關(guān)系③根據(jù)時，，比較與0的大小；④根據(jù)拋物線的對稱性，得到與時的函數(shù)值相等結(jié)合②的結(jié)論判斷即可⑤根據(jù)拋物線對稱軸找到頂點坐標(biāo)的縱坐標(biāo)，比較任意一點與頂點的縱坐標(biāo)值，即比較函數(shù)值的大小即可判斷結(jié)論．【詳解】①圖像開口朝上，故，根據(jù)對稱軸“左同右異”可知，圖像與y軸交點位于x軸下方，可知c<0故①正確；②得故②錯誤；③經(jīng)過又由①得c<0故③正確；④根據(jù)拋物線的對稱性，得到與時的函數(shù)值相等當(dāng)時，即即經(jīng)過，即經(jīng)過故④正確；⑤當(dāng)時,,當(dāng)時,函數(shù)有最小值化簡得，故⑤正確．綜上所述：①③④⑤正確．故選D．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)解析式中系數(shù)與圖像的關(guān)系，結(jié)合圖像逐項分析,結(jié)已知條件得出結(jié)論是解題的關(guān)鍵．26．已知拋物線的對稱軸在軸右側(cè)，現(xiàn)將該拋物線先向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度后，得到的拋物線正好經(jīng)過坐標(biāo)原點，則的值是（）A．或2 B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象左加右減，上加下減的平移規(guī)律進行解答即可．【詳解】解：函數(shù)向右平移3個單位，得：；再向上平移1個單位，得：+1，∵得到的拋物線正好經(jīng)過坐標(biāo)原點∴+1即解得：或∵拋物線的對稱軸在軸右側(cè)∴＞0∴＜0∴故選：B．【點睛】此題主要考查了函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．27．已知二次函數(shù)，當(dāng)時，，則m的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以求得該函數(shù)的開口方向為向上，對稱軸為x=1，且當(dāng)x=1時，該函數(shù)取得最小值2-a．又由當(dāng)y＝2時，x＝2或x＝0，結(jié)合題意即可求出m的取值范圍．【詳解】解：二次函數(shù)，∴該函數(shù)圖象開口向上，對稱軸是直線x=1，∴當(dāng)x=1時，該函數(shù)取得最小值-a+2，∵當(dāng)時，，且當(dāng)y＝2時，x＝2或x＝0，∴，故選：C．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．28．二次函數(shù)的圖象如圖所示，對稱軸為，下列結(jié)論不正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到的符號，再逐一進行判斷．【詳解】解：由圖知，二次函數(shù)的圖象開口向上，即，與軸交于正半軸，即，對稱軸同號，即，故A正確；由圖知，當(dāng)時，，，故B正確；由圖知，二次函數(shù)圖象與軸有兩個不同的交點，即，故C正確；無法判斷，故D錯誤，故選：D．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是基礎(chǔ)考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．29．如圖是二次函數(shù)在平面直角坐標(biāo)系中的圖象，根據(jù)圖象判斷：①；②；③；④，其中正確的是（）A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④【答案】C【分析】首先根據(jù)圖象中拋物線的開口方向、對稱軸的位置、與y軸交點來判斷a、b、c的符號，進而判斷各結(jié)論是否正確．【詳解】解：根據(jù)二次函數(shù)的圖象知：拋物線交y軸于負(fù)半軸，則c<0，故①錯誤；由圖知：當(dāng)x=1時，y<0，即a+b+c<0，故②正確；∵對稱軸-，開口向上，，∴，所以2a-b＞0，故③錯誤；∵由于拋物線與x軸有兩個不同的交點，∴△=b2-4ac＞0，即b2＞4ac，∵a＞0，∴4a＞0，由圖知，時，，∴，∴b2＞4a+4ac，∴b2-4a＞4ac，故④正確；所以正確的結(jié)論為②④，故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，由圖象找出有關(guān)a，b，c的相關(guān)信息以及拋物線的交點坐標(biāo)，會利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，y=a-b+c，然后根據(jù)圖象判斷其值．30．已知拋物線，當(dāng)時，y的最大值為2，則當(dāng)時，y的最小值為（）A．1 B．0 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的解析式可得其對稱軸為直線x=1，從而當(dāng)x=1時，y有最大值2，此時可求得a的值，再根據(jù)拋物線的增減的性質(zhì)求得y在所給范圍內(nèi)的最小值．【詳解】∵，即拋物線的對稱軸為直線x=1∴當(dāng)x=1時，y有最大值，且1在范圍內(nèi)∴a-2a+1=2解得：a=-1即當(dāng)時，函數(shù)值y隨x的增大而增大，此時函數(shù)在x=-1處取得最小值，且最小值為當(dāng)時，函數(shù)值y隨x的增大而減小，此時函數(shù)在x=2處取得最小值，且最小值為∵-2<1∴當(dāng)時，y的最小值為?2故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的增減性質(zhì)、求函數(shù)解析式，關(guān)鍵是確定拋物線的對稱軸，根據(jù)對稱軸的位置便可確定函數(shù)的增減的范圍，解答函數(shù)在某個自變量的范圍的最值問題時，最好借助圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想能幫助解決問題．二、填空題31．如圖，拋物線的解析式為，點的坐標(biāo)為，連接：過A1作，分別交y軸、拋物線于點、：過作，分別交y軸、拋物線于點、；過作，分別交y軸、拋物線于點、…：按照如此規(guī)律進行下去，則點（n為正整數(shù)）的坐標(biāo)是_________．【答案】【分析】根據(jù)待定系數(shù)法分別求出直線、、、……的解析式，即可求得、P2、P3……的坐標(biāo)，得出規(guī)律，從而求得點Pn的坐標(biāo)．【詳解】解：∵點的坐標(biāo)為，∴直線的解析式為，∵，∴，∴，設(shè)的解析式為，∴，解得，所以直線的解析式為，解，求得，∵，設(shè)的解析式為，∴，∴，∴，解求得，設(shè)的解析式為，∴，∴，∴，．．．∴，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，根據(jù)一次函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征得出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．32．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點在拋物線上，過點A作y軸的垂線，交拋物線于另一點B，點C、D在線段AB上，分別過點C、D作x軸的垂線交拋物線于E、F兩點．當(dāng)四邊形CDFE為正方形時，線段CD的長為_________．

【答案】【分析】點代入拋物線中求出解析式為，再設(shè)CD=2x，進而求得E點坐標(biāo)為(x,4-2x)，代入中即可求解．【詳解】解：將點代入拋物線中，解得，∴拋物線解析式為，設(shè)CD、EF分別與軸交于點M和點N，

當(dāng)四邊形CDFE為正方形時，設(shè)CD=2x，則CM=x=NE，NO=MO-MN=4-2x，此時E點坐標(biāo)為(x,4-2x)，代入拋物線中，得到：，解得，(負(fù)值舍去)，∴，故答案為：．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)及正方形邊長相等等知識點，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．33．如圖為二次函數(shù)的圖象，則下列說法：①；②；③；④當(dāng)時，．其中正確的是________（填寫序號）．【答案】②③④【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由x=1時的函數(shù)值判斷a+b+c＞0，然后根據(jù)對稱軸推出2a+b與0的關(guān)系，根據(jù)圖象判斷-1＜x＜3時，y的符號．【詳解】解：①圖象開口向下，能得到a＜0，①錯誤；

②對稱軸在y軸右側(cè)，x==1，則有-=1，即2a+b=0，②正確；

③當(dāng)x=1時，y＞0，則a+b+c＞0，③正確；

④由圖可知，當(dāng)-1＜x＜3時，y＞0，④正確．

故答案為：②③④．【點睛】本題考查了圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會利用對稱軸的范圍求2a與b的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，根的判別式的熟練運用．34．如圖，二次函數(shù)的圖象與軸的正半軸交于點A，對稱軸為直線，下面結(jié)論：①；②；③；④方程必有一個根大于且小于0．其中正確的是____（只填序號）．【答案】①②④．【分析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象，可以判斷各個小題中的結(jié)論是否成立．【詳解】解：由圖象可得，a＜0，b＞0，c＞0，

則abc＜0，故①正確；

∵-=1，

∴b=-2a，

∴2a+b=0，故②正確；

∵函數(shù)圖象與x軸的正半軸交點在點（2，0）和（3，0）之間，對稱軸是直線x=1，

∴函數(shù)圖象與x軸的另一個交點在點（0，0）和點（-1，0）之間，故④正確；

∴當(dāng)x=-1時，y=a-b+c＜0，

∴y=a+2a+c＜0，

∴3a+c＜0，故③錯誤；

故答案為：①②④．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、拋物線與x軸的交點，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．35．如圖，二次函數(shù)（）的圖象與軸交于，對稱軸為直線，與軸的交點在2和3之間（不包括這兩個點），下列結(jié)論：①當(dāng)時，；②；③對于任意實數(shù)，始終成立；④，其中正確的結(jié)論的序號是________．【答案】①②③④【分析】利用拋物線的對稱性得到拋物線與軸的另一個交點坐標(biāo)為，利用函數(shù)圖象得到在軸上方所對應(yīng)的自變量的范圍，從而可對①進行判斷；利用，，得到，，而，所以，則可利用不等式的性質(zhì)可對②進行判斷；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到二次函數(shù)的最大值為，則，于是可對③進行判斷；利用，可對④進行判斷．【詳解】解：拋物線與軸交于，對稱軸為直線，拋物線與軸的另一個交點坐標(biāo)為，拋物線開口向下，當(dāng)，，所以①正確；拋物線與軸交于，對稱軸為直線，，，，，拋物線與軸的交點坐標(biāo)為，而拋物線與軸的交點在和之間（不包括這兩個點），，，，所以②正確；拋物線的對稱軸為直線，二次函數(shù)的最大值為，，所以③正確；，，，所以④正確．故答案為①②③④．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)，二次項系數(shù)決定拋物線的開口方向和大?。?dāng)時，拋物線向上開口；當(dāng)時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)和二次項系數(shù)共同決定對稱軸的位置．當(dāng)與同號時（即，對稱軸在軸左；當(dāng)與異號時（即，對稱軸在軸右．常數(shù)項決定拋物線與軸交點位置：拋物線與軸交于．拋物線與軸交點個數(shù)由△決定：△時，拋物線與軸有2個交點；△時，拋物線與軸有1個交點；△時，拋物線與軸沒有交點．三、解答題36．如圖，拋物線經(jīng)過點，與軸交于點和點（點在點的右邊），且．（1）求拋物線的解析式和頂點坐標(biāo)；（2）如圖1，點、在直線上的兩個動點，且，點在點的上方，求四邊形的周長的最小值；（3）如圖2，點為拋物線上一點，連接，直線把四邊形的面積分為3：5兩部分，求點的坐標(biāo)．【答案】（1），頂點坐標(biāo)為（1，4）；（2）四邊形的周長的最小值為；（3）點的坐標(biāo)為（4，－5）或（8，－45）.【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求得a、b、c的值即可確定拋物線的解析式，再利用配方法得出頂點坐標(biāo)．（2）把向下移1個單位得點，再作關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點，連接，與對稱軸交于點，再在對稱軸上點上方取點，使得，連接，此時四邊形的周長最小，根據(jù)勾股定理即可得出．（3）分或兩種情況討論即可．【詳解】解：（1）∵點，，∴,把、、三點坐標(biāo)代入，得，解得，∴拋物線的解析式為：，∵，∴頂點坐標(biāo)為（1，4）；（2）把向下移1個單位得點，再作關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點，連接，與對稱軸交于點，再在對稱軸上點上方取點，使得，連接，此時四邊形的周長最小，則,∵,∴,∵對稱軸是直線，∴,∵,∴,,∴四邊形的周長的最小值為；（3）如圖，設(shè)直線交軸于點，直線把四邊形的面積分為3：5兩部分，又∵，則或5:3，則或1.5，即點的坐標(biāo)為（1.5，0）或（0.5，0），將點的坐標(biāo)代入直線的表達式：，解得：或－2，故直線的表達式為：或，聯(lián)立方程組解得：（不合題意值已舍去），解，解得：8（不合題意值已舍去），故點的坐標(biāo)為（4，－5）或（8，－45）.【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合題、涉及待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，勾股定理、軸對稱、一次函數(shù)等知識，靈活掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵37．二次函數(shù)．（1）求該二次函數(shù)的對稱軸；（2）過動點作直線軸，當(dāng)直線與拋物線只有一個公共點時，求關(guān)于的函數(shù)表達式；（3）若對于每一個值，它所對應(yīng)的函數(shù)值都不小于1，求整數(shù)的值．【答案】（1）；（2）；（3）1【分析】（1）根據(jù)拋物線的對稱軸方程即可求解；（2）由題意知直線經(jīng)過頂點時，直線與拋物線只有一個交點，據(jù)此可得；（3）根據(jù)題意可知拋物線開口向下，且頂點的縱坐標(biāo)不小于1，依此得到不等式組，解之即可．【詳解】解：（1）∵∴二次函數(shù)的對稱軸為直線（2）由題意知直線的解析式為∵直線與拋物線只有一個公共交點∴（3）∵拋物線的頂點坐標(biāo)為由題意可知解得∴整數(shù)m的值為1【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征及解不等式組的能力，理解題意得出對應(yīng)方程或不等式組是解題的關(guān)鍵．38．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與坐標(biāo)軸交于兩點，點在軸上，點在軸上，點的坐標(biāo)為，拋物線經(jīng)過點．（1）求拋物線的解析式；（2）根據(jù)圖象寫出不等式的解集；（3）點是拋物線上的一動點，過點作直線的垂線段，垂足為點,當(dāng)時，求P點的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）；（3）坐標(biāo)有或或【分析】(1)先求出A、B兩點坐標(biāo)，再代入拋物線中即可求出解析式；(2)將不等式變形為,進而得到二次函數(shù)圖像在一次函數(shù)圖像上方即可求解；(3)先證明△PDQ為等腰直角三角形，進而求出，再分類討論P點在直線AB上方或下方進而求解．【詳解】解：(1)當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，則點，點，把，，，分別代入得解得：，，，∴該拋物線的解析式為．(2)由不等式，得，由圖像可知，二次函數(shù)圖像在一次函數(shù)圖像上方，則不等式的解集為；(3)如圖，作軸于點，交于點，在中，∵，∴，∴，在中，，∴，∴，設(shè)點，則點，當(dāng)點在直線上方時，，即，解得，則，∴點的坐標(biāo)為：．當(dāng)點在直線下方時，，即解得，∴，∴或，綜上所述，符合條件的點坐標(biāo)有或或．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，圖像法解不等式及等腰直角三角形的性質(zhì)等，第(3)問中需要分類討論P點位于直線AB上方或下方的情況．39．小愛同學(xué)學(xué)習(xí)二次函數(shù)后，對函數(shù)進行了探究，在經(jīng)歷列表、描點、連線步驟后，得到如下的函數(shù)圖像．請根據(jù)函數(shù)圖象，回答下列問題：（1）觀察探究：①寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)：__________；②方程的解為：__________；③若方程有四個實數(shù)根，則的取值范圍是__________．（2）延伸思考：將函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的平移可得到函數(shù)的圖象？寫出平移過程，并直接寫出當(dāng)時，自變量的取值范圍．【答案】（1）①關(guān)于y軸對稱；②；③；（2）將函數(shù)的圖象先向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度可得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時，自變量的取值范圍為或．【分析】（1）①根據(jù)函數(shù)圖象可直接進行作答；②由函數(shù)圖象及方程可得當(dāng)y=-1時，自變量x的值，則可看作直線y=-1與函數(shù)的圖象交點問題，進而問題可求解；③由題意可看作直線y=a與函數(shù)的圖象有四個交點的問題，進而問題可求解；（2）由函數(shù)圖象平移可直接進行求解，然后結(jié)合函數(shù)圖象可求解x的范圍問題．【詳解】解：（1）①由圖象可得：該函數(shù)的一條性質(zhì)為關(guān)于y軸對稱，（答案不唯一）；故答案為關(guān)于y軸對稱；②由題意及圖象可看作直線y=-1與函數(shù)的圖象交點問題，如圖所示：∴方程的解為；故答案為；③由題意可看作直線y=a與函數(shù)的圖象有四個交點的問題，如圖所示：∴由圖象可得若方程有四個實數(shù)根，則的取值范圍是；故答案為；（2）由題意得：將函數(shù)的圖象先向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度可得到函數(shù)的圖象，則平移后的函數(shù)圖象如圖所示：∴由圖象可得：當(dāng)時，自變量x的取值范圍為或．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．40．如圖，拋物線交x軸于，兩點，交y軸于點C，動點P在拋物線的對稱軸上．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)以P，B，C為頂點的三角形周長最小時，求點P的坐標(biāo)及的周長；（3）若點Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一點，是否存在點Q，使得以A，C，P，Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【答案】(1)；(2)P點坐標(biāo)為(1,2)，的周長最小值為；(3)Q點坐標(biāo)存在，為(2，2)或(4，)或(4，)或(，)或(，)【分析】(1)將，代入即可求解；(2)連接BP、CP、AP，由二次函數(shù)對稱性可知，BP=AP，得到BP+CP=AP+CP，當(dāng)C、P、A三點共線時，△PBC的周長最小，由此求出AC解析式，將P點橫坐標(biāo)代入解析式中即可求解；(3)設(shè)P點坐標(biāo)為(1，t)，Q點坐標(biāo)為(m，n)，按AC為對角線，AP為對角線，AQ為對角線分三種情況討論即可求解．【詳解】解：(1)將，代入二次函數(shù)表達式中，∴，解得，∴二次函數(shù)的表達式為：；(2)連接BP、CP、AP，如下圖所示：由二次函數(shù)對稱性可知，BP=AP，∴BP+CP=AP+CP，BC為定直線，當(dāng)C、P、A三點共線時，有最小值為，此時的周長也最小，設(shè)直線AC的解析式為：，代入，∴，解得，∴直線AC的解析式為：，二次函數(shù)的對稱軸為，代入，得到，∴P點坐標(biāo)為(1,2)，此時的周長最小值=；(3)設(shè)P點坐標(biāo)為(1，t)，Q點坐標(biāo)為(m，n)，分類討論：情況一：AC為菱形對角線時，另一對角線為PQ，此時由菱形對角互相平分知：AC的中點也必定是PQ的中點，由菱形對角線互相垂直知：，∴，解得，∴P點坐標(biāo)為(1，1)，對應(yīng)的Q點坐標(biāo)為(2，2)；情況二：AP為菱形對角線時，另一對角線為CQ，同理有：，解得或，∴P點坐標(biāo)為(1，)或(1，)，對應(yīng)的Q點坐標(biāo)為(4，)或(4，)；情況三：AQ為菱形對角線時，另一對角線為CP，設(shè)P點坐標(biāo)為(1，t)，Q點坐標(biāo)為(m，n)，同理有：，解得或，∴P點坐標(biāo)為(1，)或(1，)，對應(yīng)的Q點坐標(biāo)為(-2，)或(-2，)；縱上所示，Q點坐標(biāo)存在，為(2，2)或(4，)或(4，)或(，)或(，)．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)對稱性求線段最值問題及菱形的存在性問題，本題第三問難度大一些，熟練掌握各圖形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．41．在初中階段的函數(shù)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)歷了列表、描點、連線畫函數(shù)圖象，并結(jié)合圖象研究函數(shù)性質(zhì)的過程．以下是我們研究函數(shù)性質(zhì)及其應(yīng)用的部分過程，請按要求完成下列各小題．x…﹣4﹣3﹣2﹣101…y…753﹣1﹣13…（1）如表是y與x的幾組對應(yīng)值，則a＝，k＝；（2）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已描出了部分點并繪制了部分圖象，請把該函數(shù)的圖象補充完整，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)：；

（3）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中作出了函數(shù)y＝﹣x＋2的圖象，結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象，直接寫出不等式x|x＋2|＋ax2＋x﹣3≥0的解集（結(jié)果保留1位小數(shù)，誤差不超0.2）【答案】（1），；（2）見解析；當(dāng)時，函數(shù)取值最小值或當(dāng)，時，函數(shù)隨的增大而減小，當(dāng)時，函數(shù)隨的增大而增大；（3）或【分析】（1）表格中找2組值代入解析式，待定系數(shù)法求解即可；（2）描點、連線，根據(jù)函數(shù)圖像，寫出一條性質(zhì)即可；（3）通過圖像求得交點坐標(biāo)，根據(jù)不等式x|x＋2|＋ax2＋x﹣3≥0，結(jié)合圖像寫出解集．【詳解】（1）把，代入得：解得，；（2）描點、連線，如圖：

性質(zhì)：①當(dāng)時，函數(shù)取值最小值；②當(dāng)時，函數(shù)隨的增大而減小，當(dāng)時，函數(shù)隨的增大而增大．（3）設(shè)＝﹣x＋2和＝x|x＋2|＋x2﹣1由（2）的圖象可知,x|x＋2|＋ax2＋x﹣3≥0即：當(dāng)?shù)慕饧鶕?jù)圖像，它們有兩個交點,其橫坐標(biāo)一個在-3,另一個在0與1之間,分別約為-3和0.7(可將單位長十等分,確定其近似值).或時．不等式x|x＋2|＋ax2＋x﹣3≥0的解集為或．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖像的畫法，二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，二次函數(shù)與一次函數(shù)結(jié)合的相關(guān)問題，正確的理解題意，按要求作出圖形是解題的關(guān)鍵．42．已知二次函數(shù)y＝ax2－4ax＋3a（a為常數(shù)，且a≠0）（1）求證：不論a為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個公共點．（2）當(dāng)1≤x≤4時，y＜5，直接寫出a的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）0＜a＜或－5＜a＜0【分析】（1）由恒成立得到結(jié)論；（2）求出拋物線與x軸的交點坐標(biāo)和對稱軸，然后在1≤x≤4范圍內(nèi)分a＞0與a＜0兩種情況確定函數(shù)的最大值，從而得到結(jié)果.【詳解】（1）證明：∵a≠0∴∴無論a為何值，該函數(shù)圖像與x軸總有兩個交點；（2）∵令ax2－4ax＋3a=0，解得：，，∴拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為（1，0）和（3，0），拋物線的對稱軸為直線，①當(dāng)a＞0時，∵1≤x≤4，∴當(dāng)x=4時，，∴0＜a＜，②當(dāng)a＜0時，∵1≤x≤4，對稱軸為直線x=2，∴拋物線在頂點處取得最大值，，∴－5＜a＜0∴a的取值范圍：0＜a＜或－5＜a＜0.【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵是x在某一范圍時函數(shù)值的最大值的確定.43．如圖，在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點和點，與y軸交于點C．（1）求的值；（2）點為拋物線上的動點，過P作x軸的垂線交直線于點Q．①當(dāng)時，求當(dāng)P點到直線的距離最大時m的值；②是否存在m，使得以點為頂點的四邊形是菱形，若不存在，請說明理由；若存在，請求出m的值．【答案】（1）b=，c=；（2）①；②不存在，理由見解析【分析】（1）將A（-1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c，可求出答案；（2）①設(shè)點P（m，m2-2m-3），則點Q（m，m），再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；②分情況討論，利用菱形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點A（-1，0），B（3，0），∴，解得：，∴b=，c=；（2）①由（1）得，拋物線的函數(shù)表達式為：y=x2，設(shè)點P（m，m2-2m-3），則點Q（m，m），∵0<m<3，∴PQ=m-(m2-2m-3)=-m2+3m+3=-+，∵-1<0，∴當(dāng)時，PQ有最大值，最大值為；②∵拋物線的函數(shù)表達式為：y=x2-2x-3，∴C（0，-3），∴OB=OC=3，由題意，點P（m，m2-2m-3），則點Q（m，m），∵PQ∥OC，當(dāng)OC為菱形的邊，則PQ=OC=3，當(dāng)點Q在點P上方時，∴PQ=，即，∴，解得或，當(dāng)時，點P與點O重合，菱形不存在，當(dāng)時，點P與點B重合，此時BC=，菱形也不存在；當(dāng)點Q在點P下方時，若點Q在第三象限，如圖，∵∠COQ=45°，根據(jù)菱形的性質(zhì)∠COQ=∠POQ=45°，則點P與點A重合，此時OA=1OC=3，菱形不存在，若點Q在第一象限，如圖，同理，菱形不存在，綜上，不存在以點O、C、P、Q為頂點的四邊形是菱形．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)等知識，其中，熟練掌握方程的思想方法和分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．44．如圖，拋物線與直線交于點A(2，0)和點．

（1）求和的值；（2）求點的坐標(biāo)，并結(jié)合圖象寫出不等式的解集；（3）點是直線上的一個動點，將點向左平移個單位長度得到點，若線段與拋物線只有一個公共點，直接寫出點的橫坐標(biāo)的取值范圍．【答案】（1），；（2）不等式>的解集為或；（3）點M的橫坐標(biāo)的取值范圍是：或．【分析】（1）把A(2，0)分別代入兩個解析式，即可求得和的值；（2）解方程求得點B的坐標(biāo)為(-1，3)，數(shù)形結(jié)合即可求解；（3）畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想求解即可．【詳解】解：（1）∵點A(2，0)同時在與上，∴，，解得：，；（2）由（1）得拋物線的解析式為，直線的解析式為，解方程，得：．∴點B的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，∴點B的坐標(biāo)為(-1，3)，觀察圖形知，當(dāng)或時，拋物線在直線的上方，∴不等式>的解集為或；（3）如圖，設(shè)A、B向左移3個單位得到A1、B1，∵點A(2，0)，點B(-1，3)，∴點A1(-1，0)，點B1(-4，3)，∴AA1BB13，且AA1∥BB1，即MN為AA1、BB1相互平行的線段，對于拋物線，∴頂點為(1，-1)，如圖，當(dāng)點M在線段AB上時，線段MN與拋物線只有一個公共點，此時，當(dāng)線段MN經(jīng)過拋物線的頂點(1，-1)時，線段MN與拋物線也只有一個公共點，此時點M1的縱坐標(biāo)為-1，則，解得，綜上，點M的橫坐標(biāo)的取值范圍是：或．．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)；能夠畫出圖形，結(jié)合函數(shù)圖象，運用二次函數(shù)的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．45．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點為A．（1）求頂點A的坐標(biāo)（用含有字母m的代數(shù)式表示）；（2）若點，在拋物線上，且，則m的取值范圍是；（直接寫出結(jié)果即可）（3）當(dāng)時，函數(shù)y的最小值等于6，求m的值．【答案】(1)頂點A的坐標(biāo)為；(2)；(3)或【分析】(1)將拋物線解析式化成的形式，即可求得頂點A的坐標(biāo)；(2)將，代入拋物線中求得和的值，然后再解不等式即可求解；(3)分類討論，分對稱軸在1的左側(cè)、對稱軸在3的右側(cè)、對稱軸在1,3之間共三種情況分別求出函數(shù)的最小值，進而求出m的值．【詳解】解：(1)由題意可知：拋物線，∴頂點A的坐標(biāo)為；(2)將代入中，得到，將代入中，得到，由已知條件知：，∴，整理得到：，解得：，故m的取值范圍是：；(3)二次函數(shù)的開口向上，故自變量離對稱軸越遠，其對應(yīng)的函數(shù)值越大，二次函數(shù)的對稱軸為，分類討論：①當(dāng)，即時，時二次函數(shù)取得最小值為，又已知二次函數(shù)最小值為6，∴，解得或，又，故符合題意；②當(dāng)，即時，時二次函數(shù)取得最小值為，又已知二次函數(shù)最小值為6，∴，解得或，又，故或都不符合題意；③當(dāng)，即時，時二次函數(shù)取得最小值為，又已知二次函數(shù)最小值為6，∴，解得或，又，故符合題意；綜上所述，或．【點睛】本題考查待定系數(shù)求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的最值問題，不等式的解法等，計算過程中細心，熟練掌握二次函數(shù)的圖形及性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．46．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線，頂點為P，直線與拋物線交于點A，點B．（1）求拋物線頂點P的坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）．（2）橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫做整點．①當(dāng)時，求拋物線與直線AB圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（不包含邊界）的整點坐標(biāo)．②當(dāng)拋物線與直線AB圍成的封閉區(qū)域內(nèi)有且只有1個整點時，求a的取值范圍．【答案】（1）P（1，1-a）；（2）①（1，1）；②0＜a＜或a＜0【分析】（1）直接根據(jù)拋物線的頂點坐標(biāo)可得；（2）①根據(jù)a值得到拋物線和直線的表達式，聯(lián)立，求出A，B，P的坐標(biāo)，可得整點坐標(biāo)；②聯(lián)立拋物線和直線表達式，用a表示出A，B，P的坐標(biāo)，根據(jù)只有一個整點得到（2，2）在y=ax+1上方，或（3，1）在上方，得到不等式，解之可得a的范圍．【詳解】解：（1）=，∴當(dāng)x=1時，y=1-a，即P（1，1-a）；（2）①當(dāng)時，拋物線，直線，聯(lián)立得：，解得：或，∴A（0，1），B（3，0），P（1，），∴整點坐標(biāo)只有（1，1）；②當(dāng)a＞0時，，解得或，∴P（1，1-a），A（0，1），B（3，3a+1），∵只有一個整點，∴（2，2）在y=ax+1上方，∴2＞2a+1，解得：a＜，∴0＜a＜；若（3，1）在上方，∴，解得：a＜0，綜上：a的范圍是0＜a＜或a＜0．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)的基本性質(zhì)等，這種探究性題目，通常按照題設(shè)的順序逐次求解，一般較為容易得出正確的結(jié)論．47．已知二次函數(shù)（其中m為常數(shù)）．（1）當(dāng)時，求該二次函數(shù)圖象的對稱軸．（2）求證：:無論m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸一定有兩個公共點．（3）當(dāng)時，該函數(shù)有最大值3，求m的值．【答案】（1）直線x=-1；（2）見解析；（3）-2或3【分析】（1）令m=0，根據(jù)對稱軸的公式直接計算即可；（2）把（x-m）看作一個整體，令y=0，利用根的判別式進行判斷即可；（3）拋物線的對稱軸為直線x=m-1，討論：當(dāng)m-1＜-2時，當(dāng)-2≤m-1≤1時，當(dāng)m-1＞1時，根據(jù)二次函數(shù)的增減性，得到關(guān)于m的方程，解之即可．【詳解】解：（1）當(dāng)m=0時，，則對稱軸為直線x==-1；（2）在中，令y=0，則，，∴不論m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸一定有兩個公共點；（3），∴對稱軸為直線x=m-1，當(dāng)m-1＜-2時，y隨x增大而減小，故當(dāng)x=-2時，y有最大值3，則，解得：m=-2或m=0（舍）；當(dāng)-2≤m-1≤1時，當(dāng)x=m-1時，y有最大值3，則，此時方程無解；當(dāng)m-1＞1時，y隨x增大而增大，故當(dāng)x=1時，y有最大值3，則，解得：m=3或m=1（舍）；綜上：m的值為-2或3．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點，利用一元二次方程的根的判別式．也考查了二次函數(shù)的最值．48．已知關(guān)于的一元二次方程（為常數(shù)）．（1）若它的一個實數(shù)根是方程的根，則_____，方程的另一個根為_____；（2）若它的一個實數(shù)根是關(guān)于的方程的根，求的值；（3）若它的一個實數(shù)根是關(guān)于的方程的根，求的最小值．【答案】（1）1，；（2），；（3）當(dāng)時，有最小值為-2．【分析】(1)求方程2(x-1)-4=0的根，代入（x-1）(x-2)=m+1中，確定m的值；解（x-1）(x-2)=m+1，得到另一個根；（2）求方程2(x-m)-4=0的根，代入（x-1）(x-2)=m+1中，確定m的值；（3）求方程的根，代入（x-1）(x-2)=m+1中，用含n的代數(shù)式表示m，構(gòu)造m+n與n的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定最值.【詳解】（1）∵2(x-1)-4=0，∴x=3，∴（3-1）(3-2)=m+1，解得m=1，∴（x-1）(x-2)=2，∴-3x=0，∴，故答案為：1，．（2）由，得．則∴，∴，∴，．（3）由，得．則．即．∴；∴當(dāng)時，有最小值-2．【點睛】本題考查了一元一次方程，一元二次方程，二次函數(shù)的最值，熟練掌握方程的解法，二次函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵．49．如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，且點B與點C的坐標(biāo)分別為，，點M是拋物線的頂點．（1）求拋物線的解析式；（2）點P是線段MB上一個動點，且點P的橫坐標(biāo)為m，過點P作軸于點D，交拋物線于點E，求線段PE的最大值，并求出此時點E的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，若在線段MB上存在點P，使得為直角三角形，請直接寫出點P的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）最大值為1，E；（3）或【分析】（1）將B、C坐標(biāo)滴入拋物線的解析式求解b、c即可；（2）先求出頂點M坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求得直線BM的表達式，用m表示點P、E坐標(biāo)，由和二次函數(shù)求最值方法求解即可；（3）根據(jù)題意可得不可能為，分（i）當(dāng)時；（ii）當(dāng)時進行求解即可．【詳解】解：（1）將點，分別代入拋物線中，得，解得，∴拋物線的解析式為；（2）∵，∴，設(shè)直線BM的解析式為，把點，分別代入，得，解得，∴直線BM的解析式為．∵點P的橫坐標(biāo)為m，∴，，∴，∴當(dāng)時，PE有最大值，最大值為1，此時點E的坐標(biāo)為；（3）點P的坐標(biāo)為或，根據(jù)題意可得不可能為；（i）當(dāng)時，則，即，解得，此時點P的坐標(biāo)為；（ii）當(dāng)時，則，即整理得：，解得：（舍去）或，當(dāng)時，，此時點P的坐標(biāo)為，綜上，滿足題意的點P的坐標(biāo)為或．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題型，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、求二次函數(shù)的最值、坐標(biāo)與圖形、兩點間的距離公式、三角形的面積公式、解一元二次方程等知識，解答的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，會運用分類討論和數(shù)形結(jié)合法等數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問題．50．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于O，A兩點．（1）求點A的坐標(biāo)和此二次函數(shù)的對稱軸．（2）若P，Q在拋物線上且．當(dāng)時，．求m的取值范圍．【答案】（1），；（2）．【分析】（1）先計算二次函數(shù)的對稱軸，再利用拋物線的對稱性解題即可；（2）把分別代入二次函數(shù)中，由得到，再結(jié)合圖象知，整理得，結(jié)合已知條件，代入解題即可．【詳解】解：（1）二次函數(shù)圖象的對稱軸為：二次函數(shù)的圖象與x軸交于O，A兩點，由對稱性可知；（2）把分別代入二次函數(shù)中得，整理得，由拋物線開口向下得．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、一元一次不等式的解法、整體思想等知識，是重要考點，難度一般，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．51．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（）．（1）求拋物線的對稱軸及拋物線與y軸交點坐標(biāo)．（2）已知點B（3，4），將點B向左平移3個單位長度，得到點C．若拋物線與線段BC恰有一個公共點，結(jié)合函數(shù)的圖象，求a的取值范圍．備用圖【答案】（1），（0，－3a）；（2），或a=－1【分析】（1）運用公式x=-求出對稱軸，令x=0，得y=-3a，即可求得拋物線與y軸