工程制圖第3章點(diǎn)線面投影

第3章正投影法基本知識(shí)

3.1三面投影體系與物體的三視圖3.2點(diǎn)的投影

3.3直線的投影3.4平面的投影

12/17/2024第3章正投影法基本知識(shí)

本章學(xué)習(xí)目標(biāo)了解三面投影體系；

了解點(diǎn)、直線、平面的投影特性。12/17/2024第3章正投影法基本知識(shí)

本章學(xué)習(xí)內(nèi)容三面投影體系的建立；

點(diǎn)的三面投影及其規(guī)律，兩點(diǎn)的相對(duì)位置；各種位置直線的投影特點(diǎn)，直角三角形法求直線的實(shí)長(zhǎng)，兩直線的相對(duì)位置；

各種平面的表示法，各種位置平面的投影特點(diǎn)，直線與平面、平面與平面的相對(duì)位置。

12/17/2024僅有單面投影不能唯一確定幾何元素的空間位置及物體的真實(shí)形狀

1.單面投影

投影面空間形體1空間形體2空間點(diǎn)一、三投影面體系與物體的三視圖3.1三面投影體系與物體的三視圖12/17/20242.三投影面體系三個(gè)相互垂直的投影面V、H和W構(gòu)成三投影面體系。

將空間分為八個(gè)區(qū)域稱為分角，分別稱第一、二……八分角。

我國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)優(yōu)先采用第一角法。

12/17/20243.三視圖的形成物體分別對(duì)三個(gè)投影面投影，形成三面投影。

在畫物體投影圖時(shí)，需將三個(gè)投影面展開到同一平面上。V面保持不動(dòng)，H面繞OX軸向下旋轉(zhuǎn)90°與V面重合，W面繞OZ軸向右旋轉(zhuǎn)90°與V面重合。12/17/2024三視圖正面投影，即物體從前向后投射所得的投影，稱為主視圖；

水平投影，即物體從上向下投射所得的投影，稱為俯視圖；側(cè)面投影，即物體從左向右投射所得的投影，稱為左視圖。在作三視圖時(shí)，可不畫出投影軸和投影面邊框線12/17/2024二、三視圖的投影規(guī)律及方位對(duì)應(yīng)關(guān)系

主、俯視圖——共同反映物體的長(zhǎng)度方向的尺寸，簡(jiǎn)稱“長(zhǎng)對(duì)正”；主、左視圖——共同反映物體的高度方向的尺寸，簡(jiǎn)稱“高平齊”；俯、左視圖——共同反映物體的寬度方向的尺寸，簡(jiǎn)稱“寬相等”。12/17/2024一、點(diǎn)的三面投影空間點(diǎn)用大寫拉丁字母如A、B、C…表示；水平投影用相應(yīng)小寫字母a表示；正面投影用相應(yīng)小寫字母加一撇a’表示；側(cè)面投影用相應(yīng)小寫字母加二撇a”表示。3.2點(diǎn)的投影12/17/2024二、點(diǎn)的三面投影規(guī)律aa’⊥OX，a’az=aayh=XA（A到W面的距離）a’a”⊥OZ，a’ax=a”ayw=ZA（A到H面的距離）aax=a”az=YA（A到V面的距離）點(diǎn)的三投影展開.swf12/17/2024點(diǎn)的投影作圖時(shí)，為了表示aax=a”az的關(guān)系，常用過原點(diǎn)O的45°斜線或以O(shè)為圓心的圓弧把點(diǎn)的H面與W面投影關(guān)系聯(lián)系起來。12/17/2024例3-1已知點(diǎn)A的兩面投影，求點(diǎn)A的第三面投影。(1)

過原點(diǎn)O作45°輔助線；(2)

過a作平行OX軸的直線與45°輔助線相交一點(diǎn)；(3)

過交點(diǎn)作⊥OYW的直線；(4)

該直線與過a’且平行OX軸的直線相交于一點(diǎn)即為a”

。解題步驟：12/17/2024例2

已知點(diǎn)A（11，8，15），求它的三個(gè)投影?！馻

15811aXaZayhZYwXYhO3、過O點(diǎn)在第四象限中作45°輔助線，過

ayh點(diǎn)作OYh軸的垂線交輔助線于一點(diǎn)，再由此點(diǎn)向上作垂線交過aZ點(diǎn)的OZ軸垂線得a

。1、由原點(diǎn)O向左沿OX軸量取11mm得aX

;

由原點(diǎn)O向前沿OYh軸量取8mm得ayh;

由原點(diǎn)O向上沿OZ軸量取15mm得aZ。2、過aX作OX軸的垂線，在垂線上自aX向前量取8mm得a，向上量取15mm得a

。4、a

、a

、a

即為點(diǎn)A（11，8，15）的三面投影。45°●a

●●a12/17/2024三、點(diǎn)的相對(duì)位置及重影點(diǎn)兩點(diǎn)的相對(duì)位置指兩點(diǎn)在空間的上下、前后、左右位置關(guān)系。判斷方法：x

坐標(biāo)大的在左；

y

坐標(biāo)大的在前；z

坐標(biāo)大的在上。A在B的上、后、左1.點(diǎn)的相對(duì)位置12/17/2024C點(diǎn)在E點(diǎn)之上；C點(diǎn)在E點(diǎn)之左。

C點(diǎn)在E點(diǎn)之后；1.點(diǎn)的相對(duì)位置12/17/2024例3

已知A點(diǎn)在B點(diǎn)右10mm、后5mm、下10mm，求A點(diǎn)的三個(gè)投影。A()ZYHXYWOb'b''ba'a''a20,10,2010151020203012/17/20242.重影點(diǎn)若兩點(diǎn)在某一投影面的投影重合在一起，則此兩點(diǎn)稱該投影面的重影點(diǎn)。不可見點(diǎn)一般加括號(hào)表示

A、B為基于H面的重影點(diǎn)。思考：基于V面、W面的重影點(diǎn)的投影圖。12/17/2024例4

判斷下列各點(diǎn)的可見性。c'd'a'Xa''d''c''ZYWYHb'b''Oabdc

和

點(diǎn)在V投影面上重影，

點(diǎn)可見。

和

點(diǎn)在H投影面上重影，

點(diǎn)可見。

和

點(diǎn)在V投影面上重影，

點(diǎn)可見。CDc’ABaADd”()()()12/17/2024兩點(diǎn)確定一條直線，將兩點(diǎn)的同名投影用直線連接，就得到直線的同名投影。3.3直線的投影12/17/2024⒈

直線對(duì)一個(gè)投影面的投影特性垂直于投影面；投影積聚為一點(diǎn)；積聚性直線平行于投影面；投影反映線段實(shí)長(zhǎng)；

顯實(shí)性直線傾斜于投影面；投影比空間線段短；

類似性一、直線的投影特性12/17/2024⒉直線在三個(gè)投影面中的投影特性投影面平行線平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線正平線（平行于Ｖ面）側(cè)平線（平行于Ｗ面）水平線（平行于Ｈ面）正垂線（垂直于Ｖ面）側(cè)垂線（垂直于Ｗ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）一般位置直線與三個(gè)投影面都傾斜的直線統(tǒng)稱特殊位置直線垂直于某一投影面

其投影特性取決于直線與三個(gè)投影面間的相對(duì)位置。12/17/20241.一般位置直線α為直線對(duì)H面的傾角，且ab=Abcosα；β為直線對(duì)V面的傾角，且a’b’=Abcosβ；γ為直線對(duì)W面的傾角，且a”b”=Abcosγ。一般位置直線對(duì)三個(gè)投影面都傾斜12/17/20242.投影面平行線——水平線水平投影ab=AB；

正面投影a’b’‖OX，側(cè)面投影a”b”

‖OYW，都不反映實(shí)長(zhǎng)；

ab與OX夾角反映β實(shí)際大小，ab與OYH夾角反映γ實(shí)際大小。實(shí)長(zhǎng)平行于H面，對(duì)V、W面傾斜

12/17/20242.投影面平行線——正平線正面投影a’b’=AB；

水平投影ab‖

OX，側(cè)面投影a”b”

‖OZ，都不反映實(shí)長(zhǎng)；

a’b’與OX夾角反映α實(shí)際大小，a’b’與OZ夾角反映γ實(shí)際大小。

實(shí)長(zhǎng)平行于V面，對(duì)H、W面傾斜12/17/20242.投影面平行線——側(cè)平線平行于W面，對(duì)H、V面傾斜

側(cè)面投影a”b”=AB；

水平投影ab‖OYH，正面投影a’b’

‖OZ，都不反映實(shí)長(zhǎng)；

a”b”與OYW夾角反映α實(shí)際大小，a”b”與OZ夾角反映β實(shí)際大小。

實(shí)長(zhǎng)直線AB與哪個(gè)投影面平行？12/17/2024名稱水平線(‖H面，對(duì)V、W面傾斜)正平線(‖V面，對(duì)H、W面傾斜)側(cè)平線(‖W面，對(duì)H、V面傾斜)投影圖投影特性1.水平投影ab=AB；2.正面投影a’b’‖OX，側(cè)面投影a”b”

‖OYW，都不反映實(shí)長(zhǎng)；3.ab與OX夾角反映β實(shí)際大小，ab與OY夾角反映γ實(shí)際大小。1.正面投影a’b’=AB；2.水平投影ab‖OX，側(cè)面投影a”b”

‖OZ，都不反映實(shí)長(zhǎng)；3.a’b’與OX夾角反映α實(shí)際大小，a’b’與OZ夾角反映γ實(shí)際大小。1.側(cè)面投影a”b”=AB；2.水平投影ab‖OYH，正面投影a’b’

‖OZ，都不反映實(shí)長(zhǎng)；3.a”b”與OYW夾角反映α實(shí)際大小，a”b”與OZ夾角反映β實(shí)際大小。投影面平行線的投影特性12/17/2024水平投影a(b)積聚成一點(diǎn)；正面投影a’b’⊥OX，側(cè)面投影a”b”⊥OYW，a’b’=

a”b”=AB。

3.投影面垂直線——鉛垂線垂直于H面，平行于V、W面

實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)積聚12/17/2024正面投影a’(b’)積聚成一點(diǎn)；水平投影ab⊥OX，側(cè)面投影a”b”⊥OZ，ab=a”b”=AB。3.投影面垂直線——正垂線垂直于V面，平行于H、W面

積聚實(shí)長(zhǎng)直線AB垂直于哪個(gè)投影面?實(shí)長(zhǎng)12/17/2024側(cè)面投影a”(b”)積聚成一點(diǎn)；水平投影ab⊥OYH，正面投影a’b’⊥OZ，ab=a’b’=AB。

3.投影面垂直線——側(cè)垂線垂直于W面，平行于H、V面

積聚實(shí)長(zhǎng)直線AB垂直于哪個(gè)投影面?實(shí)長(zhǎng)12/17/2024名稱鉛垂線(H面，‖V、W面)正垂線(V面，‖H、W面)側(cè)垂線(W面，‖H、V面)投影圖投影特性1.水平投影a(b)積聚成一點(diǎn)；2.正面投影a’b’⊥OX，側(cè)面投影a”b”⊥

OYW，a’b’=a”b”=AB。1.正面投影a’(b’)積聚成一點(diǎn)；2.水平投影ab

⊥OX，側(cè)面投影a”b”⊥

OZ，ab=a”b”=AB。

1.側(cè)面投影a”(b”)積聚成一點(diǎn)；2.水平投影ab

⊥

OYH，正面投影a’b’⊥OZ，ab=a’b’=AB

投影面垂直線的投影特性12/17/2024例5

畫出直線AB的第三投影，判斷它與投影面的相對(duì)位置。ZXYWb''a''oabYH1)AB是（）線2)AB是（）線3)AB是（）線4)AB是（）線5)AB是（）線6)AB是（）線a'b'b''a''XYWYHXYWYHooa''b''ZZaba'b'b''a''ZXYWYHoZXYWYHa‘‘(b'')oaba'b'b''a''ZXYWYHo12/17/2024例5

畫出直線AB的第三投影，判斷它與投影面的相對(duì)位置。ZXYWb''a''oabYH1)AB是（正平）線2)AB是（鉛垂）線3)AB是（側(cè)平）線4)AB是（水平）線5)AB是（側(cè)垂）線6)AB是（一般位置）線a'b'b''a''XYWYHXYWYHooa''b''ZZaba'b'b''a''ZXYWYHoZXYWYHa‘‘(b'')oaba'b'b''a''ZXYWYHoa'b'b(a)a'b'aba'b'ab12/17/2024一般位置直線的三個(gè)投影都小于直線的實(shí)長(zhǎng)；也不能反映其與投影面的夾角。如何求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)?直角三角形法二、直角三角形法12/17/2024二、直角三角形法過點(diǎn)A作AB0

∥ab，則ΔABB0為直角三角形；

AB0=ab，

BB0=Zb－Za，即A、B兩點(diǎn)Z坐標(biāo)之差。AB實(shí)長(zhǎng)與H面夾角12/17/2024例3-2

已知直線AB的水平投影及直線對(duì)H

面的傾角α=30°，點(diǎn)A的正面投影a’，求AB的正面投影和實(shí)長(zhǎng)。(1)

在水平投影上，過點(diǎn)b作ab的垂線；AB的實(shí)長(zhǎng)(2)

以α=30°作直角三角形abB0；

(3)

根據(jù)bB0和點(diǎn)的投影規(guī)律可求得b1’、b2’，連接a’b1’，

a’b2’即得直線AB的正面投影。12/17/2024例3-3

已知直線AB的正面投影及直線對(duì)V面的傾角β=30°，點(diǎn)A的水平投影a，求AB的水平投影和實(shí)長(zhǎng)。(1)

在正面投影上，過點(diǎn)b'作a'b'的垂線；(2)

以β=30°作直角三角形a'b'B0；

(3)

根據(jù)b'B0和點(diǎn)的投影規(guī)律可求得b1、b2，連接ab1，

ab2即得直線AB的水平投影。AB的實(shí)長(zhǎng)12/17/2024點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的投影必在直線的同面投影上。三、屬于直線上的點(diǎn)12/17/20241.屬于直線上的點(diǎn)反之，若點(diǎn)的投影在直線的同面投影上，則點(diǎn)必在直線上；根據(jù)點(diǎn)在直線上這一屬性就可以判斷點(diǎn)是否在直線上。

點(diǎn)C在直線AB上點(diǎn)C、D不在直線AB上ee’12/17/2024點(diǎn)分直線定比定理直線上的點(diǎn)分直線為定比，其點(diǎn)的投影分直線的投影為空間相同的比例。BC：CA=

b’c’：c’a’=bc：ca2.點(diǎn)分直線成定比12/17/2024例7

已知點(diǎn)K在直線EF上，及點(diǎn)K的水平投影k，求正面投影k’。e

f

efXk

Okk1f1作圖步驟：1.

過e任作一直線ef1=e’f’；2.

連接ff1,形成三角形eff1

；3.

過k作直線與

ff1

平行，與ef1

交于點(diǎn)k1；4.

在e’f’上取e’k’=ek1，k’為所求。12/17/2024例8

在線段AB上取一點(diǎn)K，使AK=15mm，求K的兩面投影k、k’。OXa'b'ab15Akkk'12/17/2024四、兩直線的相對(duì)位置兩直線的相對(duì)位置有三種情況：平行、相交、交叉。當(dāng)兩直線平行則兩直線同面投影均相互平行；

反之，若兩直線同面投影平行，則該兩直線平行。直線AB∥CD

1.平行兩直線12/17/2024試判斷圖中CD與AB是否平行？但側(cè)面投影a”b”

與c”d”相交。AB與CD不平行作出第三面投影來判斷。雖然ab∥cd，并且a’b’∥c’d’，12/17/2024若兩直線相交，兩直線的同面投影也相交，且交點(diǎn)符合點(diǎn)的投影規(guī)律。交點(diǎn)連線kk’⊥OX軸2.相交兩直線12/17/2024例10已知直線AB與CD相交，求CD的水平投影。c'b'k'a'd'ckabd12/17/2024空間兩直線既不平行也不相交，稱該兩直線為交叉兩直線，交叉兩直線的同面投影可能相交，但其交點(diǎn)并不是空間交點(diǎn)的投影，而是重影點(diǎn)。3.交叉兩直線直線AB和CD是否相交?“交點(diǎn)”不符合點(diǎn)的投影規(guī)律，兩直線不相交。12/17/2024例11判斷直線AB與CD的相對(duì)位置。a'b'b''a''ZXYWYHOabc'd'c''d''cda'b'c'd'Xa'b'c'd'abcda'b’(d’)c'a'b'c'd'ZXYWYHOZXYWYHOa(b)cdabcda'b'c'd'abcd1)AB和CD

2)AB和CD

3)AB和CD

XOOXO4)AB和CD

5)AB和CD

6)AB和CD

12/17/2024例11判斷直線AB與CD的相對(duì)位置。a'b'b''a''ZXYWYHoabc'd'c''d''cda'b'c'd'Xa'b'c'd'abcda'c'a'b'c'd'ZXYWYHOZXYWYHOadabcda'b'c'd'abcd1)AB和CD

2)AB和CD

3)AB和CD

XOOXO4)AB和CD

5)AB和CD

6)AB和CD

平行交叉相交交叉交叉交叉b’(d’)(b)c12/17/2024例12作直線KL，與AB和CD相交，與EF平行。a'(b')d'c'cdabe'f'efOXk'l'kl12/17/2024五、直角投影定理互相垂直的兩直線，如果其中一條線平行于某一投影面時(shí)，兩直線在該投影面上的投影也相互垂直。

AB⊥BC

DE⊥EF

BC∥H面則ab⊥bcDE∥V面則d’e’⊥e’f’12/17/2024例3-3

已知直線AB為正平線，且直線AC垂直于直線AB，求作直線AC的兩面投影。

(1)

作a’c’⊥a’b’；(2)

由c’作OX軸的垂線；(3)

連接ac。

此題有多少個(gè)解？無數(shù)解12/17/2024例3-4

求點(diǎn)A到直線BC的距離。(1)

由點(diǎn)a作bc的垂線ad，交bc于點(diǎn)d

；(2)

由點(diǎn)d作OX軸的垂線，交b’

c’于點(diǎn)

d’；連接a’d’；(3)

運(yùn)用直角三角形法，求出AD的實(shí)長(zhǎng)。

距離分析題圖可知，BC為水平線

12/17/2024例15

求點(diǎn)P到正平線AB的距離。p'k'b'a'XakpbPK實(shí)長(zhǎng)O12/17/2024例16

完成等腰三角形ABC的投影，其中點(diǎn)C在直線BD上。a'c'd'b'k'backdXO12/17/2024P空間平面可用下列任意一組幾何元素來表示。

不在同一直線上的三點(diǎn)P一直線和直線外一點(diǎn)P相交兩直線PP平行兩直線任意平面圖形一、平面的表示法3.4平面的投影12/17/2024平面對(duì)于三投影面的位置可分為三類：投影面垂直面投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，傾斜于另兩個(gè)投影面平行于某一投影面，垂直于另兩個(gè)投影面與三個(gè)投影面都傾斜正垂面?zhèn)却姑驺U垂面正平面?zhèn)绕矫嫠矫?2/17/20241.一般位置平面的投影一般位置平面對(duì)三個(gè)投影面都是傾斜的；三面投影都反映為類似形。

12/17/20242.投影面垂直面的投影——鉛垂面水平投影積聚成一直線；正面投影和側(cè)面投影均為原形的類似形。積聚垂直于一個(gè)投影面與另外兩個(gè)投影面傾斜的平面稱為投影面垂直面。垂直H面的平面稱鉛垂面。βγ12/17/20242.投影面垂直面的投影——正垂面垂直V面的平面稱正垂面。

正面投影積聚成一直線，水平投影和側(cè)面投影均為原形的類似形。

積聚平面垂直于哪個(gè)投影面?αγ12/17/20242.投影面垂直面的投影——側(cè)垂面垂直W面的平面稱側(cè)垂面。

側(cè)面投影積聚成一直線，水平投影和正面投影均為原形的類似形。積聚平面垂直于哪個(gè)投影面?αγ12/17/2024名稱鉛垂面(H面)正垂面(V面)側(cè)垂面(W面)投影圖投影特性1.水平投影積聚成一直線；2.正面投影和側(cè)面投影均為原形的類似形。1.正面投影積聚成一直線；2.水平投影和側(cè)面投影均為原形的類似形。1.側(cè)面投影積聚成一直線；2.水平投影和正面投影均為原形的類似形。投影面垂直面的投影特性12/17/20243.投影面平行面的投影——水平面水平投影反映實(shí)形，正面投影積聚成一直線，并平行于OX軸，平行于一個(gè)投影面與另外兩個(gè)投影面垂直的平面稱為投影面平行面

平行H面的平面稱水平面。側(cè)面投影積聚成一直線，并平行于OYW軸。實(shí)形12/17/20243.投影面平行面的投影——正平面正面投影反映實(shí)形，水平投影積聚成一直線，并平行于OX軸，平行V面的平面稱正平面。側(cè)面投影積聚成一直線，并平行于OZ軸。實(shí)形平面平行于哪個(gè)投影面?12/17/20243.投影面平行面的投影——側(cè)平面?zhèn)让嫱队胺从硨?shí)形，水平投影積聚成一直線，并平行于OYH軸，平行W面的平面稱側(cè)平面。正面投影積聚成一直線，并平行于OZ軸。實(shí)形平面平行于哪個(gè)投影面?12/17/2024名稱水平面(‖H面)

正平面(‖V面)

側(cè)平面(‖W面)

投影圖投影特性1.水平投影反映實(shí)形；2.正面投影和側(cè)面投影積聚成一直線。1.正面投影反映實(shí)形；2.水平投影和側(cè)面投影積聚成一直線1.側(cè)面投影反映實(shí)形；2.水平投影和正面投影積聚成一直線。投影面平行面的投影特性12/17/20241.平面上的點(diǎn)和線點(diǎn)在平面上的條件是：若點(diǎn)在平面上的任一已知直線上，則點(diǎn)在該平面上。二、平面上的點(diǎn)和線、屬于面內(nèi)的投影面平行線點(diǎn)M在AB上，點(diǎn)N在BC上。12/17/20241.平面上的點(diǎn)和線直線在平面上的條件是：若一直線通過平面上任意兩已知點(diǎn)，則直線在該平面上。

點(diǎn)M在AB上，點(diǎn)N在BC上，因此，MN在平面ABC上。12/17/20241.平面上的點(diǎn)和線若一直線通過平面上任一已知點(diǎn)，且平行于該平面內(nèi)任一條不通過該點(diǎn)的已知直線，則直線在該平面上。

直線在平面上的條件是：12/17/20242.平面內(nèi)的投影面平行線屬于平面且又平行于一個(gè)投影面的直線稱為平面內(nèi)的投影面平行線。平面內(nèi)平行于H面的直線稱為平面內(nèi)的水平線；

平面內(nèi)平行于V面的直線稱為平面內(nèi)的正平線；

平面內(nèi)平行于W面的直線稱為平面內(nèi)的側(cè)平線。

12/17/2024例3-5

已知ΔABC內(nèi)一點(diǎn)K的水平投影k，求其正面投影k’。解：通過在平面上作正平線求k’。

(1)在平面的水平投影△

abc上，過點(diǎn)k作OX軸的平行線12；

(2)

分別由1、2作OX軸的垂線與a’b’、b’c’分別交于1’和2’

；(3)

再?gòu)狞c(diǎn)k作垂線與直線1’2’相交于k'。12/17/2024例3-5

已知ΔABC內(nèi)一點(diǎn)K的水平投影k，求其正面投影k’。解：運(yùn)用點(diǎn)在平面上的條件求k’。(1)

在平面的水平投影△

abc上，連ak與bc相交于點(diǎn)3；

(2)

由點(diǎn)3作垂線與b’c’相交于點(diǎn)3’；

(3)

連a’3’與過k所作的垂線交于k’。12/17/2024例18

已知三角形ABC上一點(diǎn)K，其X坐標(biāo)為25，其Z坐標(biāo)為10，求它的投影。b'XOa'c'd'k'e'bdacek251012/17/2024例3-6

完成平面四邊形的正面投影。由于四邊形ABCD為一平面圖形，因此可以利用它的對(duì)角線確定點(diǎn)D的正面投影d’，從而完成四邊形的正面投影。12/17/2024例20

包含點(diǎn)A作一正垂面P（用三角形表示），并使P與H面的傾角為30°。XOaa

分析：（1）因?yàn)檎姑娴恼嫱队熬哂蟹e聚性，而且它與OX軸的夾角反映了平面與H面的傾角，所以只要過a’向左或向右作一與OX成30°的線段（本題有兩解），即為平面P的正面投影p’；（2）在H面任做一個(gè)三角形與p’對(duì)應(yīng)，即為平面P的水平投影p。30°p

p12/17/2024例20

包含點(diǎn)A作一正垂面P（用三角形表示），并使P與H面的傾角為30°。XOaa

作圖步驟：（1）先過a’作一與OX成30゜任意長(zhǎng)的線段p’

，再在水平投影面上任作一三角形p與正面投影的線段p’對(duì)應(yīng)。（2）本題還可以先過a’向左作一與OX成30゜任意長(zhǎng)的線段，作為三角形的正面投影，然后再作其對(duì)應(yīng)的水平投影。30°p

pp

p30°12/17/2024c()d()b例21

以水平線AB為一邊作一正方形ABCD與H面垂直。分析：(1)

因?yàn)檎叫蜛BCD為鉛垂面，其水平投影有積聚性，所以正方形ABCD的水平投影與ab重合；(2)

正方形的四邊相等，平行于H面兩邊的水平投影ab、cd反映實(shí)長(zhǎng)，另外垂直于H面兩邊的正面投影a’d’、b’c’也反映實(shí)長(zhǎng)。XOa'b'ad'c'12/17/2024作圖步驟：(1)

先分別過a’b’作a’b’的垂線a’d’=b’c’=ab；(2)

再連接c’、d’，即得正方形ABCD的正面投影a’b’c’d’。例21

以水平線AB為一邊作一正方形ABCD與H面垂直。c()d()bXOa'b'ad'c'12/17/20243.平面內(nèi)的最大斜度線平面內(nèi)垂直于各投影面的平行線的直線稱為平面內(nèi)的最大斜度線AB是對(duì)H面的最大斜度線平面對(duì)H面的最大斜度線的水平投影必垂直于該平面內(nèi)的水平線的水平投影α為平面P對(duì)H面的傾角12/17/2024試求平面△ABC對(duì)H、V面的傾角α、β。解：欲求平面△ABC對(duì)H面的傾角α，也就是求△ABC平面內(nèi)對(duì)H面的最大斜度線與H面的夾角α。

1.在△ABC平面內(nèi)作一水平線，并作出水平線的垂線，即為對(duì)H面的最大斜度線

2.利用直角三角形法求出它對(duì)H面的傾角α

用同樣的方法可以求出平面△ABC對(duì)V面的傾角β12/17/20241.直線與平面平行若空間一直線平行于屬于平面的任一直線，則該直線與該平面平行。

CD平行于屬于平面P的直線AB，

則CD與平面P平行。三、直線與平面、平面與平面平行12/17/2024例3-7

已知直線DE∥△ABC，試完成直線DE的水平投影。解：因?yàn)橹本€DE∥△ABC，所以在△ABC中必可找到一條直線與DE平行。該直線的投影也必然與DE的同面投影平行。12/17/2024例3-8

試判別直線DE是否平行于△ABC。

解：如果在△ABC所確定的平面內(nèi)能找到平行于直線DE的直線，則直線DE∥△ABC，否則直線DE與△ABC不平行。

故直線ED與△ABC不平行。de∥cf，

但d’e’與c’f’不平行，12/17/20242.平面與平面平行若屬于一平面的相交兩直線與屬于另一平面的相交兩直線對(duì)應(yīng)平行，則兩平面平行。

平面P中的L1與平面Q中的L3平行，平面P中的L2與平面Q中的L4平行，可知平面P與平面Q平行。12/17/2024例3-9

過點(diǎn)K作平面與△ABC平行。解：要作一平面與△ABC平行，只要過點(diǎn)K作兩條相交直線與屬于三角形的兩條相交直線（邊）對(duì)應(yīng)平行就可以了。

過點(diǎn)K作直線KF∥AC，過點(diǎn)K作直線KE∥AB，故平面KEF與△ABC平行。12/17/2024例3-10

判斷△ABC與△DEF是否平行。

解：若在△ABC上任作一對(duì)相交直線，在△DEF上可以作出一對(duì)相交直線與其對(duì)應(yīng)平行，則兩三角形互相平行，否則不平行。

所以△ABC與△DEF不平行。由于△ABC中水平線AⅡ與△DEF中水平線FⅢ不平行，12/17/20241.直線與平面相交直線與平面相交的交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)，且交點(diǎn)又是直線投影可見與不可見的分界點(diǎn)。

四、直線與平面、平面與平面相交12/17/20241.直線與平面相交四、直線與平面、平面與平面相交12/17/2024例3-11

求直線AB與△

CDE的交點(diǎn)。直線AB為鉛垂線，其水平投影積聚為一點(diǎn)a(b)

，交點(diǎn)K的水平投影k與a(b)重影。

(2)

判別可見性；(1)

求交點(diǎn)K；重影點(diǎn)點(diǎn)Ⅱ與點(diǎn)Ⅲ在V面上是重影點(diǎn)，其中點(diǎn)Ⅱ在CE上，點(diǎn)Ⅲ在AK上，通過H面投影判斷Ⅱ在Ⅲ之前，從而CE在AK之前。12/17/2024例3-12

求直線AB與△

CDE的交點(diǎn)。ΔCDE是鉛垂面，

三角形的水平投影有積聚性，

交點(diǎn)K的水平投影k重合在Δcde

上，k點(diǎn)同時(shí)又在直線ab上。(2)

判別可見性；(1)

求交點(diǎn)K；點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ在V面上是重影點(diǎn)，通過1和2的位置可判斷空間點(diǎn)Ⅰ在點(diǎn)Ⅱ的前方，因此可判斷KB在KE的前方，k’b’可見。12/17/2024兩平面相交兩鉛垂面相交.swf12/17/20242.平面與平面相交平面與平面相交的交線是兩平面共有線，交線既在第一平面上又在第二平面上，且交線又是兩平面可見與不可見的分界線。

12/17/2024例3-13

求作相交兩平面△ABC與△

DEF的交線。△

DEF為水平面，其正面投影有積聚性，交線KL的正面投影k’l’與d’e’f’重合。(2)

判別可見性。(1)

求交線；重影點(diǎn)重影點(diǎn)12/17/2024例3-14

求作平面ABCD與△

EFG的交線。四邊形ABCD為鉛垂面，其水平投影有積聚性，交線KL的水平投影kl必與其重合。(2)

判別可見性。(1)

求交線；重影點(diǎn)點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ在V面上是重影點(diǎn)，通過1和2的位置可判斷空間點(diǎn)Ⅰ在點(diǎn)Ⅱ的前方，因此可判斷DC在KG的前方，k’g’的部分被平面遮擋。12/17/2024因△DEF是一個(gè)鉛垂面，所以它的H面投影具有積聚性。求△ABC與△DEF兩個(gè)平面的交線①ab與△def的交點(diǎn)為k，bc與△def的交點(diǎn)為m；②由于m′位于△d′e′f′圖形外

，因此兩平面的交線為KL；③判別可見性。12/17/2024一般位置直線與一般位置平面相交由于一般位置直線和一般位置平面的投影都沒有積聚性，所以它們相交的交點(diǎn)的投影不能在圖上直接確定需要采用輔助平面法e’12/17/2024求直線DE與平面△ABC的交點(diǎn)K可過直線DE作鉛垂面P然后求出輔助平面P與平面△ABC的交線MN，直線DE與交線MN的交點(diǎn)為K，則K點(diǎn)即為所求①包含直線DE作輔助鉛垂面P，求出輔助平面P與△ABC的交線MN

②求交點(diǎn)

③判別可見性

12/17/2024兩個(gè)一般位置平面相交求作兩個(gè)一般位置平面的交線，只要求出這兩個(gè)平面的兩個(gè)共有點(diǎn)，再用直線連接這兩個(gè)共有點(diǎn)，即為所求兩平面的交線