新教材適用2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第10章概率10.1隨機(jī)事件與概率10.1.3古典概型素養(yǎng)作業(yè)新人教A版必修第二冊

第十章10.110.1.3A組·素養(yǎng)自測一、選擇題1．下列不是古典概型的是(C)A．從10名同學(xué)中，選出3人參與數(shù)學(xué)競賽，每人被選中的可能性的大小B．同時擲兩顆質(zhì)地勻稱的骰子，點數(shù)和大于7的概率C．拋擲一枚勻稱硬幣首次出現(xiàn)正面為止D．8個人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率[解析]C不滿意有限性．2．已知某運動員每次投籃命中的概率都為40%，現(xiàn)采納隨機(jī)模擬的方式估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算機(jī)產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以三個隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下12組隨機(jī)數(shù)：137960197925271815952683829436730257，據(jù)此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為(A)A.eq\f(1,4) B．eq\f(3,8)C．eq\f(5,12) D．eq\f(5,8)[解析]依題意在12組隨機(jī)數(shù)中三次投籃恰有兩次命中的有：137,271,436共3個，所以該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率P＝eq\f(3,12)＝eq\f(1,4).3．(2024·新高考Ⅰ卷)從2至8的7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為(D)A.eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)[解析]從2至8的7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù)，共有21種不同的取法，若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,6)，(4,6)，(4,8)，(6,8)，共7種，故所求概率P＝eq\f(21－7,21)＝eq\f(2,3).4．(2024·威海高一期末)一次下鄉(xiāng)送醫(yī)活動中，某醫(yī)院要派醫(yī)生A1，A2，A3和護(hù)士B1，B2，B3分成3組到農(nóng)村參與活動，每組1名醫(yī)生和1名護(hù)士，則醫(yī)生A1不和護(hù)士B1分到同一組的概率為(C)A.eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(2,3) D．eq\f(1,2)[解析]由題意，不同分組有：(A1B1，A2B2，A3B3)，(A1B1，A2B3，A3B2)，(A1B2，A2B1，A3B3)，(A1B2，A2B3，A3B1)，(A1B3，A2B2，A3B1)，(A1B3，A2B1，A3B2)共6種，醫(yī)生A1不和護(hù)士B1分到同一組有4種，則所求概率為eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).5．已知甲罐中有四個相同的小球，標(biāo)號為1,2,3,4；乙罐中有五個相同的小球，標(biāo)號為1,2,3,5,6，現(xiàn)從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取1個小球，記事務(wù)A＝“抽取的兩個小球標(biāo)號之和大于5”，事務(wù)B＝“抽取的兩個小球標(biāo)號之積大于8”，則(CD)A．事務(wù)A與事務(wù)B的樣本點數(shù)分別為12,8B．事務(wù)A，B間的關(guān)系為A?BC．事務(wù)A∪B發(fā)生的概率為eq\f(11,20)D．事務(wù)A∩B發(fā)生的概率為eq\f(2,5)[解析]解：由題用(a，b)表示甲罐、乙罐中取小球標(biāo)號的狀況，則全部的狀況有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，共20種，其中滿意事務(wù)A的結(jié)果有：(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,3)，(3,5)，(3,6)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，共11種，其中滿意事務(wù)B的結(jié)果有：(2,5)，(2,6)，(3,3)，(3,5)，(3,6)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，共8種，故選項A錯誤；因為事務(wù)B的結(jié)果均在事務(wù)A中包含，故B?A，故選項B錯誤；因為A∪B＝A，所以A∪B的結(jié)果數(shù)有11種，所以P(A∪B)＝eq\f(11,20)，故選項C正確；因為A∩B＝B，所以A∩B的結(jié)果數(shù)有8種，故P(A∩B)＝eq\f(8,20)＝eq\f(2,5)，故選項D正確．二、填空題6．將2本不同的數(shù)學(xué)書和1本語文書在書架上隨機(jī)排成一行，則2本數(shù)學(xué)書相鄰的概率為eq\f(2,3).[解析]設(shè)數(shù)學(xué)書為A、B，語文書為C，則不同的排法共有(A，B，C)，(A，C，B)，(B，C，A)，(B，A，C)，(C，A，B)，(C，B，A)共6種排列方法，其中2本數(shù)學(xué)書相鄰的狀況有4種狀況，故所求概率為P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).7．從含有3件正品和1件次品的4件產(chǎn)品中不放回地任取2件，則取出的2件中恰有1件是次品的概率是eq\f(1,2).[解析]設(shè)3件正品為A，B，C,1件次品為D，從中不放回地任取2件，試驗的樣本空間Ω＝{AB，AC，AD，BC，BD，CD}，共6個．其中恰有1件是次品的樣本點有：AD，BD，CD，共3個，故P＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).8．小明同學(xué)的QQ密碼是由0.1,2,3,4,5,6,7,8,9這10個數(shù)字中的6個數(shù)字組成的六位數(shù)，由于長時間未登錄QQ，小明遺忘了密碼的最終一個數(shù)字，假如小明登錄QQ時密碼的最終一個數(shù)字隨意選取，則恰好能登錄的概率是eq\f(1,10).[解析]只考慮最終一位數(shù)字即可，從0至9這10個數(shù)字中隨機(jī)選擇一個作為密碼的最終一位數(shù)字有10種可能，選對只有一種可能，所以選對的概率是eq\f(1,10).三、解答題9．袋子中有5個大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個紅球，3個黃球，從中不放回地依次隨機(jī)摸出2個球，構(gòu)成有序數(shù)對(x，y)，其中x為第一次取到的小球上的數(shù)字，y為其次次取到的小球上的數(shù)字．將兩個紅球編號為1,2，三個黃球編號為3,4,5，求下列事務(wù)的概率：(1)A＝“第一次摸到紅球”；(2)B＝“其次次摸到紅球”；(3)AB＝“兩次都摸到紅球”．[解析](1)摸出球的狀況如下：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共20種狀況，其中事務(wù)A包含(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，有8種狀況，故P(A)＝eq\f(8,20)＝eq\f(2,5).(2)事務(wù)B包含(1,2)，(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)，有8種狀況，所以P(B)＝eq\f(8,20)＝eq\f(2,5).(3)事務(wù)AB包含(1,2)，(2,1)，有2種狀況，所以P(AB)＝eq\f(2,20)＝eq\f(1,10).10．某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項趣味活動．參與活動的兒童需轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)動后，待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù)．設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x，y.嘉獎規(guī)則如下：①若xy≤3，則嘉獎玩具一個；②若xy≥8，則嘉獎水杯一個；③其余狀況嘉獎飲料一瓶．假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地勻稱，四個區(qū)域劃分勻稱．小亮打算參與此項活動．(1)求小亮獲得玩具的概率；(2)請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由．[解析]用數(shù)對(x，y)表示兒童參與活動先后記錄的數(shù)，則基本領(lǐng)件空間Ω與點集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4，1≤y≤4}一一對應(yīng)．因為S中元素的個數(shù)是4×4＝16，所以基本領(lǐng)件總數(shù)n＝16.(1)記“xy≤3”為事務(wù)A，則事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件共5個，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．所以P(A)＝eq\f(5,16)，即小亮獲得玩具的概率為eq\f(5,16).(2)記“xy≥8”為事務(wù)B，“3<xy<8”為事務(wù)C.則事務(wù)B包含的基本領(lǐng)件共6個，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，所以P(B)＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).事務(wù)C包含的基本領(lǐng)件共5個，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，所以P(C)＝eq\f(5,16)，因為eq\f(3,8)>eq\f(5,16)，所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率．B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．有3個愛好小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參與其中一個小組，每位同學(xué)參與各個小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參與同一個愛好小組的概率為(A)A.eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)[解析]記三個愛好小組分別為1、2、3，甲參與1組記為“甲1”，則基本領(lǐng)件為“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9個．記事務(wù)A為“甲、乙兩位同學(xué)參與同一個愛好小組”，其中事務(wù)A有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3個，因此P(A)＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).2．若a∈A且a－1?A，a＋1?A，則稱a為集合A的孤立元素．若集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，4，5，6))，集合N為集合M的三元子集，則集合N中的元素都是孤立元素的概率為(C)A.eq\f(3,20) B．eq\f(1,6)C．eq\f(1,5) D．eq\f(1,7)[解析]集合M＝{1,2,3,4,5,6}的三元子集有{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,6}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,3,6}，{1,4,5}，{1,4,6}，{1,5,6}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,3,6}，{2,4,5}，{2,4,6}，{2,5,6}，{3,4,5}，{3,4,6}，{3,5,6}，{4,5,6}，共20個．滿意集合中的元素都是孤立元素的集合N可能為{1,3,5}，{1,3,6}，{1,4,6}，{2,4,6}，一共4種．由古典概率模型公式，可得集合N中的元素都是孤立元素的概率P＝eq\f(4,20)＝eq\f(1,5).故選C.3．齊王有上等、中等、下等馬各一匹，田忌也有上等、中等、下等馬各一匹．田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)各選一匹進(jìn)行一場競賽，若有優(yōu)勢的馬肯定獲勝，則齊王的馬獲勝的概率為(C)A.eq\f(4,9) B．eq\f(5,9)C．eq\f(2,3) D．eq\f(7,9)[解析]設(shè)齊王的上等、中等、下等馬分別為A、B、C，田忌的上等、中等、下等馬分別為a、b、c，現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)各選一匹進(jìn)行一場競賽，樣本點有(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)(B，b)，(B，c)，(C，a)，(C，b)，(C，c)，共9種，齊王的馬獲勝包含的樣本點有(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，b)，(B，c)，(C，c)，共6種，所以齊王的馬獲勝的概率P＝eq\f(6,9)＝eq\f(2,3)，故選C.二、填空題4．一袋中裝有除顏色外完全相同的3個黑球和2個白球，先后兩次從袋中不放回的各取一球．則第一次取出的是白球，且其次次取出的是黑球的概率為eq\f(3,10).[解析]設(shè)三個黑球編號分別為A1，A2，A3，兩個白球編號分別為B1，B2，先后兩次從袋中不放回的各取一球．基本狀況有：(A1A2)，(A1A3)，(A1B1)，(A1B2)，(A2A3)，(A2B1)，(A2B2)，(A3B1)，(A3B2)，(B1B2)，(A2A1)，(A3A1)，(B1A1)，(B2A1)，(A3A2)，(B1A2)，(B2A2)，(B1A3)，(B2A3)，(B2B1)，共20種；其中，第一次取出的是白球，且其次次取出的是黑球的狀況有6種；故所求概率P＝eq\f(6,20)＝eq\f(3,10).5．第14屆國際數(shù)學(xué)教化大會(ICME－14)于2024年7月12日至18日在上海舉辦，已知張老師和李老師都在7天中隨機(jī)選擇了連續(xù)的3天參會，則兩位老師所選的日期恰好都不相同的概率為eq\f(6,25).[解析]因為張老師在7天中隨機(jī)選擇連續(xù)的3天參會共有5種選法，即(12,13,14)，(13,14,15)，(14,15,16)，(15,16,17)，(16,17,18)，所以隨機(jī)試驗張老師和李老師各在7天中隨機(jī)選擇連續(xù)的3天參會的基本領(lǐng)件數(shù)為25，其中兩位老師所選的日期恰好都不相同選法有：張老師選(12,13,14)，李老師選(15,16,17)或(16,17,18)，張老師選(13,14,15)，李老師選(16,17,18)，張老師選(15,16,17)，李老師選(12,13,14)，張老師選(16,17,18)，李老師選(12,13,14)或(13,14,15)，即事務(wù)兩位老師所選的日期恰好都不相同包含6個基本領(lǐng)件，所以事務(wù)兩位老師所選的日期恰好都不相同的概率P＝eq\f(6,25).三、解答題6．從含有兩件正品a1，a2和一件次品b的三件產(chǎn)品中，每次任取一件．(1)若每次取后不放回，連續(xù)取兩次，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率；(2)若每次取后放回，連續(xù)取兩次，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率．[解析](1)每次取出一個，取后不放回地連續(xù)取兩次，其一切可能的結(jié)果組成的樣本點有6個，即(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)．其中小括號內(nèi)左邊的字母表示第1次取出的產(chǎn)品，右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)品．總的事務(wù)個數(shù)為6，而且可以認(rèn)為這些樣本點是等可能的．設(shè)事務(wù)A＝“取出的兩件中恰有一件次品”，所以A＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}，所以n(A)＝4，從而P(A)＝eq\f(nA,nΩ)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).(2)有放回地連續(xù)取出兩件，其全部可能的結(jié)果為(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)，共9個樣本點組