2024-2025學年上學期北京高一數(shù)學期末典型卷2

第1頁（共1頁）2024-2025學年上學期北京高一數(shù)學期末典型卷2一．選擇題（共10小題，滿分40分，每小題4分）1．（4分）（2021春?杭州期末）若集合A＝{1，3，5}，B＝{2，3，6}，則A∪B＝（）A．{3} B．{1，2，5，6} C．{1，2，3，6} D．{1，2，3，5，6}2．（4分）（2012春?東城區(qū)期末）已知a＞0，a≠1，函數(shù)y＝ax與y＝loga（﹣x）在同一坐標系中的圖象可以是（）A． B． C． D．3．（4分）（2023秋?龍巖期中）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增的是（）A．f（x）＝|x﹣1| B．f（x）＝x2﹣1 C． D．4．（4分）（2023?日喀則市模擬）已知向量，，，若，則x＝（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．25．（4分）（2019秋?沙坪壩區(qū)校級月考）實數(shù)a＝30.4，b＝log318，c＝log550的大小關系為（）A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜a＜c C．a(chǎn)＜c＜b D．c＜b＜a6．（4分）（2021?南昌三模）若函數(shù)，則（）A． B． C．1 D．7．（4分）某學校舉行詩歌朗誦比賽，10位評委對甲、乙兩位同學的表現(xiàn)打分，滿分為10分，將兩位同學的得分制成如圖莖葉圖，其中莖葉圖莖部分是得分的個位數(shù)，葉部分是得分的小數(shù)，則下列說法錯誤的是（）A．甲同學的平均分大于乙同學的平均分 B．甲、乙兩位同學得分的極差分別為2.4和1 C．甲、乙兩位同學得分的中位數(shù)相同 D．甲同學得分的方差更小8．（4分）（2021春?藍田縣期末）某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名學生參加演講比賽，事件“至少有1名男生”與事件“至少有1名女生”（）A．是對立事件 B．都是不可能事件 C．是互斥事件但不是對立事件 D．不是互斥事件9．（4分）（2022春?雙流區(qū)期末）設O為△ABC的外心，且滿足，，則下列結論中正確的個數(shù)為：（）①；②；③∠A＝2∠C．A．3 B．2 C．1 D．010．（4分）（2023秋?河南期中）在一個空曠的房間中大聲講話會產(chǎn)生回音，這種現(xiàn)象叫做“混響”．用聲強的大小來度量聲音的強弱，假設講話瞬間發(fā)出聲音的聲強為W0，則經(jīng)過t秒后這段聲音的聲強變?yōu)椋é訛槌?shù)）．把混響時間（TR）定義為聲音的聲強衰減到講話之初的10﹣6倍所需時間，則TR約為（）（參考數(shù)據(jù)ln2≈0.7，ln5≈1.6）A．4.2τ B．9.6τ C．13.8τ D．23τ二．填空題（共5小題，滿分25分，每小題5分）11．（5分）函數(shù)的定義域為．12．（5分）（2023秋?龍巖期中）已知實數(shù)x滿足log2（log3x）＝0，則x＝．13．（5分）（2021?臨川區(qū)校級模擬）已知向量，滿足||＝1，（1，﹣2），且||＝2，則cos，．14．（5分）（2021秋?下陸區(qū)校級月考）某市某校在秋季運動會中，安排了籃球投籃比賽．現(xiàn)有20名同學參加籃球投籃比賽，已知每名同學投進的概率均為0.4，每名同學有2次投籃機會，且各同學投籃之間沒有影響，現(xiàn)規(guī)定：投進兩個得4分，投進一個得2分，一個未進得0分，則一名同學投籃得2分的概率為．15．（5分）（2023?海淀區(qū)校級開學）已知函數(shù)f（x），給出下列命題：（1）無論k取何值，f（x）恒有兩個零點；（2）存在實數(shù)k，使得f（x）的值域是R；（3）存在實數(shù)k使得f（x）的圖像上關于原點對稱的點有兩對；（4）當k＝1時，若f（x）的圖象與直線y＝ax﹣1有且只有三個公共點，則實數(shù)a的取值范圍是（0，2）．其中，所有正確命題的序號是．三．解答題（共6小題，滿分85分）16．（14分）（2024春?集美區(qū)校級月考）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝BC＝AC＝2，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD的中點，AE與BF交于點P，設．（1）用表示；（2）求的值；（3）求∠EPF的余弦值．17．（14分）（2023秋?大理市期中）近年來綠色發(fā)展理念逐漸深入人心，新能源汽車發(fā)展受到各國重視，2023年我國新能源汽車產(chǎn)銷再創(chuàng)新高．我國某新能源汽車生產(chǎn)企業(yè)在加大生產(chǎn)的同時，狠抓質(zhì)量管理，該企業(yè)質(zhì)檢人員從所生產(chǎn)的新能源汽車中隨機抽取了100輛，將其質(zhì)量指標值分成以下六組：[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]，得到如圖2的頻率分布直方圖．（Ⅰ）求出直方圖中m的值；（Ⅱ）利用樣本估計總體的思想，估計該企業(yè)所生產(chǎn)的新能源汽車的質(zhì)量指標值的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表，中位數(shù)精確到0.01）；（Ⅲ）該企業(yè)規(guī)定：質(zhì)量指標值小于70的新能源汽車為二等品，質(zhì)量指標值不小于70的新能源汽車為一等品．利用分層抽樣的方法從該企業(yè)所抽取的100輛新能源汽車中抽出5輛，并從中再隨機抽取2輛作進一步的質(zhì)量分析，試求這2輛新能源汽車中恰好有1輛為一等品的概率．18．（13分）（2023秋?鹿城區(qū)校級月考）已知函數(shù)f（x）＝loga（x+b）的圖象不經(jīng)過第二、四象限，請寫出滿足條件的一組（a，b）的值．19．（15分）（2022秋?黔西南州期末）已知二次函數(shù)y＝f（x）的圖像與直線y＝﹣6只有一個交點，且滿足f（0）＝f（﹣4）＝﹣2，．（1）求二次函數(shù)y＝f（x）的解析式；（2）若對任意x∈[1，2]，t∈[﹣4，4]，g（x）≥﹣m2+tm恒成立，求實數(shù)m的范圍．20．（15分）（2024秋?綠園區(qū)校級月考）已知關于x的方程3mx2+3px+4q＝0（其中m，p，q均為實數(shù)）有兩個不等實根x1，x2（x1＜x2）．（1）若p＝q＝1，求m的取值范圍；（2）若x1，x2滿足x1x2+1，且m＝1，求p的取值范圍．21．（14分）（2023秋?順義區(qū)校級月考）對于正整數(shù)集合A＝{a1，a2，?，an}（n∈N*，n≥3），如果去掉其中任意一個元素ai（i＝1，2，?，n）之后，剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個交集為空集的集合，且這兩個集合的所有元素之和相等，就稱集合A為“和諧集”．（1）判斷集合{1，2，3，4，5}與{1，3，5，7，9}是否為“和諧集”（不必寫過程）；（2）求證：若集合A是“和諧集”，則集合A中元素個數(shù)為奇數(shù)；（3）若集合A是“和諧集”，求集合A中元素個數(shù)的最小值．

2024-2025學年上學期北京高一數(shù)學期末典型卷2參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分40分，每小題4分）1．（4分）（2021春?杭州期末）若集合A＝{1，3，5}，B＝{2，3，6}，則A∪B＝（）A．{3} B．{1，2，5，6} C．{1，2，3，6} D．{1，2，3，5，6}【考點】求集合的并集．【專題】集合思想；定義法；集合；運算求解．【答案】D【分析】利用并集定義直接求解即可．【解答】解：∵集合A＝{1，3，5}，B＝{2，3，6}，∴A∪B＝{1，2，3，5，6}．故選：D．【點評】本題考查并集的運算，考查運算求解能力，是基礎題．2．（4分）（2012春?東城區(qū)期末）已知a＞0，a≠1，函數(shù)y＝ax與y＝loga（﹣x）在同一坐標系中的圖象可以是（）A． B． C． D．【考點】函數(shù)的圖象與圖象的變換；指數(shù)函數(shù)的圖象；對數(shù)函數(shù)的圖象．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應用．【答案】B【分析】分別確定指數(shù)函數(shù)的底數(shù)a和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)a是否對應即可．【解答】解：A．指數(shù)函數(shù)的底數(shù)a＞1，則對數(shù)函數(shù)的定義域錯誤，所以A不可能．B．指數(shù)函數(shù)的底數(shù)a＞1，則對數(shù)函數(shù)單調(diào)性遞減，圖象是對應的，所以B有可能．C．對數(shù)函數(shù)的底數(shù)a＞1，此時指數(shù)函數(shù)應為增函數(shù)，所以C不可能．D．對數(shù)函數(shù)的定義域錯誤，所以D不可能．故選：B．【點評】本題主要考查函數(shù)圖象的識別，主要是利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)來判斷．3．（4分）（2023秋?龍巖期中）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增的是（）A．f（x）＝|x﹣1| B．f（x）＝x2﹣1 C． D．【考點】奇偶性與單調(diào)性的綜合；函數(shù)的奇偶性．【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；數(shù)學抽象．【答案】B【分析】由已知結合基本初等函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性檢驗各選項即可判斷．【解答】解：y＝|x﹣1|在（0，+∞）上不單調(diào)，不符合題意；f（x）＝x2﹣1為偶函數(shù)，在（0，+∞）上單調(diào)遞增；f（x）x為奇函數(shù)，不符合題意；當x＞0時，f（x）＝（）|x|＝（）x單調(diào)遞減，不符合題意．故選：B．【點評】本題主要考查了基本初等函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的判斷，屬于基礎題．4．（4分）（2023?日喀則市模擬）已知向量，，，若，則x＝（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考點】數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系；平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；平面向量及應用；邏輯思維；運算求解．【答案】A【分析】求出，根據(jù)向量垂直，則點乘為0，得到關于x的方程，解出即可．【解答】解：因為向量，，所以，由可得5×（﹣1）+（﹣5）×x＝0，解得x＝﹣1．故選：A．【點評】本題考查的知識要點：向量的坐標運算，向量垂直的充要條件，主要考查學生的理解能力和計算能力，屬于中檔題．5．（4分）（2019秋?沙坪壩區(qū)校級月考）實數(shù)a＝30.4，b＝log318，c＝log550的大小關系為（）A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜a＜c C．a(chǎn)＜c＜b D．c＜b＜a【考點】對數(shù)值大小的比較．【專題】計算題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；運算求解．【答案】C【分析】可以看出30.4＜2，，并且log25＞log23＞1，從而可得出2＜c＜b，從而可得出a，b，c的大小關系．【解答】解：∵30.4＜30.5＜2，log318＝2+log32，，且log25＞log23＞1，∴，∴2＜log550＜log318，∴a＜c＜b．故選：C．【點評】考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，不等式的性質(zhì)，以及對數(shù)的換底公式，增函數(shù)的定義．6．（4分）（2021?南昌三模）若函數(shù)，則（）A． B． C．1 D．【考點】函數(shù)的值；分段函數(shù)的應用．【專題】計算題；方程思想；轉化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；運算求解．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式求出f（）的值，進而計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)，則f（）＝4sin（）＝2，則f（2）＝log22；故選：D．【點評】本題考查分段函數(shù)的求值，涉及函數(shù)的解析式，屬于基礎題．7．（4分）某學校舉行詩歌朗誦比賽，10位評委對甲、乙兩位同學的表現(xiàn)打分，滿分為10分，將兩位同學的得分制成如圖莖葉圖，其中莖葉圖莖部分是得分的個位數(shù)，葉部分是得分的小數(shù)，則下列說法錯誤的是（）A．甲同學的平均分大于乙同學的平均分 B．甲、乙兩位同學得分的極差分別為2.4和1 C．甲、乙兩位同學得分的中位數(shù)相同 D．甲同學得分的方差更小【考點】莖葉圖；用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)；用樣本估計總體的離散程度參數(shù)．【專題】轉化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】D【分析】利用平均數(shù)，極差，中位數(shù)，方差的定義對各個選項逐個判斷即可求解．【解答】解：A：甲同學的平均分為8.14，乙同學的平均分為8.05＜8.14，故A正確，B：甲同學的極差為9.9﹣7.5＝2.4，乙同學的極差為8.5﹣7.5＝1，故B正確，C：甲同學的中位數(shù)為，乙同學的中位數(shù)為8.0，故C正確，D：由莖葉圖可知甲的波動更大，所以甲同學的方差更大，故D錯誤，故選：D．【點評】本題考查了莖葉圖的應用，考查了學生的運算能力，屬于基礎題．8．（4分）（2021春?藍田縣期末）某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名學生參加演講比賽，事件“至少有1名男生”與事件“至少有1名女生”（）A．是對立事件 B．都是不可能事件 C．是互斥事件但不是對立事件 D．不是互斥事件【考點】互斥事件與對立事件．【專題】計算題；對應思想；定義法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】D【分析】事件“至少有1名男生”與事件“至少有1名女生”能同時發(fā)生，故兩事件既不是對立事件也不是互斥事件．【解答】解：事件“至少有1名男生”與事件“至少有1名女生”能同時發(fā)生，即兩名學生正好一名男生，一名女生，故兩事件既不是對立事件也不是互斥事件，故選：D．【點評】本題考查互斥事件、對立事件的判斷，考查互斥事件、對立事件的定義等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．9．（4分）（2022春?雙流區(qū)期末）設O為△ABC的外心，且滿足，，則下列結論中正確的個數(shù)為：（）①；②；③∠A＝2∠C．A．3 B．2 C．1 D．0【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算；平面向量的概念與平面向量的模．【專題】計算題；函數(shù)思想；方程思想；轉化思想；綜合法；平面向量及應用；運算求解．【答案】A【分析】①?234，兩邊平方計算即可．②?2254?254，兩邊再平方，結合第一問求解即可．③cos∠AOB＝cos2∠C，cos∠COB＝cos2∠A，結合第一二問求解即可．【解答】解：有題意可知：OA＝OB＝OC＝1．①?234．兩邊同時平方得到：4||2＝9||2+16||2+24?．解得：，故①正確．②?2254?254．兩邊再平方得到：4||2＝25||2+16||+40．結合第一問解得：．所以②正確．③?324．兩邊平方得到：941616||||cos∠AOC．解得：cos∠AOC．同理可得：cos∠AOB，cos∠BOC．∵∠AOB＝2∠C，∠COB＝2∠A．∴cos2∠C，cos2∠A．∵cos4∠C＝2cos2∠C﹣1＝2×（）2﹣1cos2∠A．∴∠A＝2∠C．故③正確．故選：A．【點評】本題主要考查平面向量數(shù)量積運算，屬于中檔題．10．（4分）（2023秋?河南期中）在一個空曠的房間中大聲講話會產(chǎn)生回音，這種現(xiàn)象叫做“混響”．用聲強的大小來度量聲音的強弱，假設講話瞬間發(fā)出聲音的聲強為W0，則經(jīng)過t秒后這段聲音的聲強變?yōu)椋é訛槌?shù)）．把混響時間（TR）定義為聲音的聲強衰減到講話之初的10﹣6倍所需時間，則TR約為（）（參考數(shù)據(jù)ln2≈0.7，ln5≈1.6）A．4.2τ B．9.6τ C．13.8τ D．23τ【考點】對數(shù)的運算性質(zhì)；根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型．【專題】轉化思想；轉化法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；運算求解．【答案】C【分析】根據(jù)題意列方程求解即可．【解答】解：由題意，，即，所以．故選：C．【點評】本題主要考查對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎題．二．填空題（共5小題，滿分25分，每小題5分）11．（5分）函數(shù)的定義域為（0，1）∪（1，4）．【考點】對數(shù)函數(shù)的定義域；函數(shù)的定義域及其求法．【專題】轉化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；運算求解．【答案】（0，1）∪（1，4）．【分析】由題意，利用分式、偶次根式、對數(shù)的性質(zhì)，解不等式組，求出函數(shù)的定義域．【解答】解：對于函數(shù)，可得．求得0＜x＜1或1＜x＜4，可得它的定義域為（0，1）∪（1，4）．故答案為：（0，1）∪（1，4）．【點評】本題主要考查分式、偶次根式、對數(shù)的性質(zhì)，求函數(shù)的定義域，屬于基礎題．12．（5分）（2023秋?龍巖期中）已知實數(shù)x滿足log2（log3x）＝0，則x＝3．【考點】對數(shù)的運算性質(zhì)．【專題】轉化思想；轉化法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；運算求解．【答案】3．【分析】根據(jù)已知條件，結合對數(shù)的運算性質(zhì)，即可求解．【解答】解：log2（log3x）＝0，則log3x＝1，解得x＝3．故答案為：3．【點評】本題主要考查對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎題．13．（5分）（2021?臨川區(qū)校級模擬）已知向量，滿足||＝1，（1，﹣2），且||＝2，則cos，．【考點】平面向量數(shù)量積的坐標運算．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；平面向量及應用；邏輯思維；運算求解．【答案】．【分析】利用向量的模的運算法則，結合向量的數(shù)量積轉化求解即可．【解答】解：根據(jù)題意，（1，﹣2），則||，||＝2，則（）222+26+2cos，4，變形可得cos，．故答案為：．【點評】本題考查向量的數(shù)量積的求法，模的求法，是基礎題．14．（5分）（2021秋?下陸區(qū)校級月考）某市某校在秋季運動會中，安排了籃球投籃比賽．現(xiàn)有20名同學參加籃球投籃比賽，已知每名同學投進的概率均為0.4，每名同學有2次投籃機會，且各同學投籃之間沒有影響，現(xiàn)規(guī)定：投進兩個得4分，投進一個得2分，一個未進得0分，則一名同學投籃得2分的概率為0.48．【考點】相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式；n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率．【專題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】0.48．【分析】利用n次獨立重復試驗中事件A恰好發(fā)生k次概率計算公式直接求解．【解答】解：每名同學投進的概率均為0.4，每名同學有2次投籃機會，且各同學投籃之間沒有影響，現(xiàn)規(guī)定：投進兩個得4分，投進一個得2分，一個未進得0分，則一名同學投籃得2分的概率為P0.48．故答案為：0.48．【點評】本題考查概率的求法，考查n次獨立重復試驗中事件A恰好發(fā)生k次概率計算公式等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題．15．（5分）（2023?海淀區(qū)校級開學）已知函數(shù)f（x），給出下列命題：（1）無論k取何值，f（x）恒有兩個零點；（2）存在實數(shù)k，使得f（x）的值域是R；（3）存在實數(shù)k使得f（x）的圖像上關于原點對稱的點有兩對；（4）當k＝1時，若f（x）的圖象與直線y＝ax﹣1有且只有三個公共點，則實數(shù)a的取值范圍是（0，2）．其中，所有正確命題的序號是（3）（4）．【考點】分段函數(shù)的應用；命題的真假判斷與應用．【專題】數(shù)形結合；分類討論；轉化思想；數(shù)形結合法；轉化法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；邏輯思維；直觀想象；運算求解．【答案】（3）（4）．【分析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，對（1）（2）（3）（4）逐條一一求解判斷，即可得出答案．【解答】解：（1）當x＞0時，由f（x）＝|lnx|＝0得x＝1，當x≤0時，f（x）＝kx2+2x﹣1，若k＝0，由f（x）＝2x﹣1＝0得x（不合題意，舍去），此時f（x）只有一個零點，故（1）錯誤；（2）當x＞0時，由f（x）＝|lnx|，f（x）∈[0，+∞），要使f（x）的值域是R，則當x≤0時，f（x）＝kx2+2x﹣1的范圍應包含（﹣∞，0），因此k＜0，當k＜0時，f（x）＝kx2+2x﹣1的開口向下，且對稱軸為直線x0，∴f（x）在（﹣∞，0]上單調(diào)遞增，∴f（x）≤f（0）＝﹣1，即f（x）∈（﹣∞，﹣1]，∴（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）≠R，故（2）錯誤；（3）由f（x）得關于原點對稱的函數(shù)為y＝﹣f（﹣x），要使有兩對對稱點，則當x＞0時，y＝﹣kx2+2x+1與y＝|lnx|有兩個交點，∴，解得0＜k＜3，故（3）正確；（4）當k＝1時，f（x）的圖象如圖所示：由y＝lnx，y'，∴y'|x＝1＝1，y＝lnx在（1，0）處的切線為y＝x﹣1，由y＝x2+2x﹣1，y'＝2x+2，∴y'|x＝0＝2，∴y＝x2+2x﹣1在（0，﹣1）處的切線為y＝2x﹣1，如圖所示，f（x）的圖象與直線y＝ax﹣1有且只有三個公共點，則y＝ax﹣1應在x軸與y＝2x﹣1之間，即0＜a＜2，故（4）正確；故答案為：（3）（4）．【點評】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的值域、函數(shù)的零點與方程的根和函數(shù)的圖象、函數(shù)的對稱性，考查邏輯推理能力與運算能力，屬于中檔題．三．解答題（共6小題，滿分85分）16．（14分）（2024春?集美區(qū)校級月考）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝BC＝AC＝2，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD的中點，AE與BF交于點P，設．（1）用表示；（2）求的值；（3）求∠EPF的余弦值．【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算；平面向量的基本定理．【專題】轉化思想；綜合法；平面向量及應用；運算求解．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根據(jù)平面向量基本定理即可求解；（2）根據(jù)平面向量的數(shù)量積求解即可；（3）根據(jù)向量的數(shù)量積和模長公式，夾角公式求解即可．【解答】解：（1）根據(jù)題意，，同理：．（2）根據(jù)題意，由（1）的結論，，在平行四邊形ABCD中，AB＝BC＝AC＝2，可知，∴，即，則（）?（）?．（3），同理，故．【點評】本題主要考查平面向量基本定理和平面向量的數(shù)量積，考查計算能力，屬于中檔題．17．（14分）（2023秋?大理市期中）近年來綠色發(fā)展理念逐漸深入人心，新能源汽車發(fā)展受到各國重視，2023年我國新能源汽車產(chǎn)銷再創(chuàng)新高．我國某新能源汽車生產(chǎn)企業(yè)在加大生產(chǎn)的同時，狠抓質(zhì)量管理，該企業(yè)質(zhì)檢人員從所生產(chǎn)的新能源汽車中隨機抽取了100輛，將其質(zhì)量指標值分成以下六組：[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]，得到如圖2的頻率分布直方圖．（Ⅰ）求出直方圖中m的值；（Ⅱ）利用樣本估計總體的思想，估計該企業(yè)所生產(chǎn)的新能源汽車的質(zhì)量指標值的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表，中位數(shù)精確到0.01）；（Ⅲ）該企業(yè)規(guī)定：質(zhì)量指標值小于70的新能源汽車為二等品，質(zhì)量指標值不小于70的新能源汽車為一等品．利用分層抽樣的方法從該企業(yè)所抽取的100輛新能源汽車中抽出5輛，并從中再隨機抽取2輛作進一步的質(zhì)量分析，試求這2輛新能源汽車中恰好有1輛為一等品的概率．【考點】頻率分布直方圖的應用．【專題】數(shù)形結合；數(shù)形結合法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】（Ⅰ）0.030．（Ⅱ）平均數(shù)為71，中位數(shù)為73.33．（Ⅲ）．【分析】（Ⅰ）由頻率分布直方圖的性質(zhì)列方程，能求出m的值．（Ⅱ）由頻率分布直方圖能求出平均數(shù)和中位數(shù)．（Ⅲ）抽取的5輛車中一等品有3輛，記為a，b，c，二等品2輛，記為A，B，利用列舉法能求出這2輛新能源汽車中恰好有1輛為一等品的概率．【解答】解：（Ⅰ）由10×（0.010+0.015+0.015+m+0.025+0.005）＝1，得m＝0.030．（Ⅱ）平均數(shù)為x＝45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05＝71，設中位數(shù)為n，則0.1+0.15+0.15+（n﹣70）×0.03＝0.5，得，故可以估計該企業(yè)所生產(chǎn)新能源汽車的質(zhì)量指標值的平均數(shù)為71，中位數(shù)為73.33．（Ⅲ）如圖，100輛樣本中一等品、二等品各有60輛、40輛，抽取的5輛車中一等品有3輛，記為a，b，c，二等品2輛，記為A，B，則5選2的可能結果有：（a，b），（a，c），（a，A），（a，B），（b，c），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），（A，B），共10種，其中恰有1輛為一等品的可能結果有6種，分別為：（a，A），（a，B），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），故這2輛新能源汽車中恰好有1輛為一等品的概率為．【點評】本題考查頻率分布直方圖、平均數(shù)、中位數(shù)、古典概型等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．18．（13分）（2023秋?鹿城區(qū)校級月考）已知函數(shù)f（x）＝loga（x+b）的圖象不經(jīng)過第二、四象限，請寫出滿足條件的一組（a，b）的值（2，1）（答案不唯一）．【考點】對數(shù)函數(shù)的圖象．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；運算求解．【答案】（2，1）（答案不唯一）．【分析】根據(jù)給定條件，可得函數(shù)f（x）的圖象過原點求出b，再按0＜a＜1，a＞1分類討論即得．【解答】解：函數(shù)f（x）＝loga（x+b）的定義域為（﹣b，+∞），當﹣b≥0，即b≤0時，f（x）的圖象必過第四象限，矛盾，因此b＞0，由函數(shù)f（x）＝loga（x+b）的圖象不經(jīng)過第二、四象限，得點（0，logab）只能在原點，則logab＝0，即b＝1，當0＜a＜1時，若x＞0，則有f（x）＜0，f（x）的圖象必過第四象限，矛盾，當a＞1時，若﹣1＜x＜0，則f（x）＜0，此時f（x）的圖象在第三象限，若x＞0，則f（x）＞0，此時f（x）的圖象在第一象限，所以a＞1且b＝1，滿足條件的一組（a，b）的值可以為（2，1）．故答案為：（2，1）（答案不唯一）．【點評】本題主要考查對數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎題．19．（15分）（2022秋?黔西南州期末）已知二次函數(shù)y＝f（x）的圖像與直線y＝﹣6只有一個交點，且滿足f（0）＝f（﹣4）＝﹣2，．（1）求二次函數(shù)y＝f（x）的解析式；（2）若對任意x∈[1，2]，t∈[﹣4，4]，g（x）≥﹣m2+tm恒成立，求實數(shù)m的范圍．【考點】函數(shù)恒成立問題；二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象；函數(shù)解析式的求解及常用方法．【專題】函數(shù)思想；轉化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；直觀想象；運算求解．【答案】（1）f（x）＝x2+4x﹣2；（2）m∈（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，1]∪[3，+∞）．【分析】（1）由已知可得二次函數(shù)的對稱軸和最值，設出函數(shù)解析式，再由f（0）＝﹣2求得結論；（2）由g（x）的單調(diào)性得出g（x）的最小值，而關于t的不等式是一次（m≠0時）的，只要t＝﹣4和t＝4時成立即可，由此可解得m的范圍．【解答】解：（1）因為二次函數(shù)y＝f（x）的圖像與直線y＝﹣6只有一個交點，f（0）＝f（﹣4）＝﹣2，所以二次函數(shù)y＝f（x）的對稱軸為x2，設f（x）＝a（x+2）2﹣6，由題意可得f（0）＝﹣2，所以4a﹣6＝﹣2，解得a＝1，所以f（x）＝（x+2）2﹣6＝x2+4x﹣2．（2）由（1）得，因為g（x）在區(qū)間[1，2]單調(diào)遞增，所以g（x）min＝g（1）＝3，所以3≥﹣m2+tm，對t∈[﹣4，4]恒成立，即m2﹣tm+3≥0，對t∈[﹣4，4]恒成立，所以m2﹣4m+3≥0且m2+4m+3≥0，所以m≥3或m≤﹣3或﹣1≤m≤1．所以m∈（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，1]∪[3，+∞）．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、轉化思想，屬于中檔題．20．（15分）（2024秋?綠園區(qū)校級月考）已知關于x的方程3mx2+3px+4q＝0（其中m，p，q均為實數(shù)）有兩個不等實根x1，x2（x1＜x2）．（1）若p＝q＝1，求m的取值范圍；（2）若x1，x2滿足x1x2+1，且m＝1，求p的取值范圍．【考點】求解方程根的存在性和分布．【專題】轉化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；運算求解．【答案】（1）{m|m}．（2）{p|﹣2＜p＜2}．【分析】（1）由題意，利用判別式大于零，求得m的取值范圍．（2）先利用判別式大于零，整理得，再利用由根與系數(shù)的關系，求得p的取值范圍．【解答】解：（1）當p＝q＝1，原方程為3mx2+3x+4＝0，由于該方程有兩個不等實根，故有Δ＝32﹣4×3m×4＞0，解得，故實數(shù)m的取值范圍為{m|m}．（2）因為m＝1，所以3x2+3px+4q＝0．又方程3x2+3px+4q＝0有兩個不等實根x1，x2，所以Δ＝（3p）2﹣4×3×4q＞0，整理得．由根與系數(shù)的關系得．由足，整理可得，整理得p2＝4q+1，所以4q+1q，解得q．則p2＜41＝4，解得﹣2＜p＜2，即p的取值范圍為{p|﹣2＜p＜2}．【點評】本題主要考查一元二次方程中根與系數(shù)的關系，韋達定理，屬于中檔題．21．（14分）（2023秋?順義區(qū)校級月考）對于正整數(shù)集合A＝{a1，a2，?，an}（n∈N*，n≥3），如果去掉其中任意一個元素ai（i＝1，2，?，n）之后，剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個交集為空集的集合，且這兩個集合的所有元素之和相等，就稱集合A為“和諧集”．（1）判斷集合{1，2，3，4，5}與{1，3，5，7，9}是否為“和諧集”（不必寫過程）；（2）求證：若集合A是“和諧集”，則集合A中元素個數(shù)為奇數(shù)；（3）若集合A是“和諧集”，求集合A中元素個數(shù)的最小值．【考點】元素與集合關系的判斷；集合中元素個數(shù)的最值；數(shù)列的應用．【專題】集合思想；綜合法；集合；邏輯思維；運算求解．【答案】（1）集合{1，2，3，4，5}與{1，3，5，7，9}都不是“和諧集”．（2）證明過程見解答；（3）7．【分析】（1）利用“和諧集”的定義直接判斷求解；（2）設A＝{a1，a2，?，an}中所有元素之和為M，由題意得M﹣ai均為偶數(shù)，則ai（i＝1，2，?，n）的奇偶性相同，由此能證明集合A中元素個數(shù)為奇數(shù)；（3）推導出A＝{1，3，5，7，9，11，13}是“和諧集”，由此能求出元素個數(shù)的最小值．【解答】解：（1）對于正整數(shù)集合A＝{a1，a2，?，an}（n∈N*，n≥3），如果去掉其中任意一個元素ai（i＝1，2，?，n）之后，剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個交集為空集的集合，且這兩個集合的所有元素之和相等，就稱集合A為“和諧集”．對于{1，2，3，4，5}，去掉2后，{1，3，4，5}不滿足題中條件，故{1，2，3，4，5}不是“和諧集”，對于{1，3，5，7，9}，去掉3后，{1，5，7，9}不滿足題中條件，{1，3，5，7，9}不是“和諧集”；（2）證明：設A＝{a1，a2，?，an}中所有元素之和為M，由題意得M﹣ai均為偶數(shù)，故ai（i＝1，2，?，n）的奇偶性相同，①若ai為奇數(shù)，則M為奇數(shù)，易得n為奇數(shù)，②若ai為偶數(shù)，此時取，可得B＝{b1，b2，?，bn}仍滿足題中條件，集合B也是“和諧集”，若bi仍是偶數(shù)，則重復以上操作，最終可得各項均為奇數(shù)的“和諧集”，由①知n為奇數(shù)綜上，集合A中元素個數(shù)為奇數(shù)；（3）由（2）知集合A中元素個數(shù)為奇數(shù)，顯然n＝3時，集合不是“和諧集”，當n＝5時，不妨設a1＜a2＜a3＜a4＜a5，若A為“和諧集”，去掉a1后，得a2+a5＝a3+a4，去掉a2后，得a1+a5＝a3+a4，兩式矛盾，故n＝5時，集合不是“和諧集”當n＝7，設A＝{1，3，5，7，9，11，13}，去掉1后，3+5+7+9＝11+13，去掉3后，1+9+13＝5+7+11，去掉5后，9+13＝1+3+7+11，去掉7后，1+9+11＝3+5+13，去掉9后，1+3+5+11＝7+13，去掉11后，3+7+9＝1+5+13，去掉13后，1+3+5+9＝7+11，故A＝{1，3，5，7，9，11，13}是“和諧集”，元素個數(shù)的最小值為7．【點評】本題考查新定義、元素與集合的關系等基礎知識，考查運算求解能力，是難題．

考點卡片1．元素與集合關系的判斷【知識點的認識】1、元素與集合的關系：一般地，我們把研究對象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡稱集．元素一般用小寫字母a，b，c表示，集合一般用大寫字母A，B，C表示，兩者之間的關系是屬于與不屬于關系，符號表示如：a∈A或a?A．2、集合中元素的特征：（1）確定性：作為一個集合中的元素，必須是確定的．即一個集合一旦確定，某一個元素屬于還是不屬于這集合是確定的．要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一，這個特性通常被用來判斷涉及的總體是否能構成集合．（2）互異性：集合中的元素必須是互異的．對于一個給定的集合，他的任何兩個元素都是不同的．這個特性通常被用來判斷集合的表示是否正確，或用來求集合中的未知元素．（3）無序性：集合于其中元素的排列順序無關．這個特性通常被用來判斷兩個集合的關系．【命題方向】題型一：驗證元素是否是集合的元素典例1：已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求證：（1）3∈A；（2）偶數(shù)4k﹣2（k∈Z）不屬于A．分析：（1）根據(jù)集合中元素的特性，判斷3是否滿足即可；（2）用反證法，假設屬于A，再根據(jù)兩偶數(shù)的積為4的倍數(shù)；兩奇數(shù)的積仍為奇數(shù)得出矛盾，從而證明要證的結論．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）設4k﹣2∈A，則存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、當m，n同奇或同偶時，m﹣n，m+n均為偶數(shù)，∴（m﹣n）（m+n）為4的倍數(shù)，與4k﹣2不是4的倍數(shù)矛盾．2、當m，n一奇，一偶時，m﹣n，m+n均為奇數(shù)，∴（m﹣n）（m+n）為奇數(shù)，與4k﹣2是偶數(shù)矛盾．綜上4k﹣2?A．點評：本題考查元素與集合關系的判斷．分類討論的思想．題型二：知元素是集合的元素，根據(jù)集合的屬性求出相關的參數(shù)．典例2：已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求實數(shù)a的值．分析：通過3是集合A的元素，直接利用a+2與2a2+a＝3，求出a的值，驗證集合A中元素不重復即可．解答：解：因為3∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）當a+2＝3時，a＝1，…（5分）此時A＝{3，3}，不合條件舍去，…（7分）當2a2+a＝3時，a＝1（舍去）或，…（10分）由，得，成立…（12分）故（14分）點評：本題考查集合與元素之間的關系，考查集合中元素的特性，考查計算能力．【解題方法點撥】集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時要特別注意．分類討論的思想方法常用于解決集合問題．2．集合中元素個數(shù)的最值【知識點的認識】求集合中元素個數(shù)的最大（?。┲祮栴}的方法通常有：類分法、構造法、反證法、一般問題特殊化、特殊問題一般化等．需要注意的是，有時一道題需要綜合運用幾種方法才能解決．3．求集合的并集【知識點的認識】由所有屬于集合A或屬于集合B的元素的組成的集合叫做A與B的并集，記作A∪B．符號語言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．A∪B實際理解為：①x僅是A中元素；②x僅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．運算性質(zhì)：①A∪B＝B∪A．②A∪?＝A．③A∪A＝A．④A∪B?A，A∪B?B．【解題方法點撥】定義并集：集合A和集合B的并集是所有屬于A或屬于B的元素組成的集合，記為A∪B．元素合并：將A和B的所有元素合并，去重，得到并集．【命題方向】已知集合，B＝{x∈Z|x2＜3}，則A∪B＝（）解：依題意，，，所以A∪B＝{﹣1，0，1，2}．4．命題的真假判斷與應用【知識點的認識】判斷含有“或”、“且”、“非”的復合命題的真假，首先要明確p、q及非p的真假，然后由真值表判斷復合命題的真假．注意：“非p”的正確寫法，本題不應將“非p”寫成“方程x2﹣2x+1＝0的兩根都不是實根”，因為“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要認真區(qū)分．【解題方法點撥】1．判斷復合命題的真假，常分三步：先確定復合命題的構成形式，再指出其中簡單命題的真假，最后由真值表得出復合命題的真假．2．判斷一個“若p則q”形式的復合命題的真假，不能用真值表時，可用下列方法：若“pq”，則“若p則q”為真；而要確定“若p則q”為假，只需舉出一個反例說明即可．3．判斷逆命題、否命題、逆否命題的真假，有時可利用原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假這一關系進行轉化判斷．【命題方向】該部分內(nèi)容是《課程標準》新增加的內(nèi)容，幾乎年年都考，涉及知識點多而且全，多以小題形式出現(xiàn)．5．二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象【知識點的認識】二次函數(shù)相對于一次函數(shù)而言，顧名思義就知道它的次數(shù)為二次，且僅有一個自變量，因變量隨著自變量的變化而變化．它的一般表達式為：y＝ax2+bx+c（a≠0）【解題方法點撥】二次函數(shù)是一個很重要的知識點，不管在前面的選擇題填空題還是解析幾何里面，或是代數(shù)綜合體都有可能出題，其性質(zhì)主要有初中學的開口方向、對稱性、最值、幾個根的判定、韋達定理以及高中學的拋物線的焦點、準線和曲線的平移．這里面略談一下他的一些性質(zhì)．①開口、對稱軸、最值與x軸交點個數(shù)，當a＞0（＜0）時，圖象開口向上（向下）；對稱軸x；最值為：f（）；判別式△＝b2﹣4ac，當△＝0時，函數(shù)與x軸只有一個交點；△＞0時，與x軸有兩個交點；當△＜0時無交點．②根與系數(shù)的關系．若△≥0，且x1、x2為方程y＝ax2+bx+c的兩根，則有x1+x2，x1?x2；③二次函數(shù)其實也就是拋物線，所以x2＝2py的焦點為（0，），準線方程為y，含義為拋物線上的點到到焦點的距離等于到準線的距離．④平移：當y＝a（x+b）2+c向右平移一個單位時，函數(shù)變成y＝a（x﹣1+b）2+c；【命題方向】熟悉二次函數(shù)的性質(zhì)，會畫出拋物線的準確形狀，特別是注意拋物線焦點和準線的關系，拋物線最值得取得，這也是一個常考點．6．函數(shù)的定義域及其求法【知識點的認識】函數(shù)的定義域就是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍．求解函數(shù)定義域的常規(guī)方法：①分母不等于零；②根式（開偶次方）被開方式≥0；③對數(shù)的真數(shù)大于零，以及對數(shù)底數(shù)大于零且不等于1；④指數(shù)為零時，底數(shù)不為零．⑤實際問題中函數(shù)的定義域；【解題方法點撥】求函數(shù)定義域，一般歸結為解不等式組或混合組．（1）當函數(shù)是由解析式給出時，其定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合．（2）當函數(shù)是由實際問題給出時，其定義域的確定不僅要考慮解析式有意義，還要有實際意義（如長度、面積必須大于零、人數(shù)必須為自然數(shù)等）．（3）若一函數(shù)解析式是由幾個函數(shù)經(jīng)四則運算得到的，則函數(shù)定義域應是同時使這幾個函數(shù)有意義的不等式組的解集．若函數(shù)定義域為空集，則函數(shù)不存在．（4）抽象函數(shù)的定義域：①對在同一對應法則f下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要滿足的范圍是一樣的；②函數(shù)g（x）中的自變量是x，所以求g（x）的定義域應求g（x）中的x的范圍．【命題方向】高考會考中多以小題形式出現(xiàn)，也可以是大題中的一小題．7．函數(shù)解析式的求解及常用方法【知識點的認識】通過求解函數(shù)的解析式中字母的值，得到函數(shù)的解析式的過程就是函數(shù)的解析式的求解．求解函數(shù)解析式的幾種常用方法主要有1、換元法；2、待定系數(shù)法；3、湊配法；4、消元法；5、賦值法等等．【解題方法點撥】常常利用函數(shù)的基本性質(zhì)，函數(shù)的圖象特征，例如二次函數(shù)的對稱軸，函數(shù)與坐標軸的交點等；利用函數(shù)的解析式的求解方法求解函數(shù)的解析式，有時利用待定系數(shù)法．【命題方向】求解函數(shù)解析式是高考重點考查內(nèi)容之一，在三角函數(shù)的解析式中常考．是基礎題．8．函數(shù)的圖象與圖象的變換【知識點的認識】函數(shù)圖象的作法：通過如下3個步驟（1）列表；（2）描點；（3）連線．解題方法點撥：一般情況下，函數(shù)需要同解變形后，結合函數(shù)的定義域，通過函數(shù)的對應法則，列出表格，然后在直角坐標系中，準確描點，然后連線（平滑曲線）．命題方向：一般考試是以小題形式出現(xiàn)，或大題中的一問，常見考題是，常見函數(shù)的圖象，有時結合函數(shù)的奇偶性、對稱性、單調(diào)性知識結合命題．圖象的變換1．利用描點法作函數(shù)圖象其基本步驟是列表、描點、連線．首先：①確定函數(shù)的定義域；②化簡函數(shù)解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性等）．其次：列表（尤其注意特殊點、零點、最大值點、最小值點、與坐標軸的交點等），描點，連線．2．利用圖象變換法作函數(shù)的圖象（1）平移變換：y＝f（x）a＞0，右移a個單位（a＜0，左移|a|個單位）?y＝f（x﹣a）；y＝f（x）b＞0，上移b個單位（b＜0，下移|b|個單位）?y＝f（x）+b．（2）伸縮變換：y＝f（x）y＝f（ωx）；y＝f（x）A＞1，伸為原來的A倍（0＜A＜1，縮為原來的A倍）?y＝Af（x）．（3）對稱變換：y＝f（x）關于x軸對稱?y＝﹣f（x）；y＝f（x）關于y軸對稱?y＝f（﹣x）；y＝f（x）關于原點對稱?y＝﹣f（﹣x）．（4）翻折變換：y＝f（x）去掉y軸左邊圖，保留y軸右邊圖，將y軸右邊的圖象翻折到左邊?y＝f（|x|）；y＝f（x）留下x軸上方圖將x軸下方圖翻折上去y＝|f（x）|．【解題方法點撥】1、畫函數(shù)圖象的一般方法（1）直接法：當函數(shù)表達式（或變形后的表達式）是熟悉的基本函數(shù)或解析幾何中熟悉的曲線時，可根據(jù)這些函數(shù)或曲線的特征直接作出．（2）圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對稱得到，可利用圖象變換作出，但要注意變換順序，對不能直接找到熟悉函數(shù)的要先變形，并應注意平移變換與伸縮變換的順序對變換單位及解析式的影響．（3）描點法：當上面兩種方法都失效時，則可采用描點法．為了通過描少量點，就能得到比較準確的圖象，常常需要結合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)討論．2、尋找圖象與函數(shù)解析式之間的對應關系的方法（1）知圖選式：①從圖象的左右、上下分布，觀察函數(shù)的定義域、值域；②從圖象的變化趨勢，觀察函數(shù)的單調(diào)性；③從圖象的對稱性方面，觀察函數(shù)的奇偶性；④從圖象的循環(huán)往復，觀察函數(shù)的周期性．利用上述方法，排除錯誤選項，篩選正確的選項．（2）知式選圖：①從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；②從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；③從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性．④從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復．利用上述方法，排除錯誤選項，篩選正確選項．注意聯(lián)系基本函數(shù)圖象和模型，當選項無法排除時，代特殊值，或從某些量上尋找突破口．3、（1）利有函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)從圖象的最高點、最低點，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．（2）利用函數(shù)的圖象研究方程根的個數(shù)有關方程解的個數(shù)問題常常轉化為兩個熟悉的函數(shù)的交點個數(shù)；利用此法也可由解的個數(shù)求參數(shù)值．【命題方向】（1）1個易錯點﹣﹣圖象變換中的易錯點在解決函數(shù)圖象的變換問題時，要遵循“只能對函數(shù)關系式中的x，y變換”的原則，寫出每一次的變換所得圖象對應的解析式，這樣才能避免出錯．（2）3個關鍵點﹣﹣正確作出函數(shù)圖象的三個關鍵點為了正確地作出函數(shù)圖象，必須做到以下三點：①正確求出函數(shù)的定義域；②熟練掌握幾種基本函數(shù)的圖象，如二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、形如y＝x+的函數(shù)；③掌握平移變換、伸縮變換、對稱變換、翻折變換、周期變換等常用的方法技巧，來幫助我們簡化作圖過程．（3）3種方法﹣﹣識圖的方法對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分布范圍、變化趨勢、對稱性等方面來獲取圖中所提供的信息，解決這類問題的常用方法有：①定性分析法，也就是通過對問題進行定性的分析，從而得出圖象的上升（或下降）的趨勢，利用這一特征來分析解決問題；②定量計算法，也就是通過定量的計算來分析解決問題；③函數(shù)模型法，也就是由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來分析解決問題．9．函數(shù)的奇偶性【知識點的認識】①如果函數(shù)f（x）的定義域關于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)，其圖象特點是關于（0，0）對稱．②如果函數(shù)f（x）的定義域關于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)，其圖象特點是關于y軸對稱．【解題方法點撥】①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點，那么運用f（0）＝0解相關的未知量；②奇函數(shù)：若定義域不包括原點，那么運用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關參數(shù)；③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f（x）＝f（﹣x）這個去求解；④對于奇函數(shù)，定義域關于原點對稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反．例題：函數(shù)y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函數(shù)B．奇函數(shù)C．非奇非偶D．與p有關解：由題設知f（x）的定義域為R，關于原點對稱．因為f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函數(shù)．故選B．【命題方向】函數(shù)奇偶性的應用．本知識點是高考的高頻率考點，大家要熟悉就函數(shù)的性質(zhì)，最好是結合其圖象一起分析，確保答題的正確率．10．奇偶性與單調(diào)性的綜合【知識點的認識】對于奇偶函數(shù)綜合，其實也并談不上真正的綜合，一般情況下也就是把它們并列在一起，所以說關鍵還是要掌握奇函數(shù)和偶函數(shù)各自的性質(zhì)，在做題時能融會貫通，靈活運用．在重復一下它們的性質(zhì)①奇函數(shù)f（x）的定義域關于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其圖象特點是關于（0，0）對稱．②偶函數(shù)f（x）的定義域關于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個x，都有f（﹣x）＝f（x），其圖象特點是關于y軸對稱．【解題方法點撥】參照奇偶函數(shù)的性質(zhì)那一考點，有：①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點，那么運用f（0）＝0解相關的未知量；②奇函數(shù)：若定義域不包括原點，那么運用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關參數(shù)；③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f（x）＝f（﹣x）這個去求解；④對于奇函數(shù)，定義域關于原點對稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反例題：如果f（x）為奇函數(shù)，那么a＝．解：由題意可知，f（x）的定義域為R，由奇函數(shù)的性質(zhì)可知，f（x）f（﹣x）?a＝1【命題方向】奇偶性與單調(diào)性的綜合．不管出什么樣的題，能理解運用奇偶函數(shù)的性質(zhì)是一個基本前提，另外做題的時候多多總結，一定要重視這一個知識點．11．函數(shù)恒成立問題【知識點的認識】函數(shù)恒成立問題是指在定義域或某一限定范圍內(nèi)，函數(shù)滿足某一條件（如恒大于0等），此時，函數(shù)中的參數(shù)成為限制了這一可能性（就是說某個參數(shù)的存在使得在有些情況下無法滿足要求的條件），因此，適當?shù)姆蛛x參數(shù)能簡化解題過程．【解題方法點撥】﹣分析函數(shù)的定義域和形式，找出使函數(shù)恒成立的條件．﹣利用恒成立條件，確定函數(shù)的行為．一般恒成立問題最后都轉化為求最值得問題，常用的方法是分離參變量【命題方向】題目包括判斷函數(shù)恒成立條件及應用題，考查學生對函數(shù)恒成立問題的理解和應用能力．關于x的不等式（1+m）x2+mx+m＜x2+1，對x∈R恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是_____．解：∵（1+m）x2+mx+m＜x2+1，對x∈R恒成立，∴mx2+mx+m＜1，∴?x∈R，m恒成立，∵x2+x+1＝（x）2，∴0，∴m≤0．12．函數(shù)的值【知識點的認識】函數(shù)的值是指在某一自變量取值下，函數(shù)對應的輸出值．【解題方法點撥】﹣確定函數(shù)的解析式，代入自變量值，計算函數(shù)的值．﹣驗證計算結果的正確性，結合實際問題分析函數(shù)的值．﹣利用函數(shù)的值分析其性質(zhì)和應用．【命題方向】題目包括計算函數(shù)的值，結合實際問題求解函數(shù)的值及其應用．已知函數(shù)f（x）．求f（f（f（）））的值；解：，，，故f（f（f（）））．13．指數(shù)函數(shù)的圖象【知識點的認識】1、指數(shù)函數(shù)y＝ax（a＞0，且a≠1）的圖象和性質(zhì)：y＝axa＞10＜a＜1圖象定義域R值域（0，+∞）性質(zhì)過定點（0，1）當x＞0時，y＞1；x＜0時，0＜y＜1當x＞0時，0＜y＜1；x＜0時，y＞1在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)2、底數(shù)對指數(shù)函數(shù)的影響：①在同一坐標系內(nèi)分別作函數(shù)的圖象，易看出：當a＞l時，底數(shù)越大，函數(shù)圖象在第一象限越靠近y軸；同樣地，當0＜a＜l時，底數(shù)越小，函數(shù)圖象在第一象限越靠近x軸．②底數(shù)對函數(shù)值的影響如圖．③當a＞0，且a≠l時，函數(shù)y＝ax與函數(shù)y的圖象關于y軸對稱．【解題方法點撥】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大?。喝舻讛?shù)相同而指數(shù)不同，用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較：若底數(shù)不同而指數(shù)相同，用作商法比較；若底數(shù)、指數(shù)均不同，借助中間量，同時要注意結合圖象及特殊值．14．對數(shù)的運算性質(zhì)【知識點的認識】對數(shù)的性質(zhì)：①N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）．loga（MN）＝logaM+logaN；logalogaM﹣logaN；logaMn＝nlogaM；logalogaM．15．對數(shù)函數(shù)的定義域【知識點的認識】一般地，我們把函數(shù)y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+∞），值域是R．16．對數(shù)函數(shù)的圖象【知識點的認識】17．對數(shù)值大小的比較【知識點的認識】1、若兩對數(shù)的底數(shù)相同，真數(shù)不同，則利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來比較．2、若兩對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)均不相同，通常引入中間變量（1，﹣1，0）進行比較3、若兩對數(shù)的底數(shù)不同，真數(shù)也不同，則利用函數(shù)圖象或利用換底公式化為同底的再進行比較．（畫圖的方法：在第一象限內(nèi)，函數(shù)圖象的底數(shù)由左到右逐漸增大）18．求解方程根的存在性和分布【知識點的認識】函數(shù)的零點表示的是函數(shù)與x軸的交點，方程的根表示的是方程的解，他們的含義是不一樣的．但是，他們的解法其實質(zhì)是一樣的．【解題方法點撥】求方程的根就是解方程，把所有的解求出來，一般要求的是二次函數(shù)或者方程組，這里不多講了．我們重點來探討一下函數(shù)零點的求法（配方法）．例題：求函數(shù)f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零點．解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70＝（x﹣5）?（x+7）?（x+2）?（x+1）∴函數(shù)f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零點是：5、﹣7、﹣2、﹣1．通過這個題，我們發(fā)現(xiàn)求函數(shù)的零點常用的方法就是配方法，把他配成若干個一次函數(shù)的乘積或者是二次函數(shù)的乘積，最后把它轉化為求基本函數(shù)的零點或者說求基本函數(shù)等于0時的解即可．【命題方向】求解方程根的存在性和分布是指確定方程在某區(qū)間內(nèi)是否有根以及根的分布情況．設f（x）＝ex+x3，則方程f（x）＝0在（﹣∞，+∞）上實根的個數(shù)為_____．解：∵f（x）＝ex+x3，∴f′（x）＝ex+3x2＞0，故原函數(shù)單調(diào)遞增，又f（0）＝e0+03＝1＞0，f（﹣1）＝e﹣1﹣1＜0，∴函數(shù)f（x）＝ex+x3在（﹣1，0）上有且只有1個零點，故方程f（x）＝0在（﹣∞，+∞）上實根的個數(shù)為1．19．分段函數(shù)的應用【知識點的認識】分段函數(shù)顧名思義指的是一個函數(shù)在不同的定義域內(nèi)的函數(shù)表達式不一樣，有些甚至不是連續(xù)的．這個在現(xiàn)實當中是很常見的，比如說水的階梯價，購物的時候買的商品的量不同，商品的單價也不同等等，這里面都涉及到分段函數(shù)．【解題方法點撥】正如前面多言，分段函數(shù)與我們的實際聯(lián)系比較緊密，那么在高考題中也時常會以應用題的形式出現(xiàn)．下面我們通過例題來分析一下分段函數(shù)的解法．例：市政府為招商引資，決定對外資企業(yè)第一年產(chǎn)品免稅．某外資廠該年A型產(chǎn)品出廠價為每件60元，年銷售量為11.8萬件．第二年，當?shù)卣_始對該商品征收稅率為p%（0＜p＜100，即銷售100元要征收p元）的稅收，于是該產(chǎn)品的出廠價上升為每件元，預計年銷售量將減少p萬件．（Ⅰ）將第二年政府對該商品征收的稅收y（萬元）表示成p的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；（Ⅱ）要使第二年該廠的稅收不少于16萬元，則稅率p%的范圍是多少？（Ⅲ）在第二年該廠的稅收不少于16萬元的前提下，要讓廠家獲得最大銷售金額，則p應為多少？解：（Ⅰ）依題意，第二年該商品年銷售量為（11.8﹣p）萬件，年銷售收入為（11.8﹣p）萬元，政府對該商品征收的稅收y（11.8﹣p）p%（萬元）故所求函數(shù)為y（11.8﹣p）p由11.8﹣p＞0及p＞0得定義域為0＜p＜11.8…（4分）（II）由y≥16得（11.8﹣p）p≥16化簡得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10．故當稅率在[0.02，0.1]內(nèi)時，稅收不少于16萬元．…（9分）（III）第二年，當稅收不少于16萬元時，廠家的銷售收入為g（p）（11.8﹣p）（2≤p≤10）∵在[2，10]是減函數(shù)∴g（p）max＝g（2）＝800（萬元）故當稅率為2%時，廠家銷售金額最大．這個典型的例題當中，我們發(fā)現(xiàn)分段函數(shù)首先還是要有函數(shù)的功底，要有一定的建模能力，這個與分不分段其實無關．我們重點看看分段函數(shù)要注意的地方．第一，要明確函數(shù)的定義域和其相對的函數(shù)表達式；第二注意求的是整個一大段的定義域內(nèi)的值域還是分段函數(shù)某段內(nèi)部的值；第三，注意累加的情況和僅僅某段函數(shù)的討論．【命題方向】修煉自己的內(nèi)功，其實分不分段影響不大，審清題就可以了，另外，最好畫個圖來解答．20．根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型【知識點的認識】1．實際問題的函數(shù)刻畫在現(xiàn)實世界里，事物之間存在著廣泛的聯(lián)系，許多聯(lián)系可以用函數(shù)刻畫．用函數(shù)的觀點看實際問題，是學習函數(shù)的重要內(nèi)容．2．用函數(shù)模型解決實際問題（1）數(shù)據(jù)擬合：通過一些數(shù)據(jù)尋求事物規(guī)律，往往是通過繪出這些數(shù)據(jù)在直角坐標系中的點，觀察這些點的整體特征，看它們接近我們熟悉的哪一種函數(shù)圖象，選定函數(shù)形式后，將一些數(shù)據(jù)代入這個函數(shù)的一般表達式，求出具體的函數(shù)表達式，再做必要的檢驗，基本符合實際，就可以確定這個函數(shù)基本反映了事物規(guī)律，這種方法稱為數(shù)據(jù)擬合．（2）常用到的五種函數(shù)模型：①直線模型：一次函數(shù)模型y＝kx+b（k≠0），圖象增長特點是直線式上升（x的系數(shù)k＞0），通過圖象可以直觀地認識它，特例是正比例函數(shù)模型y＝kx（k＞0）．②反比例函數(shù)模型：y（k＞0）型，增長特點是y隨x的增大而減?。壑笖?shù)函數(shù)模型：y＝a?bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快（底數(shù)b＞1，a＞0），常形象地稱為指數(shù)爆炸．④對數(shù)函數(shù)模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大越來越慢（底數(shù)a＞1，m＞0）．⑤冪函數(shù)模型，即y＝a?xn+b（a≠0）型，其中最常見的是二次函數(shù)模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值先減小后增大（a＞0）．在以上幾種函數(shù)模型的選擇與建立時，要注意函數(shù)圖象的直觀運用，分析圖象特點，分析變量x的范圍，同時還要與實際問題結合，如取整等．3．函數(shù)建模（1）定義：用數(shù)學思想、方法、知識解決實際問題的過程，叫作數(shù)學建模．（2）過程：如下圖所示．【解題方法點撥】用函數(shù)模型解決實際問題的常見類型及解法：（1）解函數(shù)關系已知的應用題①確定函數(shù)關系式y(tǒng)＝f（x）中的參數(shù)，求出具體的函數(shù)解析式y(tǒng)＝f（x）；②討論x與y的對應關系，針對具體的函數(shù)去討論與題目有關的問題；③給出實際問題的解，即根據(jù)在函數(shù)關系的討論中所獲得的理論參數(shù)值給出答案．（2）解函數(shù)關系未知的應用題①閱讀理解題意看一看可以用什么樣的函數(shù)模型，初步擬定函數(shù)類型；②抽象函數(shù)模型在理解問題的基礎上，把實際問題抽象為函數(shù)模型；③研究函數(shù)模型的性質(zhì)根據(jù)函數(shù)模型，結合題目的要求，討論函數(shù)模型的有關性質(zhì)，獲得函數(shù)模型的解；④得出問題的結論根據(jù)函數(shù)模型的解，結合實際問題的實際意義和題目的要求，給出實際問題的解．【命題方向】典例1：某公司為了實現(xiàn)1000萬元的利潤目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金數(shù)額y（單位：萬元）隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金數(shù)額不超過5萬元，同時獎金數(shù)額不超過利潤的25%，其中模型能符合公司的要求的是（參考數(shù)據(jù)：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（）A．y＝0.025xB．y＝1.003xC．y＝l+log7xD．yx2分析：由題意，符合公司要求的模型只需滿足：當x∈[10，1000]時，①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過5；③y≤x?25%，然后一一驗證即可．解答：解：由題意，符合公司要求的模型只需滿足：當x∈[10，1000]時，①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過5；③y≤x?25%x，A中，函數(shù)y＝0.025x，易知滿足①，但當x＞200時，y＞5不滿足公司要求；B中，函數(shù)y＝1.003x，易知滿足①，但當x＞600時，y＞5不滿足公司要求；C中，函數(shù)y＝l+log7x，易知滿足①，當x＝1000時，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7xx恒成立，故滿足公司要求；D中，函數(shù)yx2，易知滿足①，當x＝400時，y＞5不滿足公司要求；故選C點評：本題以實際問題為載體，考查函數(shù)模型的構建，考查方案的優(yōu)化設計，解題的關鍵是一一驗證．典例2：某服裝生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場份額，擬在2015年度進行一系列促銷活動，經(jīng)過市場調(diào)查和測算，服裝的年銷量x萬件與年促銷t萬元之間滿足關系式3﹣x（k為常數(shù)），如果不搞促銷活動，服裝的年銷量只能是1萬件．已知2015年生產(chǎn)服裝的設備折舊，維修等固定費用需要3萬元，每生產(chǎn)1萬件服裝需再投入32萬元的生產(chǎn)費用，若將每件服裝的售價定為：“每件生產(chǎn)成本的150%”與“平均每件促銷費的一半”之和，試求：（1）2015年的利潤y（萬元）關于促銷費t（萬元）的函數(shù)；（2）該企業(yè)2015年的促銷費投入多少萬元時，企業(yè)的年利潤最大？（注：利潤＝銷售收入﹣生產(chǎn)成本﹣促銷費，生產(chǎn)成本＝固定費用+生產(chǎn)費用）分析：（1）通過x表示出年利潤y，并化簡整理，代入整理即可求出y萬元表示為促銷費t萬元的函數(shù)．（2）根據(jù)已知代入（2）的函數(shù)，分別進行化簡即可用基本不等式求出最值，即促銷費投入多少萬元時，企業(yè)的年利潤最大．解答：解：（1）由題意：3﹣x，且當t＝0時，x＝1．所以k＝2，所以3﹣x，…（1分）生產(chǎn)成本為32x+3，每件售價，…（2分）所以，y（3分）＝16x，（t≥50）；…（2分）（2）因為當且僅當，即t＝7時取等號，…（4分）所以y≤50﹣8＝42，…（1分）答：促銷費投入7萬元時，企業(yè)的年利潤最大．…（1分）點評：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應用，看出基本不等式在求最值中的應用，考查學生分析問題和解決問題的能力，強調(diào)對知識的理解和熟練運用，考查轉化思想的應用．21．數(shù)列的應用【知識點的認識】1、數(shù)列與函數(shù)的綜合2、等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合3、數(shù)列的實際應用數(shù)列與銀行利率、產(chǎn)品利潤、人口增長等實際問題的結合．22．平面向量的概念與平面向量的模【知識點的認識】向量概念既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小沒有方向的量叫做數(shù)量（物理中的標量：身高、體重、年齡）．在數(shù)學中我們把向量的大小叫做向量的模，這是一個標量．向量的幾何表示用有向線段表示向量，有向線段的長度表示有向向量的大小，用箭頭所指的方向表示向量的方向．即用表示有向線段的起點、終點的字母表示，例如、，…字母表示，用小寫字母、，…表示．有向向量的長度為模，表示為||、||，單位向量表示長度為一個單位的向量；長度為0的向量為零向量．向量的模的大小，也就是的長度（或稱模），記作||．零向量長度為零的向量叫做零向量，記作，零向量的長度為0，方向不確定．單位向量長度為一個單位長度的向量叫做單位向量（與共線的單位向量是）．相等向量長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性．23．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算【知識點的認識】1、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：設，都是非零向量，是與方向相同的單位向量，與和夾角為θ，則：（1）||cosθ；（2）?0；（判定兩向量垂直的充要條件）（3）當，方向相同時，||||；當，方向相反時，||||；特別地：||2或||（用于計算向量的模）（4）cosθ（用于計算向量的夾角，以及判斷三角形的形狀）（5）||≤||||2、平面向量數(shù)量積的運算律（1）交換律：；（2）數(shù)乘向量的結合律：（λ）?λ（）?（）；（3）分配律：（）??（）平面向量數(shù)量積的運算平面向量數(shù)量積運算的一般定理為①（±）22±2?2．②（）（）22．③?（?）≠（?）?，從這里可以看出它的運算法則和數(shù)的運算法則有些是相同的，有些不一樣．【解題方法點撥】例：由代數(shù)式的乘法法則類比推導向量的數(shù)量積的運算法則：①“mn＝nm”類比得到“”②“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?”；③“t≠0，mt＝nt?m＝n”類比得到“?”；④“|m?n|＝|m|?|n|”類比得到“||＝||?||”；⑤“（m?n）t＝m（n?t）”類比得到“（）?”；⑥“”類比得到．以上的式子中，類比得到的結論正確的是①②．解：∵向量的數(shù)量積滿足交換律，∴“mn＝nm”類比得到“”，即①正確；∵向量的數(shù)量積滿足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?”，即②正確；∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，∴“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“?”，即③錯誤；∵||≠|(zhì)|?||，∴“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“||＝||?||”；即④錯誤；∵向量的數(shù)量積不滿足結合律，∴“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（）?”，即⑤錯誤；∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，∴”不能類比得到，即⑥錯誤．故答案為：①②．向量的數(shù)量積滿足交換律，由“mn＝nm”類比得到“”；向量的數(shù)量積滿足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“?”；||≠|(zhì)|?||，故“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“||＝||?||”；向量的數(shù)量積不滿足結合律，故“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（）?”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故”不能類比得到．【命題方向】本知識點應該所有考生都要掌握，這個知識點和三角函數(shù)聯(lián)系比較多，也是一個?？键c，題目相對來說也不難，所以是拿分的考點，希望大家都掌握．24．平面向量的基本定理【知識點的認識】1、平面向量基本定理內(nèi)容：如果e1、e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對這一平面內(nèi)任一，有且僅有一對實數(shù)λ1、λ2，使．2、基底：不共線的e1、e2叫做平面內(nèi)表示所有向量的一組基底．3、說明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共線就行．（2）由定理可將任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．25．平面向量數(shù)量積的坐標運算【知識點的認識】1、向量的夾角概念：對于兩個非零向量，如果以O為起點，作，，那么射線OA，OB的夾角θ叫做向量與向量的夾角，其中0≤θ≤π．2、向量的數(shù)量積概念及其運算：（1）定義：如果兩個非零向量，的夾角為θ，那么我們把||||cosθ叫做與的數(shù)量積，記做即：||||cosθ．規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即：?0．注意：①表示數(shù)量而不表示向量，符號由cosθ決定；②符號“?”在數(shù)量積運算中既不能省略也不能用“×”代替；③在運用數(shù)量積公式解題時，一定要注意向量夾角的取值范圍是：0≤θ≤π．（2）投影：在上的投影是一個數(shù)量||cosθ，它可以為正，可以為負，也可以為0（3）坐標計算公式：若（x1，y1），（x2，y2），則x1x2+y1y2，3、向量的夾角公式：4、向量的模長：5、平面向量數(shù)量積的幾何意義：與的數(shù)量積等于的長度||與在的方向上的投影||cosθ的積．26．數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系【知識點的認識】向量是有方向的，那么在一個空間內(nèi)，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．當兩條向量的方向互相垂直的時候，我們就說這兩條向量垂直．假如（1，0，1），（2，0，﹣2），那么與垂直，有?1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它們的乘積為0．【解題方法點撥】例：與向量，垂直的向量可能為（）A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）解：對于A：∵，?（3，﹣4）5，∴A不成立；對于B：∵，?（﹣4，3），∴B不成立；對于C：∵，?（4，3），∴C成立；對于D：∵，?（4，﹣3），∴D不成立；故選：C．點評：分別求出向量，和A，B，C，D四個備選向量的乘積，如果乘積等于0，則這兩個向量垂直，否則不垂直．【命題方向】向量垂直是比較喜歡考的一個點，主要性質(zhì)就是垂直的向量積為0，希望大家熟記這個關系并靈活運用．27．互斥事件與對立事件【知識點的認識】1．互斥事件（1）定義：一次試驗中，事件A和事件B不能同時發(fā)生，則這兩個不能同時發(fā)生的事件叫做互斥事件．如果A1，A2，…，An中任何兩個都不可能同時發(fā)生，那么就說事件A1，A2，…An彼此互斥．（2）互斥事件的概率公式：在一個隨機試驗中，如果隨機事件A和B是互斥事件，則有：P（A+B）＝P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A與B互斥．推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件發(fā)生（即A1，A2，…，An中有一個發(fā)生）的概率等于這n個事件分別發(fā)生的概率之和，即：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）2．對立事件（1）定義：一次試驗中，兩個事件中必有一個發(fā)生的互斥事件叫做對立事件，事件A的對立事件記做．注：①兩個對立事件必是互斥事件，但兩個互斥事件不一定是對立事件；②在一次試驗中，事件A與只發(fā)生其中之一，并且必然發(fā)生其中之一．（2）對立事件的概率公式：P（）＝1﹣P（A）3．互斥事件與對立事件的區(qū)別和聯(lián)系互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個發(fā)生．因此，對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，即“互斥”是“對立”的必要但不充分條件，而“對立”則是“互斥”的充分但不必要條件．【命題方向】1．考查對知識點概念的掌握例1：從裝有2個紅