浙江省強(qiáng)基聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)1月統(tǒng)測(cè)試卷

浙江省強(qiáng)基聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)1月統(tǒng)測(cè)試卷姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四總分評(píng)分一、單選題1．設(shè)z+iz?1=i，則A．5 B．2 C．1 D．02．已知集合M，N滿(mǎn)足(M∪NA．N=? B．M=N C．M?N D．N?M3．已知平面單位向量a，b，c滿(mǎn)足?a，bA．0 B．1 C．3 D．64．記函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期為T(mén)．若π<T<4π，且點(diǎn)(A．4π3 B．5π3 C．8π35．已知函數(shù)f(x)=(x+1)22x+1A．113 B．116 C．121606．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C：x24+y23=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、A．157 B．4157 C．157．某平面過(guò)棱長(zhǎng)為2的正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，且截該正方體所得截面是一個(gè)五邊形．若該五邊形最長(zhǎng)的兩條邊的邊長(zhǎng)分別是52，5A．223 B．52 C．138．已知函數(shù)φ(x)=lnxxA．φ(sB．φ(C．三者不可能同時(shí)相等D．至少有一個(gè)小于2二、多選題9．某次數(shù)學(xué)考試滿(mǎn)分150分，共有一萬(wàn)余名考生參加考試，其成績(jī)?chǔ)巍玁(90，A．σ的值越大，成績(jī)不低于100分的人數(shù)越多B．成績(jī)高于105分的比成績(jī)低于80分的人數(shù)少C．若考生中女生占45%，根據(jù)性別進(jìn)行分層抽樣，則樣本容量可以為90D．從全體考生中隨機(jī)抽取10人，則成績(jī)不低于80分的人數(shù)X可認(rèn)為服從二項(xiàng)分布10．已知直線a與b異面，則（）A．存在無(wú)數(shù)個(gè)平面與a，B．存在唯一的平面α，使a，b與C．存在唯一的平面α，使a?α，且b∥αD．存在平面α，β，使a?α，b?β11．已知雙曲線C：A．C的漸近線方程為y=±33C．△AFH的面積為3 D．|FP|=3?12．設(shè)f（x），g（x）都是定義域?yàn)閇1，＋∞）的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意x≥1，f(g(x)?x)=0，A．f(2)<g(1) B．f(x)≤g(x)?2C．k=110f(三、填空題13．(x2?14．寫(xiě)出過(guò)點(diǎn)(33，1)，且與x軸和直線y=15．第二次古樹(shù)名木資源普查結(jié)果顯示，我國(guó)現(xiàn)有樹(shù)齡一千年以上的古樹(shù)10745株，其中樹(shù)齡五千年以上的古樹(shù)有5株．對(duì)于測(cè)算樹(shù)齡較大的古樹(shù)，最常用的方法是利用碳－14測(cè)定法測(cè)定樹(shù)木樣品中碳－14衰變的程度鑒定樹(shù)木年齡．已知樹(shù)木樣本中碳－14含量與樹(shù)齡之間的函數(shù)關(guān)系式為k(n)=k0(1216．將邊長(zhǎng)為2的正方形紙片折成一個(gè)三棱錐，使三棱錐的四個(gè)面剛好可以組成該正方形紙片，若三棱錐的各頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的體積為．四、解答題17．已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{（1）求{an}（2）求數(shù)列{anbn}18．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知ba（1）求A；（2）設(shè)a=2，當(dāng)b+219．如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD=60°，PD⊥底面ABCD，PD=2，E是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是PB上的點(diǎn)，且（1）證明：PD//平面AEF；（2）求二面角A?BE?C的正弦值；（3）求三棱錐A－BEF的體積．20．抽屜中裝有5雙規(guī)格相同的筷子，其中2雙是一次性筷子，3雙是非一次性筷子，每次使用筷子時(shí)，從抽屜中隨機(jī)取出1雙，若取出的是一次性筷子，則使用后直接丟棄，若取出的是非一次性筷子，則使用后經(jīng)過(guò)清洗再次放入抽屜中，求：（1）在第2次取出的是非一次性筷子的條件下，第1次取出的是一次性筷子的概率；（2）取了3次后，取出的一次性筷子的個(gè)數(shù)（雙）的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）取了n(21．已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，斜率為k（1）求C的方程；（2）設(shè)C在A，B處的切線交于點(diǎn)Q，證明|AF||BF|22．已知函數(shù)f(x)=e（1）若f(x)≤3?2x，求a的值；（2）證明：f(m)+f(1

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】由z+iz?1=i得∴故答案為：A.

【分析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)z，再由復(fù)數(shù)求模公式計(jì)算得答案.2．【答案】D【解析】【解答】由(M∪N)∪N=M當(dāng)N={1}，M={1，故答案為：D

【分析】由(M∪N)∪N=M3．【答案】C【解析】【解答】如圖，設(shè)a=OA，因?yàn)?b，c則△ODB為正三角形，所以O(shè)D=1，且OA，所以b+c=?因?yàn)閨b所以|b故答案為：C.

【分析】|3a4．【答案】A【解析】【解答】解：由題意在f(x)=cos設(shè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)和與對(duì)稱(chēng)軸在x軸上的交點(diǎn)間的距離為x對(duì)稱(chēng)中心：ω對(duì)稱(chēng)軸：ω由幾何知識(shí)得，x=|解得：x=T4+K?T2∵π<T<4π，且點(diǎn)(π2，0)和直線∴x=解得：T=∵π<T<4π∴K=1，T=故答案為：A.

【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)可得點(diǎn)(π2，0)和直線5．【答案】B【解析】【解答】f(1所以，f(1)f(=(2×3×4×?×11)故答案為：B.

【分析】f(1n)=6．【答案】C【解析】【解答】在橢圓C中，a=2，b=3，則c=a2?b因?yàn)閨PF1|=2|P設(shè)點(diǎn)P(x，y)，其中0<x<2，y>0且|PF解得x=43，則y2=3?3因此，直線OP的斜率為kOP故答案為：C.

【分析】根據(jù)橢圓的定義可得|PF2|=43，設(shè)點(diǎn)P(x，y)，其中0<x<2，y>07．【答案】A【解析】【解答】解：如圖，在正方體ABCD?A1B1C由于正方體的棱長(zhǎng)為2，且五邊形BEFGH最長(zhǎng)的兩條邊的邊長(zhǎng)分別是52，5，即圖中BH=所以可得CH=BH2?BC2=32，AE=BE由于BE，B1A1延長(zhǎng)交于I，BH，B1C1延長(zhǎng)交于在正方體ABCD?A1B1C1D1中，平面ADD1A又平面BEFGH∩平面BCC1B1=BH，所以EF//BH所以EF=53，同理可得HG//BE，所以△HGC1～△EBA所以HG=52，所以FG=F故截面是一個(gè)五邊形的其余三邊長(zhǎng)分別為EF=53，HG=5故22故答案為：A.

【分析】在正方體ABCD?A1B1C1D1中，過(guò)頂點(diǎn)B，截該正方體所得截面是一個(gè)五邊形為BEFGH，由于BE，B1A1延長(zhǎng)交于I，BH，B1C8．【答案】D【解析】【解答】∵φ'(x)=1?lnxx2，則當(dāng)0<x<e故φ(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，+∞)上單調(diào)遞減，則對(duì)A：若s2=e，則s=e對(duì)B、C：當(dāng)0<s≤1時(shí)，則0<s2≤s<2s≤2<e當(dāng)1<s<2時(shí)，則s<2<2s<4，故φ(當(dāng)s=2時(shí)，則2s=s2=4當(dāng)s>2時(shí)，則4<2s<s2，故綜上所述：φ(2s)對(duì)D：構(gòu)建f(x)=ln(1+x)?x2+6x故f(x)在(0，2)上單調(diào)遞減，則令x=1，可得f(1)=ln2?7故ln22<24反證：假設(shè)φ(s)，φ(s顯然不成立，假設(shè)不成立，D符合題意.故答案為：D.

【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)φ(x)的單調(diào)性和最值，通過(guò)賦值或分類(lèi)討論，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷，可得答案.9．【答案】A,B,D【解析】【解答】對(duì)于A選項(xiàng)，σ的值越大，則正態(tài)曲線越“矮胖”，則成績(jī)不低于100分的人數(shù)越多，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，P(ξ>105)=P(ξ<75)<P(ξ<80)，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若考生中女生占45%，若樣本容量為90人，則90×0對(duì)于D選項(xiàng)，從全體考生中隨機(jī)抽取10人，樣本容量很大，則成績(jī)不低于80分的人數(shù)X可認(rèn)為服從二項(xiàng)分布，D對(duì).故答案為：ABD.

【分析】利用正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)可判斷A；利用正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)性可判斷B；計(jì)算90×0.10．【答案】A,C,D【解析】【解答】A：將異面直線a，b通過(guò)平移到同一平面α內(nèi)，則存在無(wú)數(shù)個(gè)與平面α平行的平面與B：兩異面直線與同一平面所成角可以相等，而與此平面平行的平面有無(wú)窮多個(gè)，B不符合題意；C：因?yàn)閍，b是異面直線，平移直線b與直線a相交，確定一個(gè)平面平行于直線b，所以過(guò)直線a有且僅有一個(gè)平面α與直線D：a?α，存在直線l⊥α，通過(guò)平移直線l與直線b相交或重合，l，b?β，所以由面面垂直的判定定理可知故答案為：ACD

【分析】利用直線與平面的位置關(guān)系逐項(xiàng)進(jìn)行判斷，可得答案.11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：由題意在C：左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)F作C的一條漸近線的垂線，垂足為H，且交C的左半支于點(diǎn)P，△AFH是等腰三角形，當(dāng)直線FH垂直于漸近線y=?b由幾何知識(shí)得，A(a，0)，F(xiàn)(?c，0)點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為：x∵點(diǎn)H在漸近線y=?b∴H(∴直線FH的斜率為：y化簡(jiǎn)得：b∵a∴b∵e=∴兩邊同時(shí)除以a2得：解得：e=?1（舍）e=2B符合題意.∵b2=4∴e=解得：a=∴c=∴C∴漸近線為：y=±A不符合題意.∵A(a，0)，F(xiàn)(?c∴A(233，∴SC符合題意.∵直線FH的斜率為：ab=2∴直線FH的解析式為：y=∵直線FH與雙曲線交于點(diǎn)P∴y=33x+4∵x∴P(∴|FP|=D符合題意.當(dāng)直線FH垂直于漸近線y=b由幾何知識(shí)得，此情況關(guān)于上這種情況關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，故e=2，漸近線為：y=±bS|FP|=BCD符合題意，A不符合題意.綜上，BCD符合題意故答案為：BCD.

【分析】過(guò)點(diǎn)F作C的一條漸近線的垂線，垂足為H，且交C的左半支于點(diǎn)P，△AFH是等腰三角形，利用雙曲線的性質(zhì)結(jié)合圖象，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷，可得答案.12．【答案】A,B,C【解析】【解答】由條件可知：f(x)是單調(diào)的函數(shù)，f(g(x)?x)=0，即g(x)=x+m，g(x)=x(f(x)+1)2+m=2f(x)+x2+m顯然，當(dāng)x=1時(shí)，f(x)=0，∴m=1，即g(x)=x對(duì)于A，f(2)=±3對(duì)于B，∵±x對(duì)于C，∵f(x)=x2?1即f(1)=0，f(2)<2，正確；對(duì)于D，g(x)=x2+1≤x(x+1)∴k=110故答案為：ABC.

【分析】根據(jù)據(jù)已知條件求出f（x），g（x），逐項(xiàng)進(jìn)行判斷，可得答案.13．【答案】-330【解析】【解答】(x2?(x2?3x令2r?3k=1，可得k=2r?1故r=2，k=1或故(x2?故答案為：-330.

【分析】在二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于1，求出r的值，即可求得x的系數(shù).14．【答案】(x?23)2【解析】【解答】設(shè)圓心為C，原點(diǎn)為O，易知直線y=3x與x軸交于點(diǎn)因?yàn)閳A與直線y=3x相切，直線y=3x的傾斜角為所以∠COx=30°，OC所在直線方程為y=3設(shè)圓心坐標(biāo)為(3a，化簡(jiǎn)可得3a2?20a+28=0，解得a=2當(dāng)a=2時(shí)，圓心坐標(biāo)為(23，2)，半徑為2當(dāng)a=143時(shí)，圓心坐標(biāo)為(1433故滿(mǎn)足題意的圓的方程為(x?23)2故答案為：(x?23)2

【分析】設(shè)圓心為C，原點(diǎn)為O，可得OC所在直線方程為y=33x，設(shè)圓心坐標(biāo)為(15．【答案】4202.00【解析】【解答】由題意可得：k0(1故答案為：4202.00.

【分析】根據(jù)題意結(jié)合對(duì)數(shù)的定義及其運(yùn)算性質(zhì)求解，可得答案.16．【答案】6【解析】【解答】如圖1，分別取AD和AB的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接CE，CF，將正方形ABCD沿CE和CF折起，使得A，B，D重合，構(gòu)成三棱錐P-CEF，如圖2，由于PE，PF，PC兩兩垂直，可以補(bǔ)成如圖3所示的長(zhǎng)方體：由圖1的折法可知：PE=PF=1，長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)=22+12+故答案為：6π

【分析】先考慮如何將正方形折成三棱錐，求出底面三角形的外心，過(guò)外心作底面的垂線，則球心必定在該垂線上，再利用幾何關(guān)系求出外接球的半徑，進(jìn)而求出該球的體積.17．【答案】（1）解：設(shè)等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{因?yàn)閍1所以a1將q=1+d代入1+7d=qd3解得d=0q=1或d=?4q=?3或因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}所以d=1q=2所以anbn所以等差數(shù)列{an}等比數(shù)列{bn}（2）解：由（1）得an所以Sn=12S①?②得：12即12所以Sn【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；

（2）由（1）得an18．【答案】（1）解：由題意在△ABC中，ba=sinC?sin(A?B)，由正弦定理得，b∴ba=sinC?sin(A?B)A+B+C=π而B(niǎo)為三角形內(nèi)角，故sinB>0，故sin2A=1，而故2A=π2即（2）解：由題意及（1）得在△ABC中，a=2，A=π4，故外接圓直徑故b+=22=210其中cosφ=25因?yàn)锽∈(0，3π4)，故故sin(B+φ)的最大值為1，此時(shí)B+φ=故sinB=cosφ=故b=22且sin故c=22此時(shí)S△ABC【解析】【分析】(1)將ba使用正弦定理，將等式化為角的形式，同時(shí)將sinC換為sin(A+B)，利用兩角和與差的正弦公式展開(kāi)等式的右邊，進(jìn)而求得sin2A，根據(jù)角的范圍得出A的值；

(2)利用正弦定理及輔助角公式，將b+19．【答案】（1）證明：連接BD，由題意可知：△ABD為等邊三角形，取AB的中點(diǎn)M，連接MD，則MD⊥AB，∵AB∥DC，則MD⊥DC，如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則A(3可得DP=(0設(shè)平面AEF的法向量m=(x，y令x=2，則y=3，z=0∵m?DP=2×0+3×0+0×2=0∴PD∥平面AEF.（2）解：由（1）可得：AB=(0設(shè)平面ABE的法向量為n1=(a，令a=1，則b=0，z=3設(shè)平面BEC的法向量為n2=(i，令i=1，則j=k=3，即n可得cos?設(shè)二面角A?BE?C為θ，則可得|cos故二面角A?BE?C的正弦值sinθ=（3）解：由（2）可得：AB?BE=0∵點(diǎn)F到平面ABE的距離d=|∴三棱錐A－BEF的體積VA?BEF【解析】【分析】（1）推出MD⊥DC，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，求出平面AEF的法向量，利用向量法可證得PD//平面AEF；

（2）求出平面ABE的法向量和平面BEC的法向量，利用向量法可求出二面角A?BE?C的正弦值.20．【答案】（1）解：設(shè)取出的是第一次是一次性筷子為事件A，取出的是第二次非一次性筷子為事件B，則P(B)=25×所以在第二次是非一次性筷子的前提下，第一次是一次性筷子的概率P(A|（2）解：對(duì)于X=0，表示三次都是非一次性筷子，非一次性筷子是由放回的，∴P(X=0)=(對(duì)于X=1，表示三次中有一次筷子，對(duì)應(yīng)的情況有第一次，第二次，第三次是一次性筷子，∴P(X=1)=2對(duì)于X=2，表示三次中有一次是非一次性筷子，同樣有第一次第二次第三次之分，P(X=2)=3X012P2754947數(shù)學(xué)期望E(X)=0×27（3）解：n次取完表示最后一次是一次性筷子，則前n?1次中有一次取得一次性筷子，所以P===【解析】【分析】（1）根據(jù)條件概率公式計(jì)算即可；

（2）根據(jù)獨(dú)立事件概率公式計(jì)算即可求出取出的一次性筷子的個(gè)數(shù)（雙）的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（3）根據(jù)獨(dú)立事件概率公式計(jì)算即可.21．【答案】（1）解：設(shè)斜率為k(k≠0)且過(guò)點(diǎn)P的直線為l：x=my?設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2又由拋物線定義知|AF|+|BF|=x1+|AF|+|BF|=16，則8p=16?p=2.得C的方程為y2（2）解：由（1）可得，P(?1，0)，則l：消去x得：y2?4my+4=0，則設(shè)C在A點(diǎn)處的切線方程為x=mC在B點(diǎn)處的切線方程為x=m將x=m1(y?y1因x=m聯(lián)立方程判別式Δ=16m又y1則16m得m1=y將兩切線方程聯(lián)立有x=m1(y?y1解得x=y1y則|AQ|2=(則|AQ|2同理可得|BQ|2注意到|AF||BF|則|AF||BF|=|AQ|y1|BQ|2則y1|BQ|2則y1|BQ|2【解析】【分析】（1）設(shè)斜率為k(k≠0)且過(guò)點(diǎn)P的直線為l：x=my?p2，其中m=1k，A(x1，y1)，B(x2，22．【答案】（1）解：設(shè)g(x)=f(x)+2x?3=e1?x?axg'(x)=?e1?x?a(令h(x)=2?e1?x?a(lnx+1)令p(x)=xex?1?a