中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《有關(guān)數(shù)與式問題》專項(xiàng)檢測(cè)卷及答案

第第頁(yè)中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《有關(guān)數(shù)與式問題》專項(xiàng)檢測(cè)卷及答案學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________一．填空題（共20小題）1．（2024秋?渝中區(qū)期中）若一個(gè)三位數(shù)，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為零，且滿足各個(gè)數(shù)位的數(shù)字之和為4的倍數(shù)，稱這樣的數(shù)為“四方數(shù)”，如138，1+3+8＝12＝3×4，所以138是“四方數(shù)”，如257，2+5+7＝14，14不是4的倍數(shù)，所以257不是“四方數(shù)”，若“四方數(shù)”M＝100a+10b+c，其中a+2＝2b﹣c，交換M的百位與個(gè)位數(shù)字得到M1，記F(M)=M?M199，若F(M)+ba?b2．（2024秋?巴南區(qū)月考）若一個(gè)各個(gè)數(shù)位的數(shù)字均不為零的四位數(shù)M滿足其千位數(shù)字與十位數(shù)字的和等于其百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和，則稱這個(gè)數(shù)為“間位等和數(shù)”；將一個(gè)“間位等和數(shù)”的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字去掉后剩下的兩位數(shù)記作A，千位數(shù)字和百位數(shù)字去掉后剩下的兩位數(shù)記作B，令F(M)=A+B33．若四位數(shù)M的千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個(gè)位數(shù)字為d，則F（1254）＝．如果F（M）是一個(gè)自然數(shù)的平方，那么M的最大值與最小值的差為3．（2024秋?巴南區(qū)月考）對(duì)于一個(gè)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為零且不相等的三位自然數(shù)m，若m的十位數(shù)字分別小于m的百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字，則稱m為“伯仲數(shù)”，當(dāng)三位自然數(shù)為“伯仲數(shù)”時(shí)，重新排列m各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字可得到一個(gè)最大數(shù)m1，和一個(gè)最小數(shù)m2，規(guī)定F(m)=m1?m299，例如：m＝634，因?yàn)?＜6，3＜4，所以634是“伯仲數(shù)”，且F(m)=643?34699，則最小的“伯仲數(shù)”是；若三位自然數(shù)n＝100x+10y+z是“伯仲數(shù)”（其中1≤x≤9，1≤y≤9，1≤z≤9，x、y、z均為整數(shù)），且n的個(gè)位數(shù)字小于百位數(shù)字，F(xiàn)（4．（2024春?江津區(qū)月考）一個(gè)三位數(shù)m，每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為0，且滿足百位＜十位＜個(gè)位，稱為“步步高升數(shù)”，將“步步高升數(shù)”m個(gè)位與百位交換得到m′，記G(m)=m'?m99．例如：128滿足1＜2＜8，則稱128為“步步高升數(shù)”，將“步步高升數(shù)”128個(gè)位與百位交換得到821，記若p是一個(gè)“步步高升數(shù)”，則G（p）的最大值為，一個(gè)“步步高升數(shù)”p是3的倍數(shù)，且滿足G（p）是一個(gè)完全平方數(shù)，則所有滿足條件的p的平均值為．5．（2024秋?重慶期中）若一個(gè)兩位數(shù)t滿足其十位數(shù)字小于個(gè)位數(shù)字，則稱這個(gè)兩位數(shù)為“逐增數(shù)”，將“逐增數(shù)”t的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的差放在t的前面得到的三位數(shù)記為t1，將t的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的差放在t的后面得到的三位數(shù)記為t2，F(xiàn)(t)=t1?t29，如：當(dāng)t＝25時(shí)，t1＝325，t2＝253，F(xiàn)(t)=325?2539=8，若m為最大的“逐增數(shù)”，則F（m）＝，已知x＝10a+b，y＝10b+c（a，b，c為整數(shù)且1≤a，b，c≤9），x，y6．（2024秋?渝中區(qū)校級(jí)月考）對(duì)于一個(gè)任意的四位數(shù)M，若M的千位數(shù)字和百位數(shù)字之和為4的倍數(shù)，十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字之和為8的倍數(shù)，我們稱這樣的四位數(shù)為“擴(kuò)張數(shù)”．例如：四位數(shù)3197，因?yàn)?+1＝4，9+7＝16，所以3197是“擴(kuò)張數(shù)”；四位數(shù)6238，因?yàn)?+2＝8，3+8＝11，11不是8的倍數(shù)，所以6238不是“擴(kuò)張數(shù)”．若N＝2000x+3313+100y+20m+n是“擴(kuò)張數(shù)”，其中1≤x≤3，0≤y≤5，0≤m≤9，0≤n≤6，且x、y、m、n都是整數(shù)，記P（N）＝2m+n+3，Q（N）＝9x2﹣y2﹣6；若P(N)Q(N)是5的倍數(shù)，則滿足條件的N的最大值為7．（2024秋?萬(wàn)州區(qū)期中）我們規(guī)定：若一個(gè)正整數(shù)A能寫成a2﹣b，其中a與b都是兩位數(shù)，且a與b的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字之和為8，則稱A為“方減數(shù)”，并把A分解成a2﹣b的過程，稱為“方減分解”例如：因?yàn)?58＝222﹣26，22與26的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字2與6的和為8，所以458是“方減數(shù)”，458分解成458＝222﹣26的過程就是“方減分解”．按照這個(gè)規(guī)定，在100～200之間最小的“方減數(shù)”是．把一個(gè)“方減數(shù)”A進(jìn)行“方減分解”，即A＝a2﹣b，將a放在b的左邊組成一個(gè)新的四位數(shù)B，若B除以19余數(shù)為2，則滿足條件的“方減數(shù)”A的最大值為．8．（2024秋?重慶期中）對(duì)于一個(gè)各數(shù)位上的數(shù)字均不為0且互不相等的三位自然數(shù)p，將它各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字分別乘以3后再取其個(gè)位數(shù)，得到三個(gè)新的數(shù)字，再將這三個(gè)新數(shù)字重新組合成不同的三位數(shù)xyz，當(dāng)（xy﹣xz）的值最小時(shí)，稱此時(shí)的xyz為自然數(shù)p的“魅力數(shù)”，并規(guī)定K（p）＝（|y﹣z|+x）2．例如：p＝157時(shí)，其各個(gè)數(shù)位上數(shù)字分別乘以3后的三個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)分別是：3、5、1，重新組合后的數(shù)為351、315、531、513、135、153，因?yàn)椋?×1﹣3×5）的值最小，所以315是157的“魅力數(shù)”，此時(shí)K（p）＝（5﹣1|+3）2＝49，則k（246）＝，若s、t都是各數(shù)位上的數(shù)字均不為0且互不相等的三位自然數(shù)，且s＝100a+21，t＝120b+a，其中（1≤a≤9，1≤b≤4，a、b均為整數(shù)）若（s+t）能被5整除，（s﹣t）能被11整除，則K（t）的最小值為．9．（2024秋?九龍坡區(qū)校級(jí)期中）一個(gè)四位數(shù)M，若千位數(shù)字與十位數(shù)字之和為11，百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和也為11，則稱M為“雙11數(shù)”．將M的千位數(shù)字和十位數(shù)字交換，百位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字交換，得到M的逆序數(shù)M′，并記K(M)=M?M'99．若M是最大的“雙11數(shù)”則K（M）＝；若M是“雙11數(shù)”且K(M)+1119是完全平方數(shù)，則滿足條件的M10．（2024秋?北碚區(qū)校級(jí)期中）閱讀材料：對(duì)于任意一個(gè)三位正整數(shù)M=abc=100a+10b+c，如果滿足百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之差恰好等于個(gè)位上的數(shù)字，我們稱這個(gè)數(shù)M為“差數(shù)”，并記P(M)=|a+b?c|3．例如：正整數(shù)321，因?yàn)?﹣2＝1，所以321是“差數(shù)”，P(321)=|3+2?1|3=43．若“差數(shù)”M與其各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和的差能被81整除，且M11．（2024秋?南岸區(qū)校級(jí)月考）一個(gè)四位數(shù)A＝M×N，其中M、N均為兩位數(shù)，M、N的十位數(shù)字相同且|M﹣N|＝2，則A的最小值是；將M放在N的左邊形成一個(gè)新的四位數(shù)B，我們稱B為A的“合構(gòu)數(shù)”，若B的百位數(shù)字與它的個(gè)位數(shù)字相乘所得的積能被它的百位數(shù)字加4的和整除，且A能被17整除，則滿足條件的B的最小值是．12．（2024秋?九龍坡區(qū)校級(jí)期中）如果一個(gè)四位自然數(shù)M各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為0，且前兩位數(shù)字之和為5，后兩位數(shù)字之和為8，則稱M為“智慧數(shù)”．把“智慧數(shù)”M的前兩位數(shù)字和后兩位數(shù)字整體交換得到新的四位數(shù)M'；．規(guī)定F(M)=M'?M99例如：M＝2371，∵2+3＝5，7+1＝8，∴2371是“智慧數(shù)”．則F(2371)=7123?237199=48．如果“智慧數(shù)”N＝1435，則F（N）＝；已知S＝1000a+100b+10c+d是“智慧數(shù)”，（1≤a，b≤4，1≤c，d≤7且a，b，c，d均為整數(shù)），若F（S13．（2024秋?酉陽(yáng)縣校級(jí)期中）如果一個(gè)四位自然數(shù)abcd的各數(shù)位上的數(shù)字均不為0，滿足ab+bc=2c+cd，那么稱這個(gè)四位數(shù)為“天天向上數(shù)”．例如：四位數(shù)2129，∵21+12＝2×2+29，∴2129是“天天向上數(shù)”：又如3465，∵34+46≠2×6+65，∴3465不是“天天向上數(shù)”．若一個(gè)“天天向上數(shù)”為a358，則此時(shí)a＝；若一個(gè)“天天向上數(shù)”的前三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)abc與后三位數(shù)字組成的三位數(shù)14．（2024秋?兩江新區(qū)校級(jí)期中）對(duì)于一個(gè)任意的四位數(shù)M，若M的千位數(shù)字和百位數(shù)字之和為4的倍數(shù)，十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字之和為8的倍數(shù)，我們稱這樣的四位數(shù)為“成倍數(shù)”．例如：四位數(shù)3197，因?yàn)?+1＝4，9+7＝16，所以3197是“成倍數(shù)”；四位數(shù)6238，因?yàn)?+2＝8，3+8＝11，11不是8的倍數(shù)，所以6238不是“成倍數(shù)”．若N＝2000x+3313+100y+20m+n是“成倍數(shù)”，其中1≤x≤3，0≤y≤5，0≤m≤9，0≤n≤6，且x、y、m、n都是整數(shù)，記P（N）＝2m+n+3，Q（N）＝9x2﹣y2﹣6；最小的“成倍數(shù)”為；若P(N)Q(N)是5的倍數(shù)，則滿足條件的N的最小值為15．（2024春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）對(duì)于任意一個(gè)三位自然數(shù)M，若它的各數(shù)位上的數(shù)字均不為0，且滿足十位數(shù)字與百位數(shù)字之差等于個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之差的2倍，則稱M為“2階等差中項(xiàng)數(shù)”，將這個(gè)三位自然數(shù)M的百位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字互換位置，得到M'，規(guī)定F(M)=M?M'99．已知A、B均為“2階等差中項(xiàng)數(shù)”，其中A＝310+10x+y，B＝100m+70+n（1≤x≤8，1≤y，m，n≤9，且x，y，m，n均為正整數(shù)）．令k=F(A)F(B)，當(dāng)30﹣3F（A）﹣F（B）為完全平方數(shù)時(shí)，則滿足條件的所有16．（2024秋?九龍坡區(qū)校級(jí)月考）一個(gè)四位數(shù)m，若十位與千位上的數(shù)字之和等于個(gè)位與百位上的數(shù)字之和，則稱這個(gè)數(shù)為“跳位和等數(shù)”，將“跳位和等數(shù)”m的個(gè)位與千位兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)后得到一個(gè)新的四位數(shù)m1，將m的十位與百位兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)后得到另一個(gè)新四位數(shù)m2，記F（m）=m1?m2909．則F（7542）＝．若s，t都是“跳位和等數(shù)”，其中s＝5400+10y+x，t＝1000f+100e+76（1≤x，y，e，f≤9），且x，y，e，f都是整數(shù)，則當(dāng)F（t）﹣4F（s）能被26整除時(shí)，F(xiàn)（t）17．（2024秋?九龍坡區(qū)校級(jí)期中）如果一個(gè)四位自然數(shù)M各數(shù)位上的數(shù)字互不相等，若千位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之差等于十位上的數(shù)字與百位上的數(shù)字之和，則稱這樣的四位數(shù)為“和差數(shù)”．若將M的千位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)，百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字對(duì)調(diào)，組成一個(gè)新的四位數(shù)記為M′，則F（M）=M?M'9．若m1n5為“和差數(shù)”，且F(m1n5)=323，則m+n＝．若將M的千位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字對(duì)調(diào)，百位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)，組成一個(gè)新的四位數(shù)記為M″，并規(guī)定G（M）=M+M″101．若“和差數(shù)”M=abcd18．（2024春?渝中區(qū)校級(jí)期中）閱讀材料：一個(gè)四位自然數(shù)N=abcd（a、b、c、d為數(shù)位上的數(shù)字且均不為0），把這個(gè)四位數(shù)分成兩個(gè)兩位數(shù)ab和cd，若ab根據(jù)材料，最小的“60”數(shù)是．已知N=abcd是一個(gè)“60”數(shù)，去掉它的千位數(shù)字后得到一個(gè)三位數(shù)bcd，去掉它的個(gè)位數(shù)字后得到一個(gè)三位數(shù)abc，若bcd與abc的和能被11整除，則滿足條件的N的最大值為19．（2024秋?大渡口區(qū)校級(jí)期中）一個(gè)兩位正整數(shù)n，如果n滿足各數(shù)位上的數(shù)字互不相同且均不為0，那么稱n為“異能數(shù)”，將n的兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)得到一個(gè)新數(shù)n′，把n′放在n的后面組成第一個(gè)四位數(shù)，把n放在n′的后面組成第二個(gè)四位數(shù)，我們把第一個(gè)四位數(shù)減去第二個(gè)四位數(shù)后再除以11所得的商記為F（n），例如：n＝34時(shí)，n′＝43，F(xiàn)(34)=3443?433411=?81，則F（38）＝；若s、t為“異能數(shù)”，其中s＝10a+b，t＝10x+y（1＜b≤a≤9，1≤x、y≤5，且a，b，x，y為整數(shù)）規(guī)定：K(s，t)=s?tt，若F（s）能被7整除，且F（s）+F（t）﹣81y＝162，求K（s20．（2024秋?開州區(qū)期中）若一個(gè)三位正整數(shù)m=abc（各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為0）滿足a+b+c＝9，則稱這個(gè)三位正整數(shù)為“吉祥數(shù)”．對(duì)于一個(gè)“吉祥數(shù)”m，將它的百位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字交換以后得到新數(shù)n，記F（m）=m+n9．如：m＝216滿足2+1+6＝9，則216為“吉祥數(shù)”，那么n＝612，所以F（216）=216+6129=92．則最小的“吉祥數(shù)”是；對(duì)于任意一個(gè)“吉祥數(shù)”m，若F（參考答案一．填空題（共20小題）1．（2024秋?渝中區(qū)期中）若一個(gè)三位數(shù)，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為零，且滿足各個(gè)數(shù)位的數(shù)字之和為4的倍數(shù)，稱這樣的數(shù)為“四方數(shù)”，如138，1+3+8＝12＝3×4，所以138是“四方數(shù)”，如257，2+5+7＝14，14不是4的倍數(shù)，所以257不是“四方數(shù)”，若“四方數(shù)”M＝100a+10b+c，其中a+2＝2b﹣c，交換M的百位與個(gè)位數(shù)字得到M1，記F(M)=M?M199，若F(M)+ba?b【解答】解：∵a+2＝2b﹣c，∴c＝2b﹣a﹣2，∴M＝100a+10b+（2b﹣a﹣2）＝99a+12b﹣2，∴M1＝100（2b﹣a﹣2）+10b+a＝210b﹣99a﹣200，∴F（M）=(99a+12b?2)?(210b?99a?200)99=198a?198b+19899∵F(M)+ba?b∴2a?2b+2+ba?b∵2a?b+2a?b=a?b+a+2a?b=1+a+2a?b，a+b+c＝a+b∴a+2a?b為整數(shù)，3b∴a最大可取8，b最大可取6，∴c的值為2．∴滿足條件的M的最大值為862．2．（2024秋?巴南區(qū)月考）若一個(gè)各個(gè)數(shù)位的數(shù)字均不為零的四位數(shù)M滿足其千位數(shù)字與十位數(shù)字的和等于其百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和，則稱這個(gè)數(shù)為“間位等和數(shù)”；將一個(gè)“間位等和數(shù)”的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字去掉后剩下的兩位數(shù)記作A，千位數(shù)字和百位數(shù)字去掉后剩下的兩位數(shù)記作B，令F(M)=A+B33．若四位數(shù)M的千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個(gè)位數(shù)字為d，則F（1254）＝2．如果F（M）是一個(gè)自然數(shù)的平方，那么M的最大值與最小值的差為【解答】解：∵1+5＝2+4，∴1254為“間位等和數(shù)”，∴A＝12，B＝54，∴F(1254)=12+54∵A＝10a+b，B＝10c+d，a+c＝b+d，∴F(M)=10a+b+10c+d∵F（M）是一個(gè)自然數(shù)的平方，且a和c均為不為0的10以內(nèi)自然數(shù)，∴a+c＝3或a+c＝12．∵求M的最大值，∴a和b均取9，∴c＝d＝3，即最大值為9933；∵求M的最小值，∴a和b均取1，∴c＝d＝2，即最小值為1122，∴M的最大值與最小值的差為9933﹣1122＝8811．故答案為：2，8811．3．（2024秋?巴南區(qū)月考）對(duì)于一個(gè)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為零且不相等的三位自然數(shù)m，若m的十位數(shù)字分別小于m的百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字，則稱m為“伯仲數(shù)”，當(dāng)三位自然數(shù)為“伯仲數(shù)”時(shí)，重新排列m各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字可得到一個(gè)最大數(shù)m1，和一個(gè)最小數(shù)m2，規(guī)定F(m)=m1?m299，例如：m＝634，因?yàn)?＜6，3＜4，所以634是“伯仲數(shù)”，且F(m)=643?34699，則最小的“伯仲數(shù)”是213；若三位自然數(shù)n＝100x+10y+z是“伯仲數(shù)”（其中1≤x≤9，1≤y≤9，1≤z≤9，x、y、z均為整數(shù)），且n的個(gè)位數(shù)字小于百位數(shù)字，F(xiàn)（【解答】解：設(shè)一個(gè)“伯仲數(shù)”的百位數(shù)，十位數(shù)，個(gè)位數(shù)分別為a、b、c，∴a＞b，c＞b，∵b≥1且b為正整數(shù)，∴b的最小值為1，∴a的最小值為2，∵要使得一個(gè)“伯仲數(shù)”，∴a要最小，∴此時(shí)滿足a＝2，b＝1，∴此時(shí)也要c最小，∴c＝3，∴最小的“伯仲數(shù)”為213；∵由題意可得：n的百位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，個(gè)位數(shù)字為z，∵x＞z＞y，∴F(n)=100x+10z+y?(100y+10z+x)∵F（n）+2x＝18，∴x﹣y+2x＝18，∴y＝3x﹣18，∵要使n最大，要滿足x最大，∴當(dāng)x＝9時(shí)，y＝3x﹣18＝9，此時(shí)不符合題意，舍去；當(dāng)x＝8時(shí)，y＝3x﹣18＝6，此時(shí)z＝7，符合題意，∴n的最大值即為867，故答案為：213；867．4．（2024春?江津區(qū)月考）一個(gè)三位數(shù)m，每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為0，且滿足百位＜十位＜個(gè)位，稱為“步步高升數(shù)”，將“步步高升數(shù)”m個(gè)位與百位交換得到m′，記G(m)=m'?m99．例如：128滿足1＜2＜8，則稱128為“步步高升數(shù)”，將“步步高升數(shù)”128個(gè)位與百位交換得到821，記若p是一個(gè)“步步高升數(shù)”，則G（p）的最大值為8，一個(gè)“步步高升數(shù)”p是3的倍數(shù)，且滿足G（p）是一個(gè)完全平方數(shù)，則所有滿足條件的p的平均值為357．【解答】解：依題意，p是一個(gè)“步步高升數(shù)”，設(shè)這個(gè)“步步高升數(shù)”為p＝a×100+b×10+c（a＜b＜c），∴將“步步高升數(shù)”的個(gè)位與百位交換得到p′＝c×100+b×10+a（a＜b＜c），∵G(m)=m'?m∴c×100+b×10+a﹣（a×100+b×10+c）＝（c﹣a）×100﹣（c﹣a）＝99（c﹣a），則G(p)=p'?p∵a＜b＜c，且a，b，c都是正整數(shù)，∴則G（p）的最大值為c﹣a＝8，∵G（p）是一個(gè)完全平方數(shù)，∴G（p）＝c﹣a＝1，4，9，∵a＜b＜c，且a，b，c都是正整數(shù)，∴G（p）＝c﹣a＝1，9都舍去，∴G（p）＝c﹣a＝4，故當(dāng)c＝9時(shí)，則a＝5，∴p′＝985，975，965，p＝589，579，569，故當(dāng)c＝8時(shí)，則a＝4，∴p′＝874，864，854，p＝478，468，458，故當(dāng)c＝7時(shí)，則a＝3，∴p′＝763，753，743，p＝367，357，347，故當(dāng)c＝6時(shí)，則a＝2，∴p′＝652，642，632，p＝256，246，236，故當(dāng)c＝5時(shí)，則a＝1，∴p′＝541，531，521，p＝145，135，125，∵一個(gè)“步步高升數(shù)”p是3的倍數(shù)，∴p＝579，357，468，246，135，∴579+357+468+246+1355∴滿足條件的p的平均值為357．故答案為：8，357．5．（2024秋?重慶期中）若一個(gè)兩位數(shù)t滿足其十位數(shù)字小于個(gè)位數(shù)字，則稱這個(gè)兩位數(shù)為“逐增數(shù)”，將“逐增數(shù)”t的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的差放在t的前面得到的三位數(shù)記為t1，將t的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的差放在t的后面得到的三位數(shù)記為t2，F(xiàn)(t)=t1?t29，如：當(dāng)t＝25時(shí)，t1＝325，t2＝253，F(xiàn)(t)=325?2539=8，若m為最大的“逐增數(shù)”，則F（m）＝﹣78，已知x＝10a+b，y＝10b+c（a，b，c為整數(shù)且1≤a，b，c≤9），x，y【解答】解：∵m為最大的“逐增數(shù)”，∴m＝89，∴t1＝189，t2＝891，∴F（m）=189?891∵x＝10a+b，∴x1＝100（b﹣a）+10a+b＝101b﹣90a，x2＝100a+10b+（b﹣a）＝99a+11b，∴x1﹣x2＝90b﹣189a，∴F（x）=x1?x2∵y＝10b+c，∴y1＝100（c﹣b）+10b+c＝101c﹣90b，y2＝100b+10c+（c﹣b）＝99b+11c，∴y1﹣y2＝90c﹣189b，∴F（y）=y1?y2∵F(x)+F(y)+x+y11(10b?21a)+(10c?21b)+(10a+b)+(10b+c)11=?11a+11c＝c﹣a，∴c﹣a是完全平方式，∵a，b，c為整數(shù)且1≤a，b，c≤9，∴c﹣a＝4或1，9，∴c＝4+a或c＝a+1（與題意不符）或c＝a+9（不合題意），∴x+y＝10a+b+10b+c＝10a+11b+c＝10a+11b+4+a＝11a+11b+4＝11（a+b）+4，∵c最大為9，∴a最大為5，∴當(dāng)a＝5，b＝6時(shí)，x+y最大，x+y＝11×11+4＝125，當(dāng)a＝1，b＝2時(shí)，x+y最小，x+y＝11×3+4＝37，∴125﹣37＝88，故答案為：﹣78，88．6．（2024秋?渝中區(qū)校級(jí)月考）對(duì)于一個(gè)任意的四位數(shù)M，若M的千位數(shù)字和百位數(shù)字之和為4的倍數(shù)，十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字之和為8的倍數(shù)，我們稱這樣的四位數(shù)為“擴(kuò)張數(shù)”．例如：四位數(shù)3197，因?yàn)?+1＝4，9+7＝16，所以3197是“擴(kuò)張數(shù)”；四位數(shù)6238，因?yàn)?+2＝8，3+8＝11，11不是8的倍數(shù)，所以6238不是“擴(kuò)張數(shù)”．若N＝2000x+3313+100y+20m+n是“擴(kuò)張數(shù)”，其中1≤x≤3，0≤y≤5，0≤m≤9，0≤n≤6，且x、y、m、n都是整數(shù)，記P（N）＝2m+n+3，Q（N）＝9x2﹣y2﹣6；若P(N)Q(N)是5的倍數(shù)，則滿足條件的N的最大值為7997【解答】解：當(dāng)0≤m≤4時(shí)，N＝2000x+3313+100y+20m+n＝2x×1000+3×1000+3×100+10+3+y×100+2m×10+n＝（2x+3）×1000+（y+3）×100+（2m+1）×10+（n+3）．∵N是“擴(kuò)張數(shù)”，∴2x+3+y+3＝2x+y+6是4的倍數(shù)，2m+1+n+3＝2m+n+4是8的倍數(shù)．∴當(dāng)2m+n+4＝8，得m=0n=4，m=1n=2，m=2n=0，P（N）＝2m當(dāng)2m+n+4＝16，得m=3n=6，P（N）＝2m+n當(dāng)2x+y+6＝8，得x=1y=0，Q（N）＝9x2﹣y2當(dāng)2x+y+6＝12，得x=1y=4，Q（N）＝9x2﹣y2﹣6＝﹣13，x=2y=2，Q（N）＝9x2﹣y2﹣6＝26，x=3y=0，Q（N）＝9x2﹣當(dāng)2x+y+6＝16，得x=3y=4，Q（N）＝9x2﹣y2∵P(N)Q(N)∴只有P（N）＝2m+n+3＝15，Q（N）＝9x2﹣y2﹣6＝3，P(N)Q(N)此時(shí)，x=1y=0，m=3∴N＝5379．當(dāng)5≤m≤9時(shí)，N＝2000x+3313+100y+20m+n＝（2x+3）×1000+（y+4）×100+（2m﹣9）×10+（n+3）．∵N是“擴(kuò)張數(shù)”，∴2x+3+y+4＝2x+y+7是4的倍數(shù)，2m﹣9+n+3＝2m+n﹣6是8的倍數(shù)．當(dāng)2m+n﹣6＝8，得m=5n=4，m=6n=2，m=7n=0，P當(dāng)2m+n﹣6＝16，得m=8n=6，m=9n=4，P（N）＝2當(dāng)2x+y+7＝12，得x=1y=3，Q（N）＝9x2﹣y2﹣6＝﹣6；x=2y=1，Q（N）＝9x2﹣y當(dāng)2x+y+7＝16，得x=2y=5，Q（N）＝9x2﹣y2﹣6＝5；x=3y=3，Q（N）＝9x2﹣y只有P（N）＝2m+n+3＝25，Q（N）＝9x2﹣y2﹣6＝5，P(N)Q(N)此時(shí)，x=2y=5，m=8n=6或∴N＝7979，或N＝7997．綜上分析，N的最大值為：7997．故答案為：7997．7．（2024秋?萬(wàn)州區(qū)期中）我們規(guī)定：若一個(gè)正整數(shù)A能寫成a2﹣b，其中a與b都是兩位數(shù)，且a與b的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字之和為8，則稱A為“方減數(shù)”，并把A分解成a2﹣b的過程，稱為“方減分解”例如：因?yàn)?58＝222﹣26，22與26的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字2與6的和為8，所以458是“方減數(shù)”，458分解成458＝222﹣26的過程就是“方減分解”．按照這個(gè)規(guī)定，在100～200之間最小的“方減數(shù)”是104．把一個(gè)“方減數(shù)”A進(jìn)行“方減分解”，即A＝a2﹣b，將a放在b的左邊組成一個(gè)新的四位數(shù)B，若B除以19余數(shù)為2，則滿足條件的“方減數(shù)”A的最大值為9124．【解答】解：設(shè)m＝10a+b，則n＝10a+8﹣b（1≤a≤9，0≤b≤8），由題意得：m2﹣n＝（10a+b）2﹣（10a+8﹣b），∵1≤a≤9，“方減數(shù)”最小，∴a＝1，則m＝10+b，n＝18﹣b，∴m2﹣n＝（10+b）2﹣（18﹣b）＝100+20b+b2﹣18+b＝82+b2+21b，∵當(dāng)b＝0時(shí)，m2﹣n＝82；b＝1時(shí)，m2﹣n＝104；∴100～200之間最小的“方減數(shù)”是104，故答案為：104；設(shè)m＝10a+b，則n＝10a+8﹣b（1≤a≤9，0≤b≤8），∴B＝1000a+100b+10a+8﹣b＝1010a+99b+8，∵B除以19余數(shù)為2，∴1010a+99b+6能被19整除，∴B?219∵“方減數(shù)”A的值最大，∴當(dāng)a＝9，b＝0時(shí)，3a+4b+619當(dāng)a＝9，b＝1時(shí)，3a+4b+619當(dāng)a＝9，b＝2時(shí)，3a+4b+619當(dāng)a＝9，b＝3時(shí)，3a+4b+619當(dāng)a＝9，b＝4時(shí)，3a+4b+619當(dāng)a＝9，b＝5時(shí)，3a+4b+619當(dāng)a＝9，b＝6時(shí)，3a+4b+619∴m＝10×9+6＝96，則n＝10×9+8﹣6＝92，∴A＝962﹣92＝9124；故答案為：9124．8．（2024秋?重慶期中）對(duì)于一個(gè)各數(shù)位上的數(shù)字均不為0且互不相等的三位自然數(shù)p，將它各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字分別乘以3后再取其個(gè)位數(shù)，得到三個(gè)新的數(shù)字，再將這三個(gè)新數(shù)字重新組合成不同的三位數(shù)xyz，當(dāng)（xy﹣xz）的值最小時(shí)，稱此時(shí)的xyz為自然數(shù)p的“魅力數(shù)”，并規(guī)定K（p）＝（|y﹣z|+x）2．例如：p＝157時(shí)，其各個(gè)數(shù)位上數(shù)字分別乘以3后的三個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)分別是：3、5、1，重新組合后的數(shù)為351、315、531、513、135、153，因?yàn)椋?×1﹣3×5）的值最小，所以315是157的“魅力數(shù)”，此時(shí)K（p）＝（5﹣1|+3）2＝49，則k（246）＝64，若s、t都是各數(shù)位上的數(shù)字均不為0且互不相等的三位自然數(shù)，且s＝100a+21，t＝120b+a，其中（1≤a≤9，1≤b≤4，a、b均為整數(shù)）若（s+t）能被5整除，（s﹣t）能被11整除，則K（t）的最小值為100．【解答】解：當(dāng)p＝248時(shí)，其各個(gè)數(shù)位上數(shù)字分別乘以3后的三個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)分別是：6、2、4，重新組合后的數(shù)為：624，642，426，462，246，264，∵（4×2﹣4×6）的值最小，∴426是248的“魅力數(shù)”，此時(shí)K（248）＝（|6﹣2|+4）2＝64，∵s＝100a+21，t＝120b+a，∴s+t＝10la+21+120b，∵（s+t）能被5整除，∴10la+21也能被5整除，∵1≤a≤9，a為整數(shù)，∴a＝4或9，∵s＝100a+21，t＝120b+a，∴s﹣t＝99a+21﹣120b，∵（s﹣t）能被11整除，∴21﹣120b也能被11整除，∵1≤b≤4，b為整數(shù)，∴b＝1，∴t＝124或129，當(dāng)p＝124時(shí)，其各個(gè)數(shù)位上數(shù)字分別乘以3后的三個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)分別是：3、6、2，重新組合后的數(shù)為：623，632，326，362，236，263，∵（3×2﹣3×6）的值最小，∴326是124“魅力數(shù)”，此時(shí)K（124）＝（|6﹣2|+3）2＝49，當(dāng)p＝129時(shí)，其各個(gè)數(shù)位上數(shù)字分別乘以3后的三個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)分別是：6、3、7，重新組合后的數(shù)為：637，673，736，763，376，367，∵（6×3﹣7×6）的值最小，∴637是129的“魅力數(shù)”，此時(shí)K（129）＝（|7﹣3|+6）2＝100，綜上，則K（t）的最大值為100．故答案為：64；100．9．（2024秋?九龍坡區(qū)校級(jí)期中）一個(gè)四位數(shù)M，若千位數(shù)字與十位數(shù)字之和為11，百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和也為11，則稱M為“雙11數(shù)”．將M的千位數(shù)字和十位數(shù)字交換，百位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字交換，得到M的逆序數(shù)M′，并記K(M)=M?M'99．若M是最大的“雙11數(shù)”則K（M）＝77；若M是“雙11數(shù)”且K(M)+1119是完全平方數(shù)，則滿足條件的M【解答】解：∵M(jìn)是最大的“雙11數(shù)”，“雙11數(shù)”的千位數(shù)字與十位數(shù)字之和為11，百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和也為11，∴最大的“雙11數(shù)”千位數(shù)字和百位數(shù)字都為9，十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字都為2，∴K(M)=9922?2299設(shè)M的千位數(shù)字和百位數(shù)字分別為a，b，∵M(jìn)是“雙11數(shù)”，∴M的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字分別為11﹣a，11﹣b，∴M＝1000a+100b+10（11﹣a）+11﹣b＝990a+99b+121，∴M的逆序數(shù)M'＝1000（11﹣a）+100（11﹣b）+10a+b＝﹣990a﹣99b+12100，∴K（M）=M?M'99=990a+99b+121?(?990a?99b+12100)99K(M)+1119∵K(M)+1119∴2a+2b﹣1是9的倍數(shù)，由題意得，1≤a≤9，1≤11﹣a≤9，1≤b≤9，1≤11﹣b≤9，∴2≤a≤9，2≤b≤9，∴7≤2a+2b﹣1≤35，∴2a+2b﹣1最大值為27，整理得a+b＝14，K(M)+1119∵在6≤2a+2≤20范圍內(nèi)的最大完全平方數(shù)為16，∴2a+2＝16，解得a＝7，此時(shí)b＝7，M＝7744為最大值；故答案為：77，7744．10．（2024秋?北碚區(qū)校級(jí)期中）閱讀材料：對(duì)于任意一個(gè)三位正整數(shù)M=abc=100a+10b+c，如果滿足百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之差恰好等于個(gè)位上的數(shù)字，我們稱這個(gè)數(shù)M為“差數(shù)”，并記P(M)=|a+b?c|3．例如：正整數(shù)321，因?yàn)?﹣2＝1，所以321是“差數(shù)”，P(321)=|3+2?1|3=43．若“差數(shù)”M與其各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和的差能被81整除，且M為奇數(shù)，求滿足條件的所有“差數(shù)”M【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)三位數(shù)為M=abc=100a+10b+c，其中a﹣b＝c且由于M﹣（a+b+c）＝99a+9b能被81整除，則11a+b能被9整除，枚舉滿足條件的a和b，得到滿足條件的M只有：909、826（舍去）、743、660（舍去）、413，分別計(jì)算P（M）可得：P（909）＝0，P（743）=7+4?33=83故答案為：8311．（2024秋?南岸區(qū)校級(jí)月考）一個(gè)四位數(shù)A＝M×N，其中M、N均為兩位數(shù)，M、N的十位數(shù)字相同且|M﹣N|＝2，則A的最小值是1023；將M放在N的左邊形成一個(gè)新的四位數(shù)B，我們稱B為A的“合構(gòu)數(shù)”，若B的百位數(shù)字與它的個(gè)位數(shù)字相乘所得的積能被它的百位數(shù)字加4的和整除，且A能被17整除，則滿足條件的B的最小值是3436．【解答】解：設(shè)較大的數(shù)是k，則較小的數(shù)是k﹣2，則A＝k（k﹣2）＝k2﹣2k，∵A是四位數(shù)，當(dāng)k≤32時(shí)，A≤960不符合題意；當(dāng)k＝33時(shí)，A＝1023，符合題意；∴A的最小值是1023，由題意可得：M，N中必有一個(gè)是17的整數(shù)倍，即為34，68，85；當(dāng)M＝34時(shí)，N＝32，數(shù)B＝3234，2×4＝8不能被2+4＝6整除，不符合題意，舍去；當(dāng)M＝68時(shí)，N＝66，數(shù)B＝6668，6×8＝48不能被6+4＝10整除，不符合題意，舍去；當(dāng)M＝85時(shí)，N＝83，數(shù)B＝8385，3×5＝15不能被3+4＝7整除，不符合題意，舍去；當(dāng)M＝34時(shí)，N＝36，數(shù)B＝3436，4×6＝24能被4+4＝8整除，符合題意；當(dāng)M＝68時(shí)，N＝70，不符合題意，舍去；當(dāng)M＝85時(shí)，N＝87，數(shù)B＝8587，這時(shí)5×7＝35不能被5+4＝9整除，不符合題意，舍去；最小值是3436，故答案為：1023，3436．12．（2024秋?九龍坡區(qū)校級(jí)期中）如果一個(gè)四位自然數(shù)M各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為0，且前兩位數(shù)字之和為5，后兩位數(shù)字之和為8，則稱M為“智慧數(shù)”．把“智慧數(shù)”M的前兩位數(shù)字和后兩位數(shù)字整體交換得到新的四位數(shù)M'；．規(guī)定F(M)=M'?M99例如：M＝2371，∵2+3＝5，7+1＝8，∴2371是“智慧數(shù)”．則F(2371)=7123?237199=48．如果“智慧數(shù)”N＝1435，則F（N）＝21；已知S＝1000a+100b+10c+d是“智慧數(shù)”，（1≤a，b≤4，1≤c，d≤7且a，b，c，d均為整數(shù)），若F（S【解答】解：第一問：F（N）=3514?1435第二問：因?yàn)镾＝1000a+100b+10c+d是“智慧數(shù)”，所以：a+b＝5，c+d＝8①；S＝1000a+100b+10c+d，則S'＝1000c+100d+10a+b，因此，F(xiàn)（S）＝（S'﹣S）÷99＝10c+d﹣10a﹣b，將①式代入，整理得：F（S）＝9c+（c+d）﹣9a﹣（a+b）＝9c﹣9a+3＝9（c﹣a）+3；因?yàn)?≤a≤4，1≤c≤7且a，b，c，d均為整數(shù)，則c﹣a可能取得的值為：﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3、4、5、6，F(xiàn)（S）可能取得的值為：﹣24、﹣15、﹣6、3、12、21、30、39、48、57；因?yàn)镕（S）恰好能被7整除，所以F（S）＝21，此時(shí)c﹣a＝2；那么a、c可能取得的值為：a＝1，c＝3；a＝2，c＝4；a＝3，c＝5；a＝4，c＝6；S可能取得的值為：1435，2344，3253，4162；最大的為4162．故答案為：21；4162．13．（2024秋?酉陽(yáng)縣校級(jí)期中）如果一個(gè)四位自然數(shù)abcd的各數(shù)位上的數(shù)字均不為0，滿足ab+bc=2c+cd，那么稱這個(gè)四位數(shù)為“天天向上數(shù)”．例如：四位數(shù)2129，∵21+12＝2×2+29，∴2129是“天天向上數(shù)”：又如3465，∵34+46≠2×6+65，∴3465不是“天天向上數(shù)”．若一個(gè)“天天向上數(shù)”為a358，則此時(shí)a＝3；若一個(gè)“天天向上數(shù)”的前三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)abc與后三位數(shù)字組成的三位數(shù)【解答】解：由題意可得：∴a3+35=2×5+58∴10a+3+35＝10+58，a＝3；由天天向上數(shù)的定義可知：∴10a+b+10b+c＝2c+10c+d，∴10a+11b＝11c+d，由題意可得：∴abc=100a+10b+c+100b+10c+d=100a+110b+11c+d=100a+110b+10a+11b=110a+121b=12a+13b+2a+4b∴2a+4b＝9k（k為正整數(shù)），由題意得：0＜a≤9，0＜b≤9，0＜c≤9，0＜d≤9，∴0＜2a+4b≤54，當(dāng)2a+4b＝18時(shí)，解得a=1b=4或a=3b=3或a=5b=2∵10a+11b＝11c+d，∴當(dāng)a=1b=4時(shí)，此時(shí)c、d當(dāng)a=3b=3時(shí)，此時(shí)c＝5，d當(dāng)a=5b=2時(shí)，此時(shí)c＝6，d當(dāng)a=7b=1時(shí)，此時(shí)c＝7，d當(dāng)2a+4b＝36時(shí)，解得a=2b=8或a=4b=7或a=6b=6∵10a+11b＝11c+d，∴當(dāng)a=2b=8時(shí)，此時(shí)c＝9，d當(dāng)a=4b=7時(shí)，c、d當(dāng)a=6b=6時(shí)，c、d當(dāng)a=8b=5時(shí)，c、d當(dāng)2a+4b＝54時(shí)，解得a=9b=9∵10a+11b＝11c+d，∴當(dāng)a=9b=9時(shí)，此時(shí)c、d∴符合題意為3358，5266，7174，2899，∴7174﹣2899＝4275，故答案為：3，4275．14．（2024秋?兩江新區(qū)校級(jí)期中）對(duì)于一個(gè)任意的四位數(shù)M，若M的千位數(shù)字和百位數(shù)字之和為4的倍數(shù)，十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字之和為8的倍數(shù)，我們稱這樣的四位數(shù)為“成倍數(shù)”．例如：四位數(shù)3197，因?yàn)?+1＝4，9+7＝16，所以3197是“成倍數(shù)”；四位數(shù)6238，因?yàn)?+2＝8，3+8＝11，11不是8的倍數(shù)，所以6238不是“成倍數(shù)”．若N＝2000x+3313+100y+20m+n是“成倍數(shù)”，其中1≤x≤3，0≤y≤5，0≤m≤9，0≤n≤6，且x、y、m、n都是整數(shù)，記P（N）＝2m+n+3，Q（N）＝9x2﹣y2﹣6；最小的“成倍數(shù)”為5317；若P(N)Q(N)是5的倍數(shù)，則滿足條件的N的最小值為5379【解答】解：∵N＝2000x+3313+100y+20m+n，要使N最小，x應(yīng)取最小的值1，∴當(dāng)x＝1時(shí)，N＝2000×1+3313+100y+20m+n＝5313+100y+20m+n，∵y的取值范圍是0≤y≤5，要使N最小，y＝0，∴N＝5313+20m+n，∵0≤m≤9，0≤n≤6，要使N最小，m＝0，n＝0，∴N＝5313，千位數(shù)字5和百位數(shù)字3之和為5+3＝8，是4的倍數(shù)，十位數(shù)字1和個(gè)位數(shù)字3之和為1+3＝4，不是8的倍數(shù)，所以5313不是“成倍數(shù)”，當(dāng)m＝0，n＝1時(shí)，N＝5314，千位數(shù)字5和百位數(shù)字3之和為8，是4的倍數(shù)，十位數(shù)字1和個(gè)位數(shù)字4之和為5，不是8的倍數(shù)，所以5314不是“成倍數(shù)”，當(dāng)m＝0，n＝2時(shí)，N＝5315，千位數(shù)字5和百位數(shù)字3之和為8，是4的倍數(shù)，十位數(shù)字1和個(gè)位數(shù)字5之和為6，不是8的倍數(shù)，所以5315不是“成倍數(shù)”，當(dāng)m＝0，n＝3時(shí)，N＝5316，千位數(shù)字5和百位數(shù)字3之和為8，是4的倍數(shù)，十位數(shù)字1和個(gè)位數(shù)字6之和為7，不是8的倍數(shù)，所以5316不是“成倍數(shù)”，當(dāng)m＝0，n＝4時(shí)，N＝5317，千位數(shù)字5和百位數(shù)字3之和為8，是4的倍數(shù)，十位數(shù)字1和個(gè)位數(shù)字7之和為8，是8的倍數(shù)，所以最小的“成倍數(shù)”為5317；∵1≤x≤3，0≤y≤5，0≤m≤9，0≤n≤6，∴當(dāng)0≤m≤4時(shí)，N＝2000x+3313+100y+20m+n＝2x×1000+3×1000+3×100+10+3+y×100+2m×10+n＝（2x+3）×1000+（y+3）×100+（2m+1）×10+（n+3），∵N是“成倍數(shù)”，∴2x+3+1+3＝2x+y+6是4的倍數(shù)，2m+1+n+3＝2m+n+4是8的倍數(shù)，當(dāng)2m+n+4＝8時(shí)，∴m=0n=4或m=1n=2或m=2n=0，P（N）＝2m當(dāng)2m+n+4＝16時(shí)，∴m=3n=6，P（N）＝2m+n當(dāng)2x+y+6＝8，∴x=1y=0，Q（N）＝9x2﹣y2當(dāng)2x+y+6＝12，∴①x=1y=4，Q（N）＝9x2﹣y2②x=2y=2，Q（N）＝9x2﹣y2③x=3y=0，Q（N）＝9x2﹣y2當(dāng)2x+y+6＝16，∴x=3y=4，Q（N）＝9x2﹣y2∵P(N)Q(N)∴此時(shí)x=1y=0，m=3∴N的最小值為5379，故答案為：5317，5379．15．（2024春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）對(duì)于任意一個(gè)三位自然數(shù)M，若它的各數(shù)位上的數(shù)字均不為0，且滿足十位數(shù)字與百位數(shù)字之差等于個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之差的2倍，則稱M為“2階等差中項(xiàng)數(shù)”，將這個(gè)三位自然數(shù)M的百位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字互換位置，得到M'，規(guī)定F(M)=M?M'99．已知A、B均為“2階等差中項(xiàng)數(shù)”，其中A＝310+10x+y，B＝100m+70+n（1≤x≤8，1≤y，m，n≤9，且x，y，m，n均為正整數(shù)）．令k=F(A)F(B)，當(dāng)30﹣3F（A）﹣F（B）為完全平方數(shù)時(shí)，則滿足條件的所有【解答】解：∵A＝310+10x+y，∴A＝300+10（x+1）+y，∵A是“2階等差中項(xiàng)數(shù)”，∴x+1﹣3＝2（y﹣x﹣1），∴3x﹣2y＝0，∵B＝100m+70+n是“2階等差中項(xiàng)數(shù)”，∴m﹣7＝2（7﹣n），∴m+2n＝21，∵A＝300+10（x+1）+y，B＝100m+70+n，∴F（A）=300+10(x+1)+y?100y?10(x+1)?399=F（B）=100m+70+n?100n?70?m99=m∴k=F(A)∴30﹣3F（A）﹣F（B）＝30﹣3（3﹣y）﹣（m﹣n）＝3y+3n＝3（y+n），∵1≤y，n≤9，∴6≤3y+3n≤54，∵30﹣3F（A）﹣F（B）為完全平方數(shù)，且是3的倍數(shù)，∴30﹣3F（A）﹣F（B）＝9或30﹣3F（A）﹣F（B）＝36，∴y+n＝3或y+n＝12，∵3x﹣2y＝0，x、y都是正整數(shù)，∴y一定是3的倍數(shù)，∴y的值為3或6或9，∴y+n＝12，當(dāng)y＝3時(shí)，n＝9，此時(shí)m＝3，∴k=3?3當(dāng)y＝6時(shí)，n＝6，m＝9，∴k=3?6當(dāng)y＝9時(shí)，n＝3，此時(shí)m＝15，不合題意，舍去；∴滿足條件的所有k之和為﹣1．故答案為：﹣1．16．（2024秋?九龍坡區(qū)校級(jí)月考）一個(gè)四位數(shù)m，若十位與千位上的數(shù)字之和等于個(gè)位與百位上的數(shù)字之和，則稱這個(gè)數(shù)為“跳位和等數(shù)”，將“跳位和等數(shù)”m的個(gè)位與千位兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)后得到一個(gè)新的四位數(shù)m1，將m的十位與百位兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)后得到另一個(gè)新四位數(shù)m2，記F（m）=m1?m2909．則F（7542）＝﹣3．若s，t都是“跳位和等數(shù)”，其中s＝5400+10y+x，t＝1000f+100e+76（1≤x，y，e，f≤9），且x，y，e，f都是整數(shù)，則當(dāng)F（t）﹣4F（s）能被26整除時(shí)，F(xiàn)（t）【解答】解：∵m＝7524，∴m1＝4527，m2＝7254，∴F(7524)=4527?7254∵s＝5400+10y+x，t＝1000f+100e+76，∴s＝5×1000+4×100+10y+x，t＝1000f+100e+7×10+6，∴s的千位上的數(shù)字為5，百位上的數(shù)字為4，十位上的數(shù)字為y，個(gè)位上的數(shù)字為x，t的千位上的數(shù)字為f，百位上的數(shù)字為e，十位上的數(shù)字為7，個(gè)位上的數(shù)字為6，∴s1＝1000x+4×100+10y+5＝1000x+405+10y，s2＝5×1000+100y+4×10+x＝100y+x+5040；t1＝1000×6+100e+7×10+f＝100e+f+6070，t2＝1000f+100×7+10e+6＝1000f+10e+706，∵根據(jù)題中給出的信息可得：s，t都是“跳位和等數(shù)”，∴5+y＝4+x，f+7＝e+6，∴x＝y(tǒng)+1，e＝f+1，∴s1＝1000x+405+10y＝1000（y+1）+405+10y＝1010y+1405，s2＝100y+x+5040＝100y+y+1+5040＝101y+5041；t1＝100e+f+6070＝100（f+1）+f+6070＝101f+6170，t2＝1000f+10e+706＝1000f+10（f+1）+706＝1010f+716，∴F（S）==909(y?4)＝y(tǒng)﹣4，f（t）==909(6?f)＝6﹣f，∴F（t）﹣4F（s）＝6﹣f﹣4（y﹣4）＝22﹣（f+4y），∴22﹣（f+4y）是26的倍數(shù)，∵1≤x，y，e，f≤9，且x，y，e，f都是整數(shù)，∴5≤f+4y≤45，∴﹣17≤f+4y﹣22≤23，﹣23≤22﹣（f+4y）≤17，∴22﹣（f+4y）＝0，f＝22﹣4y，∴y＝4，f＝6或y＝5，f＝2，分情況討論如下：當(dāng)y＝4，f＝6時(shí)，得：F（s）＝y(tǒng)﹣4＝4﹣4＝0，F(xiàn)（t）＝6﹣f＝6﹣6＝0，∴F（t）F（s）＝0×0＝0；當(dāng)y＝5，f＝2時(shí)，得：F（s）＝y(tǒng)﹣4＝5﹣4＝1，F(xiàn)（t）＝6﹣f＝6﹣2＝4，∴F（t）F（s）＝4×1＝4；∴F（t）F（s）＝0或4，故答案為：﹣3；0或4．17．（2024秋?九龍坡區(qū)校級(jí)期中）如果一個(gè)四位自然數(shù)M各數(shù)位上的數(shù)字互不相等，若千位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之差等于十位上的數(shù)字與百位上的數(shù)字之和，則稱這樣的四位數(shù)為“和差數(shù)”．若將M的千位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)，百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字對(duì)調(diào)，組成一個(gè)新的四位數(shù)記為M′，則F（M）=M?M'9．若m1n5為“和差數(shù)”，且F(m1n5)=323，則m+n＝10．若將M的千位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字對(duì)調(diào)，百位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)，組成一個(gè)新的四位數(shù)記為M″，并規(guī)定G（M）=M+M″101．若“和差數(shù)”M=abcd【解答】解：①∵M(jìn)=m1n5=1000m+100+10n+5＝1000m+10∴M′=5n1m=5000+100n+10+m＝5010+100n+∴F（M）=M?M'9=1000m+10n+105?5010?100n?m9∵F（mln5）＝323，∴11lm﹣10n﹣545＝323，∴11lm﹣10n＝868，∵m1n5為“和差數(shù)”，∴m﹣5＝1+n，∴m＝6+n，把m＝6+n代入11lm﹣10n＝868，解得：n＝2，∴m＝8，∴m+n＝10；②∵M(jìn)=abcd=1000a+100b+10c+d，M′=dcba=1000d+100c+10b+a，M″=cdab=1000c+100∴F（M）=1000a+100b+10c+d?1000d?100c?10b?a9=999a+90b?90c?999d9=111a+10b﹣10c+111d，G（M）=1000a+100b+10c+d+1000c+100d+10a+b101