(寒假)人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)寒假講義03 二次根式的加減+隨堂檢測(cè)（教師版）

第頁(yè)03二次根式的加減知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一可合并的二次根式●●可合并的二次根式：把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開(kāi)方數(shù)相同，則這幾個(gè)二次根式就是可以合并的二次根式．◆1、可合并的二次根式的識(shí)別：將每個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再看這些二次根式的被開(kāi)方數(shù)是否相同，相同就是可合并的二次根式，否則就不是可合并的二次根式．◆2、合并可合并的二次根式的方法：合并二次根式的方法與合并同類項(xiàng)類似，將可合并的二次根式根號(hào)外的因數(shù)（式）相加，根指數(shù)與被開(kāi)方數(shù)不變，合并的依據(jù)是乘法分配律,即m(a≥0).【注意】◎1、幾個(gè)二次根式是否可以合并，只與被開(kāi)方數(shù)及根指數(shù)有關(guān)，而與根號(hào)前的系數(shù)無(wú)關(guān).◎2、被開(kāi)方數(shù)不相同的的二次根式不能合并，例如2+3為最終的結(jié)果，而不能錯(cuò)誤地合并為知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二二次根式加減●●二次根式加減法法則：二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并.合并方法為系數(shù)相加減，根指數(shù)和被開(kāi)方數(shù)不變．◆1、二次根式的加減法的解題步驟:①“化”：將所有二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式②“找”：找出被開(kāi)方數(shù)相同的最簡(jiǎn)二次根式③“并”：將被開(kāi)方數(shù)相同的最簡(jiǎn)二次根式合并成一項(xiàng).◆2、整式加減運(yùn)算中的交換律、結(jié)合律以及去括號(hào)、添括號(hào)法則在二次根式加減運(yùn)算中同樣適用.知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三二次根式混合運(yùn)算●●二次根式的混合運(yùn)算是指二次根式的加、減、乘、除、乘方的混合運(yùn)算．◆1、二次根式的混合運(yùn)算順序：二次根式的混合運(yùn)算順序與整式的混合運(yùn)算順序是一樣：先乘方、再乘除、最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的（或先去掉括號(hào)）．◆2、實(shí)數(shù)的運(yùn)算律、多項(xiàng)式的乘法法則和乘法公式仍然適用于二次根式的運(yùn)算.題型一可合并的二次根式的識(shí)別題型一可合并的二次根式的識(shí)別【例題1】1．下列各式中，能與2合并的是（）A．4 B．24 C．12 D．8【分析】先化成最簡(jiǎn)二次根式，再根據(jù)同類二次根式的定義判斷即可．【解答】解：A、4化簡(jiǎn)后不能與2合并，不合題意；B、24=26化簡(jiǎn)后不能與C、12=23化簡(jiǎn)后不能與D、8=22化簡(jiǎn)后能與2合并，符合題意；故選：解題技巧提煉判斷可合并的二次根式是否合并的前提條件是都化為最簡(jiǎn)二次根式，看它們的被開(kāi)方數(shù)是否相同，相同就可合并，不相同就不可合并.【變式1-1】下列二次根式中，不能與2合并的是（）A．12 B．2a2(a≠0) C．【分析】原式各項(xiàng)化簡(jiǎn)，找出與2不是同類項(xiàng)的即可．【解答】解：A、12=2B、2a2=|a|2C、18=32能與2D、0.2=55不能與2【變式1-2】下列各式中，可以與27合并的二次根式的是（）A．18 B．12 C．0.3 D．20【分析】把27和各選項(xiàng)中的式子化為最簡(jiǎn)二次根式，再由可可合并的二次根式的概念解答即可．【解答】解：27=33A、18=32，32與33的被開(kāi)方數(shù)不同，不能合并B、12=23，23與33的被開(kāi)方數(shù)相同，能合并C、0.3=3010，3010與3D、20=25，25與與33的被開(kāi)方數(shù)不同，不能合并，不符合題意．故選：B【變式1-3】下列各組二次根式中，能進(jìn)行合并的是（）A．6和3 B．8和2 C．12和2 D．18和27【分析】根據(jù)化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)相同的是可合并的二次根式，據(jù)此解答即可．【解答】解：A、6與3不是的被開(kāi)方數(shù)不同，不能合并，故此選項(xiàng)不符合題意；B、∵8=22，∴8與2C、∵12=23，∴12與2D、∵18=32，27=33，∴18與27不能合并，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：【變式1-4】下列各組二次根式中，可合并的二次根式的是（）A．33與6 B．8與2 C．?13與23 D．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)可合并的二次根式的概念判斷即可．【解答】解：A、33與6不屬于可合并的二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；B、8=22與2屬于可合并的C、13=33與D、4a=2a與8a=22a不屬于可合并的二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：題型二根據(jù)可合并的二次根式的概念求字母的值題型二根據(jù)可合并的二次根式的概念求字母的值【例題2】?jī)蓚€(gè)最簡(jiǎn)二次根式b?a3b和22b?a+2是可合并，則a+2b的值為【分析】根據(jù)可合并的二次根式的定義求出a，b的值，代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：由題意得b?a=22b?a+2=3b，解得a=0b=2，所以a+2解題技巧提煉根據(jù)可合并的二次根式的概念求待定字母的值時(shí)，可根據(jù)“被開(kāi)方數(shù)相同”建立方程或方程組，有時(shí)還需要注意，求得的待定字母的值代入原二次根式檢驗(yàn)是否符合“最簡(jiǎn)二次根式”的身份.【變式2-1】如果最簡(jiǎn)二次根式a+2與12能夠合并，那么a的值為（）A．1 B．2 C．4 D．10【分析】根據(jù)兩最簡(jiǎn)二次根式能合并，得到被開(kāi)方數(shù)相同，然后列一元一次方程求解即可．【解答】解：12=23，∵最簡(jiǎn)二次根式a+2與12能夠合并，∴a＝1．故選：【變式2-2】若最簡(jiǎn)二次根式a+2與2a?3是可以合并的二次根式，則a的值為（）A．5 B．13 C．﹣2 D．【分析】根據(jù)一般地，把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開(kāi)方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式列出方程求解即可．【解答】解：根據(jù)題意得：a+2＝2a﹣3，解得：a＝5．故選：A．【變式2-3】若兩個(gè)最簡(jiǎn)二次根式32m+5與24m?4A．35 B．57 C．523 D．514【分析】根據(jù)題意，它們的被開(kāi)方數(shù)相同，列出方程求解．【解答】解：由題意，得2m+5＝4m﹣4，解得m＝4.5，32m+5+24m?4=32×4.5+5+24×4.5?4=314+【變式2-4】已知二次根式32?a與8化成最簡(jiǎn)二次根式后．被開(kāi)方數(shù)相同，則符合條件的正整數(shù)a有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】先將8化簡(jiǎn)為22，再根據(jù)同類二次根式的定義即可求解．【解答】解：8=22，∵二次根式32?a與8∴①當(dāng)a＝30時(shí)，32﹣a＝2，即32?a=②當(dāng)a＝24時(shí)，32﹣a＝8，即32?a=8=③當(dāng)a＝14時(shí)，32﹣a＝18，即32?a=18=32，則符合條件的正整數(shù)a【變式2-5】已知最簡(jiǎn)二次根式a+b7a和a+6b可以合并，你能求出使2x?4ab有意義的x【分析】根據(jù)同類二次根式的定義求出a，b的值，代入二次根式，二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)即可得出答案．【解答】解：根據(jù)題意得：a+b=27a=a+6b，解得：a=1b=1，∴∵2x﹣4≥0，∴x≥2．【變式2-6】已知最簡(jiǎn)根式3a+24a+3b和最簡(jiǎn)根式b+42a?b+6的被開(kāi)方數(shù)相同，求a2023﹣b20【分析】運(yùn)用最簡(jiǎn)根式的定義以及被開(kāi)方數(shù)相同可得關(guān)于a，b的方程組，再求解關(guān)于a、b的二元一次方程組，進(jìn)而求解即可．【解答】解：∵最簡(jiǎn)根式3a+24a+3b和最簡(jiǎn)根式b+4則3a+2=b+44a+3b=2a?b+6解得a=1b=1∴a2023﹣b20題型三二次根式的加減運(yùn)算題型三二次根式的加減運(yùn)算【例題3】計(jì)算：（1）5+20?45；（3）32x?58x+718x．【分析】原式各項(xiàng)化為最簡(jiǎn)二次根式，合并即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）原式=5+25?3原式＝62+62?52=7（3）原式＝32x?102x+212x＝（3﹣10+21）2x＝14（4）原式＝2x+3x?2x=解題技巧提煉二次根式加減運(yùn)算的技巧：將每個(gè)二次根式都化為最簡(jiǎn)二次根式，若被開(kāi)方數(shù)中含有帶分?jǐn)?shù)，則先化成假分?jǐn)?shù)；若含有小數(shù)，則要化成分?jǐn)?shù)，進(jìn)而化為最簡(jiǎn)二次根式.若原式中有括號(hào)，要先去括號(hào)，再應(yīng)用加法交換律、結(jié)合律將被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并.定已知角和未知角之間的關(guān)系，再結(jié)合角平分線、對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角等定義計(jì)算.【變式3-1】下列計(jì)算正確的是（）A．8?2=2 B．2+3=【分析】根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算法則計(jì)算判斷即可．【解答】解：8?2=22?2=222?2≠3，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；23?3=【變式3-2】75?12=abA．6 B．9 C．12 D．27【分析】直接利用二次根式的加減運(yùn)算法則得出a，b的值，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵75?12=53?23=33=ab【變式3-3】計(jì)算：12?27=2a+b3=c3，則aA．﹣1 B．﹣5 C．2 D．5【分析】將12?27化成23?33，得出結(jié)果為?3，進(jìn)而確定a、【解答】解：12?27=23?33=?3，又12?所以a＝3，b＝﹣3，c＝﹣1，因此a+b+c＝﹣1，故選：A．【變式3-4】如圖，數(shù)軸上表示1和2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)是C，設(shè)C點(diǎn)表示的數(shù)為x，則x+2A．1?2 B．1+2 C．2?【分析】直接根據(jù)已知得出x的值，再利用二次根式的加減運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【解答】解：由題意可得：AB＝CA=2?1，則C點(diǎn)坐標(biāo)為：x＝1﹣（2?故x+2=2?2【變式3-5】計(jì)算下列各式：（1）5?6?（3）27a?a3a+3【分析】先將二次根式化為最簡(jiǎn)，然后合并同類二次根式即可．【解答】解：（1）原式=5?6?（2）原式＝23?22?（3）原式＝33a?3a（4）原式＝2xx+6xy+xy?xx＝x【變式3-6】計(jì)算下列各題：（1）(32+12)?(12+27)【分析】（1）直接化簡(jiǎn)二次根式進(jìn)而合并得出答案；（2）直接化簡(jiǎn)二次根式進(jìn)而合并得出答案．【解答】解：（1）原式=42+2（2）原式=26?題型四二次根式的混合運(yùn)算題型四二次根式的混合運(yùn)算【例題4】計(jì)算：（1）(?3)2×（﹣1）2018+（2）42（18?6）?【分析】（1）先利用二次根式的性質(zhì)和二次根式的乘法法則運(yùn)算，然后去絕對(duì)值后合并即可；（2）先根據(jù)二次根式的乘法法則和完全平方公式計(jì)算，然后合并即可．【解答】解：（1）(?3)2×（﹣1）2018+＝3×1+22×23?（6?2）＝3+46（2）42（18?6）＝42×18?42×＝2﹣83?4+4+23＝2﹣63解題技巧提煉1、進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①與有理數(shù)的混合運(yùn)算一致，運(yùn)算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．②在運(yùn)算中每個(gè)根式可以看做是一個(gè)“單項(xiàng)式“，多個(gè)不同類的二次根式的和可以看作“多項(xiàng)式“．③實(shí)數(shù)的運(yùn)算律、多項(xiàng)式的乘法法則和乘法公式仍然適用于二次根式的運(yùn)算.2、二次根式的運(yùn)算結(jié)果要化為最簡(jiǎn)二次根式．【變式4-1】下列計(jì)算正確的是（）A．23+32=55 B．23×32C．55?23=32 D．30÷（【分析】先根據(jù)二次根式的加減法法法則，二次根式的除法法則和二次根式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算，再得出選項(xiàng)即可．【解答】解：A．23和32不能合并同類二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；B．23×32=（2×3）3×2C．55和﹣23不能合并同類二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；D．30÷（5+3）=30×(【變式4-2】計(jì)算（48?12）A．3 B．1 C．3 D．23【分析】根據(jù)乘法分配律將題目中的式子化簡(jiǎn)，然后合并同類項(xiàng)即可．【解答】解：（48?12）×34=48×【變式4-3】計(jì)算125×A．95 B．25+45 C．6+45 D．125【分析】先算二次根式的除法，再算加法即可．【解答】解：125×255+80=25×【變式4-4】計(jì)算：(3+2)【分析】先利用完全平方公式和平方差公式計(jì)算，然后合并即可．【解答】解：原式＝3+26+2﹣（9﹣2）＝5+26?7＝26?【變式4-5】（2022春?藁城區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算：（1）54?(23+21（3）(32?26)×(?32【分析】（1）先將原式中的二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再去括號(hào)合并即可得到結(jié)果；（2）原式根據(jù)二次根式的乘除運(yùn)算法則即可得到結(jié)果；（3）原式根據(jù)平方差公式計(jì)算即可得到結(jié)果；（4）原式先根據(jù)完全平方公式計(jì)算，再去括號(hào)、合并即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）原式=36?(63（2）原式=?3×827×4（3）原式=(?26（4）原式＝28+2014+50?(28?2014+50)＝28=4014【變式4-6】計(jì)算：（1）4?（?12）﹣1+20210﹣|3?2|；（2）12?（2【分析】（1）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，絕對(duì)值進(jìn)行計(jì)算，再算加減即可；（2）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)，平方差公式，二次根式的除法進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)二次根式的加減法則進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）4?（?12）﹣1+20210＝2﹣（﹣2）+1﹣（2?3）＝2+2+1﹣2+3＝3（2）12?（2+3）（2=122?（4﹣3）+33÷23=題型五二次根式的化簡(jiǎn)求值題型五二次根式的化簡(jiǎn)求值【例題5】先化簡(jiǎn)再求值：x?2xy+yx?y÷1x+2xy【分析】根據(jù)平方差公式、完全平方公式把原式的分子、分母變形，再根據(jù)約分法則化簡(jiǎn)，利用分母有理化法則把x、y化簡(jiǎn)，代入計(jì)算即可．【解答】解：原式=(x?y)2(x+y)(x?當(dāng)x=13+22=3?22(3+22原式＝（3﹣22）﹣（3+22）＝﹣42．解題技巧提煉1、二次根式的化簡(jiǎn)求值，一定要先化簡(jiǎn)再代入求值．2、二次根式運(yùn)算的最后，注意結(jié)果要化到最簡(jiǎn)二次根式，二次根式的乘除運(yùn)算要與加減運(yùn)算區(qū)分分，避免互相干擾．【變式5-1】化簡(jiǎn)求值：x1x+4y?x2【分析】先把各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后合并后把x、y的值代入計(jì)算即可．【解答】解：原式=x+2y?x當(dāng)x＝4，y=19時(shí)，原式=4【變式5-2】先化簡(jiǎn)，再求值：2x?xy?(yx÷【分析】原式利用二次根式的乘除法則計(jì)算，得到最簡(jiǎn)結(jié)果，利用負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根求出x與y的值，代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：原式=2x?xy?（yx÷1y∵y=x?3+2(3?x)+2，∴x﹣3＝0，即x＝3，y＝2，則原式【變式5-3】（1）先化簡(jiǎn)，再求值：(x+2x2【分析】先將小括號(hào)內(nèi)的式子進(jìn)行通分計(jì)算，然后再算括號(hào)外面的除法，最后代入求值；【解答】解：（1）原式＝[x+2x(x?2)?x?1(x?2)2=x2?4?當(dāng)x＝2+2時(shí)，原式=【變式5-4】先化簡(jiǎn)，再求值x?yx+y+x?2xy【分析】利用二次根式的相應(yīng)的法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，再代入相應(yīng)的值運(yùn)算即可．【解答】解：x?yx+y+＝2x?2y，當(dāng)x＝5，y=15時(shí)，原式＝25【變式5-5】先化簡(jiǎn)，再求值：4a?b+a+b【分析】利用二次根式的相應(yīng)的法則對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，再代入相應(yīng)的值運(yùn)算即可．【解答】解：4a?b+a+=4abab(a∵a＝1，b＝2，∴原式=?2(題型六整體思想在二次根式求值中的巧用題型六整體思想在二次根式求值中的巧用【例題6】已知a＝3+22，b＝3﹣22，則a2b﹣ab2的值為（）A．1 B．17 C．42 D．﹣42【分析】利用因式分解，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：當(dāng)a＝3+22，b＝3﹣22時(shí)，a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝（3+22）×（3﹣22）×[3+22?（3﹣22＝（9﹣8）×（3+22?3+22）＝1×42＝42，故選：C解題技巧提煉當(dāng)有關(guān)字母的已知條件比較復(fù)雜且不易求出字母的值，直接代入比較繁瑣時(shí)，一般要先對(duì)已知條件和待求問(wèn)題進(jìn)行變形整理，然后利用整體代入的方法進(jìn)行求值.【變式6-1】已知a＝2+3，b＝2?（1）a2﹣b2；（2）a2+2ab+b2．【分析】先計(jì)算出a+b、a﹣b和ab的值，再利用平方差公式和完全平方公式得到（1）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）a2+2ab+b2＝（a+b）2，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【解答】解：∵a＝2+3，b＝2?∴a+b＝4，a﹣b＝23，ab＝（2+3）（2?（1）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝4×23=83（2）a2+2ab+b2＝（a+b）2＝42＝16．【變式6-2】已知a=2?12+1（1）a2﹣ab+b2；（2）ba【分析】利用分母有理化把a(bǔ)、b化簡(jiǎn)，根據(jù)二次根式的加法法則求出a+b，根據(jù)二次根式的乘法法則求出ab；（1）根據(jù)完全平方公式把原式變形，代入計(jì)算即可；（2）根據(jù)分式的加法法則、完全平方公式把原式變形，代入計(jì)算，得到答案．【解答】解：a=2?12+1=(2?1則a+b＝3﹣22+3+22=6，ab＝（3﹣22）（3+2（1）a2﹣ab+b2＝（a+b）2﹣3ab＝36﹣3＝33；（2）ba【變式6-3】已知a+b＝﹣7，ab＝5，求aab+b【分析】先根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行變形，再根據(jù)完全平方公式進(jìn)行變形，最后代入求出答案即可．【解答】解：∵a+b＝﹣7，ab＝5，∴a、b都是都是負(fù)數(shù)，∴aab+bba=?abab?ba=?ab?(a+b)2?2abab=?【變式6-4】已知x?1x=5，那么x【分析】把所求的式子轉(zhuǎn)為條件的形式，再進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵x?∴x+1x=(x+1故答案為：3．【變式6-5】）我們已經(jīng)知道(13+3)(13?3)=4，因此將813?3分子、分母同時(shí)乘“13+（1）請(qǐng)仿照上面方法化簡(jiǎn)a，b；（2）求代數(shù)式2a2﹣5ab+2b2的值．【分析】（1）仿照材料分母有理化即可；（2）求出a+b＝4，ab＝1，把2a2﹣5ab+2b2變形為2（a+b）2﹣9ab，再整體代入即可．【解答】解：（1）a=12+3=2?3(2+（2）由（1）知a＝2?3，b＝2+3，∴a+b＝4，∴2a2﹣5ab+2b2＝2（a+b）2﹣9ab＝2×42﹣9×1＝2×16﹣9＝32﹣9＝23．題型七二次根式的運(yùn)算在實(shí)際中的應(yīng)用題型七二次根式的運(yùn)算在實(shí)際中的應(yīng)用【例題7】如圖，從一個(gè)大正方形中裁去面積為6cm2和15cm2的兩個(gè)小正方形，則留下陰影部分的面積為（）A．610cm2 B．21cm2 C．215cm2 D．46cm2【分析】根據(jù)小正方形的面積得到邊長(zhǎng)即可得到大正方形的邊長(zhǎng)，根據(jù)陰影部分的面積＝大正方形的面積﹣兩個(gè)小正方形的面積即可得出答案．【解答】解：∵兩個(gè)小正方形的面積為15和6，∴兩個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為15，6，∵大正方形的邊長(zhǎng)為：15+6，∴陰影部分的面積＝（15+＝15+2×15×6+6﹣6﹣15＝610（cm解題技巧提煉利用二次根式的加減法運(yùn)算倆解決生活中的問(wèn)題，應(yīng)先認(rèn)真分析題意，注意計(jì)算的準(zhǔn)確性和結(jié)果的要求.【變式7-1】一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為5x5，12（1）求它的周長(zhǎng)（要求結(jié)果化簡(jiǎn)）；（2）請(qǐng)你給出一個(gè)適當(dāng)?shù)膞的值，使它的周長(zhǎng)為整數(shù)，并求出此時(shí)三角形的周長(zhǎng)．【分析】（1）把三角形的三邊長(zhǎng)相加，即為三角形的周長(zhǎng)．運(yùn)用二次根式的加減運(yùn)算，先化為最簡(jiǎn)二次根式，再將被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果，選擇一個(gè)符合題意的x的值即可解答本題．【解答】解：（1）∵一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為5x5，12∴這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是：5x5+12（2）當(dāng)x＝20時(shí)，這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是：52【變式7-2】學(xué)校要在一塊長(zhǎng)方形的土地上進(jìn)行綠化，已知這塊長(zhǎng)方形土地的長(zhǎng)a＝510m，寬b＝415m（1）求該長(zhǎng)方形土地的面積．（精確到0.01）（2）若綠化該長(zhǎng)方形土地每平方米的造價(jià)為180元，那么綠化該長(zhǎng)方形土地所需資金為多少元？【分析】（1）根據(jù)這塊長(zhǎng)方形土地的長(zhǎng)a＝510m，寬b＝415m，直接得出面積即可；（2）利用綠化該長(zhǎng)方形土地每平方米的造價(jià)為180元，即可求出該長(zhǎng)方形土地所需資金．【解答】解：（1）長(zhǎng)方形土地的面積為：510×415=100（2）∵長(zhǎng)方形土地每平方米的造價(jià)為180元，∴180×244.9＝44082元．答：該長(zhǎng)方形土地所需資金為44082元．【變式7-3】某居民小區(qū)有塊形狀為長(zhǎng)方形ABCD的綠地，長(zhǎng)方形綠地的長(zhǎng)BC為128米，寬AB為98米，現(xiàn)要在長(zhǎng)方形綠地中修建一個(gè)長(zhǎng)方形花壇（即圖中陰影部分），長(zhǎng)方形花壇的長(zhǎng)為（13+1）米，寬為（13（1）長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)是米；（2）除去修建花壇的地方，其它地方全修建成通道，通道上要鋪上造價(jià)為6元/m2的地磚，要鋪完整個(gè)通道，則購(gòu)買地磚需要花費(fèi)多少元？（結(jié)果均化為最簡(jiǎn)二次根式）【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)列出算式，再利用二次根式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則計(jì)算可得；（2）先計(jì)算出空白部分面積，再計(jì)算即可，【解答】解：（1）長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)＝2×（128+98）＝2（82+72答：長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)是302米，（2）通道的面積=128×98?（購(gòu)買地磚需要花費(fèi)＝6×（100）＝600（元）．答：購(gòu)買地磚需要花費(fèi)600元；【變式7-4】如圖，有一張長(zhǎng)為162cm，寬為82cm的長(zhǎng)方形紙板，現(xiàn)將該紙板的四個(gè)角剪掉，制作一個(gè)有底無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子，剪掉的四個(gè)角是面積相等的小正方形．（1）若小正方形的邊長(zhǎng)為2cm，則制作成的無(wú)蓋長(zhǎng)方體盒子的體積是多少？（2）求這個(gè)長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積．【分析】（1）利用長(zhǎng)方體的體積公式計(jì)算即可；（2）大長(zhǎng)方形的面積減去4個(gè)小正方形的面積，再減去底面面積就是盒子的側(cè)面積．（兩個(gè)小長(zhǎng)方形面積和兩個(gè)大長(zhǎng)方形面積和）【解答】解：（1）無(wú)蓋長(zhǎng)方體盒子的體積為：（162?22）×（82?22）×2＝142×62×答：制作成的無(wú)蓋長(zhǎng)方體盒子的體積是1682cm3．（2）方法一，長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積為：162×82?4×2×2?（162?22）（8答：這個(gè)長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積為80cm2．方法二，長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積為：（82?22）×2×2+（162?2＝62×2×2+142×2×2＝24+56＝80題型八二次根式的規(guī)律探究題題型八二次根式的規(guī)律探究題【例題8】下面是曉明的探究過(guò)程，請(qǐng)你補(bǔ)充完整：（1）具體運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律．特例1：a1=1特例2：a2=1特例3：a3=13+2特例4：a4=1特例5：（填寫一個(gè)符合上述運(yùn)算特征的例子）．（2）觀察、歸納，得出猜想．如果n為正整數(shù)，用含n的式子表示上述的運(yùn)算規(guī)律為：．（3）應(yīng)用運(yùn)算規(guī)律，求a1+a2+a3+…+a20的值．【分析】（1）根據(jù)所給的式子的特點(diǎn)進(jìn)行求解即可；（2）分析所給的式子的形式，不難得出其規(guī)律；（3）利用（2）中的規(guī)律進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）由題意得：特例5為：a5=1（2）∵a1=11+2=2?1，a2=12+...，∴an=1（3）a1+a2+a3+…+a20=1=2?1+3解題技巧提煉二次根式的規(guī)律探究題主要探究數(shù)式，算法，算理的規(guī)律，解題的關(guān)鍵在于觀察并分析題中所給的運(yùn)算過(guò)程，準(zhǔn)確推理，合理猜想，得出一般的規(guī)律，然后進(jìn)行論證，最后運(yùn)用規(guī)律來(lái)解決所給的問(wèn)題.【變式8-1】觀察下列規(guī)律：∵(1+2∴11+∵(2∴12∵(3∴13（1）根據(jù)上面的信息猜想：1n+n+1=（2）利用上面的規(guī)律計(jì)算：（11+2+【分析】（1）根據(jù)平方差公式和分母有理化的方法可以解答本題；（2）根據(jù)題目中式子的特點(diǎn)，先分母有理化，然后合并同類二次根式，再根據(jù)平方差公式計(jì)算即可．【解答】解：（1）1n故答案為：n+1?（2）（11+2+＝（2?1+3?＝（2021?1）（1+【變式8-2】觀察下列各式及其變形過(guò)程：a1=12+21=1?12（1）按照此規(guī)律，寫出第五個(gè)等式a5＝；（2）按照此規(guī)律，若Sn＝a1+a2+a3+…+an，試用含n的代數(shù)式表示Sn；（3）在（2）的條件下，若x=6S2+2a1，試求代數(shù)式x2+2【分析】（1）根據(jù)上述的規(guī)律第五個(gè)等式a5=1（2）根據(jù)（1）總結(jié)得到的規(guī)律，用含n的等式表示an，然后計(jì)算Sn，抵消合并后，即可得到Sn＝1?1（3）利用完全平方公式，代入計(jì)算即可求解．【解答】解：（1）a5=15?（2）用含字母n（n為正整數(shù)）的等式表示（1）中的一般規(guī)律為：an=1∴Sn＝a1+a2+a3+………+an＝1?12+（3）∵S2＝1?13，a1＝1∴x=6S2+2a1=6∴x2+2x＝（x+1）2﹣1＝（6?1+1）203二次根式的加減隨堂檢測(cè)1.下列二次根式能與3合并的是（）A．24 B．18 C．12 D．8【分析】先將各個(gè)選項(xiàng)的二次根式化簡(jiǎn)，再判斷是否與3是同類二次根式，是則能合并．【解答】解：A、24=26和3B、18=32和3C、12=23和3D、8=22和32.下列計(jì)算正確的是（）A．7+3=10 B．8÷2=4【分析】根據(jù)二次根式相關(guān)運(yùn)算的法則逐項(xiàng)判斷．【解答】解：7與3表示同類二次根式，不能合并，故A錯(cuò)誤，不符合題意；8÷2=8÷2=7×3.已知x=5?1時(shí)，則代數(shù)式xA．1 B．4 C．7 D．3【分析】根據(jù)完全平方公式以及二次根式的性質(zhì)即可求出答案．【解答】解：∵x=5?1時(shí)，∴x+1=5，∴（x+1）2＝5，∴x2+2x+1＝5，∴4.若（a2+5?2）2＝20，則aA．2+5 B．2?5 C．2+5或2﹣35 D．2【分析】直接利用二次根式的混合運(yùn)算法則計(jì)算，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵（a2+5?2）2＝20，∴a2+5?2＝±25，則a2+5?2＝25或a2則a2=5+2或a2＝﹣35+2（負(fù)數(shù)不合題意，舍去）．故a25.如圖，數(shù)軸上表示1和