2022年北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊第一章三角形的證明必考點(diǎn)解析試題(含詳解)

北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊第一章三角形的證明必考點(diǎn)解析考試時(shí)間：90分鐘；命題人：數(shù)學(xué)教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時(shí)間90分鐘2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個(gè)題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I卷（選擇題30分）一、單選題（10小題，每小題3分，共計(jì)30分）1、下列三個(gè)說法：①有一個(gè)內(nèi)角是30°，腰長是6的兩個(gè)等腰三角形全等；②有一個(gè)內(nèi)角是120°，底邊長是3的兩個(gè)等腰三角形全等；③有兩條邊長分別為5，12的兩個(gè)直角三角形全等．其中正確的個(gè)數(shù)有（）．A．3 B．2 C．1 D．02、如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，AD，CE是△ABC的兩條中線，CE＝4cm，P是AD上的一個(gè)動點(diǎn)，則BP+EP的最小值是（）A．3cm B．4cm C．6cm D．10cm3、有兩邊相等的三角形的兩邊長為，，則它的周長為（）A． B． C． D．或4、等腰三角形的一個(gè)頂角是80°，則它的底角是（）．A．40° B．50° C．60° D．70°5、如圖，在△ABC中，∠B=62°，∠C=24°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于AC的長為半徑畫弧，兩弧相交AC的兩側(cè)于點(diǎn)M、N，連接MN，交BC于點(diǎn)D，連接AD，則∠BAD的度數(shù)為（）A．70o B．60o C．50o D．40°6、如圖，，點(diǎn)E在線段AB上，，則的度數(shù)為（）A．20° B．25° C．30° D．40°7、下列各組數(shù)中，不能作為直角三角形的三邊的是（）A．3，4，5 B．2，3， C．8，15，17 D．，，8、如圖，，于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，若，則等于（）A．20° B．50° C．70° D．110°9、如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠C＝2∠CDB，AB＝12，CD＝3，則△ABC的周長為（）A．21 B．24 C．27 D．3010、如圖，在△ABC中，，的垂直平分線交于點(diǎn)，垂足為，若，，則的長為（）A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm第Ⅱ卷（非選擇題70分）二、填空題（5小題，每小題4分，共計(jì)20分）1、如圖，已知△ABC是等邊三角形，邊長為3，G是三角形的重心，那么GA=______．2、如圖，點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，PA＝6，PB＝8，PC＝10，若點(diǎn)P′是△ABC外的一點(diǎn)，且△P′AB≌△PAC，則∠APB的度數(shù)為___．3、如圖，將寬為的紙條沿BC折疊，，則折疊后重疊部分的面積為____．（根號保留）4、如圖，已知，點(diǎn)，，，在射線ON上，點(diǎn)，，，在射線OM上，，，，均為等邊三角形，若，則的邊長為______．的邊長為______．5、如圖，AD⊥BC，∠1＝∠B，∠C=65°，∠BAC＝__________三、解答題（5小題，每小題10分，共計(jì)50分）1、已知，在△ABC中，∠BAC＝30°，點(diǎn)D在射線BC上，連接AD，∠CAD＝，點(diǎn)D關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)為E，點(diǎn)E關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為F，直線EF分別交直線AC，AB于點(diǎn)M，N，連接AF，AE，CE．（1）如圖1，點(diǎn)D在線段BC上．①根據(jù)題意補(bǔ)全圖1；②∠AEF＝（用含有的代數(shù)式表示），∠AMF＝°；③用等式表示線段MA，ME，MF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（2）點(diǎn)D在線段BC的延長線上，且∠CAD＜60°，直接用等式表示線段MA，ME，MF之間的數(shù)量關(guān)系，不證明．2、在△ABC中，∠ACB＝90°．現(xiàn)給出以下3個(gè)關(guān)系：①CD垂直于AB，②BE平分∠ABC，③∠CFE＝∠CEF，請你從中任選兩個(gè)作為條件，另一個(gè)作為結(jié)論構(gòu)成一個(gè)命題，并證明該命題的正確性．3、如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A-4,0，B4,0，C0,4，給出如下定義：若P為△ABC內(nèi)（不含邊界）一點(diǎn)，且AP與△BCP的一條邊相等，則稱（1）在P10,3，P2-1,1（2）如圖2，若P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠PAB=∠PCB=15°，求證：P為△ABC的友愛點(diǎn)；（3）直線l為過點(diǎn)M0,m，且與x軸平行的直線，若直線l上存在△ABC的三個(gè)友愛點(diǎn)，直接寫出m4、已知：（1）O是∠BAC內(nèi)部的一點(diǎn)．①如圖1，求證：∠BOC＞∠A；②如圖2，若OA＝OB＝OC，試探究∠BOC與∠BAC的數(shù)量關(guān)系，給出證明．（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)O在∠BAC的外部，且OA＝OB＝OC，繼續(xù)探究∠BOC與∠BAC的數(shù)量關(guān)系，給出證明．5、如圖，在△ABC中，AB＝AC，AF⊥BC，在△CDE中，DC＝DE，DG⊥CE，AF和DG的延長線交于點(diǎn)P，連接BP、EP．（1）求證：BP＝EP；（2）若∠BCE＝135°，試判斷△PBE的形狀，并給出證明．-參考答案-一、單選題1、C【分析】根據(jù)三角形全等的判定方法，等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：①當(dāng)一個(gè)是底角是30°，一個(gè)是頂角是30°時(shí)，兩三角形就不全等，故本選項(xiàng)錯誤；②有一個(gè)內(nèi)角是120°，底邊長是3的兩個(gè)等腰三角形全等，本選項(xiàng)正確；

③當(dāng)一條直角邊為12，一條斜邊為12時(shí)，兩個(gè)直角三角形不全等，故本選項(xiàng)錯誤；正確的只有1個(gè)，

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定定理，等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．2、B【分析】連接CE交AD于點(diǎn)P，則BP+EP的最小值為CE的長．【詳解】如圖，連接CE交AD于點(diǎn)P，∵AB＝AC，AD是BC的中線，∴AD⊥BC，∴BP＝CP，∴BP+EP＝CP+EP≥CE，∴BP+EP的最小值為CE的長，∵CE＝4cm，∴BP+EP的最小值為4cm，故選：B．【點(diǎn)睛】本題是典型的將軍飲馬問題，考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)和兩點(diǎn)間線段最短知識，關(guān)鍵是把BP+EP的最小值轉(zhuǎn)化為CP+EP的最小值，從而根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短解決最小值的問題．3、D【分析】有兩邊相等的三角形，是等腰三角形，兩邊分別為和，但沒有明確哪是底邊，哪是腰，所以有兩種情況，需要分類討論．【詳解】解：當(dāng)4為底時(shí)，其它兩邊都為5，4、5、5可以構(gòu)成三角形，周長為；當(dāng)4為腰時(shí)，其它兩邊為4和5，4、4、5可以構(gòu)成三角形，周長為．綜上所述，該等腰三角形的周長是或．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是對于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒有明確哪邊是底哪邊是腰時(shí)，應(yīng)在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論．4、B【分析】依據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°以及等腰三角形的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：（180°-80°）÷2=100°÷2=50°；答：底角為50°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理及等腰三角形的兩個(gè)底角相等的特點(diǎn)．5、A【分析】根據(jù)∠BAD＝∠BAC?∠DAC，想辦法求出∠BAC，∠DAC即可解決問題．【詳解】解：∵∠B＝62°，∠C＝24°，∴∠BAC＝180°?86°＝94°，由作圖可知：MN垂直平分線段AC，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝24°，∴∠BAD＝94°?24°＝70°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查作圖?基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．6、C【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可證得BC=CE，∠ACB=∠DCE即∠ACD=∠BCE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求解∠B=∠BEC和∠BCE即可．【詳解】解：∵，∴BC=CE，∠ACB=∠DCE，∴∠B=∠BEC，∠ACD=∠BCE，∵，∴∠ACD=∠BCE=180°－2×75°=30°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．7、D【分析】由題意直接根據(jù)勾股定理的逆定理即如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形，如果沒有這種關(guān)系，這個(gè)就不是直角三角形進(jìn)行分析判斷即可．【詳解】解：A、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，故選項(xiàng)錯誤；B、，符合勾股定理的逆定理，故選項(xiàng)錯誤；C、82+152=172，符合勾股定理的逆定理，故選項(xiàng)錯誤；D、∵（32）2+（42）2=81+256=337，（52）2=625，

∴（32）2+（42）2≠（52）2，不符合勾股定理的逆定理即此時(shí)三角形不是直角三角形，故選項(xiàng)正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理，注意掌握在應(yīng)用勾股定理的逆定理時(shí)，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷．8、C【分析】由與，即可求得的度數(shù)，又由，根據(jù)兩直線平行，同位角相等，即可求得的度數(shù)．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】題目主要考查了平行線的性質(zhì)與垂直的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．9、C【分析】根據(jù)題意在AB上截取BE=BC，由“SAS”可證△CBD≌△EBD，可得∠CDB=∠BDE，∠C=∠DEB，可證∠ADE=∠AED，可得AD=AE，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：如圖，在AB上截取BE＝BC，連接DE，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，在△CBD和△EBD中，，∴△CBD≌△EBD（SAS），∴∠CDB＝∠BDE，∠C＝∠DEB，∵∠C＝2∠CDB，∴∠CDE＝∠DEB，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴△ABC的周長＝AD+AE+BE+BC+CD＝AB+AB+CD＝27，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，注意掌握添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．10、D【分析】由題意知，，，可求出的值．【詳解】解：由題意知在中又故選D．【點(diǎn)睛】本題考察了垂直平分線的性質(zhì)，角的直角三角形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用垂直平分線與角的直角三角形的性質(zhì)．二、填空題1、【分析】延長AG交BC于D，根據(jù)重心的概念得到AD⊥BC，BD=DC=BC=，根據(jù)勾股定理求出AD，根據(jù)重心的概念計(jì)算即可．【詳解】解：延長AG交BC于D，

∵G是三角形的重心，

∴AD⊥BC，BD=DC=BC=，

由勾股定理得，AD=，

∴GA=AD=，

故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、三角形的重心的概念，三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，且重心到頂點(diǎn)的距離是它到對邊中點(diǎn)的距離的2倍．2、150°【分析】如圖：連接PP′，由△PAC≌△P′AB可得PA＝P′A、∠P′AB＝∠PAC，進(jìn)而可得△APP′為等邊三角形易得PP′＝AP＝AP′＝6；然后再利用勾股定理逆定理可得△BPP′為直角三角形，且∠BPP′＝90°，最后根據(jù)角的和差即可解答．【詳解】解：連接PP′，∵△PAC≌△P′AB，∴PA＝P′A，∠P′AB＝∠PAC，∴∠P′AP＝∠BAC＝60°，∴△APP′為等邊三角形，∴PP′＝AP＝AP′＝6；∵PP′2+BP2＝BP′2，∴△BPP′為直角三角形，且∠BPP′＝90°，∴∠APB＝90°+60°＝150°．故答案為：150°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理逆定理的應(yīng)用等知識點(diǎn)，靈活應(yīng)用相關(guān)知識點(diǎn)成為解答本題的關(guān)鍵．3、【分析】利用折疊的性質(zhì)可得出△ABC是等腰三角形，有AC=AB；過點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，則得CG=2，且△CGA為等腰直角三角形，從而可求得AC的值，則可求得面積．【詳解】如圖，由折疊性質(zhì)得：∠ECB=∠ACB∵DE∥AB∴∠DCA=∠CAB=45°∵∠DCA+∠ACB+∠ECB=180°∴∵∠CAB+∠ACB+∠ABC=180°∴∠ABC=∠ACB=67.5°∴AB=AC即△ABC是等腰三角形過點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，則CG=2，且∠ACG=∠CAB=45°∴△CGA為等腰直角三角形∴AG=CG=2由勾股定理得：∴∴重疊部分△ABC的面積為故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理等知識，判定△ABC是等腰三角形是本題的關(guān)鍵．4、2a2n﹣1a【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)得到∠A1OB1＝∠A1B1O＝30°，OA1＝A1B1＝A2B1＝a，利用同樣的方法得到A2O＝A2B2＝2a＝21a，A3B3＝A3O＝2A2O＝4＝22a，利用此規(guī)律即可得到AnBn＝2n﹣1a．【詳解】解：∵△A1B1A2為等邊三角形，∠MON＝30°，∴∠A1OB1＝∠A1B1O＝30°，OA1＝A1B1＝A2B1＝a，同理：A2O＝A2B2＝2＝21a，A3B3＝A3O＝2A2O＝4a＝22a，……．以此類推可得△AnBnAn+1的邊長為AnBn＝2n﹣1a．故答案為：2a；2n﹣1a．【點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律型：圖形的變化類，等邊三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握三角形邊長的變化規(guī)律．5、70°【分析】先根據(jù)AD⊥BC可知∠ADB＝∠ADC＝90°，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠1與∠DAC的度數(shù)，由∠BAC＝∠1+∠DAC即可得出結(jié)論．【詳解】∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠DAC＝90°﹣65°＝25°，∠1＝∠B＝45°，∴∠BAC＝∠1+∠DAC＝45°+25°＝70°．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形的內(nèi)角和等于180°是解答此題的關(guān)鍵．三、解答題1、（1）①見解析；②，；③MF＝MA＋ME，證明見解析；（2）【分析】（1）①按照要求旋轉(zhuǎn)作圖即可；②由旋轉(zhuǎn)和等腰三角形性質(zhì)解出∠AEF；再由三角形外角定理求出∠AMF；③在FE上截取GF＝ME，連接AG，證明△AFG≌△AEM且△AGM為等邊三角形后即可證得MF＝MA＋ME；（2）根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)，即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）①補(bǔ)全圖形如下圖：②∵∠CAE=∠DAC=，∴∠BAE=30°+∴∠FAE=2×（30°+）∴∠AEF==60°-；∵∠AMF=∠CAE+∠AEF=+60°-=60°，故答案是：60°-，60°；③MF＝MA＋ME．證明：在FE上截取GF＝ME，連接AG．

∵點(diǎn)D關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)為E，∴△ADC≌△AEC．∴∠CAE＝∠CAD＝．∵∠BAC＝30°，∴∠EAN＝30°＋．又∵點(diǎn)E關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為F，∴AB垂直平分EF．∴AF＝AE，∠FAN＝∠EAN＝30°＋，∴∠F＝∠AEF＝．∴∠AMG＝．∵AF＝AE，∠F＝∠AEF，GF＝ME，∴△AFG≌△AEM．∴AG＝AM．又∵∠AMG＝，∴△AGM為等邊三角形．∴MA＝MG．∴MF＝MG＋GF＝MA＋ME．（2），理由如下：如圖1所示，∵點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于直線AB對稱，∴∠ANM=90°，NE=NF，又∵∠NAM=30°，∴AM=2MN，∴AM=2NE+2EM=MF+ME，∴MF=AM-ME；如圖2所示，∵點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于直線AB對稱，∴∠ANM=90°，NE=NF，∵∠NAM=30°，∴AM=2NM，∴AM=2MF+2NF=2MF+NE+NF=ME+MF，∴MF=MA-ME；綜上所述：MF=MA-ME．【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱、三角形全等判定與性質(zhì)、等邊三角形判定與性質(zhì)，掌握這些是本題關(guān)鍵．2、①②作為條件，③作為結(jié)論，證明見解析【分析】結(jié)合題意，得∠CDA＝∠ACB＝90°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，得∠BCF+∠DCA＝90°，∠DCA+∠A＝90°，根據(jù)角平分線性質(zhì)，計(jì)算得∠EBC＝∠EBA，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，通過計(jì)算得∠CFE＝∠CEF，即可得到答案．【詳解】∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠ACB＝90°，∴∠BCF+∠DCA＝90°，∠DCA+∠A＝90°，∴∠BCF＝∠A，∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠EBA，∵∠CFE＝∠BCF+∠EBC，∠BEC＝∠A+∠EBA，∴∠CFE＝∠CEF∴①②作為條件，③作為結(jié)論成立．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形、角平分線、三角形外角、命題的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形兩銳角互余、三角形外角的性質(zhì)，從而完成求解．3、（1）P1、P2；（2）見解析；（3）0＜m＜2【分析】（1）根據(jù)A（x1，y1）、和B（x2，y2）之間的距離公式AB=以及友愛點(diǎn)定義解答即可；（2）由題意易知∠OAB=∠OCA=∠OCB=45°，進(jìn)而可求得∠PAC=∠OCP=30°，則可得出∠ACP=∠APC=75°，根據(jù)等角對等邊和友愛點(diǎn)定義即可證得結(jié)論；（3）由題意，△ABC在友愛點(diǎn)P滿足AP=BP或AP=PC或AP=BC=AC三種情況，分別討論求解即可．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)，關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)在y軸上，∴AP1=BP1，故P1是的友愛點(diǎn)；∵AP2=，CP2=，∴AP2=CP2，故P1是的友愛點(diǎn)；∵AP3=，CP3=，BP3=，BC=，∴故P3不是的友愛點(diǎn)，綜上，的友愛點(diǎn)是P1、P2，故答案為：P1、P2；（2）∵點(diǎn)，，，∴OA=OB=OC，AC=BC，∠BOC=90°，∴∠OAB=∠OCA=∠OCB=45°，∵，∴∠PAC=∠OCP=30°，∴∠ACP=45°+30°=75°，∴∠APC=180°－∠PAC－∠ACP=180°－30°－75°=75°，∴∠ACP=∠APC，∴AP=AC=BC，∴P為的友愛點(diǎn)；（3）由題意，△ABC的友愛點(diǎn)P滿足AP=BP或AP=PC或AP=BC三種情況，若AP=BP，則點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，即點(diǎn)P在y軸線段OC上，若AP=PC，則點(diǎn)P在線段AC的垂直平分線上；若AP=BC，則點(diǎn)P在以點(diǎn)A為圓心，BC即AC長為半徑的圓上，如圖，設(shè)AC的中點(diǎn)為G，則G的坐標(biāo)為（－2，2），由圖可知，當(dāng)直線l為過點(diǎn)G和過點(diǎn)且與軸平行的直線在x軸之間時(shí)，直線上存在的三個(gè)友愛點(diǎn)，∴m的取值范圍為0＜m＜2．【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)之距離坐標(biāo)公式、線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、圓的定義、坐標(biāo)與圖形等知識，理解題中定義，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運(yùn)用，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是解答的關(guān)鍵．4、（1）①見解析；②∠BOC＝2∠A，見解析；（2）∠BOC＝2∠BAC，見解析【分析】（1）①連接AO