幾種特殊函數(shù)的積分

§4-5幾種特殊類型函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分；二、三角函數(shù)有理式的積分；三、簡單無理函數(shù)的積分.2021/6/271積分法原函數(shù)選擇u有效方法基本積分表第一換元法第二換元法直接積分法分部積分法不定積分線性性復習2021/6/272有理函數(shù)的定義：兩個多項式的商表示的函數(shù)稱之.一、有理函數(shù)的積分2021/6/273假定分子與分母之間沒有公因式這有理函數(shù)是真分式；這有理函數(shù)是假分式；

利用多項式除法,假分式可以化成一個多項式和一個真分式之和.例難點將有理函數(shù)化為部分分式之和.2021/6/274（1）分母中若有因式，則分解后為有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：特殊地：分解后為2021/6/275（2）分母中若有因式，其中則分解后為特殊地：分解后為2021/6/276真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法例12021/6/277代入特殊值來確定系數(shù)取取取并將值代入例22021/6/278例3整理得2021/6/279例4

求積分解2021/6/2710例5

求積分解2021/6/2711例6

求積分解令2021/6/27122021/6/2713說明將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出現(xiàn)三類情況：多項式；討論積分令2021/6/2714則記2021/6/2715這三類積分均可積出,且原函數(shù)都是初等函數(shù).結論有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).2021/6/2716三角有理式的定義：

由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算構成的函數(shù)稱之．一般記為二、三角函數(shù)有理式的積分2021/6/2717令（萬能置換公式）2021/6/2718例7

求積分解由萬能置換公式2021/6/27192021/6/2720例8

求積分解（一）2021/6/2721解（二）修改萬能置換公式,令2021/6/2722解（三）可以不用萬能置換公式.結論比較以上三種解法,便知萬能置換不一定是最佳方法,故三角有理式的計算中先考慮其它手段,不得已才用萬能置換.2021/6/2723例9

求積分解2021/6/27242021/6/2725討論類型解決方法作代換去掉根號.例10

求積分解令三、簡單無理函數(shù)的積分2021/6/27262021/6/2727例11

求積分解令說明無理函數(shù)去根號時,取根指數(shù)的最小公倍數(shù).2021/6/2728例12

求積分解先對分母進行有理化原式2021/6/2729簡單無理式的積分.有理式分解成部分分式之和的積分.（注意：必須化成真分式）三角有理式的積分.（萬能置換公式）（注意：萬能公式并不萬能）四、小結2021/6/2730思考題將分式分解成部分分式之和時應注意什么？2021/6/2731思考題解答分解后的部分分式必須是最簡分式.2021/6/2732練習題2021/6/27332021/