2024學(xué)年度第一學(xué)期徐匯區(qū)高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力診斷試卷

2024學(xué)年第一學(xué)期徐匯區(qū)學(xué)習(xí)能力診斷卷高三數(shù)學(xué)試卷（考試時間120分鐘滿分150分）2024.12填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果．1.不等式的解集為.2.已知函數(shù)，其中，則.3.在的二項展開式中，若各項系數(shù)和為32，則正整數(shù)的值為.4.已知向量，，若，則實數(shù)的值為.5.設(shè)，.若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則.6.已知為空間中兩條不同的直線，為兩個不同的平面，若，，則是的條件.（填：“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”中的一個）7.某景點對天內(nèi)每天的游客人數(shù)（單位：萬人）進行統(tǒng)計，得到樣本的莖葉圖（如右圖所示），則該樣本的第百分位數(shù)是.已知復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則________.設(shè)，，若函數(shù)存在兩個不同的極值點，則的取值范圍為__________.10.已知橢圓的左、右焦點分別為、，為橢圓上一點，且，若此橢圓的離心率為，則的大小為________.11.徐匯濱江作為2024年上海國際鮮花展的三個主會場之一，吸引了廣大市民前往觀展并拍照留念.圖中的花盆是種植鮮花的常見容器，它可視作兩個圓臺的組合體，上面圓臺的上?下底面直徑分別為和，下面圓臺的上?下底面直徑分別為和，且兩個圓臺側(cè)面展開圖的圓弧所對的圓心角相等．若上面圓臺的高為，則該花盆上、下兩部分母線長的總和為__________．

12.已知定義域為的函數(shù)的值域也是,所有這樣的函數(shù)形成全集.設(shè)非空集合且中的每一個函數(shù)都是中的兩個函數(shù)(可以相同)的復(fù)合函數(shù),則集合的元素個數(shù)的最小值為__________.選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個正確選項.考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑．13.下列拋物線中，焦點坐標為的是（）A.B.C. D.14.一個不透明的盒子中裝有若干個紅球和個黑球，這些球除顏色外均相同．每次將球充分攪勻后，任意摸出個球記下顏色后再放回盒子.經(jīng)過重復(fù)摸球足夠多次試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到黑球的頻率穩(wěn)定在左右，則據(jù)此估計盒子中紅球的個數(shù)約為（）A.個B.個C.個 D.個15.已知函數(shù)與它的導(dǎo)函數(shù)的定義域均為.若函數(shù)是偶函數(shù)且在上是嚴格增函數(shù)，則下列各表中，可能成為取值的是（）A.12.818821.000030.364440.2468B.10.758021.000031.318841.7979C.12.413221.000031.588544.1116D.10.866421.000031.118841.224016.已知數(shù)列的前項和為，設(shè)（為正整數(shù)）.若存在常數(shù)，使得任意兩兩不相等的正整數(shù)，都有，則稱數(shù)列為“輪換均值數(shù)列”.現(xiàn)有下列兩個命題：①任意等差數(shù)列都是“輪換均值數(shù)列”.②存在公比不為1的等比數(shù)列是“輪換均值數(shù)列”.則下列說法正確的是（）

A.①是真命題，②是假命題 B.①是假命題，②是真命題

C.①、②都是真命題 D.①、②都是假命題三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟.17.（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）已知，若定義在上的函數(shù)的最小正周期為，且對任意的，都有.（1）求實數(shù)的值；（2）設(shè)，當時，，求的值.18.（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）如圖，在四棱錐中，，，.為棱的中點，異面直線與所成角的大小為．（1）求證：平面；（2）若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值．19.（本題滿分14分，第1小題滿分8分，第2小題滿分6分）某企業(yè)招聘員工，指定“英語聽說”、“信息技術(shù)”、“邏輯推理”作為三門考試課程，有兩種考試方案.方案一：參加三門課程的考試，至少有兩門及格為通過；方案二：在三門課程中，隨機選取兩門，并參加這兩門課程的考試，兩門都及格為通過.假設(shè)某應(yīng)聘者參加三門指定課程考試及格的概率分別是（），且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響.（1）分別求該應(yīng)聘者選方案一考試通過的概率和選方案二考試通過的概率；（2）試比較該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過的概率的大小，并說明理由.20.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）已知過點的雙曲線的漸近線方程為.如圖所示，過雙曲線的右焦點作與坐標軸都不垂直的直線交的右支于，兩點.（1）求雙曲線的標準方程；（2）已知點，求證：；（3）若以為直徑的圓被直線截得的劣弧為，則所對圓心角的大小是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.21.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）已知定義域為的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若點在導(dǎo)函數(shù)圖像上，且滿足，則稱為函數(shù)的一個“類數(shù)”