上海市金山區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期12月質(zhì)量監(jiān)控（一模）數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024學(xué)年金山區(qū)第一學(xué)期質(zhì)量監(jiān)控高三數(shù)學(xué)試卷（滿分：150分，完卷時間：120分鐘）（答題請寫在答題紙上）一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果．1．已知全集，集合，則_________．2．已知向量，，若，則實數(shù)___________．3．已知函數(shù)的表達式為則的值為_________．4．已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則的值為_________．5．的二項展開式中，項的系數(shù)為_________．6．以為圓心且過點的圓的標準方程是______________________．7．已知某圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為，半徑為的扇形，則該圓錐的母線與底面所成角的大小為_________．8．已知是等差數(shù)列的前項和，若，則的值為_________．9．在內(nèi)，使成立的的取值范圍是__________．第10題圖10．某海濱浴場平面圖是如圖所示的半圓，其中是圓心，直徑為400米，是弧的中點．一個急救中心在棧橋中點上，計劃在弧上設(shè)置一個瞭望臺，并在間修建浮橋．已知越大，瞭望臺處的視線范圍越大，則處的視線范圍最大時，的長度為米．（結(jié)果精確到1米）第10題圖11．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣n次（其中n為大于等于2的整數(shù)），設(shè)事件：n次中既有正面朝上又有反面朝上，事件：n次中至多有一次正面朝上，若事件A與事件B是獨立的，則n的值為_________．12．已知為坐標原點，向量、滿足，將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到向量．若，，則的最大值為_________．二、選擇題（本題共有4題，滿分18分，13、14每題4分，15、16題每題5分）每題有且只有一個正確選項，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑．13．函數(shù)是（）． （A）最小正周期為的奇函數(shù) （B）最小正周期為的偶函數(shù) （C）最小正周期為的奇函數(shù) （D）最小正周期為的偶函數(shù)14．若“”是“”的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍是（）． （A）（B）（C） （D）15．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯用不同的平面截同一圓錐，得到了圓錐曲線，其中的一種如圖所示．用過點且垂直于圓錐底面的平面截兩個全等的對頂圓錐得到雙曲線的一部分，已知高，底面圓的半徑為4，為母線的中點，平面與底面的交線，則雙曲線的兩條漸近線所成角的余弦值為（）．第15題圖（A） （B） （C） （D）第15題圖16．已知三棱錐的側(cè)棱長相等，且側(cè)棱兩兩垂直．設(shè)為該三棱錐表面（含棱）上異于頂點、、、的點，記．若集合中有且只有2個元素，則符合條件的點有（）個．（A）3 （B）6 （C）7（D）10三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．17．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分．已知常數(shù)，函數(shù)的表達式為．（1）證明：函數(shù)是奇函數(shù)；（2）若函數(shù)在區(qū)間的最大值為，求實數(shù)的值．18．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分．如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，平面，是的中點，，．（1）證明：平面；第18題圖（2）求點到平面的距離．第18題圖19．（本題滿分14分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分,第3小題滿分6分．某高中舉行了一次知識競賽．為了了解本次競賽成績情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績作為樣本進行統(tǒng)計．將成績進行整理后，依次分為五組（，，，，），其中第1組的頻率為第2組和第4組頻率的等比中項．請根據(jù)下面的頻率分布直方圖（如圖所示）解決下列問題：（1）求、的值；（2）從樣本數(shù)據(jù)在，兩個小組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法抽取7名學(xué)生，再從這7名學(xué)生中隨機選出2人，求選出的兩人恰好來自不同小組的概率；第19題圖（3）某老師在此次競賽成績中抽取了10名學(xué)生的分數(shù)：，已知這10個分數(shù)的平均數(shù)，方差，若剔除其中的95和81兩個分數(shù)，求剩余8個分數(shù)的平均數(shù)與方差．第19題圖20．（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分．已知橢圓，拋物線與有一個相同的焦點．過點作互相垂直的兩條直線與，直線與交于點、，直線與交于點、．（1）求橢圓的離心率及拋物線的方程；（2）若直線的傾斜角為，求中點的坐標；（3）四邊形的面積是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．21．（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分．對于函數(shù)圖像上不同的三點、、（其中），記點處的切線為，若，則稱為函數(shù)在區(qū)間上的“點”．特別地，當(dāng)，則稱為函數(shù)在區(qū)間上的“和諧點”．（1）設(shè)，是函數(shù)在區(qū)間上的“點”，若，求實數(shù)的值；（2）設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個“點”，求所有滿足條件的實數(shù)的值組成的集合；（3）設(shè)()，試探究函數(shù)的定義域內(nèi)是否存在一個包含“和諧點”的區(qū)間，若存在，求出該區(qū)間；若不存在，請說明理由．

答案一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）1．{-1，2} 2．6 3．2 4． 5．135 6． 7．45° 8．529． 10．173 11．3 12． 二、選擇題（本題共有4題，滿分18分，13、14每題4分，15、16題每題5分）13． 14． 15． 16．三、解答題（本大題滿分78分）17．（1）證明：由，解得，...........................3分所以的，任取，則，因為，所以是奇函數(shù)．..............................6分（2）法一：當(dāng)，在上嚴格增，所以在上嚴格增，..............................8分因此，，..............................10分即，，所以.............................14分法二：，因為，令，又所以在上嚴格增，...........................8分因而，...........................10分所以，............................14分18．解：（1）取的中點，連接，因為，所以，因為分別是中點，得出，所以四邊形是平行四邊形，...........................3分所以平面，不在平面內(nèi)，所以平面．...........................6分（2）法一：過點D作DE垂直與AC，因為平面，平面，所以，又，平面，平面，，所以平面，即線段DE為點D到平面的距離，...........................10分在直角三角形ADC中，AD=1，AC=1，DE=，所以點到平面的距離為．...........................14分法二：因為平面，又PA為三棱錐P-ADC底面ADC上的高，所以VP-ADC=，...........................10分設(shè)點D到平面的距離為的d，VD-PAC=，因為VP-ADC=VD-PAC，所以，，所以點到平面的距離為．.............................14分解：（1）由，解得，...........................2分又，解得，.............................4分所以，.（2）按分層抽樣法，兩層應(yīng)分別抽取2人和5人，...........................6分事件A:“抽到的兩位同學(xué)來自不同小組”，所以．..........................8分（3）因為，，所以，所以，...........................10分剔除其中的95和81兩個數(shù)，設(shè)剩余8個數(shù)為，，，…，，平均數(shù)與標準差分別為，，則剩余8個數(shù)的平均數(shù)：，...............12分方差：. .....................14分20．解：（1），，所以離心率為；...........................2分因為右焦點，所以拋物線............................4分（2）因為直線的傾斜角為，所以直線的方程為：，.................6分聯(lián)立得，，消去得，...........................8分設(shè)，因為，，所以．...........................10分（3）因為，與只有1個交點，所以不合題意；若，則，，，；.............11分若設(shè)，聯(lián)立得，，消去得，，，，，...........................13分，，，...........................15分，令，，...........................17分綜上，四邊形的面積最小值為．...........................18分解：（1）由題意：，..........................2分解得：．...............................4分（2）法一：因為，，，所以，設(shè)，，....................5分，化簡得：在上有且只有3個解，....6分令，，則，，①當(dāng)時，，得（舍），②當(dāng)時，設(shè)關(guān)于的方程，有兩個不同的根、，由韋達定理，得,,,不妨設(shè)，若，則，在內(nèi)有兩解，無解；若，則，，滿足題意，此時；.................8分若，則，在內(nèi)有兩解，則在內(nèi)有且只有1解，故，此時，綜上，的值組成的集合為............................10分法二：（2），，，直線斜率，由題意方程在區(qū)間上有3個不同的解，=1\*GB3①在區(qū)間上有3個不同的解，........................6分當(dāng)時，方程*只有一個解，不滿足題意，當(dāng)時，設(shè)，則=2\*GB3②（）函數(shù)的圖像如右圖，當(dāng)時，方程=2\*GB3②有1個根，方程=1\*GB3①有2個根；當(dāng)時，方程=2\*GB3②有2個根，，方程=1\*GB3①有3個根；...........................8分當(dāng)時，方程=2\*GB3②有2個根，，方程=1\*GB3①有4個根；當(dāng)時，方程=2\*GB3②有2個根，，方程=1\*GB3①有3個根；....................10分當(dāng)時，方程=