北京東城區(qū)2022屆高三一模數(shù)學(xué)試題 附解析

2022北京東城高三一模數(shù)學(xué)本試卷共6頁(yè)，150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【1題答案】【答案】D【解析】【分析】求出集合，利用并集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)?，因此?故選：D.2.下列函數(shù)中，定義域與值域均為R的是（）A. B. C. D.【2題答案】【答案】C【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)判斷.【詳解】A.函數(shù)定義域?yàn)椋涤驗(yàn)镽；B.函數(shù)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)椋籆.函數(shù)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)镽；D.函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，故選：C3.已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的虛部為（）A.2 B.－2 C.1 D.－1【3題答案】【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合復(fù)數(shù)虛部的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由，所以的虛部為，故選：B4.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則是（）A.公差為2的等差數(shù)列 B.公差為3的等差數(shù)列C.公比為2的等比數(shù)列 D.公比為3的等比數(shù)列【4題答案】【答案】A【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的第項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有，，得，當(dāng)時(shí)，適合上式，因?yàn)?，所以該?shù)列是以2為公差的等差數(shù)列，故選：A5.已知，則（）A. B. C. D.【5題答案】【答案】C【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡(jiǎn)，再代入計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以；故選：C6.已知正方體的棱長(zhǎng)為1，為上一點(diǎn)，則三棱錐的體積為（）A. B. C. D.【6題答案】【答案】D【解析】【分析】由為到平面的距離，所以根據(jù)體積法可得，代入數(shù)值即可得解.【詳解】由為正方體，顯然為到平面的距離，所以，故選：D7.在中國(guó)農(nóng)歷中，一年有24個(gè)節(jié)氣，“立春”居首.北京2022年冬奧會(huì)開(kāi)幕正逢立春，開(kāi)幕式上“二十四節(jié)氣”的倒計(jì)時(shí)讓全世界領(lǐng)略了中華智慧.墩墩同學(xué)要從24個(gè)節(jié)氣中隨機(jī)選取3個(gè)介紹給外國(guó)的朋友，則這3個(gè)節(jié)氣中含有“立春”的概率為（）A. B. C. D.【7題答案】【答案】B【解析】【分析】利用古典概型運(yùn)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】這3個(gè)節(jié)氣中含有“立春”的概率為,故選：B8.已知、，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【8題答案】【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式、特殊值法結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】若，由基本不等式可得，則，，所以，“”“”；若，可取，，但，所以，“”“”.因此，“”是“”的充分不必要條件，故選：A.9.在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸和軸分別交于，兩點(diǎn)，，若，則當(dāng)，變化時(shí)，點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為（）A. B. C. D.【9題答案】【答案】B【解析】【分析】先求得A，兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)得到，再結(jié)合可得到C軌跡為動(dòng)圓，求得該動(dòng)圓圓心的方程，即可求得答案.【詳解】由得，故由得，由得，設(shè)，則，即，即點(diǎn)C軌跡為一動(dòng)圓，設(shè)該動(dòng)圓圓心為，則，整理得，代入到中，得：，即C軌跡的圓心在圓上，故點(diǎn)（1,1）與該圓上的點(diǎn)的連線的距離加上圓的半徑即為點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值，最大值為，故選：B10.李明開(kāi)發(fā)的小程序在發(fā)布時(shí)已有500名初始用戶(hù)，經(jīng)過(guò)天后，用戶(hù)人數(shù)，其中為常數(shù).已知小程序發(fā)布經(jīng)過(guò)10天后有2000名用戶(hù)，則用戶(hù)超過(guò)50000名至少經(jīng)過(guò)的天數(shù)為（）（本題?。〢.31 B.32 C.33 D.34【10題答案】【答案】D【解析】【分析】經(jīng)過(guò)天后，用戶(hù)人數(shù)，根據(jù)題意可求得，由小程序發(fā)布經(jīng)過(guò)10天后有2000名用戶(hù)，可得，當(dāng)用戶(hù)達(dá)到50000名時(shí)有，根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算，即可求得答案.【詳解】經(jīng)過(guò)天后，用戶(hù)人數(shù)又小程序在發(fā)布時(shí)已有500名初始用戶(hù)又小程序發(fā)布經(jīng)過(guò)10天后有2000名用戶(hù)即，可得……①當(dāng)用戶(hù)達(dá)到50000名時(shí)有即，可得……②聯(lián)立①和②可得，即故用戶(hù)超過(guò)50000名至少經(jīng)過(guò)的天數(shù)為34天故選：D.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_______.（用數(shù)字作答）【11題答案】【答案】【解析】【分析】利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，令，所以常數(shù)項(xiàng)為，故答案為：12.已知向量，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格上小正方形的邊長(zhǎng)為1，則________.【12題答案】【答案】5【解析】【分析】設(shè)出互相垂直的兩個(gè)單位向量，根據(jù)向量的加法表示出，，利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可.【詳解】設(shè)網(wǎng)格中方向向右，向上的單位向量分別為，且，則,,所以，故答案為：513.已知拋物線過(guò)點(diǎn)，則________；若點(diǎn)，在上，為的焦點(diǎn)，且，，成等比數(shù)列，則________.【13題答案】【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)在拋物線上，代入可得，再由拋物線定義可得，，，又，，成等比數(shù)列，代入即可得解.【詳解】由拋物線過(guò)點(diǎn)，可得，所以，根據(jù)拋物線定義可得，，，由，，成等比數(shù)列，所以，可得，所以.故答案為：，.14.已知函數(shù)若，則不等式解集為_(kāi)_______；若恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_______.【14題答案】【答案】①.②.【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，不等式可轉(zhuǎn)化為或，解不等式即可求解；分，和分別討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可求解；【詳解】當(dāng)時(shí)，則不等式可轉(zhuǎn)化為或解得或，所以，則不等式的解集為；由題意可知的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)為與的零點(diǎn)個(gè)數(shù)之和，當(dāng)時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)，沒(méi)有零點(diǎn)，此時(shí)沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)，由可得，令，則，易知在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，；此時(shí)要有兩個(gè)零點(diǎn)則必有；綜上所述若恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為.故答案為：；15.某學(xué)校開(kāi)展“測(cè)量故宮角樓高度”的綜合實(shí)踐活動(dòng).如圖1所示，線段表示角樓的高，，，為三個(gè)可供選擇的測(cè)量點(diǎn)，點(diǎn)，在同一水平面內(nèi)，與水平面垂直.現(xiàn)設(shè)計(jì)能計(jì)算出角樓高度的測(cè)量方案，從以下六組幾何量中選擇三組進(jìn)行測(cè)量，則可以選擇的幾何量的編號(hào)為_(kāi)_______.（只需寫(xiě)出一種方案）①，兩點(diǎn)間的距離；②，兩點(diǎn)間的距離；③由點(diǎn)觀察點(diǎn)的仰角；④由點(diǎn)觀察點(diǎn)的仰角；⑤和；⑥和.【15題答案】【答案】①③④或②③⑤【解析】【分析】若要求角樓的高即長(zhǎng)，必要知道一邊長(zhǎng)，若知，兩點(diǎn)間的距離長(zhǎng)，在梯形中解和即可，此時(shí)可選①③④；若知，兩點(diǎn)間的距離即長(zhǎng)，則解和即可得解，此時(shí)可選②③⑤.【詳解】經(jīng)分析可知，若選①③④，在中，，，，所以，所以，所以，其中各個(gè)量均已知；若選②③⑤，已知和，則，由，所以，所以其中各個(gè)量均已知.其他選擇方案均不可求得長(zhǎng).故答案為：①③④或②③⑤三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.16.已知函數(shù).從下列四個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使函數(shù)存在且唯一確定．（1）求的解析式；（2）設(shè)，求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間.條件①：；條件②：為偶函數(shù)；條件③：最大值為1；條件④：圖象的相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為．注：如果選擇的條件不符合要求，第（1）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【16~17題答案】【答案】（1）選擇①④或③④均可得到（2）和【解析】【分析】（1）首先利用二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)，即可得到②與題設(shè)沖突，再分選擇①③、①④、③④三種情況討論，分別根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出、，即可求出函數(shù)解析式；（2）由（1）可得，再利用二倍角公式及輔助角公式化簡(jiǎn)，最后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，所以，顯然當(dāng)時(shí)為奇函數(shù)，故②不能選，若選擇①③，即最大值，所以，解得，所以，又，所以，即，，解得，，故不能唯一確定，故舍去；若選擇①④，即圖象的相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為，所以，解得，所以，又，所以，解得，所以；若選擇③④，即圖象的相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為，所以，解得，所以，又的最大值為，所以，解得，所以；【小問(wèn)2詳解】解：由（1）可得令，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，又，所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間有和；17.如圖，在三棱柱中，平面，，，為線段上一點(diǎn).（1）求證：；（2）若直線與平面所成角為，求點(diǎn)到平面的距離.【17~18題答案】【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式進(jìn)行證明即可；（2）利用空間向量夾角公式，結(jié)合空間點(diǎn)到面距離公式進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，而，因此建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：，，因?yàn)椋?，即，【小?wèn)2詳解】設(shè)平面的法向量為，，所以有，因?yàn)橹本€與平面所成角為，所以，解得，即，因?yàn)椋渣c(diǎn)到平面的距離為：.18.根據(jù)Z市2020年人口普查的數(shù)據(jù)，在該市15歲及以上常住人口中，各種受教育程度人口所占比例（精確到0.01）如下表所示：受教育程度性別未上學(xué)小學(xué)初中高中大學(xué)專(zhuān)科大學(xué)本科碩士研究生博士研究生男0.000.030.140.110.070.110.030.01女0.010.040.110.110.080.120.030.00合計(jì)0.010.070.250.220.150.230.060.01（1）已知Z市15歲及以上常住人口在全市常住人口中所占比例約為85%，從全市常住人口中隨機(jī)選取1人，試估計(jì)該市民年齡為15歲及以上且受教育程度為碩士研究生的概率；（2）從Z市15歲及以上常住人口中隨機(jī)選取2人，記這2人中受教育程度為大學(xué)本科及以上的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）若受教育程度為未上學(xué)、小學(xué)、初中、高中、大學(xué)專(zhuān)科及以上的受教育年限分別記為0年、6年、9年、12年、16年，設(shè)Z市15歲及以上男性與女性常住人口的平均受教育年限分別為年和年，依據(jù)表中的數(shù)據(jù)直接寫(xiě)出與的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）【18~20題答案】【答案】（1）;（2）答案見(jiàn)解析；（3）【解析】【分析】（1）結(jié)合概率乘法的計(jì)算公式即可求出結(jié)果；（2）求出X的可能取值，進(jìn)而求出對(duì)應(yīng)的概率，即可求出結(jié)果；（3）根據(jù)平均數(shù)的概念即可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)樵谠撌?5歲及以上常住人口中，受教育程度為碩士研究生的人口所占比例為0.06，則估計(jì)該市民年齡為15歲及以上且受教育程度為碩士研究生的概率85％；【小問(wèn)2詳解】該市15歲及以上常住人口中，受教育程度為大學(xué)本科及以上的人口所占比例為0.23+0.06+0.01=0.3，X的可能取值為0，1，2，則,,,故X的分布列為0120.490.420.09,【小問(wèn)3詳解】.19.已知函數(shù)．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，求的值；（2）若在上有最大值，求的取值范圍.【19~20題答案】【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知可得，即可求得實(shí)數(shù)的值；（2）分、、三種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的最值與極值的關(guān)系可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)?，，由已知可得，解?【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)?，?①當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，恒成立，則，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減，沒(méi)有最大值；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，則，則，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減，沒(méi)有最大值；③當(dāng)時(shí)，方程的兩根分別為，，由可知，列表如下：增極大值減所以函數(shù)在處取得最大值，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.20.已知橢圓的離心率為，焦距為．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn).是否存在常數(shù)，使得直線與直線的交點(diǎn)在，之間，且總有？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.【20~21題答案】【答案】（1）（2）存在，.【解析】【分析】（1）由求出，再根據(jù)求出，可得結(jié)果；（2）設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓方程，由韋達(dá)定理得到與，將化為，即，再結(jié)合韋達(dá)定理可得對(duì)恒成立，從而可得.【小問(wèn)1詳解】由題意可知，，解得，所以，所以橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，則，得，設(shè)，，則，，依題意可得，因?yàn)樵?，之間，所以，所以,因?yàn)椋缘?，得，得，將，代入上式并整理得，?duì)恒成立，所以，即，故存在常數(shù)，使得直線與直線的交點(diǎn)在，之間，且總有.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用平面集合知識(shí)將化為后，再結(jié)合韋達(dá)定理求解是解題關(guān)鍵.21.設(shè)數(shù)列.如果，且當(dāng)時(shí)，，則稱(chēng)數(shù)列A具有性質(zhì).對(duì)于具有性質(zhì)的數(shù)列A，定義數(shù)列，其中.（1）對(duì)，寫(xiě)出所有具有性質(zhì)的數(shù)列A；（2）對(duì)數(shù)列，其中，證明：存在具有性質(zhì)的數(shù)列A，使得與為同一個(gè)數(shù)列；（3）對(duì)具有性質(zhì)的數(shù)列A，若且數(shù)列滿(mǎn)足，證明：這樣的數(shù)列A有偶數(shù)個(gè).【21~23題答案】【答案】（1）、、（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的定義，得到且，，，確定，按照或分別討論可得答案；（2）設(shè)數(shù)列：中恰有項(xiàng)為1，在按照、、三種情況分別討論可證結(jié)論；（3）按照的奇偶分類(lèi)討論，結(jié)合數(shù)列的定義可證結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，則因?yàn)?，，，所以，，，又，所以，或，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，或，綜上所述：所有具有性質(zhì)的數(shù)列A為：、、.【小問(wèn)2詳解】由于數(shù)列：，其中，不妨設(shè)數(shù)列：中恰有項(xiàng)為1，若，則符合題意，若，則符合題意，若，則設(shè)這項(xiàng)分別為