數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)講義下冊(cè)（適合藝術(shù)生、基礎(chǔ)生一輪復(fù)習(xí)）第31講數(shù)列求和常用方法含答案及解析

第31講數(shù)列求和常用方法1、裂項(xiàng)相消法裂項(xiàng)相消法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每一項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后再重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，即數(shù)列的每一項(xiàng)都可按此規(guī)律拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)相消，適用于類似這種形式，用裂項(xiàng)相消法求和，需要掌握一些常見(jiàn)的裂項(xiàng)方法，是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用，高考中常見(jiàn)以下幾種類型。常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧類型=1\*GB3①類型=2\*GB3②類型③2、錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用此法來(lái)求.倍錯(cuò)位相減法：若數(shù)列的通項(xiàng)公式，其中、中一個(gè)是等差數(shù)列，另一個(gè)是等比數(shù)列，求和時(shí)一般可在已知和式的兩邊都乘以組成這個(gè)數(shù)列的等比數(shù)列的公比，然后再將所得新和式與原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和．這種方法叫倍錯(cuò)位相減法．溫馨提示：1.兩個(gè)特殊數(shù)列等差與等比的乘積或商的組合.2.關(guān)注相減的項(xiàng)數(shù)及沒(méi)有參與相減的項(xiàng)的保留.3、倒序相加法，即如果一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)中，距首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和都相等，則可使用倒序相加法求數(shù)列的前項(xiàng)和.4、分組求和法，如果一個(gè)數(shù)列可寫成的形式，而數(shù)列，是等差數(shù)列或等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為能夠求和的數(shù)列，那么可用分組求和法.【題型一：分組求和】1．（河南）已知等比數(shù)列不是常數(shù)列，，且是和的等差中項(xiàng).（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.2．（江蘇姑蘇·蘇州中學(xué)高二月考）已知數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．3．（全國(guó)高二專題練習(xí)）各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和【題型二：倒序相加求和】1．（全國(guó)高二期末）對(duì)任意都有.數(shù)列滿足：，則__________.2．（全國(guó)）已知函數(shù)對(duì)任意的，都有，數(shù)列滿足….求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【題型三：裂項(xiàng)相消求和】1．（沙坪壩·重慶八中高三月考）已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.2．（曲靖市關(guān)工委麒麟希望學(xué)校高二期中）已知數(shù)列（）是公差不為0的等差數(shù)列，若，且，，成等比數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.3．（西藏昌都市第三高級(jí)中學(xué)高二期末）在等差數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和．若．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【題型四：錯(cuò)位相減求和】1．（陜西長(zhǎng)安一中高二月考（理））設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）記為的前n項(xiàng)和，求.2．（河北·天津五十七中高三月考）等差數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證；（3）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．3．（山東）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，，且滿足．（1）求；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

第31講數(shù)列求和常用方法1、裂項(xiàng)相消法裂項(xiàng)相消法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每一項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后再重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，即數(shù)列的每一項(xiàng)都可按此規(guī)律拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)相消，適用于類似這種形式，用裂項(xiàng)相消法求和，需要掌握一些常見(jiàn)的裂項(xiàng)方法，是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用，高考中常見(jiàn)以下幾種類型。常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧類型=1\*GB3①類型=2\*GB3②類型③2、錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用此法來(lái)求.倍錯(cuò)位相減法：若數(shù)列的通項(xiàng)公式，其中、中一個(gè)是等差數(shù)列，另一個(gè)是等比數(shù)列，求和時(shí)一般可在已知和式的兩邊都乘以組成這個(gè)數(shù)列的等比數(shù)列的公比，然后再將所得新和式與原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和．這種方法叫倍錯(cuò)位相減法．溫馨提示：1.兩個(gè)特殊數(shù)列等差與等比的乘積或商的組合.2.關(guān)注相減的項(xiàng)數(shù)及沒(méi)有參與相減的項(xiàng)的保留.3、倒序相加法，即如果一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)中，距首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和都相等，則可使用倒序相加法求數(shù)列的前項(xiàng)和.4、分組求和法，如果一個(gè)數(shù)列可寫成的形式，而數(shù)列，是等差數(shù)列或等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為能夠求和的數(shù)列，那么可用分組求和法.題型一：分組求和1．（河南）已知等比數(shù)列不是常數(shù)列，，且是和的等差中項(xiàng).（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）因?yàn)槭?和的等差中項(xiàng)，所以.設(shè)的公比為，因?yàn)?，所以，解得或（舍去，否則為常數(shù)數(shù)列），所以.（2）由（1）可知，，.2．（江蘇姑蘇·蘇州中學(xué)高二月考）已知數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）．【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，由于，，成等比數(shù)列，則，解得，所以，（2）由題意，，所以．3．（全國(guó)高二專題練習(xí)）各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】（1）an＝2n－1，bn＝3n－1；（2）2n－1＋.【詳解】（1）設(shè)公比為q，∵a1＝1，a2a4＝16，∴q4＝16，∵q＞0，∴q＝2，∴an＝2n－1，∵Sn＝，∴當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝Sn－Sn－1＝－＝3n－1當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝S1＝2滿足上式，∴bn＝3n－1；（2）cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(20＋21＋…＋2n－1)＋(2＋5＋…＋3n－1)＝＋＝2n－1＋．題型二：倒序相加求和1．（全國(guó)高二期末）對(duì)任意都有.數(shù)列滿足：，則__________.【答案】【詳解】由題意得：，，，……，，，，解得：.故答案為：.2．（全國(guó)）已知函數(shù)對(duì)任意的，都有，數(shù)列滿足….求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】【詳解】因?yàn)椋?故….①….②①+②，得，.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.題型三：裂項(xiàng)相消求和1．（沙坪壩·重慶八中高三月考）已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由題意得：∴即∴.（2）由（1）知，∴∴.2．（曲靖市關(guān)工委麒麟希望學(xué)校高二期中）已知數(shù)列（）是公差不為0的等差數(shù)列，若，且，，成等比數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【詳解】解：（1）設(shè)的公差為d，因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以.即，即又，且，解得所以有.（2）由（1）知：則.即.3．（西藏昌都市第三高級(jí)中學(xué)高二期末）在等差數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和．若．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）.【詳解】解：（1）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由題意得，解得，故數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）得，即有前項(xiàng)和．題型四：錯(cuò)位相減求和1．（陜西長(zhǎng)安一中高二月考（理））設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）記為的前n項(xiàng)和，求.【答案】（1），；（2）.【詳解】（1）因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，所以，所以，即，解得，所以，所以；（2）證明：由（1）可得，，①，②①②得，所以.2．（河北·天津五十七中高三月考）等差數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證；（3）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）．【詳解】（1）解：