數(shù)學一輪復習基礎講義下冊（適合藝術生、基礎生一輪復習）第31講數(shù)列求和常用方法含答案及解析

第31講數(shù)列求和常用方法1、裂項相消法裂項相消法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每一項（通項）分解，然后再重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.通項分解（裂項）把數(shù)列的通項拆成兩項之差，即數(shù)列的每一項都可按此規(guī)律拆成兩項之差，在求和時一些正負相消，適用于類似這種形式，用裂項相消法求和，需要掌握一些常見的裂項方法，是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應用，高考中常見以下幾種類型。常見的裂項技巧類型=1\*GB3①類型=2\*GB3②類型③2、錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構成的，那么這個數(shù)列的前項和即可用此法來求.倍錯位相減法：若數(shù)列的通項公式，其中、中一個是等差數(shù)列，另一個是等比數(shù)列，求和時一般可在已知和式的兩邊都乘以組成這個數(shù)列的等比數(shù)列的公比，然后再將所得新和式與原和式相減，轉化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和．這種方法叫倍錯位相減法．溫馨提示：1.兩個特殊數(shù)列等差與等比的乘積或商的組合.2.關注相減的項數(shù)及沒有參與相減的項的保留.3、倒序相加法，即如果一個數(shù)列的前項中，距首末兩項“等距離”的兩項之和都相等，則可使用倒序相加法求數(shù)列的前項和.4、分組求和法，如果一個數(shù)列可寫成的形式，而數(shù)列，是等差數(shù)列或等比數(shù)列或可轉化為能夠求和的數(shù)列，那么可用分組求和法.【題型一：分組求和】1．（河南）已知等比數(shù)列不是常數(shù)列，，且是和的等差中項.（1）求的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.2．（江蘇姑蘇·蘇州中學高二月考）已知數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和．3．（全國高二專題練習）各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，數(shù)列的前項和為，且．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和【題型二：倒序相加求和】1．（全國高二期末）對任意都有.數(shù)列滿足：，則__________.2．（全國）已知函數(shù)對任意的，都有，數(shù)列滿足….求數(shù)列的通項公式.【題型三：裂項相消求和】1．（沙坪壩·重慶八中高三月考）已知是等差數(shù)列的前項和，若，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和.2．（曲靖市關工委麒麟希望學校高二期中）已知數(shù)列（）是公差不為0的等差數(shù)列，若，且，，成等比數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和.3．（西藏昌都市第三高級中學高二期末）在等差數(shù)列中，為其前n項和．若．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和．【題型四：錯位相減求和】1．（陜西長安一中高二月考（理））設是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項公式；（2）記為的前n項和，求.2．（河北·天津五十七中高三月考）等差數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，數(shù)列的前n項和為，求證；（3）設，求數(shù)列的前n項和．3．（山東）已知數(shù)列的前項和，，且滿足．（1）求；（2）若，求數(shù)列的前項和．

第31講數(shù)列求和常用方法1、裂項相消法裂項相消法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每一項（通項）分解，然后再重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.通項分解（裂項）把數(shù)列的通項拆成兩項之差，即數(shù)列的每一項都可按此規(guī)律拆成兩項之差，在求和時一些正負相消，適用于類似這種形式，用裂項相消法求和，需要掌握一些常見的裂項方法，是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應用，高考中常見以下幾種類型。常見的裂項技巧類型=1\*GB3①類型=2\*GB3②類型③2、錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構成的，那么這個數(shù)列的前項和即可用此法來求.倍錯位相減法：若數(shù)列的通項公式，其中、中一個是等差數(shù)列，另一個是等比數(shù)列，求和時一般可在已知和式的兩邊都乘以組成這個數(shù)列的等比數(shù)列的公比，然后再將所得新和式與原和式相減，轉化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和．這種方法叫倍錯位相減法．溫馨提示：1.兩個特殊數(shù)列等差與等比的乘積或商的組合.2.關注相減的項數(shù)及沒有參與相減的項的保留.3、倒序相加法，即如果一個數(shù)列的前項中，距首末兩項“等距離”的兩項之和都相等，則可使用倒序相加法求數(shù)列的前項和.4、分組求和法，如果一個數(shù)列可寫成的形式，而數(shù)列，是等差數(shù)列或等比數(shù)列或可轉化為能夠求和的數(shù)列，那么可用分組求和法.題型一：分組求和1．（河南）已知等比數(shù)列不是常數(shù)列，，且是和的等差中項.（1）求的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）因為是6和的等差中項，所以.設的公比為，因為，所以，解得或（舍去，否則為常數(shù)數(shù)列），所以.（2）由（1）可知，，.2．（江蘇姑蘇·蘇州中學高二月考）已知數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）．【詳解】（1）設等差數(shù)列的通項公式為，由于，，成等比數(shù)列，則，解得，所以，（2）由題意，，所以．3．（全國高二專題練習）各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，數(shù)列的前項和為，且．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和【答案】（1）an＝2n－1，bn＝3n－1；（2）2n－1＋.【詳解】（1）設公比為q，∵a1＝1，a2a4＝16，∴q4＝16，∵q＞0，∴q＝2，∴an＝2n－1，∵Sn＝，∴當n≥2時，bn＝Sn－Sn－1＝－＝3n－1當n＝1時，b1＝S1＝2滿足上式，∴bn＝3n－1；（2）cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(20＋21＋…＋2n－1)＋(2＋5＋…＋3n－1)＝＋＝2n－1＋．題型二：倒序相加求和1．（全國高二期末）對任意都有.數(shù)列滿足：，則__________.【答案】【詳解】由題意得：，，，……，，，，解得：.故答案為：.2．（全國）已知函數(shù)對任意的，都有，數(shù)列滿足….求數(shù)列的通項公式.【答案】【詳解】因為，.故….①….②①+②，得，.所以數(shù)列的通項公式為.題型三：裂項相消求和1．（沙坪壩·重慶八中高三月考）已知是等差數(shù)列的前項和，若，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）設等差數(shù)列的首項為，公差為，由題意得：∴即∴.（2）由（1）知，∴∴.2．（曲靖市關工委麒麟希望學校高二期中）已知數(shù)列（）是公差不為0的等差數(shù)列，若，且，，成等比數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）；（2）.【詳解】解：（1）設的公差為d，因為，，成等比數(shù)列，所以.即，即又，且，解得所以有.（2）由（1）知：則.即.3．（西藏昌都市第三高級中學高二期末）在等差數(shù)列中，為其前n項和．若．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）；（2）.【詳解】解：（1）設數(shù)列的首項為，公差為，由題意得，解得，故數(shù)列的通項公式；（2）由（1）得，即有前項和．題型四：錯位相減求和1．（陜西長安一中高二月考（理））設是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項公式；（2）記為的前n項和，求.【答案】（1），；（2）.【詳解】（1）因為是首項為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，所以，所以，即，解得，所以，所以；（2）證明：由（1）可得，，①，②①②得，所以.2．（河北·天津五十七中高三月考）等差數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，數(shù)列的前n項和為，求證；（3）設，求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）；（2）見解析；（3）．【詳解】（1）解：