全國各地2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題專練匯編：基本不等式-A4

第頁高一2024-2025學(xué)年上學(xué)期期中試題專練基本不等式一、單選題1．（24-25高一上·廣東深圳·期中）若，則的最小值為（

）A． B．8 C． D．2．（24-25高一上·浙江寧波·期中）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A． B．14 C．15 D．273．（24-25高三上·四川成都·期中）已知實(shí)數(shù)滿足，則下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．4．（24-25高一上·廣東廣州·期中）已知為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（）A． B．C． D．5．（24-25高一上·山東青島·期中）若，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的（

）A．最大值是4 B．最大值是6 C．最小值是4 D．最小值是66．（24-25高一上·廣東廣州·期中）對(duì)于使成立的所有常數(shù)中，我們把其中的最大值叫做的下確界，若正數(shù)，且，則的下確界為（

）A． B． C． D．7．（24-25高一上·廣西·期中）若，則函數(shù)的最小值是（

）A． B． C． D．8．（24-25高一上·浙江·期中）要建造一個(gè)容積為，深為6m的長方形無蓋蓄水池，池壁的造價(jià)為95元，池底的造價(jià)為135元，問水池總造價(jià)最低時(shí)，水池的長a與寬b分別為（

）A．， B．，C．， D．，9．（24-25高一上·重慶·期中）已知，則的最小值為（

）A．1 B．3 C．5 D．710．（24-25高一上·重慶萬州·期中）已知，則的最大值為（

）A． B． C． D．11．（24-25高一上·遼寧·期中）已知，則函數(shù)的最小值是（

）A．8 B．12 C．16 D．2012．（24-25高一上·北京·期中）已知，則的最小值為（

）A． B．3 C．4 D．5二、多選題13．（24-25高一上·廣東廣州·期中）下列選項(xiàng)正確的是（

）A．若，則的最小值是B．若，則的最大值為?2C．已知，，，則的取值范圍是D．已知，，，則的最小值為14．（24-25高一上·福建·期中）設(shè)，，，下列說法正確的有（

）A．的最小值為4 B．的最小值為C．最小值為 D．的最小值為15．（24-25高一上·江蘇·期中）已知a，，且，則（

）A．的最小值為8 B．的最小值為C．最小值為12 D．的最大值為16．（24-25高三上·四川成都·期中）正實(shí)數(shù)，滿足，則下列選項(xiàng)一定成立的是（

）A． B．C． D．17．（24-25高一上·黑龍江哈爾濱·期中）已知，，且，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．y的范圍為 B．xy的最大值為C．的最小值為16 D．的最小值為2三、填空題18．（24-25高一上·江蘇蘇州·期中）已知，，，則的取值范圍為，的最小值為．19．（24-25高一上·浙江寧波·期中）已知，滿足，則的最小值為20．（24-25高一上·廣東深圳·期中）已知a，b為正實(shí)數(shù)，則的最小值為．21．（24-25高一上·重慶·期中）已知正實(shí)數(shù)、、滿足，則的最小值為，的最小值為.22．（24-25高一上·上海閔行·期中）函數(shù)的最小值是.四、解答題23．（24-25高一上·上?！て谥校┮阎?，.(1)若，求的最小值；(2)若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若，求的最大值.24．（24-25高一上·江蘇徐州·期中）已知、為東西方向的海岸線上相距的兩地（在的東側(cè)），是、之間距地處的一地，在地正南方向處有一海島，由海島開往海岸的小船以的速度按直線方向航行.(1)某人在海島上乘小船在距地正東方向處的地登岸，登岸后以的速度向東步行到地，求此人從海島到達(dá)地的時(shí)間；(2)一快遞員以的速度從地向地騎行，同時(shí)某人乘小船從海島向海岸出發(fā)，兩人恰好相遇于、之間的地，且距地，求快遞員的速度的最大值．25．（24-25高一上·四川·期中）已知圖象開口向上的二次函數(shù).(1)若，求的最小值及取得最小值時(shí)的的值；(2)在（1）的前提下，在區(qū)間上沒有最值，求的取值范圍．26．（24-25高一上·寧夏銀川·期中）（1）求函數(shù)的最小值；（2）已知，且，求使不等式恒成立的實(shí)數(shù)的取值范圍．27．（24-25高三上·山東棗莊·期中）求下列各式的最值(1)當(dāng)時(shí)，求的最小值；(2)已知，求的最大值.28．（24-25高一上·福建寧德·期中）（1）已知，，且，求的最大值；（2）證明：、、，.參考答案：1．D【分析】由基本不等式“1”的妙用方法即可計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：D.2．A【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【詳解】因正實(shí)數(shù)a，b滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：A3．B【分析】A選項(xiàng)，舉出反例；B選項(xiàng)，由基本不等式得到，由得到，B正確；C選項(xiàng)，由基本不等式得到；D選項(xiàng)，由基本不等式得到.【詳解】A選項(xiàng)，取得，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，但，故等號(hào)取不到，所以，，故，綜上，，B正確；C選項(xiàng)，，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，但，故等號(hào)取不到，所以，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由B選項(xiàng)知，，故，所以，D錯(cuò)誤.故選：B4．A【分析】利用基本不等式，結(jié)合“1”的妙用，直接求解即可.【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：A5．B【分析】利用基本不等式，結(jié)合不等式恒成立問題的解法即可得解.【詳解】因?yàn)?，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，又不等式恒成立，所以，即，所以實(shí)數(shù)的最大值6，沒有最小值，故B正確.故選：B.6．A【分析】由基本不等式求出的最小值即得．【詳解】.故選：A.7．D【分析】根據(jù)題意，化簡得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】因?yàn)椋傻?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最小值.故選：D.8．A【分析】設(shè)水池的長為am，寬為m，總造價(jià)為z元；從而可得，，結(jié)合基本不等式求最值即得.【詳解】設(shè)水池的長為am，寬為m；總造價(jià)為z元；則，故；.當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立.故選：A.9．D【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式求出最小值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為7.故選：D10．A【分析】由題意知，然后根據(jù)基本不等式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為.故選：A.11．D【分析】利用基本不等式求得正確答案.【詳解】由于，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以函數(shù)的最小值是.故選：D12．D【分析】根據(jù)基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)?，根?jù)基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；所以的最小值為5，故選：D.13．BD【分析】利用基本不等式即可判斷AB，對(duì)C構(gòu)造關(guān)于的一元二次不等式即可判斷，對(duì)D，利用乘“1”法即可判斷.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，但是此時(shí)無實(shí)數(shù)解，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，且，所以，即，解得或（舍去），所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的取值范圍是，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，且，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故D錯(cuò)誤；故選：BC14．ABD【分析】根據(jù)基本不等式即可求解A,根據(jù)，即可利用乘“1”法求解B，利用，即可求解CD.【詳解】對(duì)于A，由，，，故，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，故A正確，對(duì)于B，由得，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即等號(hào)成立，故B正確，對(duì)于C，由可得，故，由可知，當(dāng)時(shí)，則，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，由可得，故，當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，故D正確，故選：ABD15．ACD【分析】利用基本不等式和二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，故A正確；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)，最小值為12，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為，故D正確故選：ACD．16．BCD【分析】利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，函數(shù)在上單調(diào)遞減，最小值為，所以當(dāng)時(shí)，有最小值為，而，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用基本不等式進(jìn)行判斷：首先應(yīng)用基本不等式來分析選項(xiàng)是否成立，并結(jié)合等號(hào)條件進(jìn)一步判斷，這是判斷選項(xiàng)正確與否的基礎(chǔ).函數(shù)單調(diào)性分析：在選項(xiàng)C的判斷中，通過函數(shù)的單調(diào)性來驗(yàn)證不等式的成立條件，這種結(jié)合單調(diào)性的方法可以更準(zhǔn)確地判斷不等式的取值情況.17．ABC【分析】根據(jù)題意，結(jié)合不等式的性質(zhì)可判斷A；根據(jù)基本不等式可判斷BCD.【詳解】對(duì)于A：由題知，所以，解得，即，故A正確；對(duì)于B：，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為，故B正確；對(duì)于C：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為16,故C正確；對(duì)于D：∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，時(shí)等號(hào)成立，∴有最小值，故D不正確.故選：ABC.18．【分析】根據(jù)基本不等式，基本不等式“1”的妙用可求得結(jié)果，注意一正二定三相等.【詳解】因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以的取值范圍為；因?yàn)?，，，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)取得最小值為；故答案為：；.19．2【分析】變形給定等式，換元，用表示，再代入，利用基本不等式求出最小值.【詳解】由，得，令，則，解得，，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為2.故答案為：2【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將變形為，令，再表示出是求出最小值的關(guān)鍵.20．【分析】先將兩個(gè)分母看做兩個(gè)整體，然后化簡利用基本不等式求解即可.【詳解】令得所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，故答案為：21．；/【分析】根據(jù)基本不等式中常值代換法可得第一空；利用兩次基本不等式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最小值；易知，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)谝粋€(gè)不等號(hào)可取等號(hào)，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)诙€(gè)不等號(hào)可取等號(hào).故答案為：；.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于第一空可用常值代換即靈活運(yùn)用“1”構(gòu)造乘積為定值計(jì)算；對(duì)于第二空觀察式子結(jié)構(gòu)，靈活運(yùn)用“1”構(gòu)造齊次式，兩次使用基本不等式計(jì)算即可，需注意等號(hào)成立的情況.22．【分析】利用基本不等式可求最小值.【詳解】,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故所求最小值為，故答案為：.23．(1)(2)(3)【分析】（1）減少變量化為即可證明；（2）構(gòu)造得，再利用乘“1”法即可得到答案；（3）利用，即可得到答案.【詳解】（1）由得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得等號(hào).即的最小值為.（2）由得，，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由題意可知，，整理得，解得或(舍去)，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.（3）因?yàn)?，所以，，故，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得等號(hào)，故的最大值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是利用乘“1”法得到，最后解出即可.24．(1)(2)【分析】（1）作出圖形，計(jì)算出、的長，結(jié)合題意可計(jì)算出此人從海島到達(dá)地的時(shí)間；（2）求出、的長，根據(jù)題意可得出，可得，利用基本不等式可求得的最大值.【詳解】（1）解：如下圖所示：由題意可得，，，，，由勾股定理可得，因此，此人從海島到達(dá)地的時(shí)間為.（2）解：如下圖所示：，，，，由勾股定理可得，由題意可得，即，可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，快遞員的速度的最大值為.25．(1)時(shí)，最小值為1(2)【分析】（1）根據(jù)，得，再根據(jù)基本不等式中“常數(shù)”的代換可得最小值；（2）根據(jù)題意確定函數(shù)的對(duì)稱軸為，若函數(shù)在無最值，則對(duì)稱軸不在區(qū)間內(nèi)，則或，解不等式即可求得.【詳解】（1），，圖象開口向上，，又，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.時(shí)，的最小值為1.（2）由（1）知，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在區(qū)間上沒有最值，①或②，由①解得無解，由②解得，綜上：的取值范圍是.26．（1）9；（2）【分析】（1）對(duì)函數(shù)解析式變形，利用基本不等式求解最值；（2）先常數(shù)代換變形，再利用基本不等式求解最值；【詳解】（1）由，得，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以原函數(shù)的最小值為9.（2）由，則．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取到最小值16．若恒成立，則．27．(1)(2)【分析】