高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題09 利用導(dǎo)數(shù)研究不等式能成立問題解析版

專題09利用導(dǎo)數(shù)研究不等式能成立問題一、單選題1．已知存在使得不等式在上成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【解析】當(dāng)，等價(jià)于，所以設(shè)，則，時(shí)，，遞增，所以，即，所以，所以，所以.故選：A．2．已知函數(shù)，若存在，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為：（）A． B． C． D．【解析】由題意可得在上能成立，所以在上能成立，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，且，即，因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，故選：B.3．已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，當(dāng)m取得最大值時(shí)，若存在使得成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞增，所以，即的最大值為，在上，，若存在使得成立，則當(dāng)時(shí)，，令，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，當(dāng)時(shí)，，，則，易知當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，，綜上所述，．故選：A4．若關(guān)于的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】由，得，又關(guān)于的不等式在上有解，所以在上有解，即，令，，則，設(shè)，，則，即在上單調(diào)遞增，則，于是有，從而得在上單調(diào)遞增，因此，，則，所以的取值范圍是.故選：D5．已知函數(shù)與函數(shù)的圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【解析】由題意，、關(guān)于軸對(duì)稱，∴與在上有交點(diǎn)，則在有解，令，則，，∴在上遞增，而，∴在上，遞減；在上，遞增；∴，故只需即可，得.故選：B6．函數(shù)，其中，若有且只有一個(gè)整數(shù)，使得，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【解析】已知函數(shù)，則有且只有一個(gè)整數(shù)解.令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.設(shè)，則恒過點(diǎn).在同一坐標(biāo)系中分別作出和的簡(jiǎn)圖，因?yàn)?，所以，所以，依題意得即，解得，又，所以.故選：C.7．已知，若，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】由，得，記，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．（1），，記，，，，，時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增．（1），，故實(shí)數(shù)的取值范圍為，．故選：A．8．已知函數(shù)，，若存在，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【解析】因函數(shù)，，則，令，，則，令，，，即函數(shù)在單調(diào)遞增，而，，即存在，使得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即有在上遞增，在上遞減，于是得時(shí)，取得最大值，即，由得，顯然時(shí)，有，必有，反之，若，則有，假定不成立，當(dāng)有時(shí)，由知，，，即與矛盾，當(dāng)有時(shí)，，即與矛盾，綜合得假定不成立是錯(cuò)的，從而有成立，也必有成立，于是得，即，因存在，使成立，則有，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A二、多選題9．設(shè)函數(shù)，若存在唯一的整數(shù)，使得，則滿足題意的的取值范圍可以是（）A． B． C． D．【解析】由題意存在唯一的整數(shù)，使得即，令，則，易知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，作出與的圖象，由題可知這個(gè)可能為0或2，當(dāng)為0時(shí)，如圖一所示，則只需且同時(shí)成立，解得；當(dāng)為2時(shí)，如圖二所示，且同時(shí)成立，解得，故選：BD.10．已知函數(shù)，，若，，不等式成立，則的可能值為（）A．4 B．3 C．2 D．1【解析】，若，則，則在單調(diào)遞增，；若，則在單減，在單增，，∴.，則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，∴.∵，，不等式成立，∴若，，成立；若，，即，令，∴，∴h（x）在（1，+∞）單增.而，，，.故選：BCD.11．已知函數(shù)，，若對(duì)任意，總存在，使，則實(shí)數(shù)的值可以是（）A． B． C．1 D．2【解析】，對(duì)任意，，則在上單調(diào)遞增，所以在上的值域是，由題意可得是的值域的子集，當(dāng)時(shí)的值域是，符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)值域?yàn)?，符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)，要符合題意，則或，解得或，綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍是或.故選：ACD12．已知函數(shù)，則以下結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是B．函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)C．存在正實(shí)數(shù)，使得成立D．對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，，且，若則【解析】A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，由得，；由得，，因此函?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；故A正確；B選項(xiàng)，令，則顯然恒成立；所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；又，，所以函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；故B正確；C選項(xiàng)，若，可得，令，則，令，則，由得；由得；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；因此；所以恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)無最小值；因此，不存在正實(shí)數(shù)，使得成立；故C錯(cuò)；D選項(xiàng)，令，則，則；令，則，所以在上單調(diào)遞減，則，即，令，由，得，則，當(dāng)時(shí)，顯然成立，所以對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，，且，若則.故D正確.故選：ABD三、填空題13．已知函數(shù)在上存在極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____________.【解析】由題可知：，因?yàn)楹瘮?shù)在上存在極值點(diǎn)，所以有解所以，則或當(dāng)或時(shí)，函數(shù)與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，即所以函數(shù)在單調(diào)遞增，沒有極值點(diǎn)，故舍去所以或，即或14．函數(shù)，，若，，使得，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.【解析】由，所以，令，得或，又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，又在單調(diào)遞增，所以，根據(jù)題意：若，，使得，即，所以，可得得取值范圍為15．已知函數(shù)，若存在成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【解析】由題意，函數(shù)，可得，設(shè)，可得，函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，又由，所以函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，即，即，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，其中最小值為，要使得存在成立，所以，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.16．若存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y，使等式成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍___________．【解析】因?yàn)椋裕虼?，令且，而函?shù)，，令，則恒成立，所以單調(diào)遞減，又因?yàn)椋詴r(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞減，又因?yàn)椋?，故，即，故答案為?四、解答題17．已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線為．（1）求函數(shù)的解析式：（2）若存在實(shí)數(shù)m，使得在x時(shí)成立，求m的取值范圍．【解析】（1）由題意知：的定義域?yàn)?，∵∴，解得，故．?）令，，∴，故在時(shí)，單調(diào)遞增，．要存在實(shí)數(shù)m，使得在時(shí)成立，只要即可，解得：．18．已知函數(shù)在處取得極值，其中為常數(shù).（1）試確定的值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若對(duì)任意，不等式有解，求的取值范圍.【解析】（1）由題意知，因此，從而．由題意求導(dǎo)得，因此，解得；（2）由（1）知．令，解得．1＋0－極大值因此的單調(diào)遞增區(qū)間為，而的單調(diào)遞減區(qū)間為；（3）由（2）知，在處取得極大值，此極大值也是最最值．要使（）有解，只需．即，從而．解得．所以的取值范圍為.19．已知函數(shù).（1）若，求曲線在處切線的方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）設(shè)，若對(duì)任意，均存在，使得，求的取值范圍.【解析】（1）由已知，，曲線在處切線方程為，即.（2）.①當(dāng)時(shí)，由于，故，所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間.②當(dāng)時(shí)，由，得.在區(qū)間上，，在區(qū)間上，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（3）由已知，轉(zhuǎn)化為，由（2）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，值域?yàn)?，故不符合題意.(或者舉出反例：存在，故不符合題意.)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故的極大值即為最大值，，所以，解得.20．已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若存在，滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，∵，?∴，又,∴所求切線方程為，即.又函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，∴.所以實(shí)數(shù)的值為.（2）由題意得，所以問題轉(zhuǎn)化為在上有解.令，，則.令，則當(dāng)時(shí)，有.所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以.所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.21．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的值域；（2）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的不等式恒成立，求正數(shù)的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，有，令，有，令，可得，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，有，可得函數(shù)單調(diào)遞增，又由，，故函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋?）當(dāng)時(shí)，恒成立，令，有，當(dāng)時(shí)，，可得此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，又由，故有；當(dāng)時(shí)，令，可得函數(shù)單調(diào)遞增，又由，，可得存在，使得，可得函數(shù)的減區(qū)間為，又由，有，不合題意，由上知正數(shù)的取值范圍為.22．已知函數(shù).（1）若，當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）若，，且當(dāng)時(shí)，不等式在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】（1