高中數學復習專題09 利用導數研究不等式能成立問題解析版

專題09利用導數研究不等式能成立問題一、單選題1．已知存在使得不等式在上成立，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．【解析】當，等價于，所以設，則，時，，遞增，所以，即，所以，所以，所以.故選：A．2．已知函數，若存在，使得，則實數a的取值范圍為：（）A． B． C． D．【解析】由題意可得在上能成立，所以在上能成立，令，則，令，則，所以在上單調遞減，且，即，因此在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以，故選：B.3．已知函數在R上單調遞增，當m取得最大值時，若存在使得成立，則實數k的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】因為函數在R上單調遞增，所以，即的最大值為，在上，，若存在使得成立，則當時，，令，，所以當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，故，當時，，，則，易知當時，，則在上單調遞減，，綜上所述，．故選：A4．若關于的不等式在上有解，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】由，得，又關于的不等式在上有解，所以在上有解，即，令，，則，設，，則，即在上單調遞增，則，于是有，從而得在上單調遞增，因此，，則，所以的取值范圍是.故選：D5．已知函數與函數的圖象上存在關于軸對稱的點，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．【解析】由題意，、關于軸對稱，∴與在上有交點，則在有解，令，則，，∴在上遞增，而，∴在上，遞減；在上，遞增；∴，故只需即可，得.故選：B6．函數，其中，若有且只有一個整數，使得，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【解析】已知函數，則有且只有一個整數解.令，則，當時，，當時，，所以在上遞減，在上遞增，所以當時，取得最小值.設，則恒過點.在同一坐標系中分別作出和的簡圖，因為，所以，所以，依題意得即，解得，又，所以.故選：C.7．已知，若，使得成立，則實數a的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】由，得，記，，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增．（1），，記，，，，，時，，單調遞減；時，，單調遞增．（1），，故實數的取值范圍為，．故選：A．8．已知函數，，若存在，使成立，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．【解析】因函數，，則，令，，則，令，，，即函數在單調遞增，而，，即存在，使得，當時，，當時，，即有在上遞增，在上遞減，于是得時，取得最大值，即，由得，顯然時，有，必有，反之，若，則有，假定不成立，當有時，由知，，，即與矛盾，當有時，，即與矛盾，綜合得假定不成立是錯的，從而有成立，也必有成立，于是得，即，因存在，使成立，則有，所以實數的取值范圍為.故選：A二、多選題9．設函數，若存在唯一的整數，使得，則滿足題意的的取值范圍可以是（）A． B． C． D．【解析】由題意存在唯一的整數，使得即，令，則，易知在單調遞增，在單調遞減，作出與的圖象，由題可知這個可能為0或2，當為0時，如圖一所示，則只需且同時成立，解得；當為2時，如圖二所示，且同時成立，解得，故選：BD.10．已知函數，，若，，不等式成立，則的可能值為（）A．4 B．3 C．2 D．1【解析】，若，則，則在單調遞增，；若，則在單減，在單增，，∴.，則在單調遞增，在單調遞減，，∴.∵，，不等式成立，∴若，，成立；若，，即，令，∴，∴h（x）在（1，+∞）單增.而，，，.故選：BCD.11．已知函數，，若對任意，總存在，使，則實數的值可以是（）A． B． C．1 D．2【解析】，對任意，，則在上單調遞增，所以在上的值域是，由題意可得是的值域的子集，當時的值域是，符合題意；當時，函數值域為，符合題意；當時，函數，要符合題意，則或，解得或，綜上可得實數的取值范圍是或.故選：ACD12．已知函數，則以下結論正確的是（）A．函數的單調減區(qū)間是B．函數有且只有1個零點C．存在正實數，使得成立D．對任意兩個正實數，，且，若則【解析】A選項，因為，所以，由得，；由得，，因此函數在上單調遞減，在上單調遞增；故A正確；B選項，令，則顯然恒成立；所以函數在上單調遞減；又，，所以函數有且僅有一個零點；故B正確；C選項，若，可得，令，則，令，則，由得；由得；所以函數在上單調遞增，在上單調遞減；因此；所以恒成立，即函數在上單調遞減，所以函數無最小值；因此，不存在正實數，使得成立；故C錯；D選項，令，則，則；令，則，所以在上單調遞減，則，即，令，由，得，則，當時，顯然成立，所以對任意兩個正實數，，且，若則.故D正確.故選：ABD三、填空題13．已知函數在上存在極值點，則實數a的取值范圍是_____________.【解析】由題可知：，因為函數在上存在極值點，所以有解所以，則或當或時，函數與軸只有一個交點，即所以函數在單調遞增，沒有極值點，故舍去所以或，即或14．函數，，若，，使得，則實數m的取值范圍是______.【解析】由，所以，令，得或，又，當時，，當時，，所以函數在單調遞減，在單調遞增，所以，又在單調遞增，所以，根據題意：若，，使得，即，所以，可得得取值范圍為15．已知函數，若存在成立，則實數a的取值范圍是________．【解析】由題意，函數，可得，設，可得，函數在上為單調遞增函數，又由，所以函數在上只有一個零點，設為，即，即，當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增，所以當時，函數取得最小值，其中最小值為，要使得存在成立，所以，即實數a的取值范圍是.16．若存在兩個正實數x，y，使等式成立，則實數m的取值范圍___________．【解析】因為，所以，因此，令且，而函數，，令，則恒成立，所以單調遞減，又因為，所以時，，即，所以在上單調遞增，所以時，，即，所以在上單調遞減，又因為，所以，故，即，故答案為：.四、解答題17．已知函數在點處的切線為．（1）求函數的解析式：（2）若存在實數m，使得在x時成立，求m的取值范圍．【解析】（1）由題意知：的定義域為，∵∴，解得，故．（2）令，，∴，故在時，單調遞增，．要存在實數m，使得在時成立，只要即可，解得：．18．已知函數在處取得極值，其中為常數.（1）試確定的值；（2）討論函數的單調區(qū)間；（3）若對任意，不等式有解，求的取值范圍.【解析】（1）由題意知，因此，從而．由題意求導得，因此，解得；（2）由（1）知．令，解得．1＋0－極大值因此的單調遞增區(qū)間為，而的單調遞減區(qū)間為；（3）由（2）知，在處取得極大值，此極大值也是最最值．要使（）有解，只需．即，從而．解得．所以的取值范圍為.19．已知函數.（1）若，求曲線在處切線的方程；（2）求的單調區(qū)間；（3）設，若對任意，均存在，使得，求的取值范圍.【解析】（1）由已知，，曲線在處切線方程為，即.（2）.①當時，由于，故，所以，的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間.②當時，由，得.在區(qū)間上，，在區(qū)間上，所以，函數的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.（3）由已知，轉化為，由（2）知，當時，在上單調遞增，值域為，故不符合題意.(或者舉出反例：存在，故不符合題意.)當時，在上單調遞增，在上單調遞減，故的極大值即為最大值，，所以，解得.20．已知函數在點處的切線方程為.（1）求實數的值；（2）若存在，滿足，求實數的取值范圍.【解析】（1）函數的定義域為，∵，∴.∴，又,∴所求切線方程為，即.又函數在點處的切線方程為，∴.所以實數的值為.（2）由題意得，所以問題轉化為在上有解.令，，則.令，則當時，有.所以函數在區(qū)間上單調遞減，所以.所以，所以在區(qū)間上單調遞減.所以.所以實數的取值范圍為.21．已知函數.（1）當時，求函數在區(qū)間上的值域；（2）當時，若關于的不等式恒成立，求正數的取值范圍.【解析】（1）當時，，有，令，有，令，可得，故函數的增區(qū)間為，減區(qū)間為，有，可得函數單調遞增，又由，，故函數在區(qū)間上的值域為，（2）當時，恒成立，令，有，當時，，可得此時函數單調遞增，又由，故有；當時，令，可得函數單調遞增，又由，，可得存在，使得，可得函數的減區(qū)間為，又由，有，不合題意，由上知正數的取值范圍為.22．已知函數.（1）若，當時，討論的單調性；（2）若，，且當時，不等式在區(qū)間上有解，求實數a的取值范圍.【解析】（1