專題4.8 圖形的相似單元提升卷-2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊舉一反三系列（北師大版）

PAGE1第4章圖形的相似單元提升卷【北師大版】參考答案與試題解析選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（23-24九年級(jí)·湖南衡陽·期末）已知四條線段a，b，c，d滿足abA．a(chǎn)d=cb B．a(chǎn)+cb+d=【答案】B【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)得到ad＝bc，可判斷A，根據(jù)分式的性質(zhì)可判斷C，根據(jù)分式的和比性質(zhì)可判斷B，D．【詳解】解：A、由已知ab=cd得B、根據(jù)分式的合比性質(zhì)，等式一定成立，故選項(xiàng)符合題意；C、根據(jù)分式的性質(zhì)可知該等式不成立，故選項(xiàng)不符合題意；D、根據(jù)分式的合比性質(zhì)，等式不一定成立，故選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了比例線段，比例的性質(zhì)，熟練掌握比例線段的定義是解題的關(guān)鍵．2．（3分）（23-24九年級(jí)·湖南婁底·期末）如圖，在△ABC中，D是AB邊上一點(diǎn)，添加下列條件，不能判定△ACD∽△ABC的是（）A．∠ACD=∠B B．∠ADC=∠ACBC．ADAC=AC【答案】D【分析】本題考查了相似三角形的判定，根據(jù)相似三角形的判定定理逐一判斷即可求解，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、根據(jù)題意可知，∠CAD=∠BAC，∠ACD＝∠B，由兩角對(duì)應(yīng)相等兩三角形相似可得B、根據(jù)題意可知，∠CAD=∠BAC，∠ADC=∠ACB，由兩角對(duì)應(yīng)相等兩三角形相似可得△ACD∽△ABC，故本選項(xiàng)不符合題意；C、根據(jù)題意可知，∠CAD=∠BAC，ADAC=ACD、由條件無法判斷∠ADC=∠ACB，故不能判定△ACD∽△ABC，該選項(xiàng)符合題意；故選：D．3．（3分）（23-24·安徽阜陽·二模）如圖，在Rt△ABD中，∠A=90°，AB∥DC，DC=2AB，且CE⊥DB．若AB=2，AD=72，則CEA．76565 B．72 C．14【答案】D【分析】本題考查了勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，知識(shí)的綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．先運(yùn)用勾股定理計(jì)算出DB的長度，由AB∥DC，易證△DAB∽△CED，最后列出比例式求解即可．【詳解】由勾股定理得DB=A∵AB∥DC，CE⊥DB，∠A=90°∴∠ABD=∠CDE，∠CED=90°=∠A，∴△DAB∽△CED，∴CEAD∴CE7解得CE=28故選：D．4．（3分）（23-24·湖南長沙·二模）如圖，課后服務(wù)課上，劉老師讓王剛同學(xué)站在B點(diǎn)處去觀測8m外的位于D點(diǎn)處的一棵大樹（CD），所用工具為一個(gè)平面鏡P和必要的長度測量工具（B、P、D在一直線上）．已知王剛身高（AB）1.6m，大樹高4.8m，將平面鏡P放置在離王剛（

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題考查相似三角形的應(yīng)用，證明△ABP∽△CDP，從而利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答．熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得：∠APB=∠CPD，AB⊥BD，CD⊥DB，BD=8，AB=1.6，CD=4.8，∴∠ABP=∠CDP=90°，∴△ABP∽△CDP，∴BPDP∴BP8?BP解得：BP=2，經(jīng)檢驗(yàn)，BP=2是原方程的解且符合題意，∴將平面鏡P放置在離王剛2m故選：B．5．（3分）（23-24九年級(jí)·四川宜賓·期末）如圖，點(diǎn)P是矩形ABCD的邊AD上的一動(dòng)點(diǎn)，矩形的兩條邊AB、BC的長分別是3和4，則點(diǎn)P到矩形的兩條對(duì)角線AC和BD的距離之和是（

）A．4 B．3 C．2.5 D．2.4【答案】D【分析】此題主要考查了矩形的性質(zhì)與相似三角形的綜合運(yùn)用，利用三角形的相似求線段長度是初中階段重點(diǎn)知識(shí)，熟練掌握是解此題的關(guān)鍵．過P點(diǎn)作PE⊥AC，PF⊥BD，由矩形的性質(zhì)可證△PEA～△CDA和△PFD～△BAD，根據(jù)PECD=PACA和PFAB=PDBD，即PE3=PA【詳解】解：過P點(diǎn)作PE⊥AC，PF⊥BD，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD⊥CD，∴△PEA～△CDA，∴PECD∵AC=BD=3∴PE3同理：△PFD～△BAD，∴PFAB∴PF3∴PE+PF3∴PE+PF=12即為點(diǎn)P到矩形的兩條對(duì)角線AC和BD的距離之和是：125故選：D．6．（3分）（23-24·陜西渭南·二模）如圖，△ABC與△A′B′C′是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，若點(diǎn)A、A′的坐標(biāo)分別為(?1,0)、(?2.0)

A．18 B．12 C．24 D．9【答案】C【分析】本題考查了位似變換的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，由題意可知，△ABC與△A′B【詳解】解：∵△ABC與△A′B′C′是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，點(diǎn)A、∴△ABC∽△A′B∴△ABC的面積：△A′∵△ABC的面積是6，，∴△A故選：C7．（3分）（23-24·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步驟作圖：第一步，分別以點(diǎn)A、D為圓心，以大于12AD的長為半徑在AD兩側(cè)作弧，交于兩點(diǎn)M、第二步，連接MN分別交AB、AC于點(diǎn)E、F；第三步，連接DE、DF．若BD=6，AF=4，CD=3，則BE的長是（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識(shí)，證明出四邊形AEDF的形狀是解題關(guān)鍵．根據(jù)作法可知：MN是線段AD的垂直平分線，再根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)，得出DE∥AC，DF∥AE，證明四邊形AEDF是菱形，得到AE=DE=DF=AF=4，然后由平行線分線段成比例定理，得到【詳解】解：∵根據(jù)作法可知：MN是線段AD的垂直平分線，∴AE=DE，AF=DF，∴∠EAD=∠EDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EDA=∠CAD，∴DE∥同理可得DF∥∴四邊形AEDF是菱形，∴AE=DE=DF=AF，∵AF=4，∴AE=DE=DF=AF=4，∵DE∥∴BDCD∵BD=6，AE=4，CD=3，∴63∴BE=8，故選：D．8．（3分）（23-24九年級(jí)·山東威?！て谀┰谘芯肯嗨茊栴}時(shí)，甲、乙同學(xué)的觀點(diǎn)如下：甲：將三角形按圖①的方式向外擴(kuò)張，得到新三角形，它們的對(duì)應(yīng)邊間距為1，則新三角形與原三角形相似．乙：將矩形按圖②的方式向外擴(kuò)張，得到新的矩形，它們的對(duì)應(yīng)邊間距均為1，則新矩形與原矩形相似．丙：將菱形按圖③的方式向外擴(kuò)張，得到新的菱形，他們的對(duì)應(yīng)邊間距均為1，則新菱形與原菱形相似．對(duì)于三人的觀點(diǎn)，下列說法正確的是（

）

A．甲對(duì)，丙、乙不對(duì) B．甲、乙都對(duì)，丙不對(duì)C．甲、丙都對(duì)，乙不對(duì) D．甲、乙、丙都對(duì)【答案】C【分析】根據(jù)邊數(shù)相同的兩個(gè)多邊形，如果對(duì)應(yīng)角相等，且對(duì)應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)多邊形相似即可判斷．【詳解】解：如圖所示，

據(jù)題意得：AB∥A′B′∴∠A=∠A′，∴△ABC∽∴新三角形與原三角形相似，甲說法正確．乙：設(shè)原矩形邊長為a，b．向外擴(kuò)張一個(gè)單位后邊長變?yōu)閍+2，b+2．則A∴新矩形與原矩形不相似，乙說法不正確；丙：將邊長為a的菱形按圖③的方式向外擴(kuò)張，得到新菱形，各邊與原菱形邊平行，因此各角與原菱形角對(duì)應(yīng)相等，擴(kuò)張后四條邊依然相等，即新菱形與原菱形相似，故丙正確，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，相似多邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似多邊形的判定是解題的關(guān)鍵．9．（3分）（23-24九年級(jí)·四川達(dá)州·期末）如圖，△ABC≌△DEF，AB=AC=5，BC=EF=6，點(diǎn)E在BC邊上運(yùn)動(dòng)（不與端點(diǎn)重合），邊DE始終過點(diǎn)A，EF交AC于點(diǎn)G，當(dāng)△AEG是等腰三角形時(shí)，△AEG的面積是（

）．A．8或625108 B．8 C．625108 【答案】A【分析】首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AGE>∠C，可得AE≠AG，當(dāng)AE=EG與AG=EG去分析，注意利用全等三角形與相似三角形的性質(zhì)求解即可求得答案．【詳解】解：∵△ABC≌△DEF，AB=AC，∴∠AEF=∠B=∠C，且∠AGE>∠C，∴∠AGE>∠AEF，∴AE≠AG；∵∠AEF=∠B，∴180°?∠AEB?∠AEF=180°?∠AEB?∠B，即：∠CEG=∠BAE，當(dāng)AE=EG時(shí)，在△ABE與△ECG中，∠B=∠C∴△ABE≌△ECGAAS∴CE=AB=5，∴BE=BC?EC=6?5=1，作AM⊥BC于點(diǎn)M，∵AB=AC=5，BC=6，∴BM=3，∴AM=A∴S△ABE∴S==8，當(dāng)AG=EG時(shí)，則∠GAE=∠GEA，∴∠GAE+∠BAE=∠GEA+∠CEG，即∠CAB=∠CEA，又∵∠C=∠C，∴△CAE∽△CBA，∴CEAC∴CE=A∴BE=6?25∵∠CEG=∠BAE，∴△ABE∽△ECG，∴ABCE∴CG=CE?BE∴AG=5?55∵∠EAG=∠AEG=∠B=∠C，∴△GAE∽△ABC，∴S△EAG∴S△EAG故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．10．（3分）（23-24·上?！つM預(yù)測）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，AD=1，BC=2，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)E．當(dāng)邊ABA．點(diǎn)E到邊AB的距離不變 B．點(diǎn)E到邊BC的距離不變C．點(diǎn)E到邊CD的距離不變 D．點(diǎn)E到邊DA的距離不變【答案】A【分析】先證△EAD∽△ECB得EC=2EA，EB=2ED，則AC=3AE，DB=3DE，過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EH⊥BC，HE的延長線交AD于K，EP⊥CD于P，過點(diǎn)D作DQ⊥BC于Q，證明△BEF∽△BAD得EF=23，由此可對(duì)選項(xiàng)A進(jìn)行判斷；證明△CEH∽△CAB得EH=23AB，由此可對(duì)選項(xiàng)B進(jìn)行判斷；根據(jù)KH=AB，EH=23AB得EK=13AB，由此可對(duì)選項(xiàng)D進(jìn)行判斷；設(shè)AB=a，則EH=2a3，EK=【詳解】解：∵四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，AD=1，∴△EAD∽△ECB，∴EA:EC=DE:EB=AD:BC=1:2，∴EC=2EA，EB=2ED，∴AC=EA+EC=3AE，DB=ED+EB=3DE，過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EH⊥BC，HE的延長線交AD于K，EP⊥CD于P，過點(diǎn)D作DQ⊥BC于Q，如圖所示：∵∠BAD=90°，∴EF∥∴△BEF∽△BAD，∴EF:AD=EB:DB，即EF:1=2ED:3DE．∴EF=2∴點(diǎn)E到邊AB的距離不變，故選項(xiàng)A正確，符合題意；∵∠BAD=90°，AD∥∴∠ABC=90°，又∵EH⊥BC，HE的延長線交AD于K，∴四邊形ABHK為矩形，∴HK∥AB，∴△CEH∽△CAB，∴EH:AB=EC:AC，即EH:AB=2EA:3AE，∴EH=2∴當(dāng)邊AB的長度發(fā)生變化時(shí)，EH隨AB的變化而變化，故選項(xiàng)B不正確，不符合題意；∵KH=AB，EH=2∴EK=HK?EH=AB?2∴當(dāng)邊AB的長度發(fā)生變化時(shí)，EK隨AB的變化而變化，故選項(xiàng)D不正確，不符合題意；設(shè)AB=a，則EH=2a3，∵∠BAD=∠ABC=90°，DQ⊥BC，∴四邊形ABQD為矩形，∴BQ=AD=1，DQ=AB=a，∴CQ=BC?BQ=2?1=1，在Rt△DQC中，由勾股定理得：CD=∵S∴12∴AB?EF+AD?EK+BC?EH+CD?EP=(AD+BC)?AB，即a×2整理得：EP=2a∴當(dāng)邊AB的長度發(fā)生變化時(shí)，EP隨AB的變化而變化，故選項(xiàng)C不正確，不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離，熟練掌握梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（23-24·江蘇蘇州·一模）如圖，將⊙O的圓周分成五等份，依次隔一個(gè)分點(diǎn)相連，即成一個(gè)正五角星形．此時(shí)點(diǎn)M是線段AD，BE的黃金分割點(diǎn)，也是線段NE，AH【答案】5【分析】本題考查了黃金分割，圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．連接AE，根據(jù)題意可得：AB=DE，從而利用等弧所對(duì)的圓周角相等可得∠AEB=∠DAE，進(jìn)而可得【詳解】解：連接AE，∵將⊙O的圓周分成五等份，∴AB=∴∠AEB=∠DAE，∴MA=ME，∵點(diǎn)M是NE的黃金分割點(diǎn)，∴MENE∴NM故答案為：5?112．（3分）（23-24·山東菏澤·一模）如圖，等邊△ABC被矩形DEFG所截，EF∥BC，線段AB被截成三等份．若△ABC的面積為12cm2【答案】4【分析】此題重點(diǎn)考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)EF∥BC，得到△AKN∽△ABC，利用三角形相似的性質(zhì)可求得S△AKN【詳解】∵線段AB被截成三等份，∴AKAB=∵EF∥∴△AKN∽△ABC，∴S∴S∴S∵四邊形DEFG是矩形，∴EF∥∴DG∥∴△AHM∽△ABC，∴S∴S∴S∴陰影部分的面積=S故答案為：4．13．（3分）（23-24·河南省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測）如圖，已知點(diǎn)P是邊長為10的正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，且PB=8，BF⊥BP，若在射線BF上有一點(diǎn)M，使以點(diǎn)B，M，C為頂點(diǎn)的三角形與△ABP相似，那么BM=【答案】8或25【分析】本題考查相似三角形的判定，正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是要分兩種情況討論．由余角的性質(zhì)推出∠ABP=∠CBM，當(dāng)AB:BM=PB:BC時(shí)，△BAP∽△BMC，當(dāng)AB:BC=PB:BM時(shí)，△BAP∽△BCM，兩種情況下，分別求出MB的長，即可得到答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，BC=AB=10，∵BF⊥BP，∴∠ABP+∠CBP=∠CBM+∠CBP=90°，∴∠ABP=∠CBM．當(dāng)AB:BM=PB:BC時(shí)，△BAP∽△BMC，∴10:MB=8:10，∴BM=12.5，當(dāng)AB:BC=PB:BM時(shí)，△BAP∽△BCM，∴10:10=8:BM，∴BM=8，∴以點(diǎn)B，M，C為頂點(diǎn)的三角形與△ABP相似，那么MB的長是8或252故答案為：8或25214．（3分）（23-24·安徽合肥·模擬預(yù)測）如圖，在?ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，將?ABCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至?EOCF的位置，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在點(diǎn)O處，B，O，D，E四點(diǎn)共線，請(qǐng)完成下列問題：

（1）已知∠COB=α，則∠FCD=（用含α的代數(shù)式表示）；（2）若BO=2，則BC的長為．【答案】180°?2α2【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠FCO=∠BCD，推出∠FCD+∠DCO=∠BCO+∠OCD，即可得到答案；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△ABO∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AO?AC=2AO【詳解】解：（1）∵點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在點(diǎn)O處，∴CO=BO，∴∠BOC=∠OBC=α，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠FCO=∠BCD，∴∠FCD+∠DCO=∠BCO+∠OCD，∴∠FCD=∠BCO=180°?2α；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知OE=AB，∵?EOCF，B，O，D，E四點(diǎn)共線，∴CF∥∴∠COB=∠FCO，∴∠OBC=∠BCD，∴CD=BD，∵?ABCD，∴CD=AB,AO=CO，∵BO=2，∴BD=2BO=4，∴AB=CD=BD=4，∵∠DCB+∠ABC=180°，∠COB+∠AOB=180°，∴∠AOB=∠ABC，∵∠OAB=∠BAC，∴△ABO∽△ACB，∴AO∵AC=2AO,AO=CO，∴AO?AC=2AO∴AO=22∴BC=CO=AO=22故答案為：180°?2α；2215．（3分）（23-24·四川成都·一模）如圖，已知△ABC為等腰三角形，且AB=AC，延長AB至D，使得AB：BD=m：n，連接CD，E是BC邊上的中點(diǎn)，連接AE，并延長AE交CD與點(diǎn)F，連接FB

【答案】m：m+n【分析】本題主要考查的是平行線分線段成比例定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．如圖：過點(diǎn)B作BH∥AF交CD于H，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到DHHF=BD【詳解】解：過點(diǎn)B作BH∥AF交CD于∴△BDH∽△ADF∴DHHF

∵AB=AC，E是BC邊上的中點(diǎn)，∴AE⊥BC，∴AF是線段BC的垂直平分線，∴BF=CF，∵EF∥BH∴△CEF∽△CBH,∴CFCH∴CF=12HF∴CF：∴BF：故答案為：m：16．（3分）（23-24九年級(jí)·浙江紹興·期末）如圖，在小正方形邊長均為1的4×4的網(wǎng)格中，△ABC是一個(gè)格點(diǎn)三角形．如果△DEF，△GHI是該網(wǎng)格中與△ABC相似的格點(diǎn)三角形，且△DEF的面積S1最大；△GHI的面積S2最小，那么S1【答案】5【分析】此題先求出已知三角形的三邊關(guān)系，在格點(diǎn)中分別找到對(duì)應(yīng)成比例的面積最大和面積最小的三角形，通過相似三角形面積比為相似比的平方直接求解即可．【詳解】由圖可知AB=12+1∵△DEF，△GHI是該網(wǎng)格中與△ABC相似的格點(diǎn)三角形，且△DEF的面積S1最大；△GHI的面積S2最小，可如圖所示作出△DEF，∴DE=12+2∴∴△DEF∽△BAC∴同理可得GH=1，HI=2，且△HGI∽△BAC∴∴S綜上所述：S故答案為：5【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是在格點(diǎn)圖中畫出三角形，難點(diǎn)是將三角形相似比轉(zhuǎn)化為面積比．三．解答題（共7小題，滿分52分）17．（6分）（23-24·廣東東莞·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E為AC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AD⊥AB交BE的延長線于點(diǎn)D，CG平分∠ACB交BD于點(diǎn)G，F(xiàn)為AB邊上一點(diǎn)，連接CF，且∠ACF=∠CBG．求證：(1)AF=CG；(2)CF=2DE．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）證明△AFC≌△CBGASA（2）如圖，延長CG交AB于H，則CH⊥AB，CH平分AB，進(jìn)而證得CH∥AD，得出DG=BG，證明△ADE與△CGE全等，從而證得CF=2DE．【詳解】（1）證明：∵∠ACB=90°，AC=BC，CG平分∠ACB，∴∠CAF=∠CBF=45°，∠ACG=∠BCG=45°，∴∠CAF=∠BCG，∵∠ACF=∠CBG，∴△AFC≌△CBGASA∴AF=CG；（2）證明，如圖，延長CG交AB于H，∵CG平分∠ACB，AC=BC，∴CH⊥AB，CH平分AB，∵AD⊥AB，∴AD∥CG，∴∠D=∠EGC，∵∠AED=∠CEG，∴△ADE≌△CGEAAS∴DE=GE，即DG=2DE，∵AD∥CH，∴BGDG=BH∵△AFC≌△CBGASA∴CF=BG，∴CF=2DE．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定及性質(zhì)，平行線分線段成比例．熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定及性質(zhì)，平行線分線段成比例是解本題的關(guān)鍵．18．（6分）（23-24九年級(jí)·安徽六安·期末）已知線段a，b，c滿足a:b:c=1:3:5，且a?b+c=6．(1)求線段a，b，c的長；(2)若線段m是線段a，b的比例中項(xiàng)，求線段m的長．【答案】(1)a=2，b=6，c=10(2)m=2【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，比例線段，熟記比例中項(xiàng)的概念是解決問題的關(guān)鍵．（1）設(shè)a=k，b=3k，c=5k，再代入求解得到k=2，即可得到a、b、c的值；（2）根據(jù)比例中項(xiàng)的定義列式得到m2=ab，即m2【詳解】（1）解：設(shè)a=k，b=3k，c=5k，∴a?b+c=6，即k?3k+5k=6，解得：k=2，∴a=2，b=6，c=10；（2）由（1）知a=2，b=6，又因?yàn)閙是a，b的比例中項(xiàng)，∴m2=ab，即∴m=±23∵m>0，∴m=2319．（8分）（23-24九年級(jí)·山東煙臺(tái)·期末）如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在△ABC的邊上，ADBD=13，DE∥BC，EF∥AB，點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)，連接CM并延長交AB于點(diǎn)【答案】MNCM【分析】本題考查了平行線分線段成比例，全等三角形的判定與性質(zhì)．先根據(jù)平行線性質(zhì)和中點(diǎn)性質(zhì)證明△NDM≌△HFMASA，再證明NH【詳解】解：如圖，設(shè)EF與CN的交點(diǎn)為H，∵點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)，∴DM=FM，∵EF∥∴∠NDM=∠HFM，∵∠DMN=∠FMH，∴△NDM≌△HFMASA∴HM=MN，∵DE∥BC，ADBD∴AECE∵EF∥∴NHCH∴CH=3NH=3HM+MN∴MNCM20．（8分）（23-24九年級(jí)·江蘇·期末）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，DE⊥BD，交AB于點(diǎn)E，(1)求證：△ADE∽(2)若AB=10，BE=3AE，求線段【答案】(1)見解析(2)線段AD長為5【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)角平分線的定義、角的和差可得∠ADE=∠ABD，再結(jié)合∠A=∠A即可證明結(jié)論；（2）由線段的和差可得AE=2.5，BE=7.5，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式【詳解】（1）證明：∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD=∠DBC，∵DE⊥BD，∴∠BDE=90°，∵∠C=90°，∴∠ADE+∠BDC=90°，∴∠CBD=∠ADE，∴∠ADE=∠ABD，又∵∠A=∠A，∴△ADE∽（2）解：∵AB=10，∴AE=2.5，由（1）得△ADE∽∴ADAB∴AD∴AD=5，∴線段AD長為5．21．（8分）（23-24·吉林長春·模擬預(yù)測）圖①、圖②、圖③均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，在給定的網(wǎng)格中，分別按下列要求作圖．(1)在圖①中，在邊AB上找一點(diǎn)D，使BD=BC．(2)在圖②中，在邊AC上找一點(diǎn)E，在BC上找一點(diǎn)F，使EF∥AB，且(3)在圖③中，在△ABC內(nèi)找一點(diǎn)M，分別連結(jié)AM，CM，使△ABM、△ACM、△BCM的面積相等．【答案】(1)畫圖見解析(2)畫圖見解析(3)畫圖見解析【分析】本題考查了網(wǎng)格作圖，相似三角形的性質(zhì)，掌握網(wǎng)格線的特點(diǎn)和相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）只需將線段AB分成2:3的兩段且分點(diǎn)D離點(diǎn)A更近，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)作圖，連接EF即可；（2）只需找到AC和BC靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，找到AC的三等分點(diǎn)E，連接FE即可；（3）先求出直角三角形的面積，根據(jù)三角形的面積求出高，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)作圖.【詳解】（1）解：點(diǎn)D即為所求；（2）解：點(diǎn)E、F即為所求；（3）解：△ABC的面積為：12∵△ABM、△ACM、△BCM的面積相等，∴△ABM、△ACM、△BCM的面積都為：13∴△ACM的高為：2×2÷4=1，△BCM的高為：2×2÷3=4∵EP∥FQ，∴△EPM∽△FQM，且相似比為2:1，∴MQ=1∴點(diǎn)M即為所求.22．（8分）（23-24九年級(jí)·河南鄭州·期中）如圖，Rt△ABC的兩條直角邊AB=4cm，AC=3cm，點(diǎn)D沿AB從A向B運(yùn)動(dòng)，速度是1cm/秒，同時(shí)，點(diǎn)E沿BC從B向C運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/秒．動(dòng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)運(yùn)動(dòng)終止．連接DE(1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=秒時(shí)，△BDE與△ABC相似．(2)在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)CD⊥DE時(shí)，t為何值？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)2013或(2)當(dāng)CD⊥DE時(shí)，t=2【分析】（1）本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，判斷何時(shí)△BDE與△ABC相似是解決問題的關(guān)鍵．已知△ABC是直角三角形，要△BDE與其相似，圖中已有一個(gè)公共角∠B，所以只需△BDE的另外兩個(gè)角有一個(gè)角是直角，那么△BDE與△ABC相似．由此對(duì)應(yīng)兩種情況：∠DEB=90°或∠EDB=90（2）本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，構(gòu)造輔助線，找到三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．當(dāng)CD⊥DE時(shí)，過點(diǎn)E作EF⊥AB于F，證明Rt△ACD∽R(shí)t△FDE【詳解】（1）解：設(shè)經(jīng)過運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，△BDE與△ABC相似．則AD=t(cm)，BD=(4?t)(cm)，BE=2t(cm)1）當(dāng)∠EDB=90°，即∵∠B=∠B∴Rt△BDE∴BDBA=BE∴t=20２）當(dāng)∠DEB=90°，即∵∠B=∠B∴Rt△BDE∴BDBC=BE∴t=8∵t=2013和t=8∴當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)t=2013秒或t=87秒時(shí)，故答案為：2013或8（2）如圖，過點(diǎn)E作EF⊥AB于F，設(shè)經(jīng)過運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，CD⊥DE，則AD=t(cm)，BD=(4?t)(cm)，BE=2t(cm)∵∠B=∠B∴Rt∴BFBA=BE∴BF=8t5，∴DF=AB?AD?BF=4?t?8t∵CD⊥DE，∴∠CDE=90∴∠ADC+∠EDF=90∵∠BAC=90∴∠ADC+∠ACD=90∴∠ACD=∠EDF，∵∠CAD=∠EFD=90∴Rt△ACD∴ACDF=AD∴t=223．（8分）（23-24·陜西榆林·二模）問題探究：(1)如圖1，AB∥CD，AC與BD交于點(diǎn)E，若△ABE的面積為16，AE＝2CE，則△CDE的面積為(2)如圖2，在矩形ABCD中，連接AC，BE⊥AC于點(diǎn)E，已知BE＝3，求矩形ABCD面積的最小值；問題解決：(3)某地方政府欲將一塊如圖3所示的平行四邊形ABCD空地改建為健身娛樂廣場，已知AB＝3003米，∠A＝60°，廣場入口P在AB上，且B