云南省昆明市2024-2025學年高三上學期12月大聯(lián)考試題 數(shù)學（含答案）

絕密★啟用前2025屆高三12月大聯(lián)考（新課標卷）數(shù)學本卷滿分150分，考試時間120分鐘。注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．已知復數(shù)與在復平面內(nèi)對應的點關于實軸對稱，則（）A． B． C． D．3．蘇州荻溪倉始建于明代，曾作為古代官方桹倉，圓筒桹倉簡約美觀、儲存容量大，在糧食儲存方面優(yōu)勢明顯，如圖（1）．某校模型制作小組設計圓筒糧倉模型時，將糧倉的屋頂近似看成一個圓錐，如圖（2）．若該圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，底面圓的直徑為，則該圓錐的體積為（）A． B． C． D．4．已知，且滿足，則（）A． B． C． D．5．已知向量，，則的最小值為（）A．1 B． C．2 D．46．下列函數(shù)，滿足“對于定義域內(nèi)任意兩個實數(shù)，，都有”的是（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)，在處取得最大值，且．將曲線向左平移1個單位長度，得到曲線，則函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)為（）A．4 B．5 C．6 D．78．已知函數(shù)，，，，則，，的大小關系是（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．下列說法正確的是（）A．數(shù)據(jù)5，8，10，12，13的第40百分位數(shù)是9B．若隨機變量服從正態(tài)分布，，則C．20張彩票中只有2張能中獎，現(xiàn)從中一次性抽取張，若其中至少有一張中獎的概率大于0．5，則的最小值為6D．已知數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為6，方差為10，現(xiàn)加入5和7兩個數(shù)，則這8個數(shù)的方差10．已知函數(shù)在處取得極值，則下列說法正確的是（）A．若在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是B．有3個零點C．在上的最小值為D．在R上恒成立11．如圖，已知圓，過原點作射線交圓于點（異于點），交直線于點（異于點），再以為圓心、線段的長為半徑作圓與射線交于點，記點的軌跡為曲線．設，，則下列說法正確的是（）A．曲線上所有點的橫坐標的取值范圍是B．C．曲線的方程為D．過點且與垂直的直線必與拋物線相切三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．函數(shù)的圖象在點處的切線與坐標軸圍成的三角形面積為_______．13．甲、乙兩人進行某項比賽，已知每局比賽甲獲勝的概率均為，沒有平局，各局比賽的結(jié)果互不影響．約定當一方勝的局數(shù)比另一方多兩局時即可獲勝，比賽結(jié)束．設最終比賽局數(shù)為，則_______．14．過雙曲線的左焦點作軸的垂線，為上一動點，已知，，若的最大值為，則雙曲線的離心率為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）記的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知，．（1）求；（2）若的周長為，求的面積．16．（15分）如圖，橢圓的中心在原點，左、右焦點分別為，，點，為橢圓上兩點（均位于軸上方），且滿足，面積的最大值為2，橢圓的離心率小于，且橢圓的四個頂點圍成的四邊形周長為12．（1）求橢圓的標準方程；（2）求證：為定值．17．（15分）已知函數(shù)．（1）若，求證：；（2）若且在上恒成立，求的最大值．18．（17分）如圖，在三棱錐中，平面，，分別是，的中點，，，．延長至點，使得，連接．（1）證明：；（2）求二面角的余弦值；（3）若點，分別是直線，上的動點，求的最小值．19．（17分）設數(shù)列是一個無限數(shù)列，若對于一個給定的正整數(shù)，不等式對每一個大于的正整數(shù)都成立，則稱是階友好數(shù)列．（1）若，證明：是2階友好數(shù)列，但不是1階友好數(shù)列．（2）若是1階友好數(shù)列，為數(shù)列的前項和．證明：①；②．1PAGE第7頁2025屆高三12月大聯(lián)考（新課標卷）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1234567891011DBACBCAAACDBCABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．13．14．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）【解析】（1）由題意及余弦定理，得，（2分）所以．（3分）由，得．（5分）又，所以．（6分）（2）由（1），得，（8分）所以．又，所以，，，（11分）所以的面積．（13分）說明：第（1）問：1．寫出余弦定理給1分，寫出給1分．2．3分段指寫出．3．5分段指寫出．4．6分段指寫出．第（2）問：1．8分段指寫出．2．11分段指寫出，，．3．13分段指寫出的面積．16．（15分）【解析】（1）由題意，得（3分）解得（4分）所以橢圓的標準方程為．（5分）（2）由（1），知，延長交橢圓于點，由及對稱性，知，（6分）所以．（7分）當直線的斜率不存在時，易得，則．（8分）當直線的斜率存在且不為零時，設其方程為，由得，，（9分）設，，根據(jù)根與系數(shù)的關系，得（10分）所以（11分），（12分），（13分）所以．（14分）綜上，為定值．（15分）說明：第（1）問：1．3分段指列出關于a，b，c的方程組與不等關系．2．4分段指求出a，b，c的值．3．5分段指寫出橢圓的標準方程為．第（2）問：1．6分段指寫出．2．7分段指寫出等式．3．8分段指當直線的斜率不存在時，求出．4．9分段指當直線的斜率存在且不為零時，得到，．5．10分段指根據(jù)根與系數(shù)的關系寫出6．11分段指寫出．7．12分段指寫出．8．13分段指寫出．9．14分段指當直線的斜率存在且不為零時，寫出．10．15分段指寫出綜上，為定值．17．（15分）【解析】（1）的定義域為，（1分）當時，，（2分）易得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（3分）所以．（4分）（2）令，則在上恒成立．求導，得，（6分）當時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增．又，不符合題意，舍去．（8分）當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，（10分）只需即可．（11分）設，則，（12分）所以在上單調(diào)遞增．又，所以當時，恒成立，所以．（14分）又，所以的最大值為-1．（15分）說明：第（1）問：1．1分段指寫出的定義域為．2．2分段指寫出．3．3分段指寫出在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．4．4分段指寫出．第（2）問：1．6分段指構(gòu)造函數(shù)并正確求導，同時對分子因式分解，若求導正確但沒有因式分解也給1分．2．8分段指寫出當時不符合題意的情形．3．10分段指寫出當時，求出．4．11分段指寫出只需即可．5．12分段指構(gòu)造函數(shù)并正確求導，同時得到導函數(shù)的符號．6．14分段指根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到．7．15分段指根據(jù)得到的最大值為-1．18．（17分）【解析】因為，，，是的中點，所以，（1分）兩邊平方，得，即，得，所以．（2分）又平面，所以，，兩兩垂直．如圖，以為原點，，，所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則，，，，，．（3分）（1）易得，，所以，（4分）所以．（5分）（2）由題意，知平面的一個法向量是．（6分）易得，．設平面的法向量是，則即（7分）令，得，所以平面的一個法向量是，（8分）所以，（9分）由圖，知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為．（10分）（3）因為點N，Q分別是直線，上的動點，設，，則，所以．（12分）設，，則，所以，（14分）所以，（16分）所以當，時，取得最小值，為．（17分）說明：第（1）問：1．1分段指寫出．2．2分段指寫出．3．3分段指建立空間直角坐標系并正確寫出相關點的坐標．4．4分段指寫出．5．5分段指寫出．第（2）問：1．6分段指寫出平面的一個法向量是．2．7分段指寫出即3．8分段指寫出平面的一個法向量是．4．9分段指寫出．5．10分段指寫出二面角的余弦值為．第（3）問：1．12分段指寫出．2．14分段指寫出．3．16分段指寫出，若沒有正確配方給1分．4．17分段指寫出取得最小值為．19．（17分）【解析】（1）因為，所以要證是2階友好數(shù)列，只需證不等式對每一個大于2的正整數(shù)都成立，（1分）只需證對每一個大于2的正整數(shù)都成立，（2分）只需證，即對每一個大于2的正整數(shù)都成立，（4分）這是顯然成立的，所以是2階友好數(shù)列．（5分）又，，，所以，所以不是1階友好數(shù)列．（6分）（2）因為是1階友好數(shù)列，所以對每一個大于1的正整數(shù)都成立，即對每一個大于1的正整數(shù)都成立．（10分）令．①由上述過程，知，所以，所以．（11分）②要證，只需證，只需證，即證（*）．（12分）當為奇數(shù)時，即證，由，得，，，，此時（*）式顯然成立．（14分）當為偶數(shù)時，即證，由，得，，，，此時（*）式也顯然成立，（16分）所以．（17分）說明：第（1）問：1．1分段指寫出將要證結(jié)論轉(zhuǎn)化為只需證不等式對每一個大于2的正整數(shù)都成立．2．2分段指將，，代入上式