(自動(dòng)控制原理)第四章根軌跡(06改)

第四章根軌跡法

本章主要內(nèi)容:

根軌跡的基本概念根軌跡的繪制準(zhǔn)則特殊根軌跡利用根軌跡分析閉環(huán)系統(tǒng)用MATLAB繪制根軌跡

我們知道，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)分布，其它性能取決于其零極點(diǎn)分布。因此，可以用系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布來間接地研究控制系統(tǒng)的性能。伊文思(W.R.Evans)提出了一種在復(fù)平面上

由開環(huán)零極點(diǎn)確定閉環(huán)零極點(diǎn)的圖解方法—根軌跡法。將系統(tǒng)的某一個(gè)參數(shù)（比如開環(huán)放大系數(shù)）的全部值與閉環(huán)特征根的關(guān)系表示在一張圖上。

概述根軌跡法——一種由開環(huán)傳遞函數(shù)求閉環(huán)特征根的簡(jiǎn)便方法。根軌跡法的實(shí)質(zhì)——繪制根軌跡，實(shí)質(zhì)上是在系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的某一參數(shù)變化時(shí)，尋求閉環(huán)特征根在復(fù)平面上變化的軌跡。

利用根軌跡法，可以解決以下問題：

分析系統(tǒng)的性能確定系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)系統(tǒng)校正裝置的綜合§1.1根軌跡的基本概念例：如圖所示二階系統(tǒng)，-特征方程為：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：特征根為：閉環(huán)傳遞函數(shù)：①

當(dāng)K=0時(shí)，s1=0,s2=-2,

是根軌跡的起點(diǎn)（S1、S2也是開環(huán)

傳遞函數(shù)的極點(diǎn)②當(dāng)K=0.32時(shí)，s1=-0.4,s2=-1.6

根在負(fù)實(shí)軸上。③

當(dāng)K=0.5時(shí),s1=-1,s2=-1(負(fù)實(shí)重根）④

當(dāng)K=1時(shí)，s1=-1+j,s2=-1-j（共軛根）⑤

當(dāng)K=5時(shí)s1=-1+3j,s2=-1-3j（共軛根）⑥

當(dāng)K=∞時(shí)，s1=-1+∞j,s2=-1-∞j討論：閉環(huán)特征根結(jié)論：根軌跡直觀地表示了參數(shù)K變化時(shí)，閉環(huán)特征根的變化，同時(shí)還給出了參數(shù)K對(duì)閉環(huán)特征根在S平面上分布的影響。對(duì)一般的反饋控制系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)圖為：-將寫成以下標(biāo)準(zhǔn)型，得：

分別為開環(huán)零極點(diǎn)，為根軌跡增益。閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式為：小結(jié)：

1)根軌跡一但畫出，那么，對(duì)應(yīng)某一值（或其他參數(shù)的變化），就可以獲得一組特征根（閉環(huán)極點(diǎn)），于是可判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性；再考慮到已知閉環(huán)零點(diǎn),就可以確定系統(tǒng)的品質(zhì)，由此，可以解決系統(tǒng)的分析問題。

2)反之，也可根據(jù)規(guī)定的品質(zhì)指標(biāo)，利用根軌跡法，合理安排開環(huán)零極點(diǎn)的位置，并適當(dāng)調(diào)整值。(P98)即根軌跡方程4.1根軌跡法的基本概念由一、繪制根軌跡的條件即滿足根軌跡方程的幅值條件和相角條件為：顯然，滿足上述條件的值，就是特征方程式的根，即閉環(huán)積點(diǎn)。通常，我們先以根軌跡增益（當(dāng)然也可以用其它變量）作為變化量來討論根軌跡。[一些約定]：

1)在根軌跡圖中，“”表示開環(huán)極點(diǎn)，“”表示開環(huán)有限值零點(diǎn)。粗線表示根軌跡，箭頭表示某一參數(shù)增加的方向。“”表示根軌跡上的點(diǎn)。

2）在繪制根軌跡時(shí)，令S平面橫軸和縱軸比例尺相同。

3）繪制根軌跡的依據(jù)是幅角條件。

4）利用幅值條件計(jì)算的值。

5)在測(cè)量幅角時(shí)，規(guī)定以逆時(shí)針方向?yàn)檎?。例題4-1已知開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：可將系統(tǒng)的三個(gè)極點(diǎn)和一個(gè)有限零點(diǎn)畫在復(fù)平面上如圖：解：改寫傳遞函數(shù)為——根軌跡放大系數(shù)——開環(huán)放大系數(shù)由此得開環(huán)放大系數(shù)：假設(shè)是閉環(huán)極點(diǎn)，在圖上量得全部幅角之和須滿足：4.2根軌跡的繪制法則4.2.1繪制根軌跡的一般法則

1、起點(diǎn)

2、終點(diǎn)3、根軌跡數(shù)和它的對(duì)稱性4、實(shí)軸上的根軌跡

確定依據(jù)：在實(shí)軸上根軌跡分支存在的區(qū)間的右側(cè)，開環(huán)零極點(diǎn)數(shù)目的總和為奇數(shù)。5、根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)

確定依據(jù)：閉環(huán)極點(diǎn)也是開環(huán)極點(diǎn)。閉環(huán)極點(diǎn)也是開環(huán)有限零點(diǎn)。6、根軌跡的漸近線

7、根軌跡的出射角和入射角當(dāng)開環(huán)零、極點(diǎn)處于復(fù)平面上時(shí)，根軌跡離開的出發(fā)角稱為出射角；根軌跡趨于復(fù)零點(diǎn)的終止角成為入射角。漸近線包括兩個(gè)內(nèi)容：漸近線的傾角和漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)。計(jì)算出射角的公式：計(jì)算入射角的公式：8、根軌跡和虛軸的交點(diǎn)根軌跡和虛軸相交時(shí)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。則閉環(huán)特征方程至少有一對(duì)共軛虛根。這時(shí)的增益稱為臨界根軌跡增益。1、根軌跡的起點(diǎn)：若則閉環(huán)系統(tǒng)的特征根由下式?jīng)Q定上式即為開環(huán)系統(tǒng)的特征方程式。結(jié)論：當(dāng)時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)也就是開環(huán)極點(diǎn)，繪制根軌跡時(shí)，從時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)畫起，即從開環(huán)極點(diǎn)出發(fā)。2、根軌跡的終點(diǎn)：

那么，n-m支根軌跡是如何趨于無限遠(yuǎn)呢？

我們稱系統(tǒng)有n-m個(gè)無限遠(yuǎn)零點(diǎn)。有限值零點(diǎn)加無窮遠(yuǎn)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于極點(diǎn)數(shù)。當(dāng)時(shí)，①。

是開環(huán)傳遞函數(shù)有限值的零點(diǎn)，有m個(gè)。故n階系統(tǒng)有m支根軌跡的終點(diǎn)在m個(gè)有限零點(diǎn)處。

②若n>m，那么剩余的n-m個(gè)終點(diǎn)在哪里呢？在無窮遠(yuǎn)處。由根軌跡方程知：當(dāng)時(shí)

3、根軌跡的支數(shù)和它的對(duì)稱性：

n階特征方程有n個(gè)根。當(dāng)從0到無窮大變化時(shí)，n個(gè)根在復(fù)平面內(nèi)連續(xù)變化組成n支根軌跡。即根軌跡的支數(shù)等于系統(tǒng)階數(shù)。

特征方程的系數(shù)為實(shí)數(shù)，所以如果存在復(fù)數(shù)特征根應(yīng)是共軛根。因此，根軌跡都對(duì)稱于實(shí)軸。4、實(shí)軸上的根軌跡：在實(shí)軸上根軌跡分支存在的區(qū)間的右側(cè)，開環(huán)零極點(diǎn)數(shù)目的總和為奇數(shù)。即由此，滿足幅值條件：[例]：已知系統(tǒng)開環(huán)零極點(diǎn)的分布如圖示，判斷和之間的實(shí)軸是否存在根軌跡？●

結(jié)論：和之間的實(shí)軸存在根軌跡。5、根軌跡的會(huì)合點(diǎn)和分離點(diǎn)：定義：兩條或兩條以上根軌跡在S平面上相遇又分離的點(diǎn)為分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）。如圖所示某系統(tǒng)的根軌跡，由開環(huán)極點(diǎn)出發(fā)的兩支根軌跡，隨著的增大在實(shí)軸上a點(diǎn)相遇再分離進(jìn)入復(fù)平面。隨著的繼續(xù)增大，又在實(shí)軸上b點(diǎn)相遇并分別沿實(shí)軸的左右兩方運(yùn)動(dòng)。當(dāng)時(shí)，一支根軌跡終止于另一支走向。a、b點(diǎn)稱為根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)。一般說來，若實(shí)軸上兩相鄰開環(huán)極點(diǎn)之間有根軌跡，則這兩相鄰極點(diǎn)之間必有分離點(diǎn)；如果實(shí)軸上相鄰開環(huán)零點(diǎn)（其中一個(gè)可為無窮遠(yuǎn)零點(diǎn)）之間有根軌跡，則這相鄰零點(diǎn)之間必有會(huì)合點(diǎn)。如果實(shí)軸上根軌跡在開環(huán)零點(diǎn)與開環(huán)極點(diǎn)之間，則它們之間可能既無分離點(diǎn)也無會(huì)合點(diǎn)，也可能既有分離點(diǎn)也有會(huì)合點(diǎn)。[分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)的求法]：介紹重根法、作圖法和極值法。1）重根法：根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)表示這些點(diǎn)是閉環(huán)特征方程的重根點(diǎn)。設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：因閉環(huán)特征方程為：即設(shè)時(shí)，特征方程有重根，則必同時(shí)滿足即有：0)()()(

=￠+￠=sDsNKdssdFd2）作圖法：參考教材Page102~1033）極值法：因是極大值，故可利用下式計(jì)算重根。[例]單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試確定實(shí)軸上根軌跡的會(huì)合點(diǎn)和分離點(diǎn)的位置。

顯然，分離點(diǎn)為-0.4725，而-3.5275不是分離點(diǎn)。[解]：注意：分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)也可能出現(xiàn)在復(fù)平面上，由于根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸，所以，復(fù)平面上的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)必對(duì)稱于實(shí)軸。（舍去）例4-2已知開環(huán)傳遞函數(shù)式中：求分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)。參考教材Page103。6、根軌跡的漸近線

漸近線包括兩個(gè)內(nèi)容：漸近線的傾角和漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)。（1）

傾角：設(shè)根軌跡在無限遠(yuǎn)處有一點(diǎn)，則s平面上所有的開環(huán)有限零點(diǎn)和極點(diǎn)到的矢量相角都相等，即為漸近線的傾角。代入根軌跡的幅角條件得：當(dāng)，最小，當(dāng)增大時(shí)，傾角將重復(fù)出現(xiàn)，故獨(dú)立的漸近線只有條。（2）漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)假設(shè)根軌跡在無限遠(yuǎn)處有一點(diǎn)，則s平面上所有開環(huán)有限零點(diǎn)和極點(diǎn)到的矢量長度都相等?？梢哉J(rèn)為：對(duì)無限遠(yuǎn)閉環(huán)極點(diǎn)而言，所有的開環(huán)有限零點(diǎn)、極點(diǎn)都匯集在一起，其位置為，這就是漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)。例4-3設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為，計(jì)算漸近線傾角。（教材Page104)幅值條件可改寫：由二項(xiàng)式定理知：用例題4-3的條件,可求出:在無限靠近

的根軌跡上取一點(diǎn),則

點(diǎn)應(yīng)滿足幅角條件：例4-4已知開環(huán)傳遞函數(shù)，計(jì)算起點(diǎn)(-1+j1)的斜率。7、根軌跡的出射角和入射角當(dāng)開環(huán)零、極點(diǎn)處于復(fù)平面上時(shí)，根軌跡離開的出發(fā)角稱為出射角；根軌跡趨于復(fù)零點(diǎn)的終止角成為入射角。計(jì)算出射角的公式：計(jì)算入射角的公式：8、根軌跡和虛軸的交點(diǎn)交點(diǎn)和

的求法：

在閉環(huán)特征方程中令

，然后使特征方程的實(shí)、虛部為零即可求出

和

。

由勞斯穩(wěn)定判據(jù)求解。

由幅角條件圖解試探求解。結(jié)論：根軌跡離開開環(huán)復(fù)極點(diǎn)處的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角，稱為出射角。根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)零點(diǎn)處的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角，稱為入射角。[例4-5]開環(huán)傳遞函數(shù)為：

，試求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)

和。(教材106-107）

9.閉環(huán)極點(diǎn)的和與積列寫特征方程式：假設(shè)時(shí)根軌跡與虛軸相交，令則得：可得臨界開環(huán)放大系數(shù)為：9.閉環(huán)極點(diǎn)的和與積設(shè)反饋系統(tǒng)的特征方程為：其特征根為：則由根據(jù)代數(shù)方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得結(jié)論：在已知反饋系統(tǒng)的部分閉環(huán)極點(diǎn)情況下，基于上述公式可確定出其余閉環(huán)極點(diǎn)在S平面上的分布位置，還可計(jì)算出與系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參變量值。[例]開環(huán)傳遞函數(shù)為：

，已知根軌跡與虛軸相交的兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)。試確定第三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)根軌跡作圖步驟一、標(biāo)注開環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)，縱橫坐標(biāo)用相同的比例尺；二、實(shí)軸上的根軌跡；三、n-m條漸近線；四、根軌跡的出射角、入射角；五、根軌跡與虛軸的交點(diǎn)；六、根軌跡的分離點(diǎn)、會(huì)合點(diǎn)；

結(jié)合根軌跡的連續(xù)性、對(duì)稱性、根軌跡的支數(shù)、起始點(diǎn)和終點(diǎn)等性質(zhì)畫出根軌跡。4.2.2自動(dòng)控制系統(tǒng)的根軌跡一、二階系統(tǒng)：比較：得:按“法則”求條件，然后繪制根軌跡。求分離點(diǎn)：求漸近線傾角和交點(diǎn)：二階系統(tǒng)的根軌跡如下：若：由幅值條件，可得

時(shí)的放大系數(shù)和：

二、開環(huán)具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)（109頁）已知：證明方法一:各零極點(diǎn)幅角滿足幅角條件：××和角公式：整理后得圓的方程為：令a=1得到根軌跡如下：分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)為證明方法二:將代入特征方程：令實(shí)部為零：虛部為零：整理后得圓方程式：三、三階系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為根據(jù)法則繪制根軌跡如下：根據(jù)法則繪制根軌跡如下：結(jié)論：在二階系統(tǒng)中附加一個(gè)極點(diǎn)，則使系統(tǒng)根軌跡隨著增大，向右半平面方向移動(dòng)，并穿過虛軸，使系統(tǒng)趨于不穩(wěn)定，但系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)控制精度得到改善。四、開環(huán)具有零點(diǎn)的三階系統(tǒng)根據(jù)法則繪制根軌跡如下：開環(huán)傳遞函數(shù)為：（1）繪制根軌跡；（2）求時(shí)的閉環(huán)特征根；

①

列寫閉環(huán)特征方程式

②先求二階特征根

③再求第三個(gè)特征根

（3）計(jì)算特征根對(duì)應(yīng)的值；

（4）結(jié)論：與二階系統(tǒng)相同，前項(xiàng)通道增加零點(diǎn)，

根軌跡隨增大將向左移，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)

得到改善。根據(jù)法則繪制根軌跡如下：線漸近線五、具有復(fù)數(shù)極點(diǎn)的四階系統(tǒng)根據(jù)法則繪制根軌跡如下：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)根據(jù)法則繪制根軌跡如下：出射角的計(jì)算：

（參考教材105頁）六、具有時(shí)滯環(huán)節(jié)的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)特征方程式為：若有特征根滿足根軌跡的方程，則：當(dāng)時(shí)，幅值條件與幅角條件和一般系統(tǒng)相同；在滿足幅值條件下，對(duì)于一定的值，只有個(gè)特征根。當(dāng)時(shí)，特征根的實(shí)部會(huì)影響幅值條件，而虛部會(huì)影響幅角條件。所以，時(shí)滯系統(tǒng)的幅角條件不再是常數(shù)，而是的函數(shù)。故對(duì)于一定的值，有無限多個(gè)特征根，相應(yīng)地有無限多條根軌跡。時(shí)滯系統(tǒng)根軌跡的繪制法則：（參考教材Page115~117）例題4-6設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，繪制其根軌跡。由法則得時(shí)的根軌跡如下：由法則得時(shí)的根軌跡如下：4.2.4廣義根軌跡（參數(shù)根軌跡）1、定義

當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)是以非開環(huán)增益為可變參數(shù)時(shí)繪制的根軌跡稱為廣義根軌跡（也稱參數(shù)根軌跡）。與此對(duì)應(yīng)

以開環(huán)增益為可變參數(shù)繪制的根軌跡稱為常規(guī)根軌跡。2、解決思路

繪制根軌跡前，對(duì)原傳遞函數(shù)作等效變換，使可變參數(shù)在變換后的等效傳遞函數(shù)中相當(dāng)于開環(huán)增益K的位置，再根據(jù)已有法則繪制根軌跡。3、求的具體方法

對(duì)系統(tǒng)的特征方程作除法，即以特征方程中不含有

可變參數(shù)的各項(xiàng)去除方程，可得到的形

式，由此，將可變參數(shù)變換到了開環(huán)增益K的位置，其中就是原傳遞函數(shù)的等效傳遞函數(shù)。4、舉例分析例4–7某控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖下，試?yán)L制以為變量的根軌跡。由閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式經(jīng)整理得：等效傳遞函數(shù)：

2.按法則繪制根軌跡如下：

1.先求等效傳遞函數(shù)解2.按法則繪制根軌跡如下：1）兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)；

一個(gè)有限零點(diǎn)在原點(diǎn)，

一個(gè)零點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)；2）求會(huì)合點(diǎn)；3）根軌跡在復(fù)平面上是一

段圓心在原點(diǎn)，半徑為

的圓弧。4）求使系統(tǒng)工作在欠阻尼

狀態(tài)下，的取值范圍。4.2.3零度根軌跡1、定義所謂零度根軌跡是指根軌跡的幅角條件為。換句話說滿足方程

的軌跡是零度根軌跡。

2、零度根軌跡的來源

其一：控制系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)，滿足方程。（非最小相位系統(tǒng)指在右半平面有開環(huán)零極點(diǎn)的系統(tǒng)。）

其二：控制系統(tǒng)中包含正反饋內(nèi)回路。

3、零度根軌跡的幅值和相角條件

由：即：3、繪制法則

繪制零度根軌跡只需將常規(guī)根軌跡法則中與相角條件有關(guān)的法則加以修改即可。繪制零度根軌跡的基本法則：對(duì)稱性和連續(xù)性同常規(guī)根軌跡；起點(diǎn)、終點(diǎn)和根軌跡支數(shù)同常規(guī)根軌跡；漸進(jìn)線：與實(shí)軸的交點(diǎn)同常規(guī)根軌跡；但傾斜角不同，為：，有n-m個(gè)角度；實(shí)軸上的根軌跡：其右方實(shí)軸上的開環(huán)零極點(diǎn)之和為

偶數(shù)（包括0）的區(qū)域。分離點(diǎn)、會(huì)合點(diǎn)：同常規(guī)根軌跡；出射角和入射角：例如圖4-23的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)特征方程式根據(jù)法則繪制根軌跡如下：根據(jù)法則繪制根軌跡如下：分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)：復(fù)平面上的根軌跡是一個(gè)圓。圓心為有限零點(diǎn)，半徑為。4.3用根軌跡法分析系統(tǒng)的暫態(tài)特性

利用根軌跡，可以對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的性能進(jìn)行分析和校正由給定參數(shù)確定閉環(huán)系統(tǒng)的零極點(diǎn)的位置；分析參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響；分析系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能；根據(jù)性能要求確定系統(tǒng)的參數(shù)；對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行校正。一、在根軌跡上如何確定特征根采用試探法：先在根軌跡上取一試點(diǎn)，然后連線開環(huán)零、極點(diǎn)，得到和代入幅值條件，求出。如果與已知值相等，則即為所求的特征根。

否則，再找試點(diǎn)，重復(fù)上述步驟，直到。條件：已知2.在實(shí)軸上選擇不同試點(diǎn)，得到輔助線由輔助線可先確定出對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)根，再由根與系數(shù)的關(guān)系可求共軛復(fù)根。

例4–8已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，試確定特征根。

已知：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式1.首先繪出根軌跡（參考教材頁圖4-14）。2.根據(jù)根軌跡在實(shí)軸上的情況，求實(shí)根。在間取不同試點(diǎn)，代入特征方程

，求得不同的，

從而得到的曲線，由此確定

的一個(gè)實(shí)數(shù)特征根。3.根據(jù)代數(shù)方程中根與系數(shù)的關(guān)系求共軛根。（特征根之和等于方程中項(xiàng)的系數(shù)。）先求另一對(duì)復(fù)根的實(shí)部，

再求虛部。以作垂線，其與根軌跡的交點(diǎn)就是所求復(fù)根的虛部值。二、用根軌跡法分析系統(tǒng)的暫態(tài)特性閉環(huán)系統(tǒng)有兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)和。單位階躍響應(yīng)是指數(shù)型。一般當(dāng)

時(shí)，可忽略極點(diǎn)的影響。2.閉環(huán)極點(diǎn)為一對(duì)復(fù)極點(diǎn)單位階躍響應(yīng)為衰減振蕩型（）。1）當(dāng)，出現(xiàn)實(shí)數(shù)重根，

系統(tǒng)工作在臨界阻尼狀態(tài)，沒有超調(diào)。2）當(dāng)復(fù)極點(diǎn)在虛軸上，出現(xiàn)共軛純虛根

，系統(tǒng)呈等

幅振蕩。

假設(shè)不變：超調(diào)量與阻尼比、阻尼角的關(guān)系曲線如下：阻尼角越小，超調(diào)量越?。蛔枘岜仍叫?，超調(diào)量越大。等阻尼比線示意圖如下。在同一條阻尼比線上的復(fù)極點(diǎn)，有相同的超調(diào)量。（因?yàn)槌{(diào)量只取決于阻尼比的大小。）設(shè)不變，則隨著增大，復(fù)極點(diǎn)的實(shí)部和虛部都增大，系統(tǒng)響應(yīng)速度加快，且能以較快速度到達(dá)穩(wěn)定工作狀態(tài)。表征系統(tǒng)指數(shù)衰減的系數(shù)，決定調(diào)節(jié)時(shí)間。（P123)一對(duì)復(fù)極點(diǎn)和一個(gè)零點(diǎn)一對(duì)復(fù)極點(diǎn)和一個(gè)實(shí)極點(diǎn)4.閉環(huán)系統(tǒng)除一對(duì)復(fù)極點(diǎn)外還有一個(gè)實(shí)極點(diǎn)，超調(diào)量將減小，調(diào)節(jié)時(shí)間增長。當(dāng)，可以不考慮此極點(diǎn)的影響。3.閉環(huán)系統(tǒng)除一對(duì)復(fù)極點(diǎn)外還有一個(gè)零點(diǎn)，將使系統(tǒng)的峰值時(shí)間提前，相當(dāng)于減小閉環(huán)系統(tǒng)的阻尼，從而使超調(diào)量增大。當(dāng)時(shí)，可以不考慮此零點(diǎn)的影響。小結(jié)：根軌跡法分析系統(tǒng)暫態(tài)品質(zhì)的最大優(yōu)點(diǎn)是可以看出開環(huán)系統(tǒng)放大系數(shù)變化時(shí)，系統(tǒng)暫態(tài)特性的變化情況。③③再減小，有一個(gè)極點(diǎn)靠近原點(diǎn)，暫態(tài)響應(yīng)越來越慢；

④

，一對(duì)復(fù)數(shù)極點(diǎn)為

另一極點(diǎn)為

，它比的實(shí)部大得多，其影響可忽略。此時(shí)暫態(tài)指標(biāo)可按二階系統(tǒng)

計(jì)算。如圖所示：時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)有一對(duì)極點(diǎn)位于虛軸，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定；

，兩個(gè)極點(diǎn)重合；①②三