寧夏銀川2024-2025高二理科數(shù)學下學期期末考試試題

銀川2024-2025高二下學期期末考試數(shù)學試卷(理科)一、單選題（本題共12小題，每小題5分，共60分）1．某市期末教學質(zhì)量檢測，甲、乙、丙三科考試成果近似聽從正態(tài)分布，則由如圖曲線可得下列說法中正確的是（

）A．甲學科總體的均值最小B．乙學科總體的方差及均值都居中C．丙學科總體的方差最大D．甲、乙、丙的總體的均值不相同2．若直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則其傾斜角為（

）A． B． C． D．3．設，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．在極坐標系中，把曲線繞極點逆時針旋轉(zhuǎn)后所得曲線的方程為（

）A．B．C．D．5．已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）聽從正態(tài)分布，從中隨機取一件，其長度誤差落在區(qū)間內(nèi)的概率為（）（附：若隨機變量ξ聽從正態(tài)分布，則68.27%，95.45%），A．4.56%B．13.59%C．27.18%D．31.74%6．有下列說法：①若某商品的銷售量（件）關于銷售價格（元/件）的線性回來方程為，當銷售價格為10元時，銷售量肯定為300件；②線性回來直線肯定過樣本點中心；③若兩個隨機變量的線性相關性越強，則相關系數(shù)的值越接近于1；④在殘差圖中，殘差點比較勻稱落在水平的帶狀區(qū)域中即可說明選用的模型比較合適，與帶狀區(qū)域的寬度無關；⑤在線性回來模型中，相關指數(shù)表示說明變量對于預報變量改變的貢獻率，越接近于1，表示回來的效果越好；其中正確的結論有()個A．1 B．2 C．3 D．47．若，，，則事務A與B的關系是（

）A．互斥但不對立 B．對立C．相互獨立 D．既互斥又獨立1238．隨機變量的分布列如右，且滿意，則的值（）A．0B．1C．2D．無法確定，與，有關9．已知某口袋中放有大小、質(zhì)地完全相同的紅球和白球各若干個，若有放回地從口袋中每次摸取1個球，連續(xù)摸兩次，記兩次摸到的小球顏色不同的概率為，兩次摸到的小球顏色相同的概率為，則（

）A． B．C． D．，大小不確定10．甲、乙兩位同學各自獨立地解答同一個問題，他們能夠正確解答該問題的概率分別是和，在這個問題已被正確解答的條件下，甲、乙兩位同學都能正確回答該問題的概率為（

）A． B． C． D．11．已知，則的取最小值時，為（

）A． B． C．3 D．12．某籃球運動員每次投籃投中的概率是，每次投籃的結果相互獨立，那么在他10次投籃中，記最有可能投中的次數(shù)為，則的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．參數(shù)方程為(為參數(shù))，化成直角坐標方程為_________.14．設點P為圓上的一動點，點Q為橢圓上的一動點，則的最大值為_________.15．已知關于x的不等式對一切實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_________.16．已知是拋物線的焦點，過點且斜率為2的直線與交于兩點，若，則_________.三、解答題:(共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．)17．(本小題滿分10分)北京2024年冬奧會，向全世界傳遞了挑戰(zhàn)自我?主動向上的體育精神，引導了健康?文明?歡樂的生活方式.為了激發(fā)學生的體育運動愛好，助力全面健康成長，某中學組織全體學生開展以“筑夢奧運，一起向?qū)怼睘橹黝}的體育實踐活動.為了解該校學生參與活動的狀況，隨機抽取100名學生作為樣本，統(tǒng)計他們參與體育實踐活動時間（單位：分鐘），得到下表：(1)從該校隨機抽取1名學生，若已知抽到的是女生，估計該學生參與體育實踐活動時間在的概率；(2)從參與體育實踐活動時間在和的學生中各隨機抽取1人，其中初中學生的人數(shù)記為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望；18．(本小題滿分12分)為探究某藥物對小鼠的生長抑制作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為比照組（不加藥物）和試驗組（加藥物）．(1)設其中兩只小鼠中比照組小鼠數(shù)目為，求的分布列和數(shù)學期望；(2)測得40只小鼠體重如下（單位：g）：（已按從小到大排好）比照組：17.3

18.4

20.1

20.4

21.5

23.2

24.6

24.8

25.0

25.426.1

26.3

26.4

26.5

26.8

27.0

27.4

27.5

27.6

28.3試驗組：5.4

6.6

6.8

6.9

7.8

8.2

9.4

10.0

10.4

11.214.4

17.3

19.2

20.2

23.6

23.8

24.5

25.1

25.2

26.0（i）求40只小鼠體重的中位數(shù)m，并完成下面2×2列聯(lián)表：合計比照組試驗組合計（ii）依據(jù)2×2列聯(lián)表，能否有95%的把握認為藥物對小鼠生長有抑制作用．參考數(shù)據(jù)：0.100.050.0102.7063.8416.63519．(本小題滿分12分)在直角坐標系中，曲線M的方程為，曲線N的方程為，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系．(1)求曲線M，N的極坐標方程；(2)若射線與曲線M交于點A（異于極點），與曲線N交于點B，且，求．20．(本小題滿分12分)函數(shù).(1)當時，求不等式的解集；(2)若存在，使得，求a的取值范圍.21．(本小題滿分12分)多年來，清華高校電子工程系黃翔東教授團隊致力于光譜成像芯片的探討，2024年6月研制出國際首款實時超光譜成像芯片，相比已有光譜檢測技術，實現(xiàn)了從單點光譜儀到超光譜成像芯片的跨越，為制定下一年的研發(fā)投入安排，該研發(fā)團隊為須要了解年研發(fā)資金投入量x（單位：億元）對年銷售額（單位：億元）的影響，結合近12年的年研發(fā)資金投入量x，和年銷售額，的數(shù)據(jù)（，…，12），該團隊建立了兩個函數(shù)模型：①②，其中均為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)，經(jīng)對歷史數(shù)據(jù)的初步處理，得到散點圖如圖，令，計算得如下數(shù)據(jù)：206677020014460312500021500(1)設和的相關系數(shù)為和的相關系數(shù)為，請從相關系數(shù)的角度，選擇一個擬合程度更好的模型；(2)（i）依據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立關于的回來方程（系數(shù)精確到0.01）；（ii）附：①相關系數(shù)，回來直線中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，；②參考數(shù)據(jù)：.22．(本小題滿分12分)中國提出共建“一帶一路”，旨在促進更多的經(jīng)濟增長和更大的互聯(lián)互通，隨著“一帶一路”的發(fā)展，中亞面粉、波蘭蘋果、法國紅酒走上了國人的餐桌，中國制造的汽車、電子元件、農(nóng)產(chǎn)品豐富著海外市場.為拓展海外市場，某電子公司新開發(fā)一款電子產(chǎn)品，該電子產(chǎn)品的一個系統(tǒng)有3個電子元件組成，各個電子元件能正常工作的概率為，且每個電子元件能否正常工作相互獨立，若系統(tǒng)中有超過一半的電子元件正常工作，則可以正常工作，否則就須要修理，且修理所需費用為900元.（1）求系統(tǒng)須要修理的概率；（2）該電子產(chǎn)品共由3個系統(tǒng)組成，設為電子產(chǎn)品所須要修理的費用，求的期望；（3）為提高系統(tǒng)正常工作的概率，在系統(tǒng)內(nèi)增加兩個功能完全一樣的其他品牌的電子元件，每個新元件正常工作的概率為，且新增元件后有超過一半的電子元件正常工作，則可以正常工作.問：滿意什么條件時可以提高整個系統(tǒng)的正常工作概率？

高二期末數(shù)學(理科)試卷參考答案1．某市期末教學質(zhì)量檢測，甲、乙、丙三科考試成果近似聽從正態(tài)分布，則由如圖曲線可得下列說法中正確的是（

）A．甲學科總體的均值最小B．乙學科總體的方差及均值都居中C．丙學科總體的方差最大D．甲、乙、丙的總體的均值不相同【答案】C【分析】依據(jù)正態(tài)曲線的特征進行推斷,從圖中看出,正態(tài)曲線的對稱軸相同,最大值不同,從而得出平均數(shù)和標準差的大小關系,結合甲、乙、丙的總體即可選項.【詳解】由題中圖象可知三科總體的平均數(shù)(均值)相等由正態(tài)密度曲線的性質(zhì),可知σ越大,正態(tài)曲線越扁平,σ越小,正態(tài)曲線越尖陡,故三科總體的標準差從小到大依次為甲、乙、丙.故選:C.2．若直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則其傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出直線的斜率，結合誘導公式可求得該直線的傾斜角.【詳解】由題意可知，直線的斜率為，所以，該直線的傾斜角為，故選：B.3.設，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】首先解出不等式和，依據(jù)兩個不等式的解集即可得出答案．【詳解】由，得，解得；由，得，得因為當時，肯定可以推出，而當時，不能推出。所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A．4.在極坐標系中，把曲線繞極點逆時針旋轉(zhuǎn)后所得曲線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用旋轉(zhuǎn)后的點坐標表示出曲線上的點的坐標，代入曲線方程即可整理得到結果.【詳解】設曲線上的點為，旋轉(zhuǎn)后對應的點為，則，，，即旋轉(zhuǎn)后所得曲線方程為：.故選：B.5.已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）聽從正態(tài)分布，從中隨機取一件，其長度誤差落在區(qū)間內(nèi)的概率為（）（附：若隨機變量ξ聽從正態(tài)分布，則68.27%，95.45%）A．4.56%B．13.59%C．27.18% D．31.74%【答案】B【分析】正態(tài)分布中，，依據(jù)正態(tài)分布的對稱性求解即可.【詳解】正態(tài)分布中，，所以68.27%，95.45%，所以13.59%，故選：B.6．有下列說法：①若某商品的銷售量（件）關于銷售價格（元/件）的線性回來方程為，當銷售價格為10元時，銷售量肯定為300件；②線性回來直線肯定過樣本點中心；③若兩個隨機變量的線性相關性越強，則相關系數(shù)的值越接近于1；④在殘差圖中，殘差點比較勻稱落在水平的帶狀區(qū)域中即可說明選用的模型比較合適，與帶狀區(qū)域的寬度無關；⑤在線性回來模型中，相關指數(shù)表示說明變量對于預報變量改變的貢獻率，越接近于1，表示回來的效果越好；其中正確的結論有幾個A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由最小二乘法求解回來直線和回來直線的性質(zhì)可知①錯誤，②正確；隨機變量為負相關時，線性相關性越強，相關系數(shù)越接近，③錯誤；殘差圖中帶狀區(qū)域越窄，擬合度越高，④錯誤；越接近，模型擬合度越高，⑤正確；由此可得結果.【詳解】①當銷售價格為時，銷售量的預估值為件，但預估值與實際值未必相同，①錯誤；②由最小二乘法可知，回來直線必過，②正確；③若兩個隨機變量為負相關，若線性相關性越強，相關系數(shù)越接近，③錯誤；④殘差圖中，帶狀區(qū)域越窄，模型擬合度越高，④錯誤；⑤相關指數(shù)越接近，擬合度越高，則在線性回來模型中，回來效果越好，⑤正確.可知正確的結論為：②⑤，共個本題正確選項：【點睛】本題考查統(tǒng)計案例部分命題的推斷，涉及到回來直線、最小二乘法、相關系數(shù)、相關指數(shù)、殘差圖的相關學問.7若，，，則事務A與B的關系是（

）A．互斥但不對立B．對立C．相互獨立 D．既互斥又獨立【答案】C【分析】依據(jù)獨立事務的乘法公式推斷獨立性，依據(jù)互斥事務的定義推斷是否互斥．【詳解】∵，∴，∴，∴事務A與B相互獨立，題中事務A與B之間沒有任何關系，它們既不互斥也不對立.故選：C．8.隨機變量的分布列如下，且滿意，則的值（）123A．0B．1C．2 D．無法確定，與，有關【答案】B【分析】依據(jù)數(shù)學期望定義得到一個等式，概率和為1得到一個等式.計算代入前面關系式，化簡得到答案.【詳解】由隨機變量的分布列得到：，又，解得，∴，∴．故選B．9.已知某口袋中放有大小、質(zhì)地完全相同的紅球和白球各若干個，若有放回地從口袋中每次摸取1個球，連續(xù)摸兩次，記兩次摸到的小球顏色不同的概率為，兩次摸到的小球顏色相同的概率為，則（

）A． B．C． D．，大小不確定【答案】B【分析】設口袋中有紅球個，白球個，依據(jù)獨立事務的概率公式，分別求得，，結合基本不等式，即可求解.【詳解】設口袋中有紅球個，白球個，則兩次摸到的小球顏色不同的概率為，兩次摸到的小球顏色相同的概率為，因為，可得，當且僅當?shù)忍柍闪ⅲ?10.甲、乙兩位同學各自獨立地解答同一個問題，他們能夠正確解答該問題的概率分別是和，在這個問題已被正確解答的條件下，甲、乙兩位同學都能正確回答該問題的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用獨立事務及互斥事務的概率求法求解該問題被解答的概率，再利用條件概率計算公式求解即可.【詳解】設事務A表示“甲能回答該問題”，事務B表示“乙能回答該問題”，事務C表示“這個問題被解答”，則，，故，所以在這個問題已被解答的條件下，甲乙兩位同學都能正確回答該問題的概率為：.故選：D11.已知，則的取最小值時，為（

）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】利用柯西不等式求出的最小值，從而可求出，進而可求出的值【詳解】由柯西不等式得：則．則依據(jù)等號成立條件知，，，所以故選：B12.某籃球運動員每次投籃投中的概率是，每次投籃的結果相互獨立，那么在他10次投籃中，記最有可能投中的次數(shù)為，則的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【詳解】記在他10次投籃中，投中的次數(shù)為，則，且，由，得，所以，所以，所以，所以，解得，因為，所以，所以在他10次投籃中，最有可能投中的次數(shù)為8次.故選D.13.參數(shù)方程為，為參數(shù)；化成直角坐標方程為14.設點P為圓上的一動點，點Q為橢圓上的一動點，則的最大值為（

）A．6 B． C． D．【答案】B【分析】利用三角換元結合距離公式可求，結合函數(shù)的性質(zhì)可求最大值.【詳解】設，圓的圓心，則，于是的最大值為，進而的最大值為．故選：B.15．已知關于x的不等式對一切實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．-1≤a≤1 B．a(chǎn)≤-1或a≥1 C．-3≤a≤3 D．a(chǎn)≤-3或a≥3【答案】D【解析】不等式對一切實數(shù)x恒成立，即，利用可求最值，從而得出答案.【詳解】（當時，等號成立）不等式對一切實數(shù)x恒成立則所以，則或故選：D16.已知是拋物線的焦點，過點且斜率為2的直線與交于兩點，若，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】法一：設出的方程為，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，利用焦半徑得到，從而列出方程，求出答案；法二：寫成直線的參數(shù)方程，代入拋物線方程，利用參數(shù)的幾何意義得到方程，求出答案.【詳解】法一：由題意知，故的方程為，與的方程聯(lián)立，得，明顯，設，則，所以，又，所以，所以.法二：直線的斜率為2，設其傾斜角為，則，故，故直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入，整理得，，明顯，設該方程的兩根為，則，，所以.故選：.17..北京2024年冬奧會，向全世界傳遞了挑戰(zhàn)自我?主動向上的體育精神，引導了健康?文明?歡樂的生活方式.為了激發(fā)學生的體育運動愛好，助力全面健康成長，某中學組織全體學生開展以“筑夢奧運，一起向?qū)怼睘橹黝}的體育實踐活動.為了解該校學生參與活動的狀況，隨機抽取100名學生作為樣本，統(tǒng)計他們參與體育實踐活動時間（單位：分鐘），得到下表：(1)從該校隨機抽取1名學生，若已知抽到的是女生，估計該學生參與體育實踐活動時間在的概率；(2)從參與體育實踐活動時間在和的學生中各隨機抽取1人，其中初中學生的人數(shù)記為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望；【答案】(1)(2)分布列答案見解析，數(shù)學期望：【分析】（1）方法一：依據(jù)條件概率公式求解即可；方法二：依據(jù)古典概型的方法分析即可；（2）方法一：依據(jù)相互獨立事務同時發(fā)生的概率公式求解即可；方法二：依據(jù)二項分布的公式求解；（1）方法一：女生共有人，記事務A為“從全部調(diào)查學生中隨機抽取1人，女生被抽到”，事務B為“從全部調(diào)查學生中隨機抽取1人，參與體育活動時間在”由題意可知，因此所以從該校隨機抽取1名學生，若已知抽到的是女生，估計該學生參與體育活動時間在的概率為方法二：女生共有人，記事務M為“從全部調(diào)查學生中隨機抽取1名學生，若已知抽到的是女生，該學生參與體育活動時間在”由題意知，從全部調(diào)查學生中隨機抽取1人，抽到女生所包含的基本領件共45個，抽到女生且參與體育活動時間在所包含的基本領件共9個所以所以從該校隨機抽取1名學生，若已知抽到的是女生，估計該學生參與體育活動時間在的概率為（2）方法一：X的全部可能值為0，1，2，時間在的學生有人，活動時間在的初中學生有人.記事務C為“從參與體育活動時間在的學生中隨機抽取1人，抽到的是初中學生”，事務D為“從參與體育活動時間在的學生中隨機抽取1人，抽到的是初中學生”.由題意知，事務C?D相互獨立，且所以所以X的分布列為：X012P故X的數(shù)學期望方法二：X的全部可能值為0，1，2，因為從參與體育活動時間在和的學生中各隨機抽取1人是相互獨立，且抽到初中學生的概率均為，故所以所以X的分布列為：X012P故X的數(shù)學期望18．為探究某藥物對小鼠的生長抑制作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為比照組（不加藥物）和試驗組（加藥物）．(1)設其中兩只小鼠中比照組小鼠數(shù)目為，求的分布列和數(shù)學期望；(2)測得40只小鼠體重如下（單位：g）：（已按從小到大排好）比照組：17.3

18.4

20.1

20.4

21.5

23.2

24.6

24.8

25.0

25.426.1

26.3

26.4

26.5

26.8

27.0

27.4

27.5

27.6

28.3試驗組：5.4

6.6

6.8

6.9

7.8

8.2

9.4

10.0

10.4

11.214.4

17.3

19.2

20.2

23.6

23.8

24.5

25.1

25.2

26.0（i）求40只小鼠體重的中位數(shù)m，并完成下面2×2列聯(lián)表：比照組試驗組（ii）依據(jù)2×2列聯(lián)表，能否有95%的把握認為藥物對小鼠生長有抑制作用．參考數(shù)據(jù)：0.100.050.0102.7063.8416.635【答案】(1)分布列見解析，(2)（i）；列聯(lián)表見解析，（ii）能【分析】（1）利用超幾何分布的學問即可求得分布列及數(shù)學期望；（2）（i）依據(jù)中位數(shù)的定義即可求得，從而求得列聯(lián)表；（ii）利用獨立性檢驗的卡方計算進行檢驗，即可得解.【詳解】（1）依題意，的可能取值為，則，，，所以的分布列為：故.（2）（i）依題意，可知這40只小鼠體重的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由于原數(shù)據(jù)已經(jīng)排好，所以我們只須要視察比照組第一排數(shù)據(jù)與試驗組其次排數(shù)據(jù)即可，可得第11位數(shù)據(jù)為，后續(xù)依次為，合計比照組61420試驗組14620合計202040故第20位為，第21位數(shù)據(jù)為，所以，故列聯(lián)表為：右表：（ii）由（i）可得，，所以能有的把握認為藥物對小鼠生長有抑制作用.19.在直角坐標系中，曲線M的方程為，曲線N的方程為，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系．(1)求曲線M，N的極坐標方程；(2)若射線與曲線M交于點A（異于極點），與曲線N交于點B，且，求．【答案】(1)；(2)【分析】（1）依據(jù)極坐標與直角坐標的互化公式，即可求解曲線和的極坐標方程；（2）將代入曲線和的方程，求得和，結合題意求得，即可求解.【詳解】（1）解：由，可得，即，又由，可得，所以曲線M的極坐標方程為．由，可得，即，即曲線N的極坐標方程為.（2）解：將代入，可得，將代入，可得，則，因為，所以，又因為，所以．20.函數(shù).(1)當時，求不等式的解集；(2)若存在，使得，求a的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）分類探討取肯定值可求出不等式的解集；（2）【詳解】（1）當時，原不等式可化為.當時，原不等式可化為，整理得，所以.當時，原不等式可化為，整理得，所以此時不等式的解集是空集.當時，原不等式可化為，整理得，所以.綜上，當時，不等式的解集為.（2）若存在，使得，即存在，使得①.①式可轉(zhuǎn)化為，即②.因為，所以②式可化為③，若存在使得③式成立，則，即，所以，即a的取值范圍為.21．多年來，清華高校電子工程系黃翔東教授團隊致力于光譜成像芯片的探討，2024年6月研制出國際首款實時超光譜成像芯片，相比已有光譜檢測技術，實現(xiàn)了從單點光譜儀到超光譜成像芯片的跨越，為制定下一年的研發(fā)投入安排，該研發(fā)團隊為須要了解年研發(fā)資金投入量x（單位：億元）對年銷售額（單位：億元）的影響，結合近12年的年研發(fā)資金投入量x，和年銷售額，的數(shù)據(jù)（，2，，12），該團隊建立了兩個函數(shù)模型：①②，其中均為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)，經(jīng)對歷史數(shù)據(jù)的初步處理，得到散點圖如圖，令，計算得如下數(shù)據(jù)：206677020014460312500021500(1)設和的相關系數(shù)為和的相關系數(shù)為，請從相關系數(shù)的角度，選擇一個擬合程度更好的模型；(2)（i）依據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立關于的回來方程（系數(shù)精確到0.01）；（ii）若下一年銷售額需達到80億元，預料下一年的研發(fā)資金投入量是多少億元？附：①相關系數(shù)，回來直線中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，；②參考數(shù)據(jù)：.【答案】(1)模型的擬合程度更好(2)（i）（ii）預料下一年的研發(fā)資金投入量是億元【分析】（1）由題意計算相關系數(shù),比較它們的大小即可推斷；（2）（i）先建立關于的的線性回來方程,再轉(zhuǎn)化為y關于的回來方程；(2)利用回來方程計算時x的值即可.【詳解】（1）由題意進行數(shù)據(jù)分析：則，因此從相關系數(shù)的角度，模型的擬合程度更好（2）（i）先建立關于的線性回來方程.由，得，即.由于所以關