天津市和平區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題

天津市和平區(qū)2024屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題溫馨提示：本試卷包括第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分．考試時(shí)間120分鐘．祝同學(xué)們考試順當(dāng)！第Ⅰ卷（選擇題共45分）留意事項(xiàng)：1．答第Ⅰ卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號、科目涂寫在答題卡上．2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．答在試卷上的無效．3．本卷共9小題，每小題5分，共45分．一、選擇題（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.設(shè)集合，．則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】先求得，然后求得.【詳解】.故選：A2.已知且，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】依據(jù)充分、必要條件的學(xué)問確定正確選項(xiàng).【詳解】“”時(shí)，若，則，不能得到“”.“”時(shí)，若，則，不能得到“”.所以“”是“”既不充分也不必要條件.故選：D3.函數(shù)的圖象的大致形態(tài)是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】推斷函數(shù)為奇函數(shù)，解除AC，再計(jì)算時(shí)，解除D，得到答案.【詳解】，，∴為奇函數(shù)，解除AC.當(dāng)，，故，解除D.故選：B．4.已知，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)給定條件利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，再借助“媒介”數(shù)即可比較作答.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞減，，則，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，，則，函數(shù)在R上單調(diào)遞減，，則，所以.故選：B5.已知底面邊長為1，側(cè)棱長為的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則該球的體積為A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】試題分析：依據(jù)正四棱柱的幾何特征得：該球的直徑為正四棱柱的體對角線，故，即得，所以該球的體積，故選D.考點(diǎn)：正四棱柱的幾何特征；球的體積.6.若，且，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)給定條件，將指數(shù)式化成對數(shù)式，再借助換底公式及對數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算即得.【詳解】因?yàn)椋谑堑茫忠驗(yàn)椋瑒t有，即，因此，，而，解得，所以.故選：D7.已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，準(zhǔn)線為l，若l與雙曲線的兩條漸近線所圍成的三角形面積為，則雙曲線C的離心率為（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由已知結(jié)合拋物線的定義求出，從而可得拋物線的準(zhǔn)線方程，則可求出準(zhǔn)線l與兩條漸近線的交點(diǎn)分別為，然后由題意可得，進(jìn)而可求出雙曲線的離心率【詳解】依題意，拋物線準(zhǔn)線，由拋物線定義知，解得，則準(zhǔn)線，雙曲線C的兩條漸近線為，于是得準(zhǔn)線l與兩條漸近線的交點(diǎn)分別為，原點(diǎn)為O，則面積，雙曲線C的半焦距為c，離心率為e，則有，解得．故選：C8.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到的圖象，再將圖象上的全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)變成原來的，得到的圖象，則下列說法正確的個(gè)數(shù)是（）①函數(shù)的最小正周期為；②是函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心；③函數(shù)圖象的一個(gè)對稱軸方程為；④函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】先依據(jù)三角函數(shù)圖象變換求得，然后由三角函數(shù)的最小正周期、對稱中心、對稱軸、單調(diào)性等學(xué)問確定正確選項(xiàng).【詳解】，，.①，的最小正周期為，①錯誤.②，，②正確.③，，③錯誤.④，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，④正確.所以正確的一共有個(gè).故選：B9.已知，設(shè)函數(shù)若關(guān)于x的方程恰有兩個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)時(shí)，方程無實(shí)根，求出，然后分別探討，，時(shí)根的狀況，進(jìn)而可求得結(jié)果【詳解】解：當(dāng)時(shí)，令，則，因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)，所以當(dāng)該方程在時(shí)無實(shí)數(shù)根時(shí)，，解得，①當(dāng)時(shí)，時(shí)，有一個(gè)解，所以時(shí)，有一個(gè)解，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)是遞減的，且，所以當(dāng)時(shí)有一個(gè)解，所以成立；②當(dāng)時(shí)，在時(shí)無解，而在時(shí)有1個(gè)解，所以時(shí)不成立；③當(dāng)時(shí)，在時(shí)無解，當(dāng)時(shí)，，所以方程要在時(shí)有兩個(gè)解，所以，解得或，因?yàn)椋?，且?dāng)時(shí)，，所以，所以，綜上或，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的問題，考查分類探討思想，考查計(jì)算實(shí)力，解題的關(guān)鍵是分和分別探討方程，根的狀況，進(jìn)而可得答案，屬于中檔題第Ⅱ卷（非選擇題共105分）留意事項(xiàng)：1．用黑色鋼筆或簽字筆干脆答在答題卡上，答在本試卷上的無效．2．本卷共11題，共105分．二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個(gè)空的，答對1個(gè)的給3分，全部答對的給5分）10.已知向量，向量，則向量在方向上投影向量為______．【答案】【解析】【分析】先求出向量在方向上的投影,再求出與同向的單位向量，進(jìn)而求出向量在方向上的投影向量.【詳解】由題意，向量在方向上的投影為：，，則與同向的單位向量為，所以向量在方向上的投影向量為：.故答案為：.11.過點(diǎn)(－1，－2)的直線被圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦長為，則直線的斜率為________【答案】1或【解析】【分析】求出圓心坐標(biāo)和半徑r，由弦長及半徑，利用垂徑定理及勾股定理求出圓心到直線的距離d，設(shè)出直線的斜率，由直線過（﹣1，﹣2），表示出直線l的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程，解出k的值，即為直線l的斜率．【詳解】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，∴圓心坐標(biāo)為（1，1），半徑r＝1，又弦長為，∴圓心到直線的距離，設(shè)直線的斜率為k，又直線過（﹣1，﹣2），∴直線的方程為y+2＝k（x+1），即kx﹣y+k﹣2＝0，∴，即（k﹣1）（7k﹣17）＝0，解得：k＝1或k＝，則直線的斜率為1或．故答案1或【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而由弦長的一半，圓的半徑及弦心距構(gòu)造至直角三角形，利用勾股定理來解決問題，屬于基礎(chǔ)題．12.設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則_______．【答案】2【解析】【詳解】【分析】y′＝aeax，y′|x＝0＝a.由題意知，a×＝－1，∴a＝213.已知x，，，則的最小值______．【答案】【解析】【分析】將綻開，利用基本不等式即可求解.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)即，的最小值為，故答案為：14.設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則__________．【答案】【解析】【詳解】原式為，整理為：，即，即數(shù)列是以-1為首項(xiàng)，-1為公差的等差的數(shù)列，所以，即.【點(diǎn)睛】這類型題運(yùn)用的公式是，一般條件是，若是消，就需當(dāng)時(shí)構(gòu)造，兩式相減，再變形求解；若是消，就需在原式將變形為：，再利用遞推求解通項(xiàng)公式.15.如圖，在菱形中，，，?分別為?上的點(diǎn)，，，點(diǎn)在線段上，且滿意，則___________；若點(diǎn)為線段上一動點(diǎn)，則的取值范用為___________.

【答案】①.②.【解析】【分析】由題意得出分別是的一個(gè)三等分點(diǎn)，設(shè)，然后把用表示可得，再設(shè)，用基底表示，，然后求數(shù)量積，再由函數(shù)性質(zhì)得其取值范圍．【詳解】解：，，所以分別是的一個(gè)三等分點(diǎn)，，設(shè)，，又，所以，，所以，設(shè)，，，，，，因?yàn)椋裕蚀鸢笧椋?；．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查向量的線性運(yùn)算，向量的數(shù)量積．解題關(guān)鍵是用基底表示其他向量，然后由向量運(yùn)算的計(jì)算即可得．三、解答題（本大題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知的面積為．(1)求和的值；(2)求的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由面積公式可得結(jié)合可求得解得再由余弦定理求得a=8.最終由正弦定理求sinC的值;（2）干脆綻開求值.【詳解】（1）△ABC中,由得由,得又由解得由,可得a=8.由,得.（2）,【點(diǎn)睛】本題主要考查三角變換及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)學(xué)問,考查基本運(yùn)算求解實(shí)力.17.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，為正三角形，且側(cè)面底面，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）連接交于，進(jìn)而證明，然后依據(jù)線面平行的判定定理證明問題；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，進(jìn)而通過空間向量的夾角公式求得答案；（3）求出平面的法向量，結(jié)合（2），進(jìn)而通過空間向量的夾角公式求得答案.【小問1詳解】證明：連接，與交于，則為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，∴，∵平面，平面，∴平面．【小問2詳解】設(shè)是的中點(diǎn)，連接，∵是正方形，為正三角形，∴．又∵面面，交線為，∴平面．以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，,∴，，設(shè)平面的法向量為，則，令．則，得，設(shè)直線與平面所成角為，∴，即直線與平面所成角的正弦值．【小問3詳解】由（2）可知，設(shè)平面的法向量為，則，令．則，，．設(shè)面與面夾角為，∴，∴面與面夾角的余弦值為．18.已知等比數(shù)列的公比，前3項(xiàng)和是7．等差數(shù)列滿意，．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）求①；②.【答案】（1）；（2）①；②【解析】【分析】（1）求得和數(shù)列的公差，由此求得數(shù)列，的通項(xiàng)公式.（2）利用裂項(xiàng)求和法求得，利用錯位相減求和法求得.【小問1詳解】∵．且等比數(shù)列的公比，∴，解得，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為，∴解得，，則，又，∴等差數(shù)列的公差，．【小問2詳解】①設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，∵，∴，∴，②設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，兩式做差得：，∴，即．19.已知橢圓：的離心率為，且橢圓上動點(diǎn)到右焦點(diǎn)最小距離為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)，是曲線上的兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）最大值為.【解析】【分析】（1）依據(jù)題意列出的方程組，從而求解；（2）設(shè)出直線的方程，依據(jù)弦長公式找出一個(gè)的關(guān)系式；然后求原點(diǎn)到直線的距離，把求面積的最大值轉(zhuǎn)化為求原點(diǎn)到直線距離的最大值.【詳解】（1）依題意，，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）①當(dāng)斜率不存在時(shí)，即直線軸，不妨設(shè)，則，；②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，由，得，則，設(shè)，，則，，所以，，即.記原點(diǎn)到直線的距離為，則.(當(dāng)，即時(shí)取等，驗(yàn)證滿意題意)所以，又因?yàn)?，所以取最大值?注：求的最大值還可以這樣處理，設(shè)，則(當(dāng)，即時(shí)取等).20.已知函數(shù)（其中為參數(shù)）.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對隨意，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值集合；（3）證明：（其中，為自然對數(shù)的底數(shù)）.【答案】（1）答案見解析；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)可得，分和進(jìn)行探討即可；（2）由（1）知函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)不成立，故，此時(shí)需即可；（3）利用（2）中的結(jié)論可證該不等式.【詳解】（1），，當(dāng)時(shí)，，在上遞增，當(dāng)時(shí)，令，得，時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增；綜上：時(shí)，在上遞增，無減區(qū)間，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）由（1）知時(shí)，在上